Автономная система уравнений

Применение метода малого параметра для автономных систем. Автономной системой уравнений будем называть систему, составленную из уравнений, в которых правая часть не зависит явно от времени. Пусть, например, имеем нелинейное урав> нение [c.197]

Химическая система (1.6) — частный случай автономной системы уравнений, т. е. уравнений с не зависящими явным образом от времени правыми частями. Она может служить для описания не только химической, но и любой концентрационной системы, В последнем случае q могут быть, например, концентрациями (плотностями) клеток или особей. [c.25]

Теорема о понижении порядка автономной системы уравнений Гамильтона. Автономную систему уравнений Гамильтона порядка 2т можно свести к гамильтоновой системе порядка 2(т - 1). [c.366]

Это преобразование определяется регпениями автономной системы уравнений (1). Поэтому для вычисления обратного преобразования необходимо в (17) поменять местами х и х и заменить V на-V [c.467]

Случай автономной системы уравнений имеет существенные особенности по сравнению с рассмотренным выше случаем системы неавтономной. Однако общая идея анализа сохраняется, и поэтому мы не будем здесь на этом случае специально останавливаться. [c.160]

Наконец, пусть дана замкнутая траектория автономной системы уравнений Гамильтона. Тогда мы можем приводить систему в окрестности этой траектории к нормальной форме, пользуясь любым из следующих двух приемов [c.355]

Чтобы привести (1.3.10) к виду, подходящему для исследования в фазовом пространстве, положим у = х. Далее, если на массу действует периодическая вынуждающая сила, то неавтономную систему второго порядка (1.3.10) можно свести к автономной системе уравнений третьего порядка. Итак, предположим, что [c.43]

Систему первого порядка можно рассматривать с точки зрения динамики как вырожденную систему второго порядка. В самом деле, уравнение динамики автономной системы с одной степенью свободы, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид [c.23]

Найдем теперь точечное отображение сдвига системы автономных дифференциальных уравнений (4.24). С точностью до малых членов порядка отображение Тт имеет вид [c.90]

Заметим, что система уравнений (5.28) является автономной. В частном случае, когда [c.134]

Теорема 9.6.4. Пусть имеется автономная система из двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными [c.676]

Таким образом, знание множителя Якоби и т - 2 независимых первых интегралов автономной системы дифференциальных уравнений позволяет свести к квадратурам задачу определения ее траекторий. [c.677]

Для автономной системы (см. с. 21) все коэффициенты (ij j уравнений (4.2) — постоянные числа. Частное решение этих уравпепий ищется в форме [c.98]

Система уравнений (3) гамильтонова. Покажем, как при помощи уравнений Рауса можно получить автономную систему ) из т дифференциальных уравнений второго [c.94]

Автономной системой мы здесь называем систему дифференциальных уравнений, не содержащую лишних неизвестных функций, которые должны были бы быть определены предварительно до интегрирования данной системы уравнений. [c.94]

В случае автономной системы обычно принимают т = О (что не нарушает общности), так что зс = а при г = 0. Функции Xi, Х2,. . ., определяют векторное поле в г-мерном пространстве х. Кривые в пространстве х, которые описывает изображающая точка безотносительно ко времени, называются траекториями. Траектории представляют собой проекции характеристик на пространство х. Уравнения (19.1.5), определяющие характеристики, одновременно дают параметрическое представление траекторий (через параметр t). [c.360]

В случае автономной системы, если выходящая из точки а в момент t = О характеристика задается уравнениями [c.360]

Решения уравнений (19.1.2) обладают рядом важных и интересных свойств, в особенности для автономной системы с некоторыми из них мы познакомимся в гл. XXI. Однако единственным случаем, для которого в настоящее время развита достаточно полная теория, является случай автономной системы при т = 2. Именно этот случай будет предметом рассмотрения этой и следующей глав. Простейшим примером может служить прямолинейное [c.361]

Система с одной степенью свободы. Перейдем теперь от простых частных случаев к рассмотрению автономной системы общего вида при т = 2. Имеем векторное поле J (обозначаемое в общем случае через X), составляющие которого Р, Q принадлежат к классу С, в области D плоскости ху. Уравнения движения имеют вид [c.363]

Интегралы системы дифференциальных уравнений. Теперь, после того как мы изучили основные свойства автономной системы второго порядка (т = 2), перейдем к системе общего вида [c.401]

Известны многие интересные и важные свойства характеристик этих уравнений некоторые из них мы рассмотрим в этой главе. Однако, как мы уже отмечали, случай произвольного т (даже в предположении автономности системы) изучен менее подробно, чем случай системы второго порядка, рассмотренный в двух предыдущих главах- [c.401]

Как уже указывалось ( 19.1), иногда бывает полезно уравнения (21.1.1) рассматривать не как уравнения движения изображающей точки, а как уравнения движения жидкости. Это позволяет представить всю совокупность возможных движений или по крайней мере движений, которые начинаются в некоторой области, а не ограничиться одним возможным движением динамической системы. Линии тока в установившемся движении жидкости совпадают с траекториями они являются также силовыми линиями поля X. Если / (xi, Х2,. . ., Xjn) есть пространственный интеграл автономной системы, то уравнения / = с определяют (для некоторого интервала значений с) многообразия, содержащие линии тока. В классической гидродинамике оператор + Q обычно обозначают через. Величина выражает скорость [c.403]

Рассмотрим частный случай автономной системы, для которой известны т — 1 независимых пространственных интегралов F , F , ., отмечалось выше, траектории системы определяются как линии пересечения поверхностей F = р . Рассмотрим траекторию, соответствующую некоторой фиксированной системе значений Pi, Рг,. . Pm-i, и найдем соотношение, связывающее положение точки на траектории со временем. Это соотношение дается уравнением [c.405]

Последний множитель Якоби. Рассмотрим уравнения траекторий автономной системы [c.417]

Таким образом, функцию ср можно взять в качестве новой функции Гамильтона с 2 п — 1) зависимыми переменными дг, > Чп , Рп и независимой переменной р (роль которой обычно выполняет время t). Новая система уравнений не является автономной, поскольку функция ф содержит новую независимую переменную. Остающимся уравнением является уравнение энергии в форме (22.4.4) или (22.4.5). [c.436]

Рассмотрим более общий случай. Пусть = Ur (t), Pr = Vr (t) будет известным решением уравнений Гамильтона для автономной системы. Производящая функция [c.505]

Уравнение этого вида относится вообще к автономным системам с одной степенью свободы. [c.227]

Исследованию связанных колебаний в неавтономных автоколебательных системах посвящено много работ [1, 2] и др. В этих работах не учитывается динамическое взаимодействие источника энергии и колебательной системы. Связанные колебания в системе с ограниченным возбуждением рассмотрены в [3, 4]. Система, изученная в этих работах, характеризуется тем, что автоколебательный механизм возбуждения колебаний и периодическое воздействие зависят от свойств одного и того же источника энергии (автономная система), обеспечивающего функционирование системы. Следует отметить, что интересным является также случай, когда имеет место независимость этих двух механизмов возбуждения колебаний от свойств одного и того же источника энергии. В данном случае автоколебательная система с источником энергии оказывается под воздействием периодической силы, явно зависящей от времени, и уравнения, описывающие эту систему, являются неавтономными. Заметим, что подобную систему условно можно называть системой, взаимодействующей с двумя источниками энергии, в которой один из источников является неидеальным, другой — идеальным. Действительно, если периодическая сила генерировалась бы некоторым вторым источником энергии, имеющим ограниченную мощность, то такое название было бы вполне адекватным. Тогда колебания, происходящие в указанной системе, оказались бы зависящими также от свойств источника, генерирующего периодическую силу, и система, превращаясь в автономную, описывалась бы тремя уравнениями вместо двух. Чтобы не усложнять задачу, на данном этане мы моделировали неавтономную систему, описываемую уравнениями [c.34]

Пример. Разработанный метод построения периодического решения нелинейной автономной системы рассмотрим на примере уравнения [c.263]

Структурная блок-схема алгоритма численного интегрирования системы уравнений (8.48) показана на рис. 106, а. Конкретный вариант интегрирования уравнений колебаний механической системы зависит от условий интегрирования, которые решены в виде автономных блоков (рис. 106, б). Рассмотрим некоторые условия интегрирования. [c.352]

Возьмем какую-нибудь точку Р траектории о> соответствующую значению t = i. Эта же точка будет соответствовать и значениям т -]- Л, т -f- 2/г, Напомним, что в силу автономности системы уравнений (6.1) мы всегда можем выбрать движение по траектории так, чтобы значение т, которому соответствует точка Р, было любым выбранным значением. [c.407]

Остановимся теперь на вопросе о связи точечного отображения Т, порождаемого фазовыми траекториями на секу-ш,ей поверхности, с отображением сдвига 7 . Отображение Т секушей поверхности определено в пространстве, размерность которого по крайней мере на единицу меньше, чем размерность фазового пространства системы. В отличие от Т, точечное отображение сдвига определено в пространстве той же размерности, что и фазовое пространство. Поэтому характер связи между структурой фазового портрета динамической системы и структурой точечного отображения сдвига Т-с отличается от связи структуры разбиения фазового пространства на траектории со структурой отображения Т секуш,ей поверхности. Вместе с тем отображение сдвига автономной системы или неавтономной системы, правые части дифференциальных уравнений которой являются периодическими функциями времени /, можно интерпретировать как точечное отображение Т, порождаемое решениями дифференциальных уравнений на [c.88]

Полученные уравнения — это уравнение (5.3), преобразованное к новым переменным. Эта система уравнений неавтономна, тогда как исходное уравнение было автономным. Из выражений (5.11) следует, что производныеи [c.122]

В дальнейгпем совокупность уравнений возмущенного движения мы будем на.чыпать часто просто системой. Таким образом, уравнения (1.Ю) определяют неавто-пом/1 ук>, а ураиненяя (1.17) автономную системы (урав-непий возмущенного дин i,< пия). [c.21]

Ип общего репгепня (4.9) и предельных равенстп (4.11) пепосредственно вытекают следующие теоремы об устойчивости двия ения линейной автономной системы, имеющей простые корни характеристического уравнения (случай кратных корней рассматривается в гл. V) [c.100]

Если автономная система достаточно проста, то можно найти более чем одно решение уравнения (21.1.10) всего может оказаться тп. — 1 независимых решений /1, /2,. . ., /т-1- В этом случае каждая траектория представляет линию пересечения т — 1 поверхностей, определяемых уравнениями вида /г = Ст. Всего мон ет быть не более т — независимых пространственных интегралов. Однако в общем случае нельзя гарантировать существование т — 1 однозначных или конечнозначных пространственных интегралов. Если мы можем найти те — 1 независимых решений уравнения (21.1.10), то для получения общего решения достаточно знать одно решение уравнения 21.1.9), содержащее t. [c.403]

В общем случае найти аналитическое решение системы весьма аатруднительно. Применение численных методов расширяет воз-мол ности аналитических способов решения. Однако те и другие требуют одинаковых краевых условий, которые в реальных процессах тепло- и массообмена, как правило, представлены не полностью. Физический процесс полностью описывается некоторой системой уравнений и присоединенных к ним краевых условий только в том случае, когда эта система замкнута. Считают, что урав ( ения движения и сплошности допускают автономное решение, так как в совокупности со своими краевыми условиями они составляют замкнутую систему. Система уравнений теплопроводности и диффузии незамкнута. Если, например, известны начальные временные и начальные пространственные краевые условия (параметры сред на входе в аппарат), то, как правило, неизвестны конечные пространственные краевые условия — параметры [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...