Симплектическая структура на многообразии

Симплектическая структура на многообразии — это замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма на нем. Фазовые пространства механических систем имеют естественные симплектические структуры. [c.175]

Симплектическая структура на многообразии [c.175]

Симплектическая структура на многообразии есть замкнутая невырожденная 2-форма (называемая также симплектической формой). [c.6]

Пусть N — пространство положений натуральной системы, XI,..., Хп — локальные координаты на Л , а у I,..., — импульсы. Координаты х,у являются каноническими на Т М, и в этих переменных симплектическая структура П имеет стандартный вид П = с1у А х,. Рассмотрим дополнительно некоторую замкнутую 2-форму на Л Г = Гу х)(1х Л (формой гироскопических сил. Сумма двух форм П-ьГ определяет новую симплектическую структуру на пространстве кокасательного расслоения многообразия N. Если Я — некоторая функция на Т М, то пара (П -Ь Г, Я) задает некоторую гамильтонову систему с гамильтонианом Я эту систему назовем системой с гироскопическими силами. Ясно, что наличие гироскопических сил не изменяет полной энергии Я. К форме П -Ь Г можно применить теорему Дарбу и представить ее в каноническом виде. Для этого, пользуясь замкнутостью формы Г, запишем локально Г = Г, Г = Гк х)(1хк. Тогда в переменных х,у имеем П -Ь Г = 2<1у Л (1х -Ь 2 Л Х = (1 у -Ь Г ) Л Х . Следовательно, переменные х, у, определяемые равенствами = х , У к — Ук + Рк х, ..., х ) 1 к п) будут каноническими координатами для новой симплектической структуры. В новых переменных уравнения Гамильтона имеют канонический вид с функцией Гамильтона Я(х, г/ - Г) = Н х,у). [c.24]

В. Гамильтоновы векторные поля. Риманова структура на многообразии устанавливает изоморфизм между пространствами касательных векторов и 1-форм. Симплектическая структура также устанавливает подобный изоморфизм. [c.177]

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ [c.308]

Построение симплектической структуры на алгебраическом многообразии основано на том, что само комплексное проективное пространство имеет замечательную симплектическую структуру, д именно мнимую часть его эрмитовой структуры. [c.308]

Следующие примеры симплектических структур на пространствах многочленов очень важны, поскольку они дают нам полезные нормальные формы особенностей лагранжевых и лежандровых многообразий. [c.10]

Пример 5. Рассмотрим типичную 2-мерную ориентированную поверхность в симплектическом многообразии (большей размерности). Ограничение симплектической структуры на поверхность есть 2-форма /г, где г — (некоторый) элемент площади и / — гладкая функция. [c.16]

Определение 1. Лагранжевым подмногообразием симплектического многообразия называется подмногообразие наибольшей размерности, ограничение симплектической структуры на которое равно нулю. [c.22]

В статье рассматривается применение теории дифференцируемых многообразий к лагранжевой динамике. В статье [8] автора рассмотрены необходимые математические понятия и операции. Введение фундаментальной формы на касательном расслоенном пространстве задает на нем симплектическую структуру и позволяет задать лагранжеву динамическую систему, соответствующую голономной склерономной механической системе, как векторное поле на касательном расслоенном пространстве. [c.69]

Оказывается, теорему Ли, в свою очередь, можно вывести из теоремы 1. Для этого воспользуемся конструкцией Лиувилля, позволяющей включить фазовый поток динамической системы (3.1) в фазовый поток гамильтоновой системы удвоенной размерности. Пусть и — поле на г-мерном многообразии N = ж . Поставим ему в соответствие функцию F = у и х) [у е T N), определенную на кокасательном расслоении М = T N, снабженном естественной симплектической структурой. Координаты У, ...,Уп — частные интегралы гамильтоновой системы [c.83]

На симплектическом многообразии, как и на римановом, имеется естественный изоморфизм между векторными полями и 1-формами. Векторное поле на симплектическом многообразии, соответствующее дифференциалу функции, называется гамильтоновым векторным полем. Векторное поле на многообразии задает фазовый поток однопараметрическую группу диффеоморфизмов. Фазовый поток гамильтонова векторного поля на симплектическом многообразии сохраняет симплектическую структуру фазового пространства. [c.175]

Здесь определены симплектические многообразия, гамильтоновы векторные поля на них и стандартная симплектическая структура в кокасательном расслоении. [c.175]

Определение. Атлас многообразия называется симплектическим, если в координатном пространстве = р, дг)) введена стандартная симплектическая структура со = Д и переход с одной карты на другую осуществляется каноническим (т. е. сохраняющим со ) преобразованием ) фТ /. [c.201]

Т е о р е м а. Дифференциальная форма задает на многообразии М симплектическую структуру. [c.312]

Совместные многообразия уровня этих первых интегралов в фазовом пространстве являются инвариантными многообразиями фазового потока. Подгруппа группы симметрий, оставляющая такое инвариантное многообразие на месте, действует на нем. Во многих случаях можно рассматривать фактор-многообразие инвариантного многообразия по зтой подгруппе. Это фактор-многообразие называется приведенным фазовым пространством. Приведенное фазовое пространство имеет естественную симплектическую структуру. Исходная гамильтонова динамическая система задает на нем снова гамильтонову систему. [c.337]

Пример. Пусть V — гладкое многообразие, С — некоторая группа Ли, действующая на V как группа диффеоморфизмов. Пусть М = Т У — кокасательное расслоение многообразия V с обычной симплектической структурой 0 = йа. Функции Гамильтона однопараметрических групп определим как указано выше [c.339]

Рассмотрим теперь тг-мерное конфигурационное многообразие соответствующее 2тг-мерное фазовое пространство и в нем тг-мерное лагранжево подмногообразие (т. е. тг-мерное подмногообразие, на котором 2-форма, задающая симплектическую структуру фазового пространства, равна тождественно нулю). [c.417]

Отображение, сопоставляющее вектору прямую, на которой он лежит, переводит указанное подмногообразие коразмерности 3 в многообразие касательных прямых гиперповерхности. При этом отображении характеристики переходят в характеристики (по определению симплектической структуры пространства прямых). Это доказывает лемму. [c.439]

Интегральные кривые поля характеристических направлений на гиперповерхности называются ее характеристиками. Многообразие характеристик наследует из исходного многообразия симплектическую структуру. [c.447]

Симплектические многообразия. Пусть — многообразие четной размерности 2 п. Симплектическая структура на определяется заданием невырожденной замкнутой дифференциальной формы (оеЛ (Л1) степени 2 и класса 2 п. Пара со) называется симплектн- [c.54]

Рассматриваются математические понятия и операции на дифференцируемых многообразиях, необходимые для применения теории дефференцируемых многоообразий к лагранжевой динамике. Построение второго касательного расслоения и введение на нем специального дифференциального исчисления, предложенного Ж. Клейном, позволяет ввести симплектическую структуру на касательном расслоении конфигурационного пространства механической системы. [c.123]

Рассматривается применение теории дифференцируемых многообразий к лагранжевой механике. Введение симплектической структуры на касательном расслоении конфигурационного пространства позволяет задать лагранжеву динамическую систему, соответствующую голономной склерономной механической системе как векторное пол з на касательном расслоенном пространстве. Обобщение этих понятий на более сложныс неголономные системы, требующее ряда дополнительных построений, составляет основное содержание статьи. [c.127]

Гамильтонова механическая система задается четномерным многообразием ( фазовым пространством ), симплектической структурой на нем ( интегральным инвариантом Пуанкаре ) и функцией на нем ( функцией Гамильтона ). Каждая однопараметрическая группа симплектических диффеоморфизмов фазового пространства, сохраняющих функцию Гамильтона, связана с первым интегралом уравнений движения. [c.142]

В. Симплектические структуры проективных алгебраических многообразий. Мы получаем теперь симплектическую структуру на любом комплексном подмногообразии М комплексного проективного пространства. А именно, пусть / М СР — вложение комплексного лшогообразия М в комплексное проективное пространство. Риманова, эрмитова и симплектическая структуры на проективном пространстве индуцируют на М соответствующие структуры. Например, симплектическая структура на М задается формулой [c.312]

Можно предполагать, что и другие пуассоновы (в частности, симплектические) структуры на базах версальных деформаций особенностей, индуцированные из формы пересечений инфинитези-мально устойчивыми отображениями периодов, определяются естественными условиями на ранги ограничения пуассоновой структуры на страты дискриминанта (с точностью до сохраняющих бифуркационное множество диффеоморфизмов). Естественное условие в разобранном выше трехмерном примере состоит в том, что линия самопересечения ласточкина хвоста лежит в симплектическом слое. В четырехмерном пространстве аналогичную роль, видимо, играет условие лагранжевости многообразия многочленов с двумя критическими точками с критическим значением нуль в симплектическом пространстве многочленов ж 4- -Ь -Ь + ЯдЖ -Ь Я4. [c.434]

Б. Подмногообразия симплектического многообразия. Ограничение симплектической структуры на подмногообразие — замкнутая 2-форма, но она уже не обязательно невырождена. В евклидовом пространстве, кроме внутренней геометрии подмногообразий, имеется обширная теория внешних кривизн. В симплектической геометрии положение нрош,е [c.448]

Симплектическая структура кокасательного расслоения Т М определяется исключительно гладкой структурой многообразия N. Вначале мы определим замечательную 1-форму (о = =р-(1д — значение ковектора р Т М на касательном векторе g T,N. В координатах р<, (1<1<п) эта форма имеет вид i Pidgi. Симплектическая структура на М задается 2-формой = (0, которая замкнута и невырождена. [c.34]

Предложение 3. Ограничение скобки , на Л с зада- т симплектическую структуру , причем многообразия (Мс, < ) ) и (N , о ) симплектически диффеоморфны. [c.109]

Многочлены такого вида, имеющие вещественный корень кратности 3, образуют (особую) поверхность в симплектическом 4-пространстве (рис. 10). Эта поверхность (называемая раскрытпьш ластпочкиньш хвостом) является лагранжевым многообразием, то есть симплектическал структура на этой поверхности равна нулю. [c.12]

Пример 7. Рассмотрим четырёхмерное подмногообразие симплектического многообразия размерности 6 (или выше). Точки вырождения (ограничения симплектической структуры на подмногообразие) образуют гладкую гиперповерхность вырождения размерности 3 на четырёхмерном подмногообразии общего положения. Ранг этого вырождения для подмногообразия общего положения равен двум в точках этой [c.17]

Упражнение 2. (Полный) флаг подмногообразий многообразия М есть последовательность подмногообразий Mq С Mi С. .. С Mjv = М, dim Mi — i. Флаг подмногообразий симплекти ческого пространства называется флагом постоянного ранга, если ранг ограничения симплектической структуры на любое М, постоянен вдоль Mi. [c.22]

Проекция контактного многообразия (вдоль интегральных кривых этого поля ядер) определяет симплектическую структуру на чётномерном пространстве интегральных кривых (образ формы а). [c.247]

Имеется еще один распространенный вариант определения симплектической структуры и гамильтоновой системы. Исходным пунктом здесь является замкнутая невырожденная 2-форма П на четномерном многообразии М. Форма П позволяет построить естественный изоморфизм касательного Т М и кокасательного Т М пространств вектору Т М ставится в соответствие ковектор [c.22]

Задача о представимости динамической системы в виде уравнений Гамильтона включает отыскание двух объектов функции Гамильтона и подходящей симплектической структуры. Оказывается, в малой окрестности каждой неособой точки динамическая система на четномерном многообразии является гамильтоновой. Это вытекает из теоремы о выпрямлении фазовых траекторий в подходящих локальных координатах уравнения приводятся к виду [c.61]

А. Эрмитова структура комплексного проективного простран--ства. Напомню, что п-мерное коьшлексное проективное пространство СР" — это многообразие всех проходящих через точку О комплексных прямых в п + 1-мерном комплексном линейном пространстве Чтобы построить на комплексном проективном пространстве СР симплектическую структуру, мы используем эрмитову структуру в соответствующем линейном пространстве [c.309]

На нечетномерном многообразии не может быть симплектической структуры. Аналогом симплектической структуры для нечетномерных многообразий является несколько менее симметричная, но тоже весьма замечательная структура — контактная. [c.314]

Источником симплектических структур в механике являются фазовые пространства (т. е. кокасательные расслоения к конфигурационным многообразиям), на которых всегда есть каноническая симплектическая структура. Источником контактных структур являются многообразия контактных элементов конфихурацион-ных пространств. [c.314]

Доказательство. Сиьшлектизация 2п — 1-мерного многообразия всех контактных элементов на и-мерном гладком многообразии, построенная по полю 2п — 2-мерных контактных плоскостей, есть по построению пространство кокасательного расслоения исходного и-мерного многообразия без нулевых кокасательных векторов. Каноническая 1-форма а на симплектизации есть, согласно ее определению, та самая 1-форма на кокасательном расслоении, которую мы назвали р д и которая лежит в основе гаьшльтоновой механики (см. 37). Ее производная йа. есть, следовательно, форма айр Д йд , задающая обычную симплектическую структуру фазового пространства. Стало быть, форма йа не вырождена. Значит, по предыдущему замечанию, поле контактных гиперплоскостей не вырождено. Следствие доказано. [c.325]

На приведенном фазовом пространстве Рр имеется естественная симплектическая структура. А именно, рассмотрим какие-либо два вектора , ц, касательных к Рр ь точке /. Точка / является одной из орбит группы Ср на многообразии Мр. Пусть х — одна из точек этой орбиты. Векторы и т), касательные к Рр, получаются из некоторых векторов т), касательных к Мр в точке X, при проекщ1и п Мр Рр. [c.342]

Наряду с классической скобкой Пуассона функций, встречаются более общие скобки (вырождающиеся). Типичный пример — скобка Пуассона функций от компонент М вектора кинетического момента, Р,С = дР дМ1) (дС дМ ) М1, М] . Такие вырожденные скобки можно рассматривать как семейства обычных скобок Пуассона функций на семействах силшлектических многообразий. Однако эти семейства, вообще говоря, имеют особенности (не являются расслоениями) они состоят из симплектических многообразий (листов) разных размерностей, соединенных менаду собой условием гладкости заданной вырожденными скобками пуассоновой структуры на пространстве — объединении. (В описанном выше примере листы — концентрические сферы и их центр.) [c.422]

Замечание. Проведенное рассуждение легко обобщается на следующую общую ситуацию, впервые рассмотренную Мель-розом. Пусть , X — пара гиперповерхностей в симплектическом многообразии X, трансверсально пересекающихся по подмногообразию Ш. Рассмотрим многообразия характеристик В н С гиперповерхностей У и 2 вместе с каноническими расслоениями на характеристики, У В ж 2 С многообразия В ж С наследуют из X симплектические структуры. [c.439]

Рассмотрим пространство бинарных форм (однородных многочленов от двух переменных) нечетной степени. На этом четномерном линейном пространстве действует группа линейных преобразований плоскости. С точностью до множителя существует ровно одна невырожденная кососимметрическая билинейная форма на этом пространстве, инвариантная относительно действия группы 8Ь(2) линейных преобразований с определителем единица. Эта форма задает на многообразии бинарных форм нечетной степени естественную симплектическую структуру. [c.447]

Теорема (А. Б. Гивенталь, 1981). Росток подмногообразия симплектического многообразия определяется ограничением на него симплектической структуры с точностью до симплектического диффеоморфизма. [c.448]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...