Отображение подкова

Определение 15.1.13. Отображение/ [0,1]—> [0,1] называется стандартным отображением (иногда также отображением подковы), если существует такое m N, что [c.495]

Рис. 1.21. Отображение подкова вытягивание, сжатие и складывание после боль-

Рис. 1.21. Отображение подкова вытягивание, сжатие и складывание после большого числа итераций отображения приводят к фрактальной структуре.

Понятие фрактальной размерности связано с обсуждением отображения подкова , приведенным в гл. 1. Мы видели, что в системах с хаотической динамикой области фазового пространства вытягиваются, сжимаются, складываются и отображаются обратно на исходную область. При этом отображении в фазовом пространстве остаются лакуны. Это значит, что орбиты стремятся заполнить менее чем целое подпространство фазового пространства. Фрактальная размерность — мера степени заполнения орбитой определенного подпространства, и нецелая размерность — визитная карточка странного аттрактора. Имеется много определений фрактальной размерности, но основное следует из процедуры подсчета числа сфер N размера е, необходимых для покрытия орбиты в фазовом пространстве. Функция N (в) существенным образом зависит от подпространства данной орбиты. Если эта орбита перио- [c.72]

Как мы убедились в гл. 1 на примере отображения подкова (см. рис. 1.21) или логистического уравнения О-З.б), хаотическая природа динамических процессов лучше всего выявляется с помощью сечения Пуанкаре непрерывного временного потока в фазовом пространстве. Однако большинство дифференциальных уравнений, моделирующих физические системы, нельзя решить аналитически. Исключением из этого правила является класс задач с импульсными силами, крутящими моментами или напряжениями. В обсуждаемом здесь примере рассматривается ротатор с моментом инерции J и затуханием с, на который действует как постоянный крутящий момент ug, так и периодическая серия импульсных толчков (см. также [169]). Уравнение движения, описывающее изменение [c.88]

Двумя другими примерами множеств, для которых удается точно вычислить фрактальную размерность, служат множества, возникающие при отображении подкова и преобразовании пекаря. [c.218]

В качестве примера, к которому может быть применена сформулированная и доказанная теорема, можно взять отображение рис, 7.54, Отображение, соответствующее этому рис. 7.54, получило название подковы Смейла [27]. Смейл [521 обратил внимание на наличие у такого отображения бесконечного множества различных седловых неподвижных точек, а также на то, что эти неподвижные точки [c.311]

Ph . 52. Подкова Смейла для отображения Ре + (сверху). Окрестность точки Р и ее прообраз при е=0 и е<0 (снизу) [c.144]

Наконец, строгая линейность отображений на компонентах пересечения не является необходимой. Например, любое С -малое возмущение отображения, описанного выше, по-прежнему дает инвариантное множество, на котором оно топологически эквивалентно топологической цепи Маркова — это специальный случай теоремы 18.2.1 (о структурной устойчивости). Более общие достаточные условия существования нелинейной подковы будут установлены в 6.5 (см. определение 6.5.2 и теорему 6.5,5). Глубокий пример применения нелинейных подков в общей структурной теории гладких динамических систем — теорема Д.5.9 из добавления и ее следствия. [c.96]

Весьма естественен вопрос об условиях единственности такой меры. Очевидно, можно брать объединение нескольких непересекающихся копий одной и той же разделяющей системы, которое представляет собой разделяющую систему, или объединение нескольких различных систем с одинаковой энтропией, и по второму утверждению предложения 3.1.7 и второму утверждению предложения 4.3.16 мера с максимальной энтропией тогда не будет единственной. Не помогает и добавление условия топологической транзитивности (упражнение 4.5.2). Однако, как мы увидим в 20.1, для большого естественного класса разделяющих динамических систем, который, в частности, включает все транзитивные топологические цепи Маркова, гиперболические автоморфизмы тора, подковы, растягивающие отображения и т д, инвариантная мера с максимальной энтропией единственна. [c.191]

Покажите, что инвариантное множество Л в подкове из п, 2.5 в содержит совершенное подмножество, на котором наше отображение минимально. Выведите отсюда, что периодические точки, существование которых гарантирует лемма Аносова о замыкании (теорема 6.4.15), могут не принадлежать гиперболическому множеству. [c.278]

В п. 2.5 в мы ограничились только линейными двумерными подковами они возникали при рассмотрении пересечения образа /(Д) прямоугольника Д под действием диффеоморфизма / с самим множеством Д в предположении, что / — аффинное гиперболическое отображение на каждой компоненте связности множества Дп/ (Д). Теперь мы определим подковы более высоких размерностей и порожденные нелинейными отображениями. Из этого определения будет ясно, что конструкция кодирования из п. 2.5 в переносится на наш случай дословно. [c.279]

Доказательство. Пусть д является трансверсальной гомоклинической точкой и Л — подмножество подковы, инвариантное относительно итерации /" отображения / и такое, что /" д изоморфно полному 2-сдвигу. Тогда / (д) Л для некоторого т N. Так как периодические точки плотны в Л по предложению 1.9.1, / (д), а следовательно, и сама точка д содержатся в замыкании множества периодических точек. [c.283]

В просто малоразмерной ситуации могут наблюдаться явления, характерные для общих динамических систем, например экспоненциальный рост числа периодических точек, положительность топологической энтропии (определение 3.1.3), нетривиальные гиперболические множества (определение 6.4.2) и присутствие большого количества инвариантных мер. Гладкие примеры из нашей второй группы, т. е. растягивающие отображения из 1.7, квадратичные отображения и двумерные подковы из 2.5 и гиперболические автоморфизмы двумерного тора ( 1.8) — представители этой категории. Имеются, однако, два различия между системами малых размерностей и ситуацией в динамике в целом. В первом случае некоторые сложные динамические явления появляются в упрощенной форме сравните, например, конструкцию марковского разбиения на параллелограммы для гиперболического автоморфизма двумерного тора, описанную в 2.5, с об- [c.388]

Определение 15.1.10. Пусть J с К — отрезок, отображение / /-+К непрерывно и а<с<Ь 1. Мы говорим, что отрезок [а, 6] — подкова для /, если [а, 6] с /([а, с]) П /([с, 6]). [c.495]

Кроме того, мы можем заключить, что некоторая степень отображения с положительной топологической энтропией обладает подковой (см. определение 15.1.10). [c.497]

Следствие 15.2.3. Предположим, что f—непрерывное отображение интервала и /i ,p(/)>0. Тогда существует такое к N, что / обладает подковой. [c.497]

Интересно отметить, что подобный факт имеет место и для ( диффеоморфизмов двумерных многообразий а именно, по следствию Д.5.10 любой такой диффеоморфизм обладает инвариантным гиперболическим множеством типа подковы, энтропия которого аппроксимирует топологическую энтропию сколь угодно хорошо, в отличие от одномерного случая это не топологический факт. Например, Мэри Рис привела пример минимального гомеоморфизма двумерного тора с положительной топологической энтропией [ ]. Та роль, которую играла теорема о промежуточном значении, в двумерном сл) ае принадлежит гиперболичности. Гиперболичность устанавливается с помощью неравенства Рюэля (теорема Д.2.13), которое утверждает, что из положительности топологической энтропии следует наличие некоторого экспоненциального разбегания орбит в линеаризованной системе. Подобный факт также имеет место для голоморфных отображений сферы Римана и для голоморфных диффеоморфизмов комплексных двумерных поверхностей. В обоих случаях гиперболичность используется. В первом случае мы можем воспользоваться гиперболичностью благодаря конформности самого [c.500]

Таким образом, для х < с на отрезке [а , с] найдутся точки и из множества 5,, и из следовательно, (а , с) П Р1х / 0. С помощью этого факта мы построим подкову для некоторой степени нашего отображения, что приведет к противоречию, доказывающему лемму 15.4.3. Выберем х е (р, с) П 3, Р е (х, с) П Р1х(/). В силу топологической транзитивности существуют такая точка у е (р, а ) и такое Л" М, что / (у) [Д с]. Поскольку /(р) р и по непрерывности существует такое число а (р, а ), что / (а) = /3, мы имеем /" а) = 13 для п JV. По топологической транзитивности существуют также такие -у е а, Р) и п, что /"(7) < а. Таким образом, отрезок [о, /3] С /"([а, 7]) П / ([7) 13]) является подковой для /". [c.510]

Таким образом, мы показали, что ае S, ,. Проверим, что это предположение также приводит к появлению подковы для некоторой степени /. По определению а имеется возрастающая последовательность ii —> а, ii е S, и ii < /(ги ) е 5q и S,. Из того факта, что а е Sg, следует, что а sup S,, и потому /(ги ) а для всех п. Так как множество [ ) , a]nS не может быть инвариантным, существует такая последовательность е (u , а) П S,, что f(z ) > а. По непрерывности /(г ) —> /(а) = а, так что имеется такое k gN, что J = Z2 < = 0 <а. Если m е N таково, что f z ) < /(7), то мы можем без потери общности считать, что z находится на плотной орбите отображения /fg (z определяется открытым условием). Таким образом, существует число такое NeN, что f (z ) < lUj = а и [а, f z )] С /([а, 7])П/([7 Р])-Но тогда [а, / ] С [/ ( ), а] С /"([а, 7]) П /"([7, /3 ) — подкова для /". [c.511]

Следствие Д5.10. Для отображения f и меры fi, удовлетворяющих условию теоремы Д 5.9, существует такая последовательность f-инвариантных мер с носителями на гиперболических подковах Л , что [c.690]

Заметим, что при (3 = 0 мы возвращаемся к квадратичному отображению. При I (3 I < 1 отображение уменьшает площади в плоскости ху. Кроме того, оно вытягивает и изгибает области на фазовой плоскости, как это показано на рис. 1.20. В результате этого растяжения, сжатия и изгиба или складывания областей фазового пространства получаются области, напоминающие подкову. Последовательные итерации таких отображений типа подковы приводят к появлению в фазовом пространстве сложных орбит, потере информации о начальных условиях и хаотическому поведению. [c.37]

ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ ТИПА ПОДКОВЫ [c.178]

Критерий гомоклинической траектории является математич . ским приемом получения прогностического соотнощения между безразмерными фуппами переменных физической системы. Он да ет необходимое, но недостаточное условие возникновения хаоса. Критерий гомоклинической траектории может также порождать необходимое и достаточное условие предсказуемости поведения дв> намической системы (см. разд. 6.3 — Фрактальные фаницы области притяжения ). Если отбросить его сложную, несколько таинственную математическую инфраструктуру, то по существу речь идет о методе, позволяющем определить, обладает ли модель в форме обыкновенных дифференциальных уравнений или дифференциальных уравнений в частных производных свойствами отображения типа подковы или преобразования пекаря. [c.178]

Докажите следующую полулокальную версию С -структурной устойчивости для отображения подковы / Л—описанного в 2.5 пусть д А—>Ж —любое отображение, достаточно близкое к / в С -топологии. Тогда существует такое инъективное непрерывное отображение Л = Л— Л, что д°Ь, =Н о/. Естественно, в этом случае = Л (Л) — замкнутое д-инвариантное множество и топологически сопряжено с бернуллиевским сдвигом 02. [c.102]

Метод кодирования, который мы впервые использовали в доказательстве топологической сопряженности произвольного растягивающего отображения окружности с линейным отображением той же степени (теорема 2.4.6). Мы применяли этот метод еще три раза в полулокальной ситуации в пп. 2.5 б, 2.5 в, при построении топологического сопряжения полного 2-сдвига с квадратичным отображением и отображением подковы на их инвариантных подмножествах и, наконец, в п. 2.5 г когда мы установили наличие полусопряженности топологической цепи Маркова с автоморфизмом тора. Этот метод очень эффективен в применениях к глобальным и полулокальным гиперболическим проблемам, т. е. к случаям, когда близлежащие орбиты расходятся с экспоненциальной скоростью, как это имеет место в упомянутых примерах (см. гл. 6, особенно определения 6.4.1 и 6.4.2). Одна из главных особенностей этого метода — его непосредственный характер. В частности, он не требует рассмотрения вспомогательного пространства кандидатов в сопряжения. С другой стороны, этот метод применим только к проблеме топологической (но не гладкой) сопряженности и полусопряженности. Метод особенно эффективен в ситуации малых размерностей, где он нередко работает без предположений гиперболичности (см. 14.5, 14.6, 15.4). [c.103]

Подкова Смейла является нростеСиним примером такого рода, аналогичные ей примеры точечных отображений представлены на рис. 7,60 и могут быть легко продолжены. [c.312]

Поясним механизм возникновения счетного числа периодических. траекторий при п = 3. В этом случае отображение последования, соответствующее гомоклинической траектории при нулевом значении параметра, уже изучено в п. 5.4 его образ и. прообраз изображены на рис. 48 е. Ограничение отображения последования на криволинейный четырехугольник при достаточно большом k представляет собой подкову Смейла число таких подков счетно. Для любого натурального N при достаточно близком к нулевому значении параметра отображение по- [c.137]

Значительную известность получило гиперболическое точечное отображение, названное впоследствии подковой Смейла , которое является структурно устойчивым (грубьш) и одновременно имеет бесконечное множество различных седловых (не-устЬйчивых) неподвижных точек. [c.85]

Ситуация 3. Подкова Смейла. Подковой Смейла называется отображение Т, преобразующее прямоугольную полосу аЪсд, в подковообразно изогнутую полосу Отображение прямоугольной полосы аЪсй в подкову аЪЫ получается сжатием пря- [c.142]

Пусть А — прямоугольник в и пусть / А — — такой диффеоморфизм Д на его образ, что пересечение Д П /(Д) состоит из двух горизонтальных прямоугольников Д<, и Д) и ограничение отображения / на компоненты Д С/" (Д), i =0, 1, множества / (А) есть гиперболическое аффинное отображение, сжимающее в вертикальном направлении и растягивающее в горизонтальном направлении. Это означает, что множества Д и Д являются вертикальными прямоугольниками. Один из самых простых способов достичь такого эффекта состоит в том, чтобы согнуть Д в подкову , или, если угодно, придать ему форму постоетного магнита (рис. 2.5.2), хотя при этом возникают некоторые неудобства, связанные с ориентацией. [c.94]

Теорема 6.5.5. Пусть М представляет собой гладкое многообразие, множество U С М открыто, отображение f U- M является вложением upeU — гиперболическая неподвижная точка с соответствующей ей трансверсальной гомоклинической точкой д. Тогда в произвольно малой окрестности точки р существует подкова для некоторой итерации отображения /. Кроме того, гиперболическое инвариантное подмножество этой подковы содержит некоторую итерацию д. [c.282]

Наш следующий результат описывает отображения интервала с нулевой топологической энтропией в терминах инвариантных мер. В определенной степени этот результат может рассматриваться как аналог классификации гомеоморфизмов окружности с иррациональным числом вращения с точностью до метрического изоморфизма (теорема 11.2.9). Их топологическая энтропия также равна нулю, и повороты образуют полную систему моделей для классификации гомеоморфизмов в измеримой категории, а также с точностью до полусопряженности. Мы покажем, что для необратимых отображений интервала имеется лишь одно модельное отображение с неатомарной мерой и нулевой энтропией. Важным ингридиентом нашего доказательства служит то наблюдение, что по следствию 15.1.11 подковы являются источниками положительной топологической энтропии. Этот факт будет неоднократно использоваться, чтобы исключить различные осложнения в комбинаторной структуре орбит. Мы начнем с описания стандартной модели таких отображений, которая впервые появилась в упражнении 1.3.3. [c.508]

Мы встречались с понятием марковского разбиения неоднократно при рассмотрении кодирования для растягивающих отображений (п. 2.4 б), при изучении множеств типа подковы для квадратичных отображений (п. 2.5 б) и подковы Смейла (п. 2.5 в), при исследовании гиперболического автоморфизма тора (п. 2.5 г), гиперболических отталкивающих множеств для общих одномерных систем (теорема 16.1.1) и аттрактора Смейла ( 17.1). Во всех этих примерах марковские разбиения дают либо сопряжение с топологической цепью Маркова, либо полусопряжение, которые описываются весьма элементарным образом. Оказывается, это явление представляет собой феномен, характерный для малых размерностей и возникающий благодаря тому факту, что граница каждого из упомянутых множеств представляет собой конечное объединение отрезков устойчивых и неустойчивых многообразий. Уже для гиперболического автомтфизма тора Т необходимо определять элементы разбиения таким способом, чтобы граница содержала несчетное множество отрезков устойчивых или неустойчивых многообразий. Таким образом, геометрическая структура марковских разбиений в высших размерностях оказывается гораздо более сложной. Однако возможность рассматривать марковские разбиения существует, и с помощью этих разбиений мы сможем установить достаточно хорошее соответствие между марковской моделью и компактным локально максимальным гиперболическим множеством Л. [c.593]

Тогда отображение f" / сопряжено топологическому сдвигу Бернулли с ard V символами. Теперь заметим, что для каждого у К орбита остается в объединении регулярных окрестностей R(x ),. .R f lx )), так что —гиперболическая подкова. [c.691]

ОТОБРАЖЕНИЕ ЭНОНА И ПОДКОВА [c.37]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...