Действие группы Ли на многообразии

A. Пуассоновские действия групп Ли. Рассмотрим симплектическое многообразие (М , о ), и пусть группа Ли G действует на нем как группа симплектических диффеоморфизмов. Каждая однопараметрическая подгруппа группы G действует тогда как локально-гамильтонов фазовый поток на М. Во многих важных случаях эти потоки имеют однозначные функции Гамильтона. [c.338]

Теперь мы предположим, что задано такое симплектическое действие группы Ли С на связном симплектическом многообразии М, что каждому элементу а алгебры Ли группы С соответствует однопараметрическая группа симплектических диффеоморфизмов с однозначным гамильтонианом Н . Эти гамильтонианы определены с точностью до постоянных слагаемых, которые можно выбрать так, чтобы зависимость Н от а была линейной. Для этого достаточно как угодно выбрать константы в функциях Гамильтона для каких-нибудь базисных векторов алгебры Ли группы С и затем определить функцию Гамильтона для любого элемента алгебры как линейную комбинацию базисных. [c.338]

Определение. Действие связной группы Ли на симплектическом многообразии называется пуассоновским, если функции Гамильтона для однопараметрических групп однозначны и выбраны так, что функция Гамильтона линейно зависит от элемента алгебры Ли и функция Гамильтона коммутатора равна скобке Пуассона функций Гамильтона [c.339]

Напомним, что модальностью точки многообразия, на котором действует группа Ли, называется наименьшее из чисел т,. таких что любая достаточно малая окрестность этой точки пересекается лишь с конечным числом т-параметрических семейств орбит действия группы. Так, точки модальности О — этО в точности простые. Точки модальности 1 и 2 называются соответственно уни- и бимодальными. [c.12]

Пусть на многообразии М действует группа Ли G. Две деформации Fi и р2 одного и того же элемента f с общей базой Л называются эквивалентными, если существует такая деформация g (Л, 0)- -(G, е) единицы группы что [c.14]

Пример. Пусть V — гладкое многообразие, G — какая-либо группа Ли его диффеоморфизмов. Каждый диффеоморфизм переводит 1-формы на V в 1-формы. Поэтому группа G действует на кокасательном расслоении М = = T V. [c.338]

Пример. Пусть V — гладкое многообразие, С — некоторая группа Ли, действующая на V как группа диффеоморфизмов. Пусть М = Т У — кокасательное расслоение многообразия V с обычной симплектической структурой 0 = йа. Функции Гамильтона однопараметрических групп определим как указано выше [c.339]

Пример. Пусть V — гладкое многообразие, С — группа Ли, действующая на V как группа диффеоморфизмов, М = Т У — кокасательное расслоение, На — функция Гамильтона пуассоновского действия С на М, построенная выше (см. (1)). [c.340]

Пример 9. Пусть N — гладкое многообразие и О — группа Ли, действующая на N. Продолжим действие С на до симплектического действия О на Т М как указано в примере 8. Построенное действие пуассоновское. Это вытекает из линейности функции р-Ух и следующей формулы p Vx, р-иу = [c.98]

Пусть G — группа Ли, действующая на многообразии М, f — точка из М. [c.16]

Пример. Пусть -многообразие четверок прямых, проходящих через начало координат в С . Группа Ли GL(3, С) действует на С , следовательно, и на многообразии М. Это действие транзитивно на множестве четверок прямых, не лежащих в одной плоскости. Поэтому точка многообразия М, соответствующая такой четверке общего положения, имеет модальность 0. Четверка различных прямых, лежащих в одной плоскости, имеет модальность 1, т. к. для нее имеется инвариант действия группы двойное отношение четырех касательных. [c.17]

Действие группы Ли на многообразии. Здесь мы приводим определения нереальной деформации, трансверсали к орбите, модальности в конечномерной ситуации действия конечномерной группы Ли на гладком многообразии. В следующих пунктах мы перенесем эти понятия на случай конечнократной критической точки. Общие определения для особенностей отображений будут приведены в гл. 3. [c.16]

Уравнения движения обобщенного проводящего тяжелого волчка в магнитном поле (о, п. т. в.). Класс уравнений о. п. т. в. включает уравнения свободной конвекции идеально проводящей слабо неоднородной идеальной жидкости. Конфигурационное пространство о. п. т. в.—группа Ли О с правоинвариантной метрикой, определяемой кинетической энергией 27 (со) (со-угловая скорость в пространстве, аналогичная эйлеровой скорости жидкости). Потенциальная энергия о. п. т. в. определяется по действию / группы О на многообразии Ы, потенциалу Ф в пространстве, заданному на М, плотности р(д ) в теле — функции на М, связанной с отмеченными частицами (см. п. 1). Магнитная энергия о. п. т. в. определяется с помощью вектора Л алгебры Ли д (Л —напряженность магнитного поля в теле, см. п. 5). [c.329]

Ур-ние Эйлера (для твёрдого тела). Если действие группы Ли G на С. м. М сохраняет симплектич. структуру, то алгебра М G-иввариантных ф-ций ва М замкнута относительно скобки Пуассона. Рассматривая М как алгебру ф-цнй на многообразия А, получаем разбиение А на симплектич. слои, а также проекцию М -> А, сохраняющую скобки Пуассона. На этой конструкции основано понижение порядка симметричных гамильтоновых систем траектории на М б-инвариант-ного поля Проектируются в траектории гамильтонова потока на слоях в. 4 с гамильтонианом И . Таким способом возникает, напр., ур-ние Эйлера, т = [тш], описывающее эволюцию вектора момента импульса во внутр. координатах твёрдого тела при его свободном вращении. Здесь G — группа вращений М = T G — её кокасательное расслоение, действие G на М зада-ётся сдвигами на группе, а проекция М А = MiG совпадает с отображением момента T G —> ф в двой- [c.522]

Теорема 11. Пусть задано пуассоновское действие группы Ли G на симплектнческом многообразии (М, такое, что G сохраняет функцию Н и подмногообразие N. Тогда момент Рв принимает постоянное значение на движениях гамильтоновой системы со связями. [c.99]

РАЗМЕРНОСТЬ ГР ППЫ Ли — количество числовых параметров, с помощью к-рых определяются элементы группы. Группа Ли является одновременно гладким многообразием, поэтому Р. г. Ли dim G совпадаете размерностью этого многообразия, т.е. с числом координат на нём. Размерность комплексной группы Ли вдвое больше размерности соответст ющей вещественной группы Ли. Нек-рые группы, наиб, часто используемые в физике, имеют следующие размерности (п—размерность пространства, в к-ром действует группа) dimoZ/(re, С) = 2п , dim Uin) = n, dimiSf7(n) = — 1, [c.244]

В частности, при dim М = 2 линейный интеграл может быть лишь в тех случаях, когда М диффеоморфно сфере или тору. Доказательство теоремы 1 основано на использовании результатов Кобаяси [210] о действии коммутативных групп изометрий на римановых многообразиях. Поскольку М компактно, то все кил-линговы поля vy,..., Vk полны на Л/ их фазовые потоки определены при всех значениях а. Каждая группа д изоморфна либо окружности Т (если ее орбиты замкнуты), либо прямой К (если орбиты некомпактны). Поля Киллинга v ,..., Vk независимы и коммутируют, поэтому на римановом многообразии М эффективно действует коммутативная группа Ли изометрий G = Т" х X (О m к). Эффективность действия означает, что лишь [c.152]

Напротив, для каждой связной полупростой группы Ли без компактных факторов и максимальной компактной подгруппы К (которая определена однозначно с точностью до сопряжения внутренним автоморфизмом G) существует единственная глобально симметрическая структура на М = G/K, а именно, каждая левоинвариантная риманова метрика на G, которая является правоинвариантной относительно К, тогда превращает М в риманово многообразие и фактор М по действию слева решетки Г в ( будет тогда компактным римановым фактором М. Эти факторы являются прямым аналогом тора и компактных факторов гиперболической плоскости RH из 5.4. В этой модели геодезические, проходящие через Id, соответствуют однопараметрическим подгруппам G/K. [c.558]

Пусть (N, L) — лагранжева снстема и группа Ли G действует на N. Лагранжиан L определяет преобразование Лежандра TN-i-T N. Композиция момента Pa T N- -S продолженисго пуассоновского действия О на симплектнческом многообразии T N и преобразования Лежандра совпадает с определенным выше моментом /с TN- S лагра жевой системы N, L) относительно группы G. [c.99]

Для комплексных краевых особенностей в качестве многообразия берется пространство Оп ростков в нуле голоморфных функций на С". В качестве группы Ли, действующей на этом множестве, — псевдогруппа ростков диффеоморфизмов С", сохраняющих край х=0. В этом случае миниверсальная деформация ростка f(x, уи...,Уп 1) из Сп, /(0)=0, дается трансверсалью к орбите [c.14]

Характерной чертой калибровочных теорий является то, что в каждой точке р рассматриваемого пространственно-временного многообразия М нмеется пространство внутренних симметрий . Это либо группа Ли С (если мы имеем дело с самим калибровочным полем), либо векторное пространство, на котором действует груп та ( (если мы имеем дело с полями материи). Если взять eкoтopyю открытую окрестность 1] точки р М, то пространство В, в котором живут поля, имеет вид прямого произведения Это [c.193]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...