Аналитические инвариантные многообразия

Аналитические инвариантные многообразия [c.81]

Теоремы об аналитическом устойчивом (неустойчивом) инвариантном многообразии сформулированы в 4 главы 3. Аналогичные теоремы справедливы для голоморфных векторных полей [18 31]. Формулируемые ниже теоремы о локальных инвариантных многообразиях голоморфных векторных полей позволяют находить аналитические инвариантные многообразия, содержащие особую точку вещественно аналитического поля и не принадлежащие ни устойчивому, ни неустойчивому многообразию этой точки. [c.81]

Теорема об инвариантном многообразии. Рассмотрим росток аналитического векторного поля в особой точке О, линейная часть которого имеет инвариантную плоскость. Исследуется вопрос, имеет ли росток аналитическое инвариантное многообразие, касающееся в нуле этой плоскости. [c.81]

В связи с анализом нормальных форм полезно иметь в виду следующее важное обстоятельство расходящееся преобразование Биркгофа может сходиться на некотором аналитическом инвариантном многообразии Л, содержащем положение равновесия. Возникающая при этом динамическая система на Л будет интегрируемой. Классический пример такой ситуации доставляет нам [c.256]

Прежде всего, пи в какой точке периодического движения не могут обращаться в нуль одновременно все частные производные интеграла энергии Н, так что многообразие Н = Н является правильным аналитическим трехмерным многообразием М вдоль периодического движения. Если вместо )1, р2, д2 в качестве координат выбраны р, д, г, к, то инвариантный интеграл обыкновенного трехмерного объема принимает вид [c.216]

Исследуя аналитический характер многообразия Ме, а следовательно, и Му, мы можем предположить, что рассматриваемое в данный момент состояние движения не является состоянием двойного соударения. В самом деле, частица в вблизи состояния двойного соударения может быть переведена аналитически в частицу, окружающую другое состояние движения, не являющееся состоянием двойного соударения. Таким образом, инвариантное подмногообразие Му будет аналитическим либо во всех точках какой-нибудь линии потока, либо ни в одной точке этой линии. [c.283]

Те 0-рем а (см. [230]). Пусть 5 — произвольное аналитическое / /.-инвариантное подмножество пространства / (Ro, Ro) Тогда существует универсальный полином Тз над 22 от переменных, зависящий только от 3, т и п., такой, что для любых гладких многообразий М>", N и почти любого отображения класс в // (Ж , 2г), двойственный к особому множеству >5 (/) = / ( ), равен значению полинома [c.200]

Кинетическая энергия и риманова геометрия Использование произвольных обобщенных координат для описания движения механической системы является одной. из существенных черт аналитической механики. Структура уравнений аналитической механики такова, что они могут быть записаны в виде, не зависящем от применяемых координат. Это свойство общих уравнений движения связывает аналитическую механику с одним из крупнейших достижений математики девятнадцатого века — теорией инвариантов и ковариантов. Эта теория окончательно созрела в наши дни, когда теория относительности Эйнштейна показала, как законы природы связаны с проблемами инвариантности. В основе теории относительности лежит требование, чтобы формулировки законов природы не зависели от какой-либо специальной системы координат. Математическое решение этой проблемы показало, что между законами, управляющими материей, и римановым основанием геометрии, существует глубокая внутренняя связь. Согласно общей теории относительности Эйнштейна, истинная геометрия природы не евклидова, а более общая— риманова эта геометрия связывает пространство и время в единое четырехмерное многообразие. [c.39]

В заключение отметим, что приведенный здесь обзор исследований по установлению аналитических зависимостей скорости роста усталостной трещины от инвариантных характеристик зоны предразрушения около ее вершины не включает всех работ по этому вопросу. Однако результаты анализа показывают, что еще не установлены в указанном направлении зависимости универсального характера, которые эффективно учитывали бы многообразие силовых, геометрических, металлургических и физико-хи-мических параметров, ответственных за рост усталостных трещин. Для осуществления этой задачи необходимы дальнейшие аналитические и экспериментальные исследования закономерностей роста усталостных трещин. Результаты некоторых исследований в этом направлении представлены в настоящей книге. [c.92]

Если мы применим эти результаты к многообразию М вблизи периодического движения неустойчивого типа, то увидим, что имеются две инвариантные аналитические поверхности, проходящие через кривую периодического движения, одна из которых соответствует аналитическому семейству движений, асимптотических к периодическому движению в положительном направлении, а другая — подобному же семейству движений, асимптотических в отрицательном направлении. Все прочие близлежащие движения сначала приближаются, а затем удаляются от нашего периодического дви кения неустойчивого типа. [c.216]

Рассмотрим однопараметрическое семейство векторных полей, линейные части которых при нулевом значении параметра проходят трансверсально через резонанс (точнее, спектр линейной части при прохождении параметра через О трансверсально пересекает резонансную плоскость). При прохождении, параметра через О от координатных плоскостей некоторой кар ты отделяется аналитическое многообразие, зависящее от па- раметра семейства и инвариантное для уравнения, соответствующего тому же значению параметра. Топология этого многообразия определяется арифметикой резонанса. Наличие большого куска этого многообразия в некоторой окрестности, особой точки препятствует приведению уравнения к линейной [c.79]

Для систем с постоянными несоизмеримыми частотами имеются многочисленные результаты о существовании интегральных многообразий [97]. В частности, если усредненная система имеет равновесие или периодическое решение, и вещественные части характеристических показателей линеаризованной около него системы отличны от нуля", то точная система имеет близкий к нему по медленным переменным инвариантный тор (соответственно т- или т-Ы-мерный). Даже в аналитической системе этот тор, как правило, не аналитичен ни по е, ни по фазовым переменным (см. Пред-южение 1 и пример 6). однако процедура исключения быстрых переменных позволяет построить для него асимптотическое по е разложение. [c.168]

Пример транзитивной динамической проблемы. Динамические задачи, обычно называемые интегрируемыми , представляют собой проблемы интранзитивного типа, в которых движения представлены кривыми, лежащими па инвариантных аналитических многообразиях одного или двух измерений в многообразии М. Например, в случае проблемы двух тел все движения будут периодическими и упомянутые инвариантные многообразия в М будут представлять собою замкнутые кривые. В интегрируемых случаях (см. 12,13) специальные аналитические соотношения достаточны для того, чтобы дать полное представление о движениях и об их взаимоотношениях. [c.240]

Теоремы об инвариантных многообразиях в окрестности замкнутых фазовых кривых аналитических векторных полей анонсированы А. Д. Брюно [18 42]. В силу теоремы п. 1.2, они переносятся на локальную теорию аналитических диффеоморфизмов. [c.107]

Книга [18] посвящена методу нормальных форм, разрешению особенностей и X приложениям к исследованию аналитических дифференциальных уравнений н к задачам механики. Книга [14] посвящена теории нормальных форм, в основном для формальных н гладких вжторных полей и отображений. Геометрическое изложение метода разрешения особенностей содержится в кнвге 85] Лекальная теория инвариантных многообразий изложе-. на в [44], [371, [85 -, в-[44]-она применяется-к уравнениям математической физики. [c.141]

J е Лд) задают г-мерные инвариантные торы возмущенной гамильтоновой системы с сильно несоизмеримыми частотами. Эти торы называются колмогоровскими они аналитически зависят от е. Колмогоровские торы являются г-мерными инвариантными лагранжевыми многообразиями, поскольку ковекторное поле / = dS/d(p потенциально (см. п. 3 2). [c.124]

Типы движения в Му. Проблема трех тел отличается от проблем несингулярного типа, которые мы рассматривали раньше, тем, что для нее многообразие состояний движения не замкнуто. Особенности на границе не могут быть уничтожены никакими аналитическими ухищрениями. В самом деле, рассмотрим частицу в окрестности состояния тройного соударения нри = 0. Очевидно, что эта частица стремится к границе Му, так как мы имеем в этом случае ИтЛ = оо, согласно полученным выше результатам ( 8). Полутрубчатая область, образованная этой частицей нри ее движении, переходит, следовательно, при своем движении в свою собственную часть и должна была бы соответствовать бесконечному значению инвариантного семимерного объемного интеграла. Такое положение не может возникнуть, когда многообразие состояний движения замкнуто и не имеет особенностей. [c.285]

Террема 19 является следствием более сильного утверждения, устанавливающего неинтегрируемость уравнения движения при фиксированных достаточно больших значениях полной энергии. Точная формулировка состоит в следующем. При всех Л>Л = тахм(—V) множество уровня полной энергии Mt,= = H = h) является трехмерным инвариантным аналитическим многообразием, на котором естественно возникает аналитическое дифференциальное уравнение. Это уравнение будем называть приведенным. Справедлива [c.265]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...