Величины граничные Векторы

Как уже отмечалось, для решения системы сингулярных ИУ (И 1.9) граница тела представляется набором сегментов (в двумерном случае это могут быть отрезки прямых, дуги окружности и т. д.), на каждом из которых перемещения и усилия аппроксимируются каким-либо образом, например полиномиально. Для полиномов первой степени аппроксимация производится между величинами граничных перемещений и граничных усилий, расположенных в точках дискретизации. Вследствие этого вектор напряжений может быть не определен для случаев, когда существует разрыв в геометрических характеристиках или граничных условиях (разрывность внешней нормали, сосредоточенная сила, трещина и т. д.). [c.72]

В уравнении (1-1.3) второй член левой части представляет собой все силы, действующие на поверхности, ограничивающие систему, в то время как третий член — силы, например силу гравитации, которые действуют на каждый элемент системы. Среди переменных, фигурирующих в уравнении (1-1.3), вновь встречаются плотность и скорость, но появляются также и две новые переменные давление, которое действует через граничные поверхности и, следовательно, фигурирует во втором члене, и напряжение. Действительно, для того чтобы вычислить второй член в уравнении (1-1.3), необходимо иметь возможность вычислить силы, действующие на любую произвольную поверхность в материале при условии, что система, к которой применяют уравнение (1-1.3), может быть выбрана произвольно. Сила, действующая на любую заданную поверхность, не сводится просто к давлению, поскольку она не обязательно ортогональна к этой поверхности и ее величина не обязательно независима по отношению к ориентации этой поверхности в пространстве. Напряжение является тензором (точное определение будет введено в разд. 1-3), который связывает вектор силы с поверхностным вектором. Поверхность является вектором в том смысле, что для ее определения требуется задать не только ее величину, но и ориентацию в пространстве. [c.13]

Отметим, что в отличие от систем жидкость—твердое тело, газ—твердое тело в рассматриваемых газожидкостных системах сама поверхность раздела фаз (г, I) является величиной, изменяющейся во времени и пространстве. Поскольку процессы массо-переноса протекают в обеих фазах, в математическую постановку задачи массопереноса в системах газ—жидкость включаются уравнения переноса в обеих фазах с нелинейными граничными условиями. Изменение поверхности раздела фаз в процессе массопереноса влечет за собой изменение гидродинамических характеристик системы, а именно поля скоростей V (г, 1) вблизи межфазной поверхности. Однако, как это видно из уравнения конвективной диффузии, вектор поля скорости входит в левую часть (1. 4.. 3), следовательно, изменение скорости V вызовет и изменение распределения концентрации целевого компонента с (г, I) вблизи поверхности. Таким образом, в общем случае необходимо решать самосогласованную задачу тепломассопереноса и гидродинамики. [c.15]

С точностью до величин первого порядка малости компоненты этих векторов (в плоскости XI/) равны t(i , 1) и п(1,—Ж) выражение t/i Q возникает как производная д с,/ду. С этой же точностью граничные условия для скорости принимают вид [c.473]

В формулах (3.9), (3.10) символ -Ь у функций о ( , ж), и ( , х) означает их предел при стремлении аргумента х Q2 к соответствующей граничной точке на 5о. Вектор п есть вектор внешней к области йг нормали на границе 5о- Аналогичный смысл имеют и величины о , п , и относительно области йх- [c.29]

Рассмотрим элемент конструкции, на который действует неизвестная система внешних сил, представляющая собой произвольного вида поверхностные нагрузки. Допустим, что на некотором участке его поверхности S в результате прямых измерений известен вектор перемещений uf(s) (или тензор напряжений а - (х)). Обычно измерения проводят на свободном от нагрузки участке поверхности, так что в этом случае известен также и вектор напряжений на S, который равен pf(s) = 0. В случае же нагруженной поверхности (например, давлением теплоносителя) будем считать вектор напряжений на S также известной величиной. Таким образом, на части поверхности S в отличие от классических граничных условий заданы одновременно кинематические и статические краевые условия, в то время как на остальной части поверхности элемента гранич- [c.62]

Задавая шесть координат на концах балки, можно определить из полученного уравнения оставшиеся шесть координат, а затем последовательно по вектору г определить перемещение и усилие в каждой точке балки, что соответствует стандартной процедуре метода начального параметра. Недостатком этого метода является высокая степень экспонент, входящих в переходную матрицу. При вычислении элементов матрицы на ЭВМ Минск-32 величины округляются до семи значащих цифр и, следовательно, гиперболические функции заменяются экспонентами при показателях степени больших примерно 8. В случае таких округлений граничные условия на концах не удовлетворяются. Это условие ограничивает частотный диапазон вычислений. Верхняя граничная частота может быть увеличена примерно в 4 раза, если вычисления вести от концов балки к ее середине и неизвестные значения векторов находить из условия равенств перемещений и нагрузок в какой-либо средней точке балки. Величины показателей степени уменьшаются при этом примерно пропорционально длине участка балки, т. е. в 2 раза, и, следовательно, граничная частота возрастает в 4 раза. Аналогичный алгоритм расчета применен в данной методике. [c.10]

На основании проделанных выкладок получаем систему уравнений диффузионного приближения, состоящую из уравнений вектора потока излучения (5-34) или (5-35), уравнения энергии (5-36) и уравнений граничных условий (5-37) или (5-40). Нетрудно видеть, что, подставив выражение для согласно (5-34) или (5-35) в (5-36), получим одно дифференциальное уравнение относительно спектральной объемной плотности энергии излучения и , которое совместно с граничными условиями (5-37) или (5-40) является формально точным и замкнутым при задании в каждой точке объема величины Т или рез. V граничной поверхности — величины или ез, V [c.153]

Постановка граничных условий осуществлялась в соответствии с достаточно общим подходом, разработанным в [18]. Слабо возмущенное нестационарное течение газа в окрестности малого элемента границы области можно рассматривать как комбинацию трех волн, распространяющихся со скоростями <7 , qn + a, qn—а, где qn — проекция вектора скорости на внешнюю нормаль к границе, а — скорость звука. Количество условий, выставляемых на элементе границы, должно быть равно числу параметров, определяющих те одномерные волны, которые распространяются от данного участка границы внутрь расчетной области. При этом следует помнить, что каждая из волн, распространяющихся со скоростями <7п а, характеризуется распределением одного параметра, например давления или соответствующего инварианта Римана, а волна, скорость распространения которой совпадает со скоростью потока 9 , определяется распределением двух величин — [c.129]

Более точно, изменение величины энергии в единицу времени должно быть рав-НО интегралу по поверхности, взятому по всей граничной поверхности системы. Подынтегральное выражение в этом интеграле представляет собой скалярное произведение единичного вектора, нормального к поверхности, на поток энергии. Весьма подробное обсуждение первого закона термодинамики содержится в книге Дюгема Энергетика , т. I [б]. Книга Бриджмена Природа термодинамики [7] также содержит много интересного материала- Относительно определения понятия теплота в термодинамике см. статью Борна [8]. [c.26]

Для построения форм потери устойчивости балки необходимо определить относительные граничные параметры вектора Y. при единичном значении какого-либо элемента вектора В. Для данной балки в качестве нормирующей величины удобно взять перемещение E1v ) = X 9S)( m. вектор X задачи статики), а в правой части ( ) = 6(16,1) = 1. [c.319]

Граница называется открытой, если она уходит на бесконечность и граничные условия для жидкости на бесконечности отсутствуют. Уравнения Стокса относятся к классу уравнений в частных производных, известных как эллиптические уравнения. Для этих уравнений предпочтительно ставить краевые задачи с замкнутыми границами. В обычно используемых граничных условиях задаются либо сам вектор поля на границе, либо же величины первых производных его компонент в тангенциальном направлении к границе. [c.78]

Существует общее мнение, что при достаточно малых числах Рейнольдса величина силы, действующей на твердую частицу произвольной формы при обтекании ее потоком вязкой жидкости, прямо пропорциональна как вязкости жидкости, так и величине скорости свободного потока. Этот результат следует из элементарного анализа размерностей уравнений движения и граничных условий. Но рассмотрение, основанное на анализе размерности, не дает информации о связи между направлениями вектора скорости набегающего потока U и вектора гидродинамической силы F. Эти векторы в общем случае не параллельны, так как тело испытывает не только действие силы сопротивления, параллельной скорости набегающего потока, но и поперечных (подъемных) сил перпендикулярных набегающему потоку. Для частицы, падающей в гравитационном поле, влияние этих сил может вызвать дрейф частицы в боковом направлении. [c.184]

Познакомимся с расчетом напряженно-деформированного состояния в процессах обработки металлов давлением при заданных начальных (т. е. в начальный момент времени) и граничных (т. е. на поверхности деформируемого тела) условиях. Деформированное состояние тела характеризуют 22 основные величины три компоненты вектора перемещения и, три компоненты вектора скорости v, три компоненты вектора ускорения а, шесть [c.153]

Как видно из (4.22), векторы г и ё коллинеарны. Поскольку в граничном подэлементе длина вектора ё достигла величины предельной упругой деформации где [c.101]

Обратим внимание на особенности учета граничных условий (6.50) и (6.51), записанных в приращениях, поскольку рассматривается пошаговое нагружение, при решении краевых задач методом конечных элементов. Проведем дискретизацию деформируемого тела Q на N конечных элементов С П. В дальнейшем все величины, относящиеся к конечному элементу, будут отмечены верхним индексом е. Пусть [Д] — симметричная матрица характеристик нагружающей системы, определенная в каждой точке поверхности Е. Тогда составляющие вектора свободных членов узлового ансамбля d5 , соответствующие приращению номинально заданной распределенной [c.135]

Здесь U — однозначная часть вектора смещений. Если по обычным формулам подсчитать отвечающие дислокационным слагаемым поверхностную нагрузку и граничные величины, то, как правило, они не будут равны требуемым по условиям задачи. Роль однозначной части и и сводится (как будет показано ниже) к обеспечению выполнения граничных условий и удовлетворению поверхностной нагрузке. [c.316]

В случае если нормальный элемент граничный, вернемся к выражениям (1.1). Коль скоро величины А (а , а ), х (а , а ) определяются деформацией срединной поверхности (например, из формул (1.8)), геометрические граничные условия сводятся к заданию двух векторов [c.86]

Величина граничного волноиого вектора при Т = 0, согласно (4.21), равна примерно 7,5(А(0)/г ). Таким образом, мы получаем фундаментально ваншый, как мы увидим сейчас, результат, состоящий в том, что величина граничного волнового вектора q , разделяющая области больших и малых значений волновых векторов, не зависит от температуры. [c.903]

В главе строится нелинейная теория жесткогибких оболочек без использования гипотез Кирхгофа. Ее главное отличие от квази-кирхгофовской теории (гл. 3) и теории типа Тимошенко-Рейсснера (гл. 9) заключается в учете вариаций параметров поперечного обжатия Статическая гипотеза заменяется известным приемом подчинения нормальных поперечных напряжений граничным условиям на лицевых поверхностях оболочки. Поперечные сдвиги учитываются по линейной теории, что естественно для тонких жесткогибких оболочек. Показано, что в граничном вариационном уравнении Лагранжа независимыми являются вариации, вообще говоря, шести геометрических величин — компонент вектора перемещения и их производных по тангенциальной нормали к граничному контуру. Как частный случай получены уравнения уточненной теории пологих оболочек. На примере показано, что слагаемые, связанные с вариациями параметров А , могут иметь принципиальное значение для контактных задач со свободной границей. [c.232]

В теории сверхзвуковых стационарных течений газовой динамики известны четыре характерные задачи задача Коши с данными на нехарактеристической кусочно-гладкой кривой или вырожденной характеристике, задача Гурса с данными на характеристиках первого (С+) и второго (С ) семейств и две смешанные краевые задачи с данными на характеристиках С+ или С и на граничной линии тока, вдоль которой задано распределение одной из величин— модуля вектора скорости W (давления р) или угла 0 наклона Ш к оси л декартовой системы координат х, г [1, 27] Для смешанной краевой задачи, называемой ниже задачей 1, в качестве граничной кривой задается твердая стенка с известными вдоль нее углами 0. Для другой смешанной задачи (задача 2) вместо стенки берется вычисляемая в процессе решения свободная поверхность с известным вдоль нее распределением давления р. Ниже, примени- [c.174]

Смысл дальнейших рассуждений состоит в установлении связи неизвестных величин А , A , Л22. 12 с известными В, ,1 на основе граничных условий. Подобным образом действуют и в линейной оптике (см. ГЛ. XXIII), но в ней заданными величинами служили амплитуда и волновой вектор волны, падающей из среды /. В нелинейной же оптике отраженная и преломленная волны порождаются нелинейной поляризацией, и поэтому заданная величина входит в выражение для поля внутри преломляющей среды. [c.847]

Более общий подход к изучению законов отражения и преломления электромагнитной волны может быть осуществлен на основе уравнений Максвелла (см. 2.1). Однако уравнения Максвелла были выведены для областей пространства, в которых физические свойства среды (характеризующиеся величинами е и р) непрерывны. В оптике же часто встречаются случаи, когда эти свойства резко меняются на одной или нескольких поверхностях, поэтому необходимо вводить граничные условия. Выше мы отмечали (см. 2.1), что при отсутствии поверхностных токов и свободных поверхностных зарядов на границе раздела уравнения Максвелла должны удовлетворять гранич[1ым условиям, т. е. равенству тангенциальных составляющих векторов Е и Н. Отношение нормальных составляющих обратно пропорционально соответствующим значениям е или р, т. е. г Ет = г2Е2п, р Ящ = ргГ/гп- Так как в оптике обычно Р1 = Ц2=Г то нор.мальные составляющие вектора Н равны Я]т =//2)2. [c.11]

Представленные соотношения (4.20) и (4.21) характеризуют развитие усталостной трещины применительно к одной из точек фронта или некоторому отрезку фронта, на котором производится осреднение измеряемых величин параметров рельефа излома, которые являются характеристикой скорости роста трещины. Это позволяет в дальнейшем рассматривать перемещение фронта усталостной трещины по аналогии с перемещением растяжимой струны под действием некоторой силы Ff, лежащей в плоскости распространения трещины, вектор которой ориентирован в направлении ее роста (рис. 4.5). Форма струны отражает форму фронта трещины, а ее шарнирное закрепление на двух струнах имитирует граничную ситуацию пересечения фронтом трещины поверхности образца или детали. Представленная модель может быть усложнена, например, путем введения криволинейньгх границ у струны, отражающих многообразие форм поверхностей элементов конструкций, в которых происходит развитие усталостных трещин. [c.198]

Скорость частицы в точках области р по величине определяется формулой (30.11.1), что же касается направления скорости, то оно произвольно. Обозначим через г)5 угол, образуемый вектором скорости с осью Ох, и будем считать, что О <С 2я. Тем самым каждой точке области р мы поставим в соответствие бесконечное множество элементов, понимая под этим термином совокупность величины вектора скорости и наклона этого вектора к оси Ох. В каждой точке граничной кривой а скорость равна нулю, так что точке этой кривой фактически соответствует один-едипственпый элемент. Это замечание мы используем ниже при геометрической интерпретации. [c.621]

Из вышеизложенного следует, что математическая модель движения элементов гидродинамической муфты, в том числе и находящейся в ее полости жидкости, определяется системой интегродиф-ференциальных уравнений в частных производных, в которых содержатся подлеишщие определению двенадцать компонентов векторов скорости движения частиц жидкости во всех подобластях полости муфты функции давления Р скорости фх и фл вращения полумуфт, вектор-функция Гд и длина (переменной поверхности С). При этомт о входит в пределы интегралов граничных условий, что усложняет решение системы уравнений. Эта система может быть решена числовыми методами. Определение перечисленных неизвестных величин даст возможность определить все параметры движения муфты, в том числе угловое скольжение полумуфт, коэффициент полезного действия гидромуфты, изменение активного момента движущих сил, передаваемого жидкостью ведомой полу-муфте и др. [c.93]

Индекс k означает, что вектор состояния Z записан для координаты X = Xk- Если W, W, М я V считаются заданными на линии i, то вектор состояния на некоторой другой линии /, лежащей справа от линии i, при условии что между линиями i и j нет ни внещних нагрузок, ни промежуточных опор, можно найти, решая уравнение Бернулли — Эйлера четвертого порядка и считая, что величины W, W, М ц. V задаются в качестве граничных условий на линии i, что дает [c.182]

Таким образом, приходим к системе уравнений тензорного приближения, состоящей из уравнений (6-7) — (6-9) и граничных условий (6-13) или (6-14). Рассматривая эту систему уравнений, можно видеть, что, будучи записанной в скалярной форме, она состоит из шести уравнений и содержит 12 переменных величин (три со-ставляюш их вектора спектрального потока излучения. (i= 1,2,3), шесть компонентов симметричного тензора излучения (г, 1, 2, 3), спектральную объемную плотность энергии излучения U , величины спектральных объемных плотностей спонтанного и результирующего %ез, V излучения]. Поскольку по условию в объеме среды задается либо поле температуры (следовательно, и поле J, либо поле величины то из 12 перечисленных [c.170]

Таким образом, приходим к системе уравнений тензорного приблил<ения (6-15), (6-20), (6-21) для полного излучения с граничными условиями (6-25) или (6-26). Эта система аналогична системе уравнений для спектрального излучения. Она также оказывается незамкнутой, поскольку состоит из шести скалярных уравнениц и содержит 11 неизвестных переменных величин [три составляющих вектора полного потока излучения q ,,i 174 [c.174]

Матем. задача У. т. при равновесии состоит в том, чюбы, зная действующие внеш, силы (нагрузки) и т. н. граничные условия, определить в любой точке тела значения компонентов тензоров напряжений и деформаций, а также ко.мпоненты и , и , и вектора перемещения частицы тела, т. е. определить эти 15 величин в виде ф-ций от координат X, у, z точек тела. Исходными для решения этой задачи являются дифференц. ур-ния равновесия [c.234]

Электродинамика. Состояние эл.-магн. поля в теории Максвелла характеризуется двумя осн. векторами напряжённостью электрич. поля Е и магн. индукцией В, являющимися ф-циями координат и времени. Эл.-магн. свойства вещества задаются тремя величинами диэлектрич. проницаемостью е, магн. проницаемостью ц и уд. электропроводностью ст, к-рые должны быть определены экспериментально. Для векторов Е и В и связанных с ними вспомогат, векторов электрич. индукции D и напряжённости магн. поля Н записывается система линейных диф-ференц. ур-ний с частными производными — Максвелла уравнения. Эти ур-ния описывают эволюцию эл.-магн. поля. По значениям характеристик поля в нач. момент времени внутри нек-рого объёма и по граничным условиям на поверхности этого объёма можно определить и в в любой последующий момент времени. Векторы Вт В определяют силу, действующую на заряж. частицу, движущуюся с определ. скоростью в эл.-магн. поле (Лоренца силу). [c.315]

Для построения форм собственных колебании необходимо определить граничные параметры балки при единичном значении какого-либо параметра матрицы В. Если приравнять единице статический параметр, то имеет место статический способ возбуждения собственных колебаний. Если приравнять единице кинематический параметр, то, соответственно, имеет место кинематический способ. Для данной балки в качестве нормирующей величины удобно взять перемещение Elvf= Х(9,1) (см. вектор X задачи [c.308]

Для построения форм потери устойчивости рамы необходимо определить относительные граничные параметры вектора X при единичном значениии какого-либо элемента вектора В. Для данной рамы взято в(16,1)= — 1, а в качестве нормирующей величины удобно взять линейное перемещение Elvj =X 16J). Задавая значения F = F, F2 и т.д., можно [c.350]

Пусть сверхзвуковой поток движется вдоль стенки, которая в точке В из.меняет направление на малый угол Дб (рис. 5.6, а). Для соблюдения граничных условий поток также должен повернуть до направления, параллельного стенке ВС. Отложим з плоскости годографа вектор к (отрезок 01). Через точку 1 проходят две характеристики. Согласуясь с наиравлением поворота [[ условием, что скорость потока увеличивается, выбираем правую нижнюю ветвь характеристик. Построив в диаграмме характерь стик заданный угол поворота, находим величину и направление скорости потока после поворота (отрезок 02). Нормаль к элементу характеристики 12 дает нанравленне характеристики в плоско- [c.106]

Так, Лихтенштейн [20] и Одквист [23] доказали суш,ествова-ние решения для общего случая вязкой несжимаемой жидкости в замкнутой области, содержащей конечное число частиц конечных размеров. В случае уравнений Стокса решение также единственно, но при больших числах Рейнольдса это не так. Например, Тейлор [29], рассматривая течение между двумя вращающимися концентрическими цилиндрами, показал, что если число Рейнольдса при вращении внутреннего цилиндра по отношению к внешнему превышает определенную величину, возникает неустойчивость течения, приводящая к установлению другого течения, которое само по себе устойчиво. С увеличением числа Рейнольдса течение становится неустановившимся с вполне определенной периодичностью. Для краевых задач, в которых на границах заданы производные компонент вектора или комбинации скоростей и производных, сформулировать требуемые условия не удается. Обычно сама физическая природа интуитивно используется при формулировке подходящих граничных условий, приводящих к единственному существующему решению. [c.79]

В главе вводится операторная форма записи уравнений теории оболочек, оптимально сочетающая, по мнению авторов, компактность, наглядность и конструктивность. Разъясняется особенность деформационных граничных величин, которая заключается в том, что при формулировке граничных условий в терминах названных величин следует дополнительно задавать значения главного вектора и главного момента краевых статических величин. Переопределенность в граничных условиях (десять вместо четырех) является кажущейся, так как деформационные граничные величины связаны между собой шестью условиями однозначности смещений и углов поворота. [c.458]

Сказанное позволяет видоизменить формулировку граничных условий путем преобразования подынтегрального выражения (14.21). Критерием возможности использовать один вариант граничных величин вместо другого является обеспечение равенства Lao = О при задании четырех граничных условий. На основе таких рассуждений в п. 8.2 получены три варианта граничных величин (8.16)—(8.18), из которых наибольший интерес представляют деформационные граничные величины (8.18). Однако в гл. 8 было сделано предположение о том, что контур 3Q является гладким, а действующая на него нагрузка—самоуравновешенной. Коротко повторим преобразования п. 8.2, отказавшись от предположения о самоуравновешенности краевой нагрузки. В соответствии с рис. 14.1 главный вектор и главный момент краевых усилий и моментов относительно текущей точки можно выразить формулами (сравни с (6.147), (6.150)) [c.462]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...