Определение представления группы

Книга адресована читателю, серьезно изучающему молекулярную спектроскопию, и хотя предполагается, что он знаком с основными постулатами квантовой механики, теория групп рассматривается здесь из первых принципов. Идея группы молекулярной симметрии вводится в начале книги (гл. 2) после определения понятия группы, основанного на использовании перестановок. Далее следует рассмотрение точечных групп и групп вращения. Определение представлений групп и общие соображения об использовании представлений для классификации состояний молекул даны в гл. 4 и 5. В гл. 6 рассматривается симметрия точного гамильтониана молекул и подчеркивается роль перестановок тождественных ядер и вращения молекулы как целого. Чтобы классифицировать состояния молекул, необходимо выбрать подходящие приближенные волновые функции п понять, как они преобразуются под действием операций симметрии. Преобразование волновых функций и координат, от которых волновые функции зависят, особенно углов Эйлера и нормальных координат, под действием операций симметрии подробно описывается в гл. 7, 8 и 10. В гл. 9 рассматриваются определение группы молекулярной симметрии и применение этой группы к различным системам. В гл. 11 определяется приближенная симметрия и описывается применение групп приближенной симметрии (таких, как точечная группа молекул), а также групп точной симметрии (таких, как группа молекулярной симметрии) для классификации уровней энергии, исследования возмущений, при выводе правил отбора для оптических [c.9]

Для определения представления группы, порождаемого нормальными координатами и 7 с нулевой частотой, необязательно находить сами координаты, как это сделано (7.246) для молекулы воды. Как будет показано в гл. 11, и преобразуются одинаковым образом, а представление, порождаемое операторами может быть найдено по табл. 7.1, если эквивалентные вращения для элементов группы известны. Тины симметрии и (как будет показано в гл. 11, тип симметрии получается из типа симметрии 7 ) для всех групп МС указаны в таблицах характеров приложения Л. [c.181]

Определение представления группы [c.23]

Вопрос об определении представления группы вращений, которое реализуется на компонентах в-тензора с определенной симметрией относительно перестановки, к сожалению, не может быть изложен достаточно компактным образом. [c.205]

Определенное представление об ощущении различных уровней шума и шумов каждой из перечисленных шести укрупненных шумовых групп дает содержание табл. 12.2. [c.328]

Так как матрица преобразования 3N координат Да,- к координатам Q, ортогональна, Q, и Да/ порождают одинаковое представление группы симметрии [см, формулу (5.54) и замечания после нее]. Для определения представления, порождаемого 3N — колебательными координатами Qr, надо сначала найти представление, порождаемое 3N координатами Да/, а затем вычесть из него представление, порождаемое тремя и тремя Т . Ниже мы проиллюстрируем эту процедуру на примере молекулы воды. Другая процедура для определения типов симметрии нормальных координат будет рассмотрена в следующей главе в ней вместо декартовых координат смещений используются внутренние координаты смещений (растяжение связей, деформация углов и т. д.). [c.178]

Для определения типов симметрии нормальных координат воды в группе Сгу(М) (см. табл. 5.2) начнем с определения свойств преобразования декартовых координат смещений под действием операций симметрии группы 2v(M). Используя эти свойства, мы можем найти представление группы 2v(M), порождаемое декартовыми координатами смещений назовем это представление Г Мы можем выбрать любой метод для получения этих результатов (по рисункам или из уравнений). Но и [c.178]

Определение характеров двумерных представлений группы 2v (М) 2 из уравнений (10.78—10.81) [c.283]

Для двумерных представлений группы Сзу(М) имеем х[ ] = = XI 2, а предыдущие уравнения приводят к следующим формулам для определения характеров [используется уравнение (4.62)] [c.285]

Мы можем классифицировать собственные состояния оператора Й° по неприводимым представлениям группы приближенной симметрии [так как соотношение (11.2) точное]. Эта классификация полезна и как приближенная классификация по симметрии собственных состояний полного оператора Я, если нарушение симметрии оператором Й мало. Оператор Й может смешивать собственные состояния оператора Й°, принадлежащие к различным приближенным типам симметрии (и, следовательно, нарушать эту симметрию), но он, конечно, не может смешивать состояния, принадлежащие к точным типам симметрии [см. правило отбора (5.133)]. Группа симметрии и ее неприводимые представления используются для определения отличных от нуля членов возмущения в гамильтониане и для выяснения того, какие состояния связаны внутренними н внешними возмущениями. При этом группы точной симметрии дают строгие результаты. Группы приближенной симметрии очень важны для выявления наиболее существенных эффектов возмущений. [c.295]

Для того чтобы применять перечисленные правила к конкретным молекулам, необходимо определить представления группы МС, по которым преобразуются нормальные координаты Qr и компоненты Jx, Jy, h ровибронного углового момента. Для определения представления, по которому преобразуются нормальные координаты, можно сначала определить представление, по [c.311]

Последним шагом является разбиение на смежные классы по к). Далее неприводимые представления группы к) используются для определения неприводимых представлений группы . Неприводимые представления группы характеризуются звездой волнового вектора к и индексом т допустимого представления Это построение определяет также структуру неприводимого векторного пространства, в котором задано представление [c.50]

В этом параграфе будет показано, что неприводимое представление полной пространственной группы является представлением, индуцированным с помощью неприводимого представления Ь группы ( 1) в . Таким образом, для определения представления 0( к)[т достаточно полностью знать представление [c.93]

При определении допустимых неприводимых представлений группы (к) в зависимости от структуры и размерности звезды волнового вектора к (32.10) следует различать два главных случая. В первом случае к содержит др независимых неэквивалентных волновых векторов [c.99]

В гл. 6 и 7 анализируется математическая задача определения представлений, содержащихся в приводимом представлении и имеющих вид прямого произведения двух неприводимых представлений. Следовательно, математическая задача в точности совпадает с задачей, рассмотренной в общем виде для конечных групп в 17. Название метод полной группы просто отражает то обстоятельство, что на всех стадиях рассматриваются неприводимые представления полной группы и, соот- [c.134]

Так как выражение (62.15) дает полную систему характеров для прямой суммы допустимых неприводимых представлений группы к ), то, согласно теореме Машке, эта система характеров приводима. Чтобы подчеркнуть отличие этого случая от рассматривавшихся ранее случаев разложения прямого произведения полных представлений, мы введем специальное обозначение + й, тт I к"т") для коэффициентов приведения для подгрупп. Их определение следует из (62.15) [c.164]

Следует сделать еще одно, последнее. замечание. Очевидно, весь предшествующий анализ просто устанавливает необходимые условия вещественности представлений, по которым преобразуется либо пространство собственных векторов, либо пространство нормальных координат. Таким образом, если существует представление группы , по которому преобразуется пространство собственных векторов или нормальных координат колебаний, то оно должно иметь физический смысл. Обратное утверждение неверно при заданной пространственно-временной группе не все неприводимые представления группы, имеющие физический смысл, встречаются в динамике решетки. Определение таких физических неприводимых представлений для конкретных кристаллов рассматривается в 103. [c.245]

Так, например, в случае конфигурации (1з — неприводимое представление группы О) из трех схем Юнга (для группы перестановок трех частиц) 3 , 2,1 и Р физический смысл имеют две последние, которым соответствуют сопряженные схемы Юнга А, = 2,1 и 3 , представляющие спин 8 = 1/2 и 8 = 3/2 соответственно. Характеры (1.13) для этих двух Я и разложения (1.14) приведены в табл. 1. Для определения типов [c.9]

Для решения целого ряда задач теории представлений и конкретных ее приложений в физике полезно перейти от определения представления T g) группы G как операторных решений функционального уравнения (5.1) к обычным функциям с числовыми значениями. Таковыми являются матричные элементы представления T g), а именно функции [c.57]

Для определения представления группы Сзу(М), порождаемого функциями Фа( ) и Ф (f) ИЗ зздачи 5.2, поступим сле дующим образом. Из преобразования [c.94]

В 1982 г. выпущено учебное пособие Практическое рукоаодст-по кристаллографии и кристаллохимии. Методы описания кристаллических многогранников . В настоящем пособии приведены основные методы описания кристаллических структур, включая определение пространственной группы симметрии, правильных систем точек, базиса кристаллической структуры,. символов атомных плоскостей и атомных рядов в кристаллических структурах, метод обратной решетки. Описаны кристалли 4еские методы представления и расчета кристаллических структур, в том числе эпитаксиальных. [c.27]

К. — К. п. а, Ь однозначно определяют вращение Л, но а, Ь и —а, —Ь описывают одно п го же вращение, что соответствует двухзначным (спинорным) представлениям группы вращений (см. Вращений группа, Спинор). Определение К.— К. п. в форме (1), (2) есть по существу прсдстав-тенио элементов группы вращения ГР через кватернионы с единичной нормой. Неявно такая связь прослеживается в работах А. К.чли (А. ayley) в 1847, а точные соотношения появились в работах Ф. Клейна (F, Klein) в 1897. [c.537]

Собственные функции оператора Й могут быть определены в результате диагонализации матрицы этого гамильтониана, записанной в базисе собственных функций Ф° гамильтониана Й°. Таким образом, каждая собственная функция Й может быть записана в виде линейной комбинации полного набора функций Ф° [см. (5.139)]. Оператор Й как часть Й преобразуется по полносимметричному представлению группы G (или любой ее подгруппы) и в соответствии с общим правилом отбора может иметь отличные от нуля матричные элементы только между функциями Ф°, преобразующимися по одному и тому же представлению группы G (или любой ее подгруппы). Поэтому типы симметрии Г собственных состояний Ф гамильтониана Й совпадают с типами симметрии соответствующих собственных состояний Ф гамильтониана Й°. Таким образом, для определения Г необходимо только классифицировать по типам симметрии базисные функции, если [c.113]

Таким образом, мы можем классифицировать 16 электронных, спиновых состояний четырехэлектронной молекулы по - типам симметрии групп К (П) и Sjf. Изложенный выше метод применим и к молекуле, содержащей произвольное число электронов, однако если состояния различной мультиплетности относятся к одному и тому же типу симметрии группы Sif , то необходимо использовать коэффициенты векторного сложения для определения комбинаций произведений функций, преобразующихся по неприводимым представлениям групп и К (П). Электронные спиновые функции не зависят от ядериых координат и поэтому преобразуются по полносимметричному неприводимому представлению группы G". Спиновые функции также инвариантны относительно Е (S — аксиальный вектор) и имеют положительную четность. [c.117]

Определение группы молекулярной симметрии (МС) легче понять, рассмотрев сначала вопрос что мы делаем с группой симметрии Группа симметрии нужна для классификации энергетп-ческих уровней молекулы с помощью неприводимых представлений группы для того, чтобы идентифицировать все уровни нулевого порядка, которые могут и не могут взаимодействовать при учете а) влияния первоначально игнорируемых членов в пол Юм гамильтониане или б) влияния внешнего возмущения, такого, как электрическое или магнитное поле или электромагнитное излучение. А для этого достаточно использовать только такие тины [c.226]

Представленные расчеты показывают, что распределение объемов выбытия и возмещения средств труда во времени определяется в значительной степени распределением основных фовдов по нормативным срокам службы. С учетом неоднородности основных фовдов объем нормативного выбытия составляет 1,96 млн. руб. по сравнению с 1,16 млн. руб., полученном при расчете яо усредненному сроку эксплуатации. Б результате учета неоднородности основных фовдов в нашем случае норматив выбытия возрастает почти в 1,7 раза. С другой стороны, при использовании в качестве расчетных величин средних сроков эксплуатации в целом по основным фовдам или по определенным их группам легко заметить, что в этом случае не учитывается и другой важный фактор, а именно то, что выбытие основных фовдов в текущем году будет определяться объемами и структурой нескольких участвущих в этом выбытии инвестиций, формирующих действующие основные фовды, причем самый старый ввод основных фовдов будет выбывать какой-то своей последней частью, а самый молодой ввся основных фовдов - своей группой фовдов с наименьшим нормативным сроком J ЖбЫ. [c.86]

При разработке любой логической схемы первоочередной задачей является выбор логических элементов, которые следует использовать. Так, например, может быть использован ряд канонических двоичных множеств логических элементов. Чтобы сделать наше обсуждение условий вхождения логического элемента в каноническую систему более живым, в разд. 4.2 дано краткое описание проблемы полноты двоичной логики. Этот вопрос, обобщенный до представлений о полноте многозначной логики, является решающим при определении, когда группа оптических явлений может рассматриваться как часть канонического множества оптических логических элементов. В разд. 4.3 описан специфический пример многозначной логической системы, обладающей слабой полнотой,— системы счисления в остаточных классах (ССОК). Еще совсем недавно алгебра ССОК рассматривалась применительно к арифметическим вычислениям в остаточных классах. По вопросу оптической реализации различных операций в ССОК имеется большое число публикаций, обзор которых сделан в разд. 4.4. Оптические элементы могут образовывать стандартные блоки оптической многозначной логической схемы. В заключительном, в значительной мере техническом разделе описаны некоторые из необходимых тестов, служащих для установления принадлежности многозначной логической функции каноническому множеству. В этом случае такие многозначные логические функции и их оптическая реализация могли бы послужить новыми элементами оптических многозначных логических схем. [c.114]

В главах 2—7 и 9 излагается теория пространственных групп. В гл. 2 дается описание структуры кристаллических пространственных групп как групп симметрии трехмерного пространства кристалла. Особое внимание уделяется математической структуре кристаллических пространственных групп. Мы не приводим полного описания 230 пространственных групп, так как оно вместе с иллюстрациями имеется в литературе. В гл. 3 дается обзор стандартного материала по теории представлений конечных групп. Хотя этот материал широко известен, он необходим нам как основа для изложения теории представлений пространственных групп. В гл. 4 излагается теория представлений группы трансляций Неприводимые представления групп трансляций кристалла играют центральную роль в теории, поэтому важно рассмотреть их надлежащим образом, а также правильно ввести понятие первой зоны Бриллюэна. Далее в гл. 5 дается детальный вывод построения и свойств неприводимых предста влений и векторных пространств кристаллической пространственной группы . Этот материал оказывается центральным для характеристики собственных функций и собственных значений при их классификации по симметрии. Рассмотрение в главах 6 и 7 посвящено определению коэффициентов приведения для пространственных групп. Эти коэффициенты приведения являются основными входящими в рассмотрение величинами при определении правил отбора. С математической точки зрения они являются коэффициентами рядов Клебша — Гордана в разложении прямого произведения неприводимых представлений двух пространственных групп. [c.19]

Для каладого к определен набор операторов из группы , преобразующих блоховский вектор в вектор с эквивалентным значением волнового вектора к. Эта совокупность операторов образует группу волнового вектора к, обозначаемую (к). Она является подгруппой группы . Определяются неприводимые представления группы к). Для этой цели можно использовать два метода. Будет рассмотрен метод лучевых (проективных или нагруженных) представлений, использующий представление структуры к) как расширения. Кроме того, будет излож-ен метод малых групп. Среди всех неприводимых представлений к) допустимыми для наших целей оказываются только некоторые. Будут определены эти допустимые неприводимые представления а тажже соответствующие им векторные пространства. [c.49]

С другой стороны, первую зону Бриллюэна можно определить как набор из (2Л 1) (2Л 2) 2Nз) точек -пространства, задающих полный набор неприводимых представлений группы . При использовании последнего определения [28] нет необходимости считать, что все точки первой зоны Бриллюэна заключены в замкнутом многограннике. Единственное ограничение на значения к состоит в том, что из совокупностей к, . .., удовлетворяющих (23.6), следует использовать только одну. Так, например, согласно общепринятому определению зоны Бриллюэна, следует считать принадлежащей этой зоне только одну из пары то Чек, находящихся на противополх)жных, гранях зоны. Вторая оказывается лишней выбор одной точки из пары произволен. [c.74]

МОЖНО показать, дает проективные представления группы ф(й), не являющиеся различными. Определение всех накрывающих групп р (й) для всех кристаллографических групп было завершено Шуром. Для всех таких групп имеются таблицы для систем характеров неприводимых представлений [38]. Поэтому мы будем считать задачу определения всех неэквивалентных неприводимых представлений группы 5Р (й) решенной, так же как и задачу об ограничении проективных представлений группы на подгруппе к). [c.111]

Ясно, что метод Зака для индуцирования с помощью подгрупп индекса 2 или 3 существенным образом использует принадле ж-ность матриц представителей смежных классов х и х ) центру матричного представления. Поэтому эти матрицы равны константам, величины которых определяются соотношениями типа (50.27) — (50.34). По этой причине данный метод применим только к определенным несимморфным группам. Можно заметить, что метод Зака существенно использует свойство разрешимости пространственных групп [т. е. то, что индексы в последовательности нормальных подгрупп (50.1) —(50.3) являю тся простыми числами, последнее из которых равно единице]. Это же свойство было отмечено Зейтцем в его первой работе по приведению пространственных групп [30]. [c.131]

ПО отношению к полной пространственной группе , а также гомоморфизм остальных представлений, входящих в соотношение приведения Достоинство этого метода (в случаях, когда возможно его применение) состоит в том, что он допускает проверку коэффициентов с помощью соотношения ортонормированности. Как и в случае более пр0С10Г0 метода малой группы, состоящего в определении неприводимых представлений группы (3 к) по неприводимым представлениям группы П(Л), оказывается, что метод группы приведения полезен в случае звезд высокой симметрии, т. е. канонических волновых векторов высокой симметрии. [c.152]

Эта глава содержит применения теории пространственных групп к классической теории колебаний кристаллической решетки [4—6, 59—64]. Основной эффект от использования полной пространственной группы симметрии состоит в упрощении решения секулярного уравнения для определения частот нормальных колебаний и соответствующих собственных векторов в гармоническом приближении. Секулярное уравнение оказывается факторизованным согласно неприводимым представлениям рассматриваемой пространственной группы . Факторизация по пространственной симметрии приводит к появлению пространственных координат, зависящих от волнового вектора k неприводимого представления. Учет полной симметрии обеспечивает дальнейшее уточнение свойств отдельных собственных векторов, преобразующих согласно допустимым представлениям группы k), т. е. по определенной строке неприводимого представления группы . [c.173]

Выражения (98.74) и (98.75) дают решение поставленной задачи. Их простой вид является прямым следствием разложения, по смежным классам (98.6). Если бы использовалось другое разложение, то мы получили бы эквивалентное индуцированное представление. В частности, вместо 5 смежных классов в (98.6) разложение по смежным классам к) содержало бы 25 смежных классов, содержащих антиунитарные элементы смежных классов. Тогда было бы возможно прямое определение индуцированных представлений группы по представлениям ( ) вместо использованной нами двухступенчатой процедуры, ведущей от к) к (к) и затем уже к Ясно, что все способы рассмотрения дают один и тот же результат. [c.279]

Ясно, что для заданного k имеется Зг ткких блоховских векторов. Используя их в качестве базиса, мы можем построить Зг-мерное представление малой" группы T[ k) = k)определенной в (39.9). Следовательно, если является элементом k) % k), то можно найти результат применения этого оператора к сумме (104.2). Так как Зг сумм (104.2) образуют полное линейное векторное пространство для всех нормальных колебаний с волновым вектором к, а также являются полными по отношению ко всем возможным единичным смещениям, то результатом действия 11 на такую сумму будет возникновение линейной комбинации всех Зг величин (104.2). Таким способом мы получим представление базисом которого являются единичные декартовы смещения. Это представление также называют полным представлением. Когда преобразовано в прямую сумму допустимых неприводимых представлений группы (к)/Х к), мы можем найти специальные представления, возникающие в задаче о нормальных колебаниях, т. е. симметрию всех имеющихся нормальных колебаний. [c.292]

Сопоставление трех наборов вещественных нормальных координат Показывает следующее. Набор /р с /р=1, . 5-//, определенный в (114.2), не является базисом неприводимых представлений группы или копредставлений группы набор [c.364]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...