Метод вариации параметров

Преобразование переменных. Чтобы избежать путаницы в анализе и иметь возможность сказать, где и как введены приближения, надо рассматривать метод вариации параметров, во-первых, как простое преобразование переменных, которое совершенно законно для всех значений времени, для которых пригодны уравнения преобразований. С этой точки зрения весь процесс математически прост и ясен, единственная трудность возникает от числа переменных и сложности соотношений между ними. [c.326]

Теория возмущений планет была начата Эйлером, мемуары которого о взаимных возмущениях Юпитера и Сатурна в 17-48 и 1752 гг. получили премии Французской академии. В этих мемуарах было дано первое аналитическое развитие метода вариации параметров. Уравнения не были вполне общими, так как он не считал элементы изменяющимися одновременно. Первые шаги в развитии пертурбационной функции были также сделаны Эйлером. [c.374]

В последующих разделах будет рассмотрен метод вариации параметров, поскольку в нем нашли отражение основные идеи и результаты общей теории возмущений. Будет также описано несколько полезных способов разложения возмущающей силы. [c.180]

Метод вариации параметров [c.195]

При использовании метода вариации параметров (в данном случае параметрами являются элементы орбиты) выражения для координат дифференцируются (теперь элементы рассматриваются как переменные) и снова подставляются в уравнения (6.20) и (6.22), так как вариации элементов обусловлены ненулевыми правыми частями этих уравнений (которыми до сих пор пренебрегали). В результате для элементов орбиты получается три дифференциальных уравнения вида [c.196]

Использование метода вариации параметров позволяет избавиться от постоянного роста возмущающих ускорений по мере все большего отклонения спутника от опорной траектории, т. е. позволяет обойтись без периодической коррекции опорной орбиты. Это достигается тем, что сама опорная орбита принимается переменной , причем она изменяется таким образом, что положение и скорость спутника на опорной и действительной траекториях оказываются одинаковыми. Иными словами, эта переменная опорная орбита непрерывно оскулирует, и ее элементы, являющиеся постоянными величинами в задаче двух тел, становятся медленно меняющимися функциями времени. Характер изменения элементов (т. е. параметров орбиты) определяется непосредственно лишь действующими на спутник возмущениями. [c.79]

Солнца 163 Маятник Шулера 701 Место запуска спутника 107 Метод вариации параметров 79 [c.723]

Пакет программ ОГРА, так же как и пакет программ ФАП-КФ, позволяет описывать элементы чертежа и производить операции по формированию ГО в процессе автоматизированного конструирования. Наибольшее число программ реализует типовые ГО, образующие в совокупности банки графических данных САПР. Типовой ГО может иметь фиксированную или изменяющуюся а широких пределах геометрию при вариациях параметров геометрической модели. Принципиальная разница пакетов ОГРА и ФАП-КФ заключается лишь в методах программной реализации. Все операторы пакета ОГРА оформлены как макрорасширения языка ассемблера. Однако программы пакета ОГРА стыкуются с программами на языках ФОРТРАН, ассемблера, ПЛ/1. [c.168]

При изучении возмущенного движения выгодно рассмотреть как раз эти шесть последних дифференциальных уравнений первого порядка и подставить в них вместо неизвестных х, у, z, х, у, Z при помощи уравнений (50) новые неизвестные I, а, е, i, б, <й. В этом и состоит метод вариации произвольных постоянных. Причина названия сделается очевидной, если представим себе, что при невозмущенном движении, т. е. при отсутствии возмущающей силы Ф, параметры I, а, е, i, в, <Б были бы все постоянными, за исключением лишь первого, который был бы линейной функцией времени. Таким образом, мы приходим к следующему истолкованию этих новых неизвестных по отношению к действительному возмущенному движению они в любой момент дают элементы того гипотетического эллиптического движения точки Р, которое получилось бы, если бы в рассматриваемый момент прекратилось всякое возмущающее влияние, и точка Р, начиная с того состояния движения, которое она имела в этот момент в действительном движении, двигалась бы исключительно под действием ньютонианского притяжения точки А центром О. [c.209]

Вследствие дисперсии свойств и состава применяемого сырья, вариации параметров технологического процесса, структурной неоднородности ФПМ их физико-механические свойства не являются строго детерминированными. При определении физико-механических свойств ФПМ, как правило, наблюдается большой разброс результатов. Разброс показателей зависит также от погрешностей методов испытаний, обусловленных погрешностью контрольно-измерительных приборов, неточностью считывания их показаний, наличием определенных допусков на параметры условий испы- [c.259]

В относительно небольшой по объему первой главе кратко и популярно излагается методика приближенной оценки ненадежности, обусловленной изменениями параметров элементов схемы, описывается метод оценки надежности, известный как метод наихудшего случая , а также приводится составленная для ЦВМ схема программы исследования надежности при вариации параметров элементов. Излагаются приемы, которые могут быть использованы практиками при приближенных сравнительных оценках надежности схем. [c.9]

В заключение приведем более точный метод определения параметров /г2 для второго (незагруженного) участка зубцов. Для этого при использовании принципа возможных изменений напряженного состояния, учтем работу вариаций поверхностных сил на поверхностях примыкания зубцов к телу хвостовика лопатки и выступа диска тогда вместо уравнения (2.38) получим зависимость [c.37]

Рассмотрим более точный метод определения параметра Xj для второго (незагруженного) участка зубцов. Для этого применим принцип возможных изменений напряженного состояния, учитывая работу вариаций поверхностных сил на участке примыкания зубцов к телу хвостовика лопатки и выступа диска. [c.82]

Полное решение задачи устойчивости автоколебательной системы с учетом характера начальных возмущений, постоянно действующих сил и вариаций параметров, возможных в системе, для производства инженерных расчетов весьма сложно. Поэтому ниже рассматривается приближенное решение этой задачи методом математического моделирования с применением современных средств вычислительной техники— аналоговых и цифровых вычислительных машин. [c.338]

Рассматриваемая задача в [43] решалась с применением понятий е и I методом вариантных расчетов. Здесь применен классический метод решения экстремальных задач, что в данном случае оказалось возможным при некоторых упрощениях, мало влияющих -на точность искомого результата. Полученное простое аналитическое решение отражает влияние вариации параметров, места подогревателя в схеме, а также режимных и экономических факторов. [c.210]

Исследование устойчивости периодических решении, найденных методом малою параметра Пуанкаре, имеет ряд особенностей. Согласно теории А. М. Ляпунова (35J, решение вопроса об устойчивости зависит от характера решении системы уравнений в вариациях для уравнений (40) и решения (42) [c.54]

Одии и те же ионы-активаторы в зависимости от типа кристалла, в который они введены, образуют различные лазерные системы, характеризующиеся и различными генерационными параметрами. Большое влияние при этом оказывает температура активной среды, в зависимости от которой меняются радиационные параметры и спектр поглощения ионов элемента-активатора р кристалле. Одним из возможных методов вариации свойств лазерных кристаллов является концентрация ионов-активаторов. [c.739]

При малых вариациях параметров объекта синтез регуляторов можно проводить с использованием методов теории чувствительности ([10.1] — [10.7]). Если известна чувствительность системы по отношению к изменению параметров объекта, то при синтезе можно обеспечить требования хорошего качества процессов регулирования и малой чувствительности замкнутой системы к изменениям параметров объекта управления. Такой подход будет рассмотрен в разд. 10.1. Однако при больших изменениях параметров указанные методы теории чувствительности для синтеза непригодны. В этих случаях проектируют регуляторы с постоянными параметрами, оптимальные относительно усредненных моделей объектов с различными векторами параметров. Такой подход является более общим по сравнению с методами, основанными на оценке чувствительности. Б связи с тем что при этом подразумеваются большие изменения параметров, один и тот же регулятор рассчитывается для управления объектом в его двух или более рабочих точках, а не только для одной рабочей точки, как в случае синтеза с применением методов теории чувствительности, обеспечивающего малую чувствительность системы к (малым) изменениям параметров объекта. Однако этот вопрос будет рассмотрен в разд. 10.2 очень кратко. Такая задача была впервые поставлена в работе [8.8] для непрерывных регуляторов. [c.198]

Если кинетическая энергия вращения спутника существенно больше работы возмущающих сил, то движение на небольшом интервале времени будет близко к невозмущенному. На достаточно большом интервале времени действие малых возмущающих моментов может привести к накоплению возмущений в движении и к постепенной его эволюции. Движение такого типа назовем ротационным. Для эффективного исследования возмущенного вращения спутника наиболее целесообразно применить метод вариации постоянных (аналогичный методу оскулирующих элементов при анализе возмущенных орбит в небесной механике). Постоянные параметры — интегралы невозмущенного движения — в возмущенном движении считаются переменными, и ищутся дифференциальные уравнения, связывающие эти параметры. [c.175]

Анализируя развитие идей принципа максимума в теории систем с распределенными параметрами, следует подчеркнуть особую роль В.И. Плотникова [86 88, 90]. Разработанная им технология получения необходимых и достаточных условий оптимальности оказалась достаточно универсальной. Она в равной мере эффективна в применении к конечномерным системам и к различным типам систем с распределенными параметрами и была доведена автором до создания абстрактного метода вариаций. [c.10]

Наряду с методом малого параметра Пуанкаре (см. 1), известен еще один эффективный прием исследования ветвления решений аналитических систем дифференциальных уравнений он предложен А. М. Ляпуновым в 1894 г. [118] и основывается на изучении уравнений в вариациях известных частных решений. [c.357]

Следует отметить, что положительное решение вопроса о существовании функций.Ляпунова не только обосновало универсальность второго метода Ляпунова, но и позволило развить теорию устойчивости движений по первому приближению, при постоянно действующих возмущениях, при вариациях параметров, при наличии запаздываний и т. п. Это объясняется тем, то наличие функций Ляпунова обычно позволяет доказать сохранение соответствующих свойств при малых изменениях правых частей уравнений (1.1). [c.20]

В первом случае (влияние в малом ) вариации параметров достаточно малы — Ах< Хо, что имеет место при воздействии на изделие дестабилизирующих факторов. Считается, что эти вариа-ц.ии Ах влияют на 5 (х) все вместе независимо и случайным образом. Для оценивания искомого влияния в малом обычно пользуются методами теории чувствительности. Предполагая, что функция состояния 5 (х) — непрерывная и дифференцируемая, разложим ее в линейный ряд Тейлора относительно номинальных зна- ений. Далее, вычитая из полученного ряда функцию номинального состояния и применяя к полученному выражению операцию определения дисперсии О [А5], получим (в относительных единицах) [c.27]

В работе [78] предлагается другой метод (метод II) решения смешанных плоских и пространственных задач теории упругости для слоя переменной высоты. Изложение ведется на примере задачи А. Сущность метода II состоит в том, что сначала рассматривается задача о равновесии упругого слоя, жестко скрепленного с недеформируемым основанием, под действием заданных на его поверхности усилий. Методом вариации границы (в специальной форме) проводится построение функции Грина в виде разложения по степеням параметра е. При этом предполагается, что функцию ш можно представить рядом по степеням параметра 8 вида [c.152]

Программа ТААТ (фиг. 1.23). Программа ТААТ с логикой одновременной вариации двух параметров предназначена для вычисления предельных функций нагрузки в конце срока службы для каждой пары параметров, выдаваемых непосредственно для программы TAATI (фиг. 1.24). Используя при необходимости новые пределы, определенные по программе ОААТ, программа ТААТ проверяет каждую пару параметров в четырех предельных точках. При отказе в одной или более из этих точек параметр отмечается как взаимозависимый. (Нормальное состояние или отказ, а также тип отказа будут указаны в выводимых на печать результатах.) Хотя при использовании этого метода вариации параметров вычисляются также функции нагрузки в конце срока службы, точки, которые бу- [c.54]

Лагранж, вклады которого в небесную механику носили наиболее блестящий характер, написал свой первый мемуар о возмущениях Юпитера и Сатурна в 1766 г. В этой работе он еще дальше развил метод вариации параметров, оставляя, однако, все еще неправильными конечные уравчения тем, что считал большие осп и эпохи прохождения через перигелий как постоянные в выводе уравнений для определения вариаций. Уравнения для наклонности, узла и долготы перигелия от узла были совершенно правильны. В выражениях для средних долгот планет имелись члены, пропорциональные первой и второй степеням времени. Они происходили всецело от несовершенства метола, и их истинная форма есть форма членов долгого периода, как это было показано Лапласом в 1784 г. при [c.374]

Более того, следует помнить, что при использовании метода вариации параметров применение рядов Тейлора было оправдано предположением о малости возмущений первого порядка ДхЙ, и т. д., так что их квадратами, произведениями и более высокими степенями можно пренебречь. Однако наличие вековых членов означает, что полученные ряды обеспечивают достаточную то 1ность только на определенном интервале времени и пе позволяют сделать никакого заключения об устойчивости Солнечной системы. В дальнейшем мы вернемся к этому вопросу. Тем не менее метод вариации параметров общей теории возмущений является очень полезным при определении вариаций орбит планет или искусственных спутников на значительных интервалах времени. [c.206]

Для спутника на орбите с высотой меньше 1600 км эффекты, вызываемые Луной и Солнцем, очень малы, хотя ими нельзя пренебрегать, если из наблюдений спутников требуется получить данные о гармониках высокого порядка потенциала Земли. В числе других исследователей Козаи [8] вывел выражение для возмущающей функции Я, описывающей эффекты притяжения Солнца и Луны, и получил методом вариации параметров изменения кеплеровских элементов орбиты спутника. Выяснилось, что большая полуось не подвержена вековым изменениям. Планеты не оказы вают заметного воздействия на спутник Земли. [c.316]

При наличии нескольких управляющих функций на каждом ин тервале At ищется п параметров оптимизации. Для метода Монте-Карло это означает, что при единичном испытании вырабатывается последовательность псевдослучайных чисел, преобразуемых в случайные наборы yp i, 1= 1,..., п. При покоординатном поиске можно поступать двояко. В одном случае процедура поиска сохраняется неизменной. Тогда вариация параметров оптимизации, например, в сторону возрастания производится в последовательности У , У]п, У2, yin,..., /ml,..., Утп- В другОМ СЛуЧЗе ПОИСК Уp ,.. , Урп на любом интервале At осуществляется методами многомерного поиска, например градиентным. Во всех случаях увеличение числа управляющих функций приводит к увеличению времени поиска. [c.217]

Введение преобразованных систем позволяет реализовать коэффициенты влияния и создать соответствующие аппаратурные методы для отыскания оптимальных параметров системы как в процессе конструирования, так и при реализации процесса самонастройки. Сущность этого направления состоит в физической реализации преобразованной системы, реакция которой на данное возбуждение и представляет собой искомый коэффициент влияния. Другими словами, из двух-трех экземпляров исследуемой цепи, включаемых как основная и преобразованная цепи, составляется общая цепь, функция передачи которой состоит из тех же сомножителей (кроме изображения основного возбуждения), что и изображение коэффициента влияния. Если на вход такой системы подать то же возбуждение, что и для расчетной цепи, то реакция на выходе будет представлять собой функцию времени, соответствующую искомому коэффициенту влияния. Так, на рис. 2 изображена блок-схема для аппаратурного определения коэффициента влияния вариации параметра дфАщ). В обычных электрических цепях такое физическое осуществление преобразованных цепей не вызывает никаких трудностей и сводится только к переключению нескольких шин. [c.83]

К задаче об условиях воз-никновени<][ основного субгармонического резонанса в системе с нелинейной инерционностью и нелинейной упругостью при параметрическом возбуждении гармонической силой в постановке, близкой к задаче, решенной В. В. Болотиным, вновь обратился Р. Грибош [40]. Применяя метод малого параметра и метод вариации постоянных, автор рассмотрел случай произвольной частоты возбуждения и исследовал устойчивость полученных в первом приближении уравнений. [c.10]

Вследствие дисперсии свойств и состава применяемого сырья, вариации параметров технологического процесса, структурной неоднородности асбофрикцион-ных материалов их физико-механические свойства не являются строго детерминированными. При определении физико-механических характеристик асбофрнк-ционных материалов, как правило, наблюдается большой разброс результатов. Разброс показателей зависит также от погрешностей методов испытаний, обусловленных погрешностью контрольно-измерительных приборов, неточностью считывания их показаний, наличием значительных допусков на параметры условий испытаний и другими причинами. Поэтому каждый отдельный результат испытаний или среднее значение, полученное при нескольких испытаниях, в известной мере случайная величина. Для определения таких величин необходимо дополнительно указывать доверительный интервал и доверительную вероятность (коэффициент надежности). [c.167]

Пoвeдeниe системы будем характеризовать ее логарифмическими частотными характеристиками (ЛЧХ). Если ЛЧХ спроектированной и изготовленной системы оказываются в пределах допуска, то система удовлетворяет заданным требованиям. Задача исследования влияния допусков характеристик и конструктивных параметров блоков на работу сервомеханизма сводится к исследованию вариаций его частотных характеристик при вариациях параметров и может быть решена методами теории чувствительности. [c.240]

Процедура В. т. состоит теперь в следующем. Возмущающие силы зависят от f и неизвестных элементов орбиты (О и /(i). Но в первом приближении эти силы можно вычислять при постоянных элементах орбиты, отвечающих зпачепия г оскулирующих элсмсптов при t=0. Иначе говоря, допствит, возмущающие силы можпо заменить теми силами, к-рые действовали бы на тело при движении по первоначальным. эллипсам, удовлетворяющим законам Кеплера. Если в качестве параметров орбиты выбраны оскулирующие элементы, то это хорошее приближение, т. к. их изменение в процессе реального движения является небольшим (пропорциональным возмущающей силе). Далее, ири заданных возмущающих силах можно найти новые элементы орбиты, снова подставить их в возмущающие силы и т. д. Возникает ряд по степеням возмущающих сил, к-рый в случае плапстпой системы является рядом по малой величине отношения масс планет к массе Солнца, Описанная процедура наз, методом вариации постоянных. Аналитически она выглядит след, образом. [c.302]

Наиболее серьезные повреждения и аварии турбомашин, как правило, связаны или с начальными технологическими макродефектами или с трещинами, возникшими на первых стадиях нагружения (в процессе испытаний или при эксплуатации). В соответствии с уравнениями механики разрушения предельные разрушающие нагрузки (для хрупких состояний) связаны степенными функциями с размерами макродефектов (при их возможной вариации в 5—10 раз и более), фактические запасы прочности могут уменьшаться в 1,2—2 раза и более. Поэтому определение фактического состояния дефектов на стадиях изготовления и эксплуатации становится одним из важнейших мероприятий по назначению и уточнению исходного, выработанного и остаточного ресурса. Для выявления дефектов в роторах и корпусах все более широко применяют средства ультразвукового дефектоскопического контроля, позволяющие надежно обнаруживать дефекты с эквивалентным диаметром 3—20 мм при глубине их залегания от 5 до 1200 мм. Перспективны для этих же целей методы контроля параметров акустической эмиссии, использование волоконной оптики, амплитудно-частотного анализа вибраций, аэрозолей, магнитно-порошковой и люминесцентной дефектоскопии, метода электропотенциалов и др. В связи с усовершенствованием средств контроля и использованием механики разрушения в качестве научной основы определения прочности и живучести роторов и корпусов с дефектами меняются последовательность и объем дефектоскопического контроля при изготовлении и эксплуатации роторов, а также повышается роль контроля при испытаниях и перед пуском в эксплуатацию энергоблоков. [c.8]

Таким образом при допустимой вероятности ложного обнаружения Рл т можно определить по ф-ле (2.23) вероятность обнаружения Робн при фиксированных параметрах N, S , Sm, Т, а также построить характеристики эффективности метода обнаружения при широких вариациях параметров Робн, Рл т, с, ш, Т. Формула (2.22а) позволяет выбрать порог приемника при допустимой вероятности ложного обнаружения. [c.72]

Параметры Слзйтера-Кондона и интегралы перекрьшания и коэффициенты разложения (83) и 0/t слегка различны в разных модификациях полузмпирических методов. Все зти величины табулируются для каждой вариации параметры для каждого сорта атомов [c.55]

Если контроль проводится при п значениях обобщенного параметра, то можно составить 2я уравнений, связывающих параметры объекта и сигнала. Если эти уравнения линейно независимы, то они позволяют определить 2п параметров объекта. Обычно эти уравнения считают линейными, что справедливо при малых вариациях параметров объекта (постоянные чувствительности к параметрам объекта). Система уравнений обычно решается аналоговым вычислительным устройством в виде сумгиатора с масштабными коэффициентами на входах. Коэффициенты обычно определяют экспериментально с помощью набора стандартных образцов так, чтобы на выходе сумматора подавить влияние какого-либо фактора. Прп изменении номинальных параметров объекта необходимо полностью перестроить прпбор. Все это ограничивает использование данного метода выделения информации. [c.134]

Общие закономерности свободных колебаний линейных систем в принципе были установлены давно и вытекают из теории линенных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Поэтому исследования, выполненные в последние десятилетия, относились, в сущности, к проблеме адекватной схематизации реальных механических систем, отбора и учета существенных степеней свободы и т. п. Кроме того, получили развитие исследования, касающиеся изменения свойств колебательной системы при вариации параметров, а также при наложении дополнительных связей и присоединении дополнительных масс. В работах ряда авторов существенно развиты методы анализа свободных колебаний линейных систем (об этих работах будет сказано в обзо ре на стр. 167—169). [c.89]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...