ВКБ-приближения волновая функция

Как мы увидим в гл. 18, 2, п. 1, волновая функция в предельном случае большой константы взаимодействия описывается ВКБ-приближением. Волновая функция в ВКБ-приближении правильно ведет себя в окрестности точки г О даже в случае сингулярного потенциала. В этом легко убедиться, сравнивая выражения (18.2) и (12.210). Следовательно, выражение для фазового сдвига в ВКБ-приближении остается справедливым и в предельном случае большой константы взаимодействия. [c.368]

Кроме того, согласно формуле (5.15), потенциал II, или точнее скорость изменения II, тоже накладывает ограничения на применимость техники ВКБ-приближения. Разрешены только медленно изменяюш,и-еся потенциалы. Любые потенциалы с острыми углами не могут быть рассмотрены данным методом, их нужно рассматривать другим методом — ВКБ-приближением, способным бороться с острыми углами. За деталями отсылаем читателя к литературе в конце главы. Подчеркнём, однако, что в обш,ем случае волновые функции ВКБ-приближения находятся в превосходном согласии с точными волновыми функциями. [c.187]

Сравним этот результат с видом волновой функции ВКБ-приближения, которая определяется формулой (5.16) [c.189]

Отсюда волновая функция ВКБ-приближения принимает вид [c.189]

Сравнение волновой функции ВКБ-приближения (5.26) и волновой функции (5.23), распространённой на область осцилляций, начинаю-ш,ихся с точки поворота, приводит к значению [c.189]

Рис. 5.2. Фаза волновой функции ВКБ-приближения в точках поворота 19 и классического движения равна -тг/4, то есть = 19, ) ос со8(-7г/4).

Построение простейшей волновой функции в ВКБ-приближении. Чтобы построить волновую функцию в ВКБ-прибли-жении, исходим из закона сохранения энергии для частицы массой М, движуш,ейся в связываюш,ем потенциале и х) [c.192]

Следовательно, волновая функция т-го собственного энергетического состояния в приближении ВКБ имеет вид [c.193]

Заметим, что данное выражение применимо только внутри области осцилляторного поведения волновой функции, достаточно далеко от точек поворота. В точках поворота импульс обращается в нуль и поэтому волновая функция ВКБ-приближения обращается в бесконечность. Кроме того, мы должны считать значение волновой функции в классически запрещённой области равным нулю. Поскольку такое приближение точной волновой функции довольно примитивно, этот вид волновой функции ВКБ-приближения называют простейшей волновой функцией ВКБ-приближения. [c.193]

Волновая функция ВКБ-приближения для гармонического осциллятора [c.196]

Следуя этапам вычислений, описанным в разделе 5.4, вывести формулы ВКБ-приближения для волновых функций данной энергии ит х) В потенциале гармонического осциллятора II(х) = [c.196]

В данной главе мы покажем, что эти две фазы волновой функции ВКБ-приближения действительно можно интерпретировать как динамическую и топологическую фазы. Для этого в разделе 6.1 мы кратко знакомимся с понятием фазы Берри, а затем в разделе 6.2 заново выводим вид волновой функции ВКБ-приближения методом, наиболее ясно демонстрирующим аналогию с фазой Берри. [c.199]

Адиабатичность и волновые функции ВКБ-приближения [c.205]

Рис. 6.3. Скачок фазы волновой функции ВКБ-приближения в окрестности точки поворота объясняется контуром в комплексном пространстве. Обычно энергетическая волновая функция в связывающем потенциале зависит от вещественнозначной координаты X (вверху). Однако, чтобы выяснить изменение фазы в точках поворота, мы слегка деформируем путь, связывающий две точки поворота как только мы приближаемся к точке поворота, мы обходим её, двигаясь по окружности в комплексной плоскости. В результате прямые траектории, связывающие две окружности, слегка смещены от действительной оси. Результирующее поведение волновой функции в левой точке поворота

Новый вывод волновой функции ВКБ-приближения. [c.212]

Рис. 6.4. Поведение волновой функции ВКБ-приближения в окрестности левой точки поворота д. При приближении к точке поворота вдоль действительной оси фаза волновой функции увеличивается. Мы обходим точку поворота по окружности в комплексной плоскости. Как следствие, фаза непрерывно уменьшается. После полного поворота на угол 2тг разность фаз оказывается равной —тг/2. Если продолжить путь к правой точке поворота вдоль действительной оси, фаза вновь увеличивается. Проекция этой винтовой лестницы на плоскость, то есть редукция к вещественнозначной оси ж, порождает разрывный

Свежий взгляд на волновые функции ВКБ-приближения. Установим теперь связь между фазами, которые приобретают векторы ква- [c.214]

Связь волновых функций ВКБ-приближения с фазой Берри [c.218]

Точки стационарной фазы. Чтобы вычислить амплитуду вероятности подставляем в (7.1) выражения (7.2а) и (7.3а) для двух волновых функций ит х) И Уп х) В ВКБ-приближении. Получаем выражение [c.225]

Здесь мы использовали выражения (7.2в) и (7.3в) для фаз волновых функций ВКБ-приближения. Кроме того, мы пренебрегли вкладами от быстро осциллирующих функций ех.р i[Sm x) Зп х)] -. [c.225]

Квантово-механическое скалярное произведение (7.1) двух квазиклассических состояний, описываемых волновыми функциями ВКБ-приближения и (7.2) и (7.3), есть сумма (в данном случае) двух комплекснозначных амплитуд вероятности, величина [c.227]

Похоже, мы сталкиваемся с определённой проблемой, так как при выводе формализма интерференции в фазовом пространстве мы использовали представление ВКБ для обеих волновых функций Um x) и Vn x). Однако, в рассматриваемом примере Vn x) не может быть представлена волновой функцией ВКБ-приближения. Тем не менее, слегка подправив формализм, мы получим превосходные результаты. [c.237]

Волновые функции ВКБ-приближения как следствие интерференции в фазовом пространстве [c.262]

Приближение уравнения (9.4) здесь слишком грубо и волновые функции ВКБ слишком неудобны. Фанг и Говард использовали вместо этого волновые функции вида [c.137]

Метод исследования связи между геометрической и физической оптикой вполне аналогичен методу ВКБ в квантовой механике. В этом методе начинают с волнового уравнения (уравнения Шредингера) и разлагают фазу функции г] в ряд по степеням постоянной Планка h. В приближении нулевого порядка волновое уравнение имеет только коэффициент при /г и решением его является известное из классической механики уравнение Гамильтона — Якоби [c.83]

Приближение ВКБ и его физический смысл. Звуковое поле с гармонической зависимостью ехр[/( г - шГ)], i = ( ь 2. 0) от горизонтальных координат и времени удовлетворяет волновому уравнению (1.45). Плотность р, скорости звука с и течения Vq в среде будем считать гладкими функциями Z. Проекцию Vq на направление обозначим u(z). Вьь делим в (1.45) пропорциональный частоте волны множитель кд = j/ q [c.163]

Аналогичная оценка доказана также и при < О [463.464] [258, гл. 2]. Величина F (8.12) пропорциональна Поэтому при фиксированном угле падения для достаточно больших j приближение ВКБ становится применимым в любой среде, где параметры р, с, Vq являются гладкими функциями Z, а N не обращается в нуль и бесконечность. В однородной среде/< =0и (8.11) является точным решением волнового уравнения. [c.166]

В гл. 5 мы покажем, что приближённые выражения (4.6) для тождественны стандартной волновой функции ВКБ-приближения. [c.129]

Равномерное асимптотическое разложение. Можно преодолеть трудности с сингулярностью простейшей волновой функции ВКБ-приближения в точке поворота, воспользовавшись решением в виде функции Эйри (5.27). Кроме того, как показывается в задаче 5.1, можно использовать выведенное в приложении Д асимптотическое зазложение функции Эйри для положительных аргументов для нахождения простого выражения для волновой функции в запрещённой области. [c.193]

Простейшая волновая функция ВКБ-приближения в запре-ш,ённой области [c.194]

Вывести выражения (5.31) и (5.32) для равномерной асимптотической волновой функции ВКБ-приближения, начав с уравнения Шрёдингера (5.6а) и введя фазу 8 х) как новую переменную. Сравнить получившееся дифференциальное уравнение с уравнением для функции Эйри. [c.195]

Вид волновой функции данной энергии в связывающем потенциале можно найти из независящего от времени уравнения Шрёдингера. Если потенциал как функция координаты медленно изменяется, можно аппроксимировать волновую функцию волной ВКБ. Такое поведение напоминает обсуждавшиеся выше адиабатические изменения. Действительно, существует тесная связь между волновой функцией ВКБ-при-ближения и фазой Берри. Мы уже видели, что волновая функция ВКБ-приближения содержит фазу, которая при движении от одной точки поворота к другой непрерывно изменяется на большую величину, кратную 2тг. Однако в точке поворота фаза скачком изменяется на —7г/2. [c.199]

В разделе 5.2.1 мы обосновали вид волновой функции данной энергии типа показанной на рис. 6.2 и соответствующей произвольному, но медленно меняющемуся связывающему потенциалу и х В данном эазделе мы выведем этот результат, представив независящее от времени уравнение Шрёдингера для волновой функции и х) в виде уравнения Шрёдингера для двумерной системы. Такой подход позволяет связать ВКБ-приближение с понятием геометрической фазы. [c.205]

Рис. 6.2. Зависимость фазы волновой функции данной энергии в ВКБ-при-ближении от координаты. Волновая функция ш-го энергетического состояния в связывающем потенциале испытывает осцилляции и имеет т узлов (рис. наверху). Частица, имеющая такую энергию, движется по замкнутой орбите в фазовом пространстве (рис. посередине). Площадь, охватываемая замкнутой орбитой, равна 27г/г (ш + 1/2). Фаза волновой функции ВКБ-приближения увеличивается при движении от правой точки поворота к левой точке 19 и назад (рис. внизу). Накопленная за время движения от одной стороны до другой фаза равна тг/4 + штг + тг/4 = (ш+1/2)тг. Двойной вклад тг/4 возникает от того, что фаза ВКБ-волны в каждой точке поворота равна —тг/4. В противоположность такому монотонному росту фаза испытывает скачок —тг/2 в точках поворота, иными словами, тогда, когда частица пересекает ось X в фазовом пространстве. Таким образом, полная фаза, накопившаяся за весь цикл движения, равна 2 (ш + 1/2) тг — 2тг/2 = 2тгш, и волновая функция

От вектора квазисостояния к волновым функциям ВКБ-приближения. Эти свойства очень напоминают поведение обсуждавшейся в гл. 5 стандартной волновой функции ВКБ-приближения [c.213]

Кроме того, не до конца ясно, как векторы квазисостояний и ) связаны с волновыми функциями ВКБ-приближения. Чтобы ответить на эти вопросы, используем (6.18) для разложения вектора квазисосто- [c.213]

Если теперь вспомнить приближённое решение (6.29), получаем выражение для волновой функции ВКБ-приближения [c.214]

Для этого проследим изменение волновой функции при движении от правой точки поворота к левой точке поворота На рис. 6.2 вверху показана волновая функция т-го собственного энергетического состояния в связывающем потенциале. Эта функция заперта между двумя точками поворота классического движения и содержит т узлов. В рамках ВКБ-приближения энергия определяется так, что площадь фазового пространства внутри классической фазовой траектории равна 27гЙ(ш + 1/2), как это показано на рисунке посередине. [c.215]

Сначала мы объясним основные понятия этого подхода, а затем дадим математический вывод. Он в значительной степени опирается на волновые функции ВКБ-приближения и метод стационарной фазы, который обсуждается в приложении 3. Главу завершают применение этого понятия к переходам Франка-Кондона в двухатомных молекулах и обобш,ение на произвольные состояния. [c.219]

Волновые функции данной энергии в ВКБ-приближении. В квазиклассическом приближении, то есть при больших значениях квантовых чисел т, мы приближённо записываем волновые функции Пт в области между двумя классическими точками поворота и (рис. 7.2, а)) в виде волновых функций ВКБ-приближения [c.223]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...