Уравнения дифференциальные равновесия 609, 611 — Условия

Основным уравнением, характеризующим фазовые переходы первого рода, является дифференциальное уравнение Клапейрона— Клаузиуса. Это уравнение получается из условия равенства химических потенциалов при равновесии двух фаз [c.235]

Коснемся вопроса о том, при каких условиях обобщенное решение оказывается решением в классическом смысле (т. е. имеет нужное количество производных, удовлетворяет дифференциальному уравнению и краевым условиям). Оказывается [69,159], что если правая часть является кусочно-непрерывной функцией, то уравнения Ламе удовлетворяются. Краевые же условия выполняются, если граничная поверхность достаточно гладкая, а правые части уравнений равновесия достаточное число раз непрерывно дифференцируемы. В общем же случае однородные краевые условия удовлетворяются в следующем смысле. Существует такая последовательность функций ы (входящих в энергетическое пространство), что выполняется равенство [c.626]

Для отыскания этих неизвестных функций мы располагаем 15-ю уравнениями тремя дифференциальными уравнениями равновесия (4.1), шестью формулами Коши (4.3) и шестью формулами закона Гука (4.5) или (4.6). Таким образом, с математической точки зрения задача может быть решена и сводится к интегрированию этих пятнадцати уравнений при удовлетворении условий на поверхности (4.2). [c.43]

Решение задачи для конкретного упругого тела с заданными поверхностными и объемными силами требует определения компонент напряжений или перемещений, которые удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям и граничным условиям. Если в качестве основных неизвестных выбраны компоненты напряжения, то следует удовлетворить 1) уравнениям равновесия (123), 2) условиям совместности (125) и 3) граничным условиям (124). Обозначим через ... напряжения, вызванные поверхностными силами X, Y, Z и массовыми силами X, Y, Z. [c.252]

Состоянию равновесия отвечает нулевое решение Х = О ( = 1,. .., т) системы дифференциальных уравнений (2). Наличие такого решения предполагает, что правые части уравнений (2) удовлетворяют условию [c.207]

Отметим еще одно преимущество слабой формы уравнений движения над дифференциальной. Иногда при решении конкретных задач трудно реализовывать граничные условия в (1.118)-(1.120), сформулированные в отсчетной конфигурации. Примером могут служить контактные задачи, где статические и кинематические граничные условия ставятся на контактных поверхностях, которые определяются в деформированной (текущей) конфигурации. Вторым примером могут служить следящие (неконсервативные) нагрузки (например, гидростатическое давление), зависящие от деформированной геометрии тела. В этом случае вместо последних членов в правых частях (3.3) или (3.5) можно использовать последний член из правой части (3.1), что всегда можно сделать, так как они равны. В то же время при постановке граничных условий для дифференциальных уравнений движения (равновесия) такую замену сделать невозможно. [c.112]

Лля функции у получено дифференциальное уравнение как следствие условия равновесия конечной части бруса [c.212]

В этом параграфе исследование устойчивости равновесия радиально сжатой круговой слоистой трансверсально изотропной пластинки выполнено без привлечения кинематических гипотез. Его основу составили уравнения теории устойчивости трехмерных упругих тел. С развернутым изложением этой теории, включающим в себя постановку задачи, вывод соответствующих линеаризованных дифференциальных уравнений и граничных условий, обсуждение аналитических и численных методов исследования сформулированных краевых задач, решение конкретных задач устойчивости, заинтересованный читатель может ознакомиться по монографиям [125, 126]. Здесь ограничимся лишь формулировкой некоторых основных уравнений трехмерной теории устойчивости упругих трансверсально изотропных тел в системе координат, нормально связанной с плоскостью изотропии. [c.151]

Итак, задача устойчивости цилиндрической оболочки сформулирована как краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными (6.4.1) — (6.4.5) при краевых условиях (6.4.6) и условии 2л -периодичности решения по угловой координате. Наименьшее из собственных значений этой задачи определяет критическую интенсивность внешней нагрузки, а соответствующая ему собственная вектор-функция — форму потери устойчивости. Параметрические члены уравнений нейтрального равновесия (6.4.1) в общем случае переменны и определяются путем интегрирования линейной системы уравнений осесимметричного изгиба (6.2.14) при краевых условиях (6.2.9). В выражениях для элементов матриц А, В коэффициентов этой системы (см. параграф 6.2) следует выполнить упрощения, соответствующие принятым допущениям о тонкостенности и пологости оболочки, а вектор-столбец / для рассматриваемого ниже случая нагружения оболочки равномерно распределенным внешним давлением интенсивности Р следует взять в виде [c.185]

Напряжения, получаемые в результате решений каждой составляющей задачи, будут удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия, условиям совместности Сен-Венана и физическим краевым условиям — контурной нагрузке. Однако этих условий недостаточно для определения однозначного решения в случае двухсвязной области. Дополнительными условиями однозначности являются условия (IV. 36), позволяющие определить постоянные Шо, К я Ь [c.309]

Распределение напряжений в плоской задаче теории упругости в случае односвязной области вполне определяется дифференциальными уравнениями равновесия, условиями на контуре и условиями совместности деформации. В случае многосвязной области должны также удовлетворяться условия однозначности перемещений миг [c.342]

Каждая из четырех составляющих задач имеет вполне определенные краевые условия, позволяющие получить однозначное решение. Результаты решения первой составляющей задачи будут выражены через заданную внешнюю нагрузку Р на внутреннем и внешнем контурах, а в трех остальных — через неизвестные постоянные хи о, К тл I. Каждое решение будет удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия, условиям на контуре и условиям совместности деформаций. Однако решения составляющих задач, каждое в отдельности, не будут удовлетворять условиям однозначности перемещений. Для удовлетворения условий однозначности перемещений постоянные К я I требуется подчинить условию (IV. 37), [c.343]

Для дифференциального уравнения равновесия оболочки, решаемого с учетом связи между силами и моментами согласно многоугольнику текучести, можно поставить двухточечную граничную задачу. При этом решение уравнений будет удовлетворять условиям на концах некоторого участка оболочки. Так, например, вместо (6.6) получим следуюш,ее решение [c.181]

Как видно, уточнение решения достигается ростом в краевых условиях числа моментных состояний и более полным учетом членов в начальных приближениях. Методом индукции нетрудно показать, что в любом конечном приближении число граничных условий соответствует порядку основного дифференциального уравнения. Приведенные краевые условия остаются неизменными и в задачах динамики. Уравнения равновесия при колебаниях среды получены при использовании принципа Гамильтона [c.160]

Функция напряжений. Мы показали, что решение плоских задач, задач в двух измерениях, сводится к интегрированию дифференциальных уравнений равновесия вместе с уравнением совместности и условиями на контуре. [c.36]

Пластинки прямоугольные гибкие 597 — Деформации и напряжения 597—599 — Изгиб 597—608 — Расчет при давлении равномерно распределенном 602—606 — Уравнения дифференциальные и равновесия 598—600 — Условия граничные 600, 601 [c.822]

Развернем кольцеобразный конденсатор-фитиль трубки и придадим ему вид пластины (рис. 5-53). Если выделить в ней элементарный объем (рис. 5-54) и применить к нему уравнение неразрывности и условия равновесия сил (давления и трения . р) и моментов УИ, то с учетом указанных допущений и предыдущих формул можно получить следующее дифференциальное уравнение переноса импульса в фитиле конденсатора, необходимое для описания процесса обмена энергией в тепловой трубке [c.464]

Расчет рабочего колеса можно свести к решению дифференциального уравнения, которое выражает условия равновесия элемента рабочего колеса [c.7]

В настоящее время, как правило, используются три метода определения критических значений нагрузок. Так называемый точный или статический метод заключается в составлении и интегрировании дифференциального уравнения рассматриваемой формы равновесия стержня или пластины. Подчиняя общий интеграл уравнения заданным краевым условиям, приходят к системе линейных однородных уравнений относительно постоянных интегрирования. Условием существования рассматриваемой формы равновесия (например, криволинейной формы равновесия сжатого прямого стержня) является обращение в нуль определителя, образованного из коэффициентов этой системы. Приравнивая нулю определитель, приходим к уравнению для вычисления критического значения нагрузки. [c.225]

Система однородных дифференциальных уравнений нейтрального равновесия (2.77) кроме тривиального решения имеет для некоторых значений параметра внешней нагрузки Л, входящего в выражения для компонентов основного состояния, нетривиальное решение, удовлетворяющее на контуре 01 = 01 однородным граничным условиям [c.47]

Уравнения нейтрального равновесия оболочечных конструкций (2.73) — (2.77), (2.80) (2.85), записанные с учетом зависимостей (2.167), (2. 168), и удовлетворяющие граничным условиям (2.78), (2.79), являются однородными дифференциальными уравнениями собственных колебаний осесимметрично нагруженных оболочечных конструкций. Значения со, при которых [c.63]

Хотя геометрически этот факт совершенно нагляден, мы все же проведем то рассуждение, с помощью которого он доказывается. Как мы видели в случае, когда состояние равновесия О есть узел или фокус, существует семейство эллипсов без контакта, вложенных друг в друга и стягивающихся к точке О. При любом е > О всегда можно указать эллипс без контакта С целиком лежащий в е-окрестности точки О. Но е-окрестность всякой стремя-п ейся к О полутраектории непременно содержит е-окрестность ее предельной точки О, и поэтому точки внутри такого эллипса принадлежат е-окрестности любой стремящейся к О полутраектории. Пусть — одна из таких полутраекторий. Очевидно, в конечное время t она достигнет этого эллипса Се, войдет в него и уже больше из него не выйдет. Но, в силу непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных условий, вокруг точки М всегда можно указать такую 8-окрестность, чтобы все траектории, проходящие при некотором значении 1 — через точки этой [c.414]

При формулировке метода конечных элементов на основе метода перемещений очень важны кинематические дифференциальные соотношения, связывающие деформации с перемещениями. Наоборот, дифференциальные уравнения равновесия (условия статики), приведенные в разд. 4.1, не играют столь существенной роли при этом подходе. [c.113]

Дифференциальные уравнения движения системы. Условия равновесия. Напишем основные векторные уравнения динамики для п точек системы [c.130]

А. А. Уманским. Основное дифференциальное уравнение, полученное из условия равновесия, имеет вид [c.135]

Откуда после приведения подобных членов и деления на V, получим систему уравнений Эйлера, выражающую в дифференциальной форме условия равновесия жидкости [c.31]

После теоретических исследований различных факторов, влияющих на усилие вытяжки, В. Е. Недорезов составил общее дифференциальное уравнение равновесия, рассматривая элементарный сектор и условия действия сил при его перемещении во время деформации [c.18]

Выведем дифференциальное уравнение колебаний стержня. С этой целью рассмотрим условие динамического равновесия участка колеблющегося стержня. Сечения аи Ь (рис. 545, б), ограничивающие элементарную длину dx, периодически перемещаются. Перемещение и произвольного сечения с координатой х может быть выражено как и = f (х, t). Это уравнение указывает на наличие в стержне относительных перемещений отдельных его поперечных сечений. [c.569]

Это и есть общее уравнение гидростатического равновесия, onst = р" (0) - р Ф) определяется из граничных условий конкретной задачи. Кривизна поверхности H(z) — нелинейный дифференциальный оператор второго порядка. В частности, если поверхность в декартовой системе координат определяется как z - f x, у), то [c.90]

Дифференциальное уравнение равновесия и граничные условия. Используя определение эйлеровой критической силы как наименьщей из сил, способных удержать стержень в искривленном состоянии, полагая в качестве такового положение нейтрального (безразличного) равновесия, составим такое дифференциальное уравнение равновесия стержня, находящегося в отмеченном выще состоянии, т. е. уравнение относительно бо-возмущения (прогиба) первоначально прямолинейного очертания оси, из которого можно найти нетривиальное для 8v рещение. Уравнением, удовлетворяющим этому условию, является уравнение равновесия, составленное с учетом поворота, но без учета деформации элемента стержня ). [c.329]

В записанном уравнении возможные перемещения 6ц, бу, бш между собой не свлганы, поэтому, чтобы оно обращалось в тондаство при любых значениях возможных перемещений, должны обращаться в нуль коэффициенты при возможных перемещениях, стоящие в скобках. Следовательно, получаем шесть уравнений три первых уравнения представляют собой условия на поверхности (4.2), а три других — дифференциальные уравнения равновесия (4,1). Таким образом, вариационное уравнение (к) заключает в себе дифференциальные ураа-нения равновесия и статические граничные условия. Отсюда следует, что при использовании этого уравнения для приближенного решения задач выбранная функция <р, обязательно должна удовлетворять только геометрическим граничным условиям. Статические гранитные ус- [c.155]

Тензор представляет линейный дифференциальный оператор над вектором w. При отсутствии добавочных массовых и поверхностных сил (k = О, / = 0) ) задача разыскания w сведется к однородной системе линейных относительно w дифференциальных уравнений второго порядка с однородными краевыми условиями. Это —так называемые уравнения нейтрального равновесия. Они допускают, конечно, тривиальное решение и> = 0. Но могут иметь место решения, отличные от тривиального, когдя наряду с рассматриваемым состоянием равновесия У-объема, нагруженного силами К, F, существуют близкие к нему равновесные состояния. Значения параметров нагружения, для которых уравнения нейтрального равновесия имеют нетривиальное решение, называются бифуркационными. Сформулированная однородная краевая задача позволяет найти бифуркационные [c.725]

Для установления дифференциальных уравнений равновесия воспользуемся принципом возможных перемещений [207]. Вариационные принципы открывают естественный путь для сведения трехмерных задач механики сплошных сред к двумерным задачам теории пластин и оболочек. Их использование позволяет установить систему обобщенных внутренних усилий, соответствующую независимым обобщенным кинематическим параметрам конечносдвиговой слоистой оболочечной системы и получить корректные уравнения ее равновесия. Вместе с ними устанавливаются кинематические и естественные граничные условия задачи. Дифференциальные уравнения и краевые условия получаются из вариационного принципа путем применения формальной математической процедуры, что важно, поскольку корректное использование формального аналитического метода позволяет избежать ошибочных формулировок, которые могли бы возникнуть при составлении уравнений равновесия и краевых условий методами элементарной статики. Анализ публикаций, посвященных неклассическим моделям деформирования многослойных оболочек, выявляет многочистенные примеры таких формулировок [8, 9, 215, 250, 253 и др.]. Укажем также и на известный [301 ] классический пример такого рода — условие Пуассона на свободном крае. [c.47]

Первое систематическое рассмотрение устойчивости равновесия упругих тел принадлежит Дж. Брайану Он выяснил пределы применимости теоремы Кирхгофа и показал, что при условии малых деформаций она отпадает, если только один или два размера тела можно считать малыми. При этом явление неустойчивости может иметь место в пределах упругости, если произведение модуля упругости Е на квадрат отношения малого размера к конечному будет того же порядка, что и предел упругости материала. Дальнейшая разработка общей теории устойчивости равновесия упругих тел принадлежит Р. Саусвеллу Он устраняет ограничение относительно малости деформаций и оперирует с идеальным телом бесконечно большой прочности. При этих условиях и тела, у которых все размеры одного порядка, могут оказаться в состоянии неустойчивого равновесия. Исходя из однородного напряженного состояния тела, Р. Саусвелл дает точкам тела весьма малые перемещения и, v, w ) и для этой отклоненной формы пишет дифференциальные уравнения нейтрального равновесия, причем считает начальные деформации конечными. То соотношение между внешними силами и размерами тела, при котором полученные уравнения дают для и, у и w решения, удовлетворяющие условиям на поверхности, определяет критическое значение нагрузки в рассматриваемом случае. Применяя свой общий метод к тонким стержням и пластинкам, Р. Саусвелл нашел, что имеющееся решения задач устойчивости являются лишь первыми приближениями, хотя и вполне достаточными для практических приложений. Мы в дальнейшем ограничимся этими приближенными решениями, отсылая интересующихся теорией вопроса к работе Р. Саусвелла. [c.258]

Предварительно доказывается некоторый вариационный принцип. Предполагается, что дифференциальные уравнения и граничные условия задачи определяют состояние равновесия рассматриваемой упругой системы неединственным образом в решения входят некоторые постоянные параметры или функции независимых переменных задачи, остающиеся неопределенными. Рассматривается вариация поля смещений 5и1, соответствующая вариации множества неопределенных элементов. Используется принцип возможных перемещений [c.364]

Дифференциальные уравнения равновесия (7.15) и условие пластичности Мизеса — Генки (7.18) содержат три компоненты напряжений Ох Оу Хху. Следовательн , данная система уравнений пластического равновесия в компонентах напряжения может решаться независимо от уравнений (7.17) или (7.17а), содержащих компоненты перемещения или компоненты скоростей перемещения. Таким образом, задача о нахождении напряжений в условиях плоского напряженного состояния при заданных на поверхности напряжениях является статически определимой. [c.174]

Мы не будем выписывать здесь дифференциальные уравнения равновесия элемента оболочки произвольной формы, поскольку они ничем не отличаются от уравнений, принятых в теории упругой устойчивости оболочек, и ограничимся лишь некоторыми замечаниями. В общем случае это система пяти дифференциальных уравнений первого порядка относительно сил STi, ЗГз, 85, моментов оМ , 8Я и перерезывающих сил oN , первые три уравнения получаются из условия равновесия проекций силЗГ,, ЬТ , 85, 8A/j, на направления осей X, у, г основного трёхгранника (рис. 90) последние два уравнения суть уравнения равновесия моментов сил относительно осей X, у. Ввиду того, что компоненты деформации ej, е , и искривления Zj, выражаются по известным формулам Лява [c.291]

Второе направление, продолжающее идеи В. Ренкина, пытаете построить строгую теорию предельного равновесия, позволяющув рассматривать различные задачи и находить соответствующие сетю линий скольжения. Оно ведет свое начало от Ф. Кеттера (1903) который, взяв дифференциальные уравнения равновесия и предельно условие в каждой точке, составил систему уравнений предельног равновесия сыпучей среды, а затем преобразовал ее к соответствую щим криволинейным координатам. [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...