Коши задача среды

Одной из экстремальных характеристик в плоскости а, О является прямая а = -к 12. В работе [34] выяснено, что поверхность перехода через скорость звука, опирающаяся на некоторый контур и являющаяся одновременно характеристической поверхностью, обладает минимальной площадью среди всех поверхностей, опирающихся на тот же контур. В осесимметричном случае такими поверхностями могут быть либо плоскости перпендикулярные к оси симметрии, либо поверхности, образующие которых являются цепными линиями. Во втором случае угол 9 меняется на характеристике. Следовательно, упомянутая экстремаль в плоскости Хуу должна быть цепной линией. Однако, трудно ожидать, чтобы в окрестности всякой характеристической поверхности, на которой а = я /2, существовало решение задачи Коши или некоторой краевой задачи. Этот вопрос представляет собой предмет самостоятельного исследования. Здесь можно указать, что в осесимметричном изэнтропическом случае, когда газ является совершенным, такое решение не существует. [c.88]

Задача теории упругости неоднородного тела формулируется и решается аналогично задаче теории упругости однородного изотропного или анизотропного тела. Различие между ними состоит лишь в том, что в физических уравнениях (законе упругости) механические характеристики являются заданными непрерывными функциями координат. Здесь необходимо еще раз подчеркнуть, что при этом деформации тела считаются малыми и предполагается выполнение обобщенного закона Гука. Очевидно, что в случае неоднородного тела остаются справедливыми общие уравнения механики сплошной среды соотношения Коши между деформациями и перемещениями и т. д. Подробное изложение теории напряжений и деформаций приводится в многочисленных книгах [11, 100, 138 и др.], поэтому ниже они даются без вывода в прямоугольной системе координат х, у, z) в объеме, необходимом для дальнейшего изложения. Эти же уравнения в других системах координат (цилиндрической, сферической) можно найти в указанных выше и других изданиях. [c.32]

В случае противотока, когда возмущения по параметрам рабочей среды и температуре газа задаются на разных концах теплообменника, приходится решать линейную краевую задачу. Как известно, для линейных систем решение краевой задачи сводится к решению нескольких задач Коши [Л. 71]. Для противотока решение проводится в два этапа. На первом этапе уравнения интегрируются при единичном возмущении по температуре газа в сечении Х—0. Результаты решения обозначим через где 11 = 1, D2, q, t. [c.107]

Б. Аналогично в случае неограниченных сред ненулевые начальные условия (задачи Коши), заданные на конечной части пространства или плоскости, продолжаются по координатам с периодом и таким образом, чтобы волновые поля от продолженных начальных условий несущественно влияли на волновое поле в окрестности заданной части начальных условий. [c.26]

Материал Мурнагана. При исследовании задач для изотропных сред широко используется предложенное Мурнаганом представление упругого потенциала в виде кубической функции инвариантов тензора деформации Коши-Грина Ik = /f (S), к = 1, 2, 3) [191] [c.25]

Задача № 1. Результаты наблюдений подчиняются распределению Коши с плотностью р х)=Ь/я[Ь + х — а) ]. Найти математическое ожидание и сред- аде квадратическое отклонение А. М[Х —а-, В. аИ=оо. [c.212]

Зная функции и Tj на границе среды АВ (рис. 62), можно, решая задачу Коши, построить линии скольжения обоих семейств и г в треугольной области АВС, примыкающей к свободной границе. [c.209]

Если оставаться в рамках модели фиксированной размерности, где нод размерностью понимается число сплошных сред разных фаз, то пересечения траекторий второй фазы ведет к неограниченному росту ее объемной плотности р . По той же причине к пересечениям траекторий и к неограниченному росту р приводит введение сколь угодно малой но амплитуде (и одновременно - но длине волны Л) ряби в начальном распределении ее скорости. Результатом этого является некорректность задачи Коши в ее классической формулировке. Па самом деле в рамках модели фиксированной размерности стремление р к бесконечности свидетельствует о возникновении пелены с конечной поверхностной плотностью Кз. Согласно [4, 7] в задаче Коши нри этом образуется периодическая последовательность пелен, на которые за конечное время выпадают все частицы, первоначально расположенные на отрезках длины Л. Если р - начальная невозмущенная плотность второй фазы, то носле выпадения всех частиц поверхностная плотность т.е. уменьшается одновременно с Л. Учет этих [c.465]

Проходит еще 80 лет, пока французский инженер Навье ставит совершенно по-новому задачу об изучении упругости тел, дает общую ее теорию и составляет общие дифференциальные уравнения равновесия и движения их. Эта теория развивается далее знаменитыми математиками Коши и Пуассоном, но они сперва прилагают ее к изучению распространения колебаний в упругой среде, т. е. звука, ибо в то время они еще [c.7]

Для численного интегрирования полученной системы уравнений разобьем выделенный объем среды точками г = г,- (t = l, 2,. ... .п) пап материальных частиц значения всех искомых функций будем определять в точках г = г, (t = l, 2,. .., п). Тогда четыре последних дифференциальных уравнения в частных производных по времени от переменных ссг, а, w, рг перейдут в 4п обыкновенных дифференциальных уравнения но времени, для численного интегрирования которых удобно использовать модифицированный метод Эйлера — Коши. Для определения значений давления Pi в точках f = r, в каждый фиксированный момент времени необходимо решать линейную (для pi ) краевую задачу для первого дифференциального (по г) уравнения второго порядка с краевыми условиями (6.7.17). [c.85]

Но тогда вектор A (i, r(i)), где г(/) — закон движения частицы среды, удовлетворяет такому же линейному дифференциальному уравнению (1.201), что и вектор A(i, г( )), и, кроме того, эти векторы в начальный момент времени в силу (1.202) совпадают. Поскольку задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения имеет единственное решение, то [c.229]

Среди методов еще более высокого порядка точности следует отметить метод Рунге-Кутта четвертого порядка ф и)), который достаточно часто используется для решения задач Коши [224] [c.345]

Использование обобщенных интегралов типа Коши, как и в случае изотропной среды, позволяет приводить граничные задачи теории упругости к интегральным-уравнениям. Ограничимся рассмотрением второй основной задачи для односвязных тел без полостей. [c.388]

Итак, введением новых переменных поля здесь можно формально разделить общее исследование движения несвободной сплошной среды на исследование собственно движения элемента среды и задачу определения реакций внутренних связей, т. е. поля множителей или поля напряжений Коши. Формализм такого разделения выявляется при удовлетворении краевых условий. [c.58]

Конечно, по-видимому, более естественно при постановке задач механики сплошных сред исходить из локальных соотношений. Само понятие тензора напряжений является следствием принципа локализации Коши [53]. Далее, от этих локальных соотношений интегрированием можно перейти к вариационному тождеству (1.1), учитывающему уже конкретную постановку краевой задачи. [c.12]

Задачу для волны разгрузки можно решать также обратным методом. Априори предполагается форма волны разгрузки i — = 1 х). Тогда в области 02 можно решать задачу Коши. Примем модель среды так же, как на рис. 29, ограничиваясь случаем, когда волна разгрузки есть волна слабого разрыва. [c.87]

Известно (см., например, [12]), что для уравнений теории упругости, определенных во всем пространстве, существуют фундаментальные решения. С помощью последних можно записать решение задачи с начальными условиями (задачи Коши). Таким образом, вопрос о существовании решения может возникнуть лишь применительно к задаче с граничными условиями, причем этот вопрос сводится к следующему правильно ли поставлены граничные условия, т. е. не противоречивы ли они, нет ли среди них несовместных [c.155]

Даниил Бернулли 1), повидимому, первый взялся за решение задачи. Среди тех, кто значительно подвинул наши знания в этой области, наиболее выдающееся месго занимают Эйлер, Риккати, Пуассон, Коши, а в более позднее время Штрельке2), Лиссажу ) и Зеебек ). [c.277]

Описанный выше подход о восстановлении поля температуры по данным Коши для уравнения Лапласа (или Фурье), заданным на части границы области, в принципе решает задачу. Но дело в том, что получить данные о распределении температуры на доступной для измерений части поверхности сравнительно просто, а вот определение на этом же участке поверхности градиента температуры по направлению нормали к поверхности во многих спучаях встречается с весьма большими трудностями. Градиент температуры известен (равен нулю), когда теплообмен между элементом и окру-жащей средой отсутствует. В противном случае градиент температуры подлежит определению. Вычислить его из условий тегшообмена с внешней средой не удается, так как значение относительного коэффициента теплообмена в большинстве случаев неизвестно. При этом применяют метод рассверловки ступенчатых отверстий с установкой на уступах термопар. Тогда определение температуры на некоторой глубине под поверхностью и вычисление по этим данным градиента температуры вносит трудно поддающуюся оценке погрешность из-за изменения граничных условий в местах рассверловки. Кроме того, при большом количестве точек измерений рассверловка — крайне нежелательная операция, а в некоторых случаях и недопустимая. Таким образом, использование информации о температуре и ее нормальной производной для определения поля температуры в области элемента представляется нецелесообразным. [c.83]

Таким образом, операторы Rju, j=i, D2, р, t k = j, q, Dr, связывающие входные и выходные координаты теплообменника, выражаются в явном виде через трансцендентные функции Яп и комплексы, составленные из коэффициентов уравнений динамики, комплексного параметра преобразования Лапласа по времени s и передаточных функций разделяющей стенки. Выще были приведены выражения и показан способ их определения для наиболее общего случая конвективно-радиационного теплообменника со сжимаемой рабочей средой, распределенными по длине температурой газа и энтальпией рабочей среды. Вид Rjh не зависит от модели разделяющей стенки. Выбор модели стенки влияет только на выражения передаточных функций Операторы Rjh для трубопроводов, радиационных теплообменников и прямоточных конвективных теплообменников совпадают с соответствующими передаточными функциями Wjk. В случае противоточного конвективного теплообменника возмущения по температуре газа задаются в точке. =1. Операторы Rju получены в результате решения задачи Коши, когда возмущения считались заданными в точке Х=0. Поэтому для лротивоточного теплообменника передаточные функции Wjh не совпадают с Rjh, а определяются комбинацией последних в соответствии с табл. 8-2. [c.123]

Изложенный способ решения алгебраической системы уравнений парогенератора аналогичен решению краевой задачи для системы линейных дифференциальных уравнений путем сведения ее к нескольким задачам Коши. По существу математическая модель трактов рабочей среды представляет собой краевую задачу для уравнений гидродинамики с граничными условиями, заданными на концах интервала изменения координаты длины. Хотя дифференциальное уравнение движения рабочей среды и аппроксимировано в рассматриваемой модели системой алгебраических уравнений сопротивления на участках, следующих друг за другом, такая схема решения оказывается наиболее экономной. Ее удобно применять потому, что при описании моделируемая система представлена как совокупность ориентированных звеньев [Л. 77], для которых уравнения вход —выход разрешены в явном виде относительно выходов. Для каждого звена выходы легко рассчитываются, если известны входы. Эта форма уравнений звеньев обусловливает выбор метода решения системы уравнений, оиисывающей взаимосвязанные теплообменники. [c.156]

Большое разнообразие встречающихся в физике Н, у. м. ф. затрудняет развитие общих матем. методов их исследования. Лишь для сравнительно немногих Н. у. м. ф. доказаны теоремы существования и единственности, к таким относятся ур-ния Янга — Миллса, ур-ния Навье — Стокса в двумерном случае, ур-ния газовой динамики. Для ур-ний Навье — Стокса в трёхмерном случае теорема единственности решения задачи Коши до сих пор не доказана. Затруднена даже проблема классификации Н. у. м. ф. Часть их попадает под классич. разделение на эллиптич., гиперболич. и параболич. ур-ния, но значит, число важных Н. у. м. ф. (среди них Кортевега — де Фриса ур-ыие, Кадомцева — Петвиашвили ур-ние) не могут быть отнесены ни к одному из этих типов. Нек-рую классификацию Н. у. м. ф. можно осуществить на основе физ. соображений. Прежде всего это разделение на стационарные и ЭВО.ТЮЦ. ур-ния. Большинство стационарных ур-ний относится к эллиптич. типу. Среди эволюц. ур-ний, явно содержащих производные по времени, можно выделить консервативные Н. у. м. ф., сохраняющие интеграл энергии, и диссипативные Н. у. м. ф., описывающие открытые системы , обменивающиеся энергией с внешним миром . Одним из интересных достижений теории Н. у. м. ф. было обнаружение того факта, что консервативные Н. у. м. ф., как правило, являются гамильтоновыми системами, хотя явное введение кано-иич. переменных зачастую оказывается трудной задачей. Установлена гамильтонова природа большинства консервативных обобщений ур-ний Эйлера и даже системы ур-ний Власова, описывающих плазму без столкновений. Для гамильтоновых систем, близких к линейным, развиты методы теории возмущений, позволяющие учитывать нелинейные эффекты и производить статистич. описание решений. Все перечисленные выше универсальные Н. у. м. ф., за исключением Бюргерса ур-ния и Хохлова — Заболотской ур-ния, являются гамильтоновыми. [c.315]

В работах Пуассона (1828) и Стокса (1849) четко установлена возможность существования в неограниченной изотропной упругой среде двух типов волн, распространяющихся с различной скоростью. Одна из них характеризуется безвихревым изменением объема (безвихревая продольная волна), другая связана с искажением формы (эквиволюмиальная поперечная волна). Открытие этих типов волн способствовало появлению трудностей в толковании исходной гипотезы Френеля. Особенно сильно эти трудности проявились при рассмотрении задачи об отражении и преломлении плоских волн на границе раздела двух упругих сред. В работах Коши (1830— 1836) и Грина (1839) установлено, что для выполнения шести граничных условий, выражающих непрерывность смещений и напряжений на границе раздела, необходимо учитывать как поперечные, так и продольные волны. Однако продольные световые волны в экспериментах не были обнаружены. Интересно, что открытые Рентгеном (1895) новые лучи вначале отождествлялись рядом физиков (в том числе и автором открытия) с продольными световыми волнами. [c.9]

Квазистатическая задача А теории малых упруго-пластичест ких деформаций трансверсально изотропной однородной среды заключается в решении уравнений равновесия (3.49) при выпол-, нении граничных условий (3.50). При этом следует воспользоваться соотношениями Коши (3.51) и иметь в виду, что в (3.49) инварианты напряжений связаны с инвариантами деформаций функциями (3.31), которые в упругой области имеют вид (3.43). В случае разгрузки эти функции приобретают вид [c.242]

Задача заключается в том, чтобы найти связь между матрицей (вязких) напряжений Р = р. Ц и матрицей скоростей деформации II дщ1дх II. Коши показал, что для любой среды, если считать недопустимыми бесконечно большие угловые [c.47]

Мы принимаем в качестве постулата принцип напряжений Коши ), утверждающий, что для любой замкнутой поверхности существует распределение вектора напряжений I с результирующей и моментом, эквивалентными полю сил. действующих на сплошную среду,.заключенную внутри , со стороны среды, расположенной вне этой поверхчости ). Предполагается при этом, что в данный момент времени вектор I зависит только от положения и ориентации элемента поверхности da другими словами, если обозначить через п внешнюю нормаль к поверхности <3, то 1 = 1(х, п). Как отмечает Трусделл, принцип Коши обладает гениальной простотой. Его подлинную глубину можно оценить, только представив себе, что целое столетие выдающиеся геометры использовали при исследовании довольно частных задач упругости очень сложные, а иногда и не совсем корректные методы. В их работах нет даже намека на эту основную идею, которая сразу наметила ясные пути обоснования механики сплошных сред 3). [c.20]

Л. А. Галин [32] решил ряд задач о контактных напряжениях для движущихся по упругому полупространству штампов произвольной формы с учетом сил трения. Была также решена задача о давлении штампа на анизотропную среду. Л. А. Галин для решения контактных задач вводит две аналитические функции, являющиеся интегралами Коши. Плотности этих интегралов есть нормальное и касательное напряжения. Это позволило решить задачу о движении плоского штампа при наличии участков со скольжением и сцеплением. Эту же задачу, но при отсутствии трения на участке скольжения, решил С. В. Фалькович [105]. [c.321]

Для нахождения интересующей нас средней интенсивности субгармоники в различных сечениях среды можно воспользоваться теперь аппаратом метода огибающих или спектральным методом [89]. В первом случае мы должны получить точное решение задачи Коши для уравнения (VI.2.21) с помощью метода Римана. Это нетрудно сделать, однако полученный результат имеет достаточно громоздкую форму и, кроме того, несет избыточную для нас информацию. Поэтому разложим комплексную амплитуду субгармоникм в фурье-спектр [c.164]

Во внутренних точках областей, в которых,х и Т достаточно гладки, уравнения количества движения и момента количества движения выражаются двумя законами движения Коши. Второй закон (III. 5-4) налагает требование симметричности напряжений. Первый закон (III.5-1) связывает поле напряжений с ускорением X в инерциальной системе отсчета, при условии что поле массовых сил Ь известно. Мы будем считать поле которое описывает действие на тело 3S некоторых неконкретизируемых внешних тел, заданным. Хотя на практике в лабораториях и в повседневной жизни встречается лишь несколько специальных массовых сил, например сила тяжести, — а на деле при рассмотрении конкретных задач механики сплошной среды мы даже обычно ограничиваемся случаем Ь = О, — в принципе у нас нет способа как-то очертить класс всех возможных полей массовых сил. Поэтому во всех рассуждениях, относящихся к совокупности всех возможных движений тела, мы вынуждены считать, что Ь не подчинено никаким ограничениям. Каковы бы ни были х и Т, полеЬ, удовлетворяющее уравнению баланса, количества движения, определяется соотношением (III. 5-1) или, если система отсчета неинерциальна, соотношением (III. 5-5). Таким образом, первый закон Коши вообще не налагает никаких ограничений на х и Т. [c.149]

Решение задачи о распространении тепла от мгаовенного источника энергии о для случая плоской симметрии рассматривалось в работе [45]. В этой же работе было впервые отмечено существование температурных волн конечной скорости (см. также [46]). В работах [7, 49, 64, 81] для уравнений параболического типа были доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши и краевых задач, а также теоремы сравнения, которые с помощью автомодельных решений позволили получить достаточно общие условия конечной скорости распространения температурных волн. В работе [74] был построен пример так называемой остановившейся температурной волны, обладающей тем свойством, что тепло не проникает с течением времени в холодную среду, несмотря на неограниченный рост температуры, заданной на границе. В дальнейшем явление локализации тепла было подробно исследовано во многих работах (см., например, [40, 43, 47, 55, 69—71] и библиографию в [55, 70]). Было показано, что причиной локализации может быть так называемый граничный режим с обострением, при котором функция, заданная на границе, обращается в бесконечность в конечный момент времени. Причиной может быть также энерговыделение в режиме с обострением в среде с нелинейными объемными источниками. [c.47]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...