Функции гиперболические (определение

Функции гиперболические (определение) 495 [c.784]

Пример. 30 DEF FNS(X) = (EXP(X) — —ЕХР(—Х))/2 — определение нестандартной функции (гиперболического синуса). [c.163]

Тригонометрические и гиперболические функции. По определению [c.53]

Так как рассматриваемые гиперболические функции приближаются к единице асимптотически, то это определяет такой же асимптотический характер приближения относительной скорости к своей предельной величине. Следовательно, с определенного, конечного промежутка времени движение частиц можно рассматривать с некоторой погрешностью как равномерное. Последнее позволяет приближенно определить время и длину разгона частиц до практически равномерного движения. Для пневмотранспорта и противотока соответственно из (2-49) и (2-46) получим [c.69]

Решение краевой задачи. Введем произвольную характеристику первого семейства д1. В силу того, что при сверхзвуковых скоростях уравнения (1.6)-(1.9) имеют гиперболический тип, форма отрезка дЬ не влияет на обтекание отрезка ад. Поэтому, если контур аЬ обладает минимальным сопротивлением при заданной характеристике ае и определенных величинах Ф, Г, то и отрезок дЬ должен иметь минимальное сопротивление при фиксированной характеристике д1 и своих фиксированных величинах Ф, X. В противном случае уменьщение сопротивления отрезка дЬ привело бы к уменьщению сопротивления всего контура аЬ. На участке 1Ь выполняются уравнения (2.15), (2.28)-(2.30), а в точке Ь — граничное условие (2.24). Условия непрерывности функций а, 1 , в точке I и первое условие из (2.12) также удовлетворяются. Но если участок дЬ контура обладает минимальным сопротивлением, то в точке I должно выполняться и условие трансверсальности (2.34), записанное для 4/ Это условие в силу произвольности выбранной характеристики д1 должно выполняться на всей характеристике ЬН. Поэтому оно должно являться интегралом системы уравнений (2.11), (2.15), (2.28)-(2.30). [c.78]

Легко убедиться, что это уравнение однозначно определяет значение Действительно, припоминая определение гиперболического синуса и подставляя вместо показательных функций, входящих в его выражение, их разложения в степенные ряды по степеням , найдем [c.214]

Формулы (К ) и (Ь ), к сравнению которых мы свели изучение эллиптического движения, распространяются также на гиперболическое движение и в любой бинарной системе, подчиняющейся ньютоновым законам притяжения. Упрощенная характеристическая функция может быть выражена определенным интегралом [c.212]

Так как модифицированные матрицы степень экспоненты не увеличивают, то суммирование будет производиться только по показателям pj, немодифицированных участков. При большом количестве участков в системе модифицирование необходимо начинать при сравнительно малых значениях чтобы ограничить 2Р. Это вносит определенную погрешность в расчет, но не вызывает вырождения матриц. Погрешность вычислений связана с заменой гиперболических функций экспонентами, что аналогично изменению показателя степени рд, на pij. да р , + [c.111]

Другое представление аргумента д —удвоенная площадь сектора АОМ (ср. геометрическое определение гиперболических функций, стр. 135). [c.130]

Из рис. I видно, что производительность труда в функции времени является переменной величиной с гиперболическим характером и изменяется от нуля до предела в бесконечности. Следовательно, любая техника на определенном участке (Л 1 — N2) обеспечивает высокие темпы роста производительности труда на участке от нуля до N1 производительность труда может оказаться ниже, чем существующей техники. За пределами N2 рост производительности труда замедляется и входит в противоречие с развитием производительности общественного труда запланированный рост производительности труда оказывается выше, чем обеспечиваемый данной техникой, т. е. любая техника имеет моральные сроки старения и должна быть заменена другой, более производительной. [c.9]

Для расчета частотных характеристик по трансцендентным передаточным функциям в составе математического обеспечения ЭВМ необходимо иметь подпрограммы или процедуры алгебраических действий с комплексными числами, вычислений радикалов, экспоненциальных и гиперболических функций комплексного аргумента. При этом условии сложность аналитических выражений не имеет принципиального значения, нет необходимости в предварительном аналитическом определении выражений действительной Re (со) и мнимой Im(o)) составляющих (или амплитуды и фазы) комплексного выражения W ia), а для приведенных передаточных функций аналитическое представление lJ7((oj) =Re((o)-f ilm(o)) выполнить удается не всегда. [c.130]

Формы собственных колебаний гибкого вала, вращаюш,егося в подшипниках с зазорами, как это видно из решений (26), представляют собой пространственные кривые, содержащие тригонометрические и гиперболические функции. Каждой форме колебаний соответствует своя собственная частота колебаний, определяемая частотным уравнением (20). Оно является обш,им для любого вида закрепления концов гибкого ротора. Из этого уравнения получаются все известные частотные уравнения для частных случаев опирания гибкого ротора на подшипники. Корнями уравнения (20) являются величины к,/, зависяш,ие от квазиупругих коэффициентов щ и Кц опор ротора. Эти коэффициенты, в свою очередь, определяются также изгибной деформацией вала. Определение Kj и Кц из уравнений (25) и подстановка их в уравнение (20), а затем решение частотного уравнения относительно к1 вызывает большие трудности и громоздкость. Однако значительные упрощения в решении частотного уравнения (20) достигаются при рассмотрении частных случаев опирания ротора на подшипники. [c.206]

Точное математическое решение задачи определения частот свободных поперечных колебаний многопролетной балки указанного типа приводит к сложному трансцендентному уравнению, в котором искомая частота входит в аргумент тригонометрических и гиперболических функций. Вид частотного уравнения зависит от числа пролетов, их длин, длины консоли, величин распределенной и сосредоточенной масс, т. е. от всех характеристик системы, и при расчете различных систем мы сталкиваемся с необходимостью решения разнообразных трансцендентных уравнений. [c.229]

Значительный интерес представляет сравнение зависимостей / (L) для цепочек трещин и концентраторов. В табл. 3.1 в последних графах приведены значения / (L) для случая температурного нагружения и кручения сплошных валов с мелкими гиперболическими выточками. Разброс значений функции / (L) в рассматриваемых случаях определяется, вероятно, не столько различием формы надреза и вида нагружения, сколько различием методов определения значений теоретического коэффициента концентрации и различием краевых условий. Для пластин и цилиндров с бесконечной цепочкой надрезов-трещин, концентраторов U-образной полукруглой и гиперболической форм при температурном нагружении, растяжении и изгибе тел погрешность допущения существования единой зависимости f (L) составляет 10—15 %. При отсутствии нужных данных для рассчитываемого тела и нагрузки в инженерных расчетах может быть использована зависимость (3.20). При этом с погрешностью менее 10 % будет обеспечена консервативная оценка значений функции / (L). [c.125]

Полученные уравнения (5.42), (5.44), (5.46) эквивалентны и выбор их должен определяться только простотой получения решения. Прежде чем приступить к решению уравнений, сделаем некоторые общие замечания об их свойствах. Все полученные уравнения нелинейны, так как в них искомые функции входят не в первой степени, что, как известно, чрезвычайно затрудняет получение решений. Кроме того, напомним, что согласно определению (5.39) на звуковой линии 5 = О, з < О соответствует дозвуковому, а 5 > О — сверхзвуковому потоку. Тогда легко заметить, что все основные уравнения [например (5.44) ] в дозвуковой области эллиптического типа, а в сверхзвуковой — гиперболического. Это также осложняет решение, так как методы его получения различны для эллиптических и гиперболических уравнений. Следует отметить, что задача о трансзвуковом потоке даже после упрощений остается одной из самых сложных в газовой динамике. Эти замечания касаются сложности решения краевых задач. Некоторые частные решения, имеющие практическую ценность, строятся достаточно просто. Рассмотрим два таких решения, которые позволяют выяснить особенность перехода через скорость звука в сопле Лаваля. [c.133]

Далее, напомним определение обратной гиперболической функции [c.52]

Допустим, что в некоторой сплошной среде, описываемой определенной реологической моделью, распространяется математический разрез с заданным законом Движения его конца l = i t) 0. Чему равна величина удельных энергозатрат Yo = Yo(0 в этом случае На этот вопрос можно ответить при помощи (5.1) и (5.6) для расчета достаточно одного главного члена асимптотического разложения решения вблизи края разреза. Вид этого члена обычно можно найти заранее, не решая задачи в целом, методом сингулярных решений (гл. III) он определяется с точностью до нескольких произвольных констант или произвольных функций (последнее имеет место, например, для некоторых уравнений гиперболического типа). Эти константы (или функции) могут быть найдены только из решения задачи в целом. Предположим, что первый член асимптотического разложения известен, и будем стягивать контур С в точку О. Как следует из (5.6), форма контура С несущественна, поэтому ее можно выбирать произвольно, руководствуясь соображениями удобства. [c.223]

Формулы для определения коэффициента А приведены в табл. 4, а необходимые для расчета коэффициенты теплопроводности и гиперболические функции — соответственно в табл. 5 и 6. [c.164]

Определение гиперболических функций и краткая сводка основных формул даны в Приложении 1. [c.46]

В гл. 16, посвященной ползучести, сделана попытка связать между собой поведение металлов, нагружаемых в различных видах испытаний при повышенных температурах. При этом рассматривается применение закона степенной функции, логарифмического закона и закона гиперболического синуса для скоростей ползучести, а также соответствующих им законов релаксации, позволяющих учесть деформационное упрочнение, обратную ползучесть и т. п. На основе этих предварительных данных развивается (и иллюстрируется решениями) специальная теория установившейся ползучести для трех- и двумерных напряженных состояний, приводящая к синтезу неупругих последействий, которые выражаются определенными интегралами типов Беккера, Больцмана и Вольтерра. Кроме того, поясняется прямая и обратная задачи последействия. [c.11]

Шестая глава посвящена важнейшему разделу механики — гамильтонову формализму. Основная цель этого раздела — представить математические аспекты гамильтоновой динамики как мощный аппарат решения широкого круга задач механики, физики и прикладной математики. В лагранжевом подходе проблема решения уравнений лежит вне рамок лагранжева формализма. Положение меняется в гамильтоновом подходе, который позволяет получить решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. Вся информация об эволюции системы содержится в одной функции — гамильтониане в результате канонического преобразования можно получить новый гамильтониан, который в определенном смысле мал . Более того, поскольку все операции ограничены рамками группы движения кососимметричной метрики, то удается создать универсальные алгоритмы построения приближенных решений. В рамках гамильтонова подхода изложены теория специальных функций, каноническая теория возмущений, метод усреднения нелинейных систем, методы анализа движения системы в быстропеременном внешнем поле и т.д. Особый интерес представляет лекция 30, в которой развит метод Дирака удвоения переменных, позволяющий представить в гамильтоновой форме систему нелинейных уравнений общего вида и получить решения уравнений, описывающих сингулярно-возмущенные системы, решения алгебраических и трансцендентных уравнений, разрешить проблему обращения интегралов и т.д. В лекции 32 приведено решение задачи о движении релятивистской частицы в гиперболическом волноводе, представляющей интерес для проблемы сепарации частиц по энергии и удельному заряду. В рамках канонического формализма рассмотрена задача о движении протонов в синхрофазотроне. [c.8]

По формулам (Г) и (2 ) определяем ч и г , а следовательно, и у I. Дальнейший расчёт заключается в определении гиперболических функций комплексной величины (7 / = р /+ + /а(), что может быть сделано обычным путём, имея в виду следующее [c.373]

Определение гиперболических функций может быть значительно проще сделано по номограммам для гиперболических функций комплексных величин. [c.373]

Из определения гиперболических функций легко получаются формулы сложения для этих функций [c.495]

Определения показательной и гиперболических функций [c.80]

Здесь рассматриваются трансцендентные функции — гиперболические, Бесселя, Ломмеля и т. д., используемые при решении конкретных краевых задач для трехслойных элементов конструкций. Даются определения, основные свойства, описываются операции дифференцирования и интегрирования. Некоторые формулы интегрирования произведений бесселевых функций на тригонометрические функции и полиномы являются оригинальными, не встречавшиеся авторам ранее. В заключение рассмотрены обобш енные функции Хевисайда и Дирака. [c.509]

При решении различных задач теплопроводности методом исключения переменных приходится заранее задаваться определенным распределением температуры в оечении рассматриваемого тела. В качестве приближенных температурных кривых можно выбирать кривые, описываемые самыми различными функциями тригонометрическими, показательными, гиперболическими, логарифмическими и т. д. [c.31]

Это уравнение при некоторых зависимостях у г) может быть проинтегрировано в замкнутой форме. Имея у (г) и подставляя его в уравнения (191), находим радиальные и тангенциальные напряжения в диске на любом радиусе. Однако класс функций у г), для которых может быть найдено замкнутое решение, весьма ограничен. К таким функциям относятся у = onst (диск постоянной толщины) у=Аг - (гиперболический диск) /=Ле- (экспоненциальный диск, в частности диск равного сопротивления) при определенных условиях, налагаемых на по- [c.208]

Для трехмерных задач необходимо определить три функции напряжений, как, например, в случае круглого отверстия в пластине конечной толщины. Нейбер [2] указал способ определения трех функций напряжений у концентраторов напряжений гиперболической или эллиптической геометрии, и в последнее время была сделана попытка решить задачу трехмерной трещины путем построения поля упругих напряжений вокруг четвертьбесконеч-ной трещины в полупространстве [29]. В данном случае интересно то, что если Oij выражено через сферические координаты г, 9, % уравнением вида [c.90]

Рассмотрим, в качестве примера, определение постоянных, входящих в уравнение (6.17), для стали 40Х (0и = 202 кгс/мм ). В работах [11, 29] приведены результаты испытаний при изгибе с вращением круглых образцов гладких и с глубокими гиперболическими надрезами (всего 8 типов). Размеры образцов, а также значения а , G и Ig L/G приведены в табл. 1. На рис. 9 на нормальной вероятностной бумаге представлены функции распределения долговечности при различных значениях СТтах при каждом уровне напряжений испытывалось по 20—25 образцов (для образцов Кг 4 [c.267]

Две постоянные интегрирования, входящие в общее решение, определяют из граничных условий, зависящих от депланационных свойств концевых сечений стержня нри свободной депланации В = 0 при отсутствии депланации В = Уравнения бимоментов в гиперболических функциях и эпюры В для ряда случаев приведены в табл, 9 4, После определения В находят изгибно-крутящий момент [c.212]

В рамках классической теории пограничного слоя [Prandtl L., 1904] задача об асимптотическом состоянии вязкого течения около твердого тела при больших числах Рейнольдса приводит к исследованию областей внешнего невязкого потока и пограничного слоя. Пограничный слой описывается системой уравнений параболического типа, а внешний поток при сверхзвуковых скоростях — системой гиперболического типа. Решения краевых задач для таких систем обладают тем свойством, что распределение искомых функций в некоторой области пространства определяется краевыми условиями на границе, лежащей вверх по потоку от этой области. Такая ситуация имеет место, например, при обтекании тонкого тела потоком с умеренной сверхзвуковой скоростью или в случае гиперзвукового обтекания, если только взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком является слабым. Однако если краевые условия заранее неизвестны и подлежат определению при совместном решении задач для обеих областей, то ситуация будет иной. Это относится, в частности, к течению со свободным взаимодействием в области, расположенной перед точкой отрыва потока [Нейланд В. Я., 1969, а глава 1] или перед донным срезом тела [Матвеева Н.С., Нейланд В.Я., 1967 глава 3], а также к гиперзвуковому обтеканию пластинки конечной длины [Нейланд В. Я., 1970] и течению около треугольного крыла при сильном взаимодействии [Козлова И.Г., Михайлов В.В, 1970]. В таких задачах внешнее течение, а значит, и давление в пограничном слое, определяется распределением толщины вытеснения пограничного слоя, которое выражается интегральным образом через искомые функции этого слоя. Следствием интегро-дифференциального характера задачи является то, что возмущения, задаваемые в плоскости симметрии треугольного крыла, могут распространяться по потоку вплоть до его передних кромок. [c.187]

В частности, здесь требуются дополнительные предположения о существовании решений, их единственности и должной зависимости их от параметров и управляющих функций (а также и предположения о некоторых специфических обстоятельствах, связанных с математическими конструкциями, например, о наличии внутренних точек у рассматриваемых по ходу дела множеств элементов функциональных пространств и т. д.). В общих случаях многие из таких предположений нелегко проверить эффективно. Таким образом, хотя формализм принципа максимума достаточно полно переносится на рассматриваемые системы (с соответствующими выкладочными изменениями, отвечающими особенностям нового аппарата), однако по содержанию общая проблема такого переноса все-тА ки представляется еш,е не исследованной до конца, тем более, что вопрос о классах допустимых управлений и ж о существовании в них оптимальных управлений и Ь) и движений х 1) в общем случае пока исследован также не полностью. К числу строгих результатов, относящихся к проблеме существования и единственности оптимального управления системами, описываемыми функциональными уравнениями, (22.1), отвечающим случаям параболических и гиперболических систем, относятся результаты Ю. В. Егорова (1962). При этом, в частности, была рассмотрена задача об управлении процессом теплопроводности, когда управляющие функции м входят в граничные условия и минимизируется квадратичный функционал, определенный распределением температуры, при заданном интервале времени или минимизируется время переходного процесса к желаемому распределению температуры при известных квадратичных ограничениях. [c.235]

Обратная осесимметричная задача в традиционной постановке Бауер-сфёльда — Вознесенского заключается в определении формы средней поверхности лопасти ф = ф (г, z) при заданной функции тока ур ( , 2) или заданном поле меридианных скоростей г, z). Так как для этой задачи уравнение (6.4) (и аналогичное для течения сжимаемой жидкости) имеет гиперболический тип, то для него ставятся задачи Гурса и три смешанные, если только граница подобласти, содержащей решетку, не совпадает с линией параболического вырождения тица уравнения. Эта линия появляется при окружной проекции скорости liJq, = О (Уф = О для неподвижной решетки), причем при переходе через линию вырождения [c.147]

Для определения промежуточных значений рекомендуется пользоваться подробными таблкцами К. Н а у а s h i. Пятизначные таблицы круговых и гиперболических функций, а также функций с натуральными числами как аргументом, Берлин и ЛеЙлииг [c.40]

К табл. 4 круговых, гиперболических и показательных функций. Таблица допускает определение искомых величин обыкновенно почти с 5 знаками, причем осн вному вычислению сопутствует вычисление 3 или 4 знаков вспомогательными подсчетами на линейке. [c.55]

Найдем теперь значения в области, лежащей выше прямой X = а/. Математически это есть смешанная задача об определении решения гиперболических уравнений по данным на характеристике и на нехарактеристической прямой х = О, т. е. оси Пусть на оси I задана функция = ф (1). В этом случае решение имеет вид [c.227]

Расчеты по (2-50) и (2-51) производятся при помощи таблиц гиперболических функций. Определение зЬ и сЬ должно производиться с возможно большей точностью, для чего следует принять, что в пределах двух соседних табличных значений изменение гиперболической функции пропорционально изменению аргумента. При расчетах проводов по этим формулам с1г получается близким к единице, а зЬ — близким к величине аргумента. Приняв, как это иногда делается при решении уравнений с гиперболическими функциями, с11л =1 и 8Ьл = х, получим [c.90]

Конечно, можно было бы представить решен не уравнения (26) непосредственно в виде суммы круговых н гиперболических функций, однако функции 5, Т, и я V, введенные А Н. Крыловым [7], позволяют значительно упростить определение постоянных интегриро-иания. [c.295]

Лемма. Еслн Л — базисное гиперболическое мяоже-ство класса С , то определенная выше функция ф Ь Л-> К удовлетворяет условию Гёльдера с положительным показателем. [c.158]

В этом параграфе мы покажем, что класс гёльдеровых функций на гиперболическом множестве также возникает достаточно естественно. Одна из главных причин, побудивших нас обратиться к исследованию таких функций, состоит в том, что это даст нам возможность более детального анализа эргодической теории гладких гиперболических систем. Гёльдеровы функции будут использоваться при определении понятия давления, которое обобщает энтропию, и анализ давления, в свою очередь, позволит нам понимать поведение гладких инвариантных мер, например устанавливать их эргодичность. [c.599]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...