Система уравнений пластического равновесия

Система уравнений пластического равновесия [c.60]

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ [c.61]

Розенблюм В, И, О полной системе уравнений пластического равновесия тонкостенных оболочек.— Механика твердого тела, [c.483]

Так как в точке 0 угол 6 между касательной к линии скольжения Si и локальной осью абсцисс Xi равняется нулю, то sin 20 = = О, os 20 = 1. Следовательно, в локальной системе координат дифференциальные уравнения пластического равновесия упрощаются и принимают вид [c.265]

Главы XI и XII относятся к плоскому напряженному состоянию. Проведено подробное исследование уравнений пластического равновесия и преобразование их к каноническим системам для двух видов условий текучести. Показано, что эти уравнения в зависимости от характера напряженного состояния могут быть не только гиперболическими, но и эллиптическими. [c.5]

Другим примером использования условия пластичности для замыкания системы уравнений в напряжениях может служить случай плоского деформированного состояния пластического тела, находяш егося в равновесии под действием заданной на его поверхности системы напряжений р . В этом случае по определению плоского деформированного состояния оси координат х, у, z можно выбрать так, чтобы Б33 = = [c.462]

В рассматриваемых задачах предельного упруго-пластического анализа роль ограничений-неравенств играет условие пластичности (2.22), а ограничений-уравнений — условия равновесия (записанные в виде системы алгебраических уравнений). В соответствии с требованиями линейного программирования те и другие должны быть линейными. Этому удовлетворяет критерий текучести Треска—Сен-Венана (2.7), а при решении задачи в обобщенных усилиях — кусочно-линейные поверхности текучести. [c.64]

Управление рулевое — см. Рулевое управление Упругие муфты — см. Муфты, упругие Упругие системы — см. Системы упругие Упругие тела — Вариационное уравнение Лагранжа 1 (2-я)—189 Упругие элементы — Ломаные характеристики 1 (2-я) — 127 Упругий гистерезис 1 (2-я)—169 Упруго-пластическое равновесие — Задачи 1 (2-я)— 193 Упругое полупространство 1 (2-я) — 359 Упругость — Модуль 3—21, 23, 51, 219 Уравнение поверхности 1 (1-я) — 216 [c.316]

Граничные условия, при которых интегрируется система уравнений (56)-(59), остаются теми же, что и для уравнений нулевого приближения. Найдем решение замкнутой системы уравнений равновесия пластической среды (56), (58). Из этой системы уравнений получается система уравнений первого приближения, путем определения из равенства (58) нормального напряжения и подстановки его во второе уравнение (56) [c.106]

Займемся теперь исследованием системы уравнений, описывающих упруго-пластическое напряженное состояние изогнутой круговой или кольцевой пластинок. Внося в дифференциальное уравнение равновесия (18.02) выражения (18.11) и вводя безразмерное переменное х при помощи равенства С = h i, получим [c.565]

В двумерном случае полная система уравнений плоской пластической деформации включает два уравнения равновесия (3.22), условие пластичности [c.472]

Для определения напряжений в пластической зоне рассмотрим уравнения равновесия плоской задачи в полярной системе координат (6.1), которые при отсутствии объемных сил имеют такой вид [c.281]

В связи с малостью пластических деформаций к классу задач, который рассматривается в настоящей главе, полностью применим принцип неизменности начальных размеров, и при составлении уравнений равновесия можно считать, что пластически деформированная система мало отличается от недеформированной. [c.348]

Точки бифуркации. Итак, пусть критические напряжения, полученные в предположении упругости системы, оказались выше предела текучести материала опорных стержней, т. е. а >ат. Найдем значения тех сил, при которых может существовать наклонное положение равновесия стойки, смежное с вертикальным, учитывая упруго-пластический характер деформирования системы. Если наклон стойки бесконечно мал (рис. 18.81, а), то ее равновесие в новом положении описывается уравнениями [c.422]

Сущность перечисленных выше методов решения задач о напряженном состоянии заготовки в процессе ее деформирования, применяемых в последние годы, заключаются в следующем. Как известно, наиболее распространенным методом решения задач по определению напряжений является метод совместного решения уравнений равновесия элемента, выделенного в очаге деформаций, и уравнений пластичности. Однако решения этих задач с использованием точных способов механики пластического деформирования сопряжено с решением системы дифференциальных уравнений в частных производных, что вызывает большие трудности и во многих случаях не обеспечивает решений в замкнутом виде. Поэтому большинство задач решается при дополнительных упрощающих допущениях, правомочность которых не всегда обосновывалась анализом влияния их на точность результатов. [c.202]

В работе [6] приведено решение задачи об упругопластическом сжатии в условиях плоской деформации тонкой упрочняющейся полосы при наличии площадки текучести на диаграмме ai—ai ъi), для которой зависимость между интенсивностями напряжений и деформаций определяется формулами (1). Система исходных уравнений, описывающая пластическую деформацию указанной полосы, состояла из следующих соотношений уравнения равновесия [c.16]

В настоящей работе описан численный метод решения задач плоского пластического течения с кинематическими граничными условиями. Напряжения исключаются из уравнений равновесия с помощью ассоциированного закона течения. В результате этого расчет пластического течения сводится к решению системы из двух нелинейных дифференциальных уравнений для функции тока и вихря. Применение метода иллюстрируется на примере решения задач прессо ания и прошивки прямоугольным гладким пуансоном. [c.54]

Вариационные уравнения принципов возможных изменений деформированного состояния, напряженного состояния и одновременного возможного изменения напряженно-деформированного состояния сами по себе не уменьшают сложности решения конкретных задач. Действительно, вариационное уравнение (3.31) или (3.39) эквивалентно полной системе дифференциальных уравнений теории пластического течения (3.36) или (3.40). Вариационное уравнение принципа возможных изменений деформированного состояния и возможных изменений напряженного состояния эквивалентны соответственно решению дифференциальных уравнений равновесия в скоростях и решению уравнений неразрывности деформации, записанных в напряжениях. Вариационные уравнения удобны для построения приближенных решений задач. С помощью прямых методов вариационного исчисления [10, 67, 109] сводят вариационные уравнения к системам алгебраических (во всяком случае конечных) или обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим прямые методы, нашедшие применение для решения технологических задач с помощью указанных выше трех принципов. Начнем с принципа возможных изменений деформированного состояния. Основной отличительной чертой почти всех имеющихся в теории обработки металлов давлением решений [163, 164 и др.] является приближенное представление функционала, которое основано на допущении [c.96]

Задача анализа напряженного состояния тела, претерпевающего малую упруго-пластическую деформацию в условиях простого нагружения, приводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений в частных производных, которую мы получаем, воспользовавшись уравнениями равновесия (4-3) и подставляя выражения (3-7) и (5-8) в равенства (5-6), (5-7), (5-5) и (3-19). Это система одиннадцати уравнений с одиннадцатью искомыми переменными о , [c.133]

При составлении системы дифференциальных уравнений сопротивление материалов пластическому деформированию использует условия равновесия и постоянства объема любой мысленно выделенной материальной частицы тела, а также условие пропорциональности разностей главных напряжений соответствующим разностям главных логарифмических деформаций. [c.209]

Дифференциальные уравнения равновесия (7.15) и условие пластичности Мизеса — Генки (7.18) содержат три компоненты напряжений Ох Оу Хху. Следовательн , данная система уравнений пластического равновесия в компонентах напряжения может решаться независимо от уравнений (7.17) или (7.17а), содержащих компоненты перемещения или компоненты скоростей перемещения. Таким образом, задача о нахождении напряжений в условиях плоского напряженного состояния при заданных на поверхности напряжениях является статически определимой. [c.174]

Уравнения пластического равновесия. Подставляя значения компонент тензора напряжений при пластической деформации из системы уравнений (XIII.2) в дифференциальные уравнения равновесия для плоской задачи (XII.1J получим [c.264]

Дифференциальные уравнения пластического равновесия в локальной системе координат., образованной сеткой линий скольшния. Пусть в плоскодеформируемом теле выявлена сетка линий скольжения. представленная на рис. 112. Рассмотрим ее элемент abed, образованный линиями скольжения Sji, Sji, 33 и 543 (рис. 113). [c.265]

Обобщенное уравнение пластического равновесия. Продифференцируем первое уравнение системы (XIII.5) по у, а второе по х и вычтем одно из другого. Получим уже одно квазилинейное неоднородное уравнение в частных производных второго порядка относительно функции 0 [c.281]

Таким образом, система уравнений нейтрального равновесия для оболочек из нелинейно-упругого материала совпадает с соответствующей системой ура внений я упругих оболочек с точностью до коэффициентов Ац, Вц, йц в физических соотношениях (2.153), отличающихся от коэффициентов Ац, Вц, Оц в физических соотношениях (2.76) наличием пластических добавок i4 , и для определения которых нам необходимо знагь докритические значения Е , Е , ATJi, K vi диаграмму растяжения а(е). Поэтому и разрешающая система для определения критических нагрузок симметрично нагруженных оболочечных конструкций из нелинейно-упругого материала совпадает с соответствующей системой разрешающих уравнений для упругих оболочечных конструкций с точностью до соотношений (2.102), в которых коэффициенты Ац, Bij, Dij необходимо заменить на Aij, Bij, Dij. [c.62]

Главы VII, VIII, IX и X посвящены плоскому деформированному состоянию. Проведено подробное исследование уравнений пластического равновесия и преобразование их к каноническим системам. Показано, что эти уравнения являются гиперболическими и даны эффективные приемы их численного. интегрирования. Изложен метод тригонометрических рядов, позволяющий получать решения некоторых задач в аналитической форме. Изучены уравнения пограничного слоя и выведены простые интегралы этих уравнений в напряжениях и скоростях. [c.4]

Таким образом, проблема расчета упруго-пластических тел по предельному равновесию и по приспособляемости сводится соответствующими статическими теоремами к специфическим экстремальным задачам, которые заключаются в определении максимумов некоторых (целевых) функций при соблюдении ограничений в виде нервенств (2.22) и уравнений (условий равновесия внутри тела и на его поверхностях). В том случае когда последние представлены в виде системы алгебраических уравнений, задачи этого типа составляют предмет математического программирования (оптимального планирования). [c.63]

Теория плоской задачи идеальнопластического тела характеризуется статической определимостью два уравнения равновесия (2) и условие пластичности (3) образуют систему трех уравнений относительно трех компонент напряжений Ох, сту, %ху Система уравнений для компонент напряжений и скоростей перемещений принадлежит к гиперболическому типу с характеристиками, совпадающими с линиями действия максимальных касательных напряжений и являющимися линиями скольжения. Гиперболический тип уравнений позволяет определить зоны предельного состояния материала и границы областей пластического течения, характеризующиеся разрывом скоростей перемещений. [c.17]

При расчетах "по теории пластического течения программа нагружения разбивается на ряд малых этапов, которые рассчитывают последовательно. На п-м этапе при заданных приращениях внешних нагрузок и температурного поля приращения напряжений деформаций Ле " и перемещений Awif должны удовлетворять системе уравнений, включающей как уравнения равновесия, деформации и граничные условия, но записанные в приращениях, так и уравнения пластического течения. При этом, чтобы перейти к расчету конечных этапов нагружения, дифференциальные соотношения теории течения должны быть проинтегрированы в пределах п-го этапа. Интегрируя уравнение (3.60) и используя теорему о среднем, получим [c.155]

Второй способ расчета приводит к большим допустимым нагрузкам, нежелп первый (при а = 30° на 19%). Заметим, что для определения предельного состояния системы, т. е. нагрузки Р , нет необходимости прослеживать поведение системы в упругой области и последовательность перехода ее элементов в пластические состояния. В данном случае в предельном состоянии все три стержня текут, поэтому достаточно положить Ni = Ni — N3 — a F и составить уравнение равновесия, мы получим формулу (2.5.5). Так получилось вследствие симметрии системы, вообще же, для возможности общего течения достаточно, чтобы напряжения достигли предела текучести в двух стержнях. В случае, изображенном на рис. 2.3.3, заранее не известно, какой стержень потечет первым, какой вторым и который из трех остается упругим. Поэтому, казалось бы, для такой задачи необходимо повторить проделанный выше анализ, который, естественно, окажется более сложным вследствие асимметрии системы. Но в предельном состоянии могут быть только три воз-люжности [c.57]

Рассмотренные до сих нор теории пластичности основывались на гипотезах формального характера реальная структура поли-кристаллического материала и хорошо известная картина пластического деформирования кристаллических зерен при этом совершенно не принимались во внимание. Такой подход имеет свои преимуп] ества и недостатки. С одной стороны, обилие законы пластичности, сформулированные для нроизвольного тела безотносительно к его физической природе, позволяют охватить единообразным способом широкий круг явлений — пластичность металлов, предельное равновесие грунтов, хрупкое разрушение горных пород и бетона и так далее. Такая общность чрезвычайно подкупает действительно, экспериментатор с удивлением обнаруживает, что макроскопическое поведение тел самой разнообразной физической природы оказывается поразительным образом сходным. Оказывается, что это поведение егце более поразительным образом может быть приблизительно хорошо описано при помощи уравнений, полученных из некоторых априорных гипотез достаточно формального характера. Но при более детальном изучении опытных данных оказывается, что при внешнем глобальном сходстве обнаруживаются и различия в поведении разных материалов. Эти различия связаны с тем, что микромеханизмы не только неунругой, но даже упругой деформации не одинаковы. Поэтому естественно стремление к тому, чтобы положить в основу теории пластичности некоторые физические представления о протекании пластической деформации. Нужно признать, что мы еш е далеки от возможности построения макроскопической теории, основанной на анализе и описании процессов, происходящих на микроуровне. Теория скольжения Батдорфа и Будянского, которая будет схематически изложена ниже, отнюдь не может быть названа физической теорией. Однако положенные в ее основу гипотезы в определенной мере отражают процессы, происходящие внутри отдельных кристаллических зерен, хотя и не воспроизводят их точным и полным образом. Пластическая деформация единичного кристалла происходит за счет сдвига в определенной кристаллографической плоскости в определенном нанравлении. Совокупность плоскости скольжения и направления скольжения в этой плоскости называется системой скольжения. Система скольжения задается парой ортогональных еди- [c.558]

В дальнейшем при расчетах ограничимся упругопластическими деформациями, лежаш,ими в пределах 2%, т.е. 2%. В этом случае пластические деформации сильно развиты и суш ествеп-но превышают упругие. Но так как максимальные деформации остаются все же малыми в сравнении с единицей, то это позволяет рассматривать исследуемые системы в рамках принципа малости деформаций, т.е. при составлении уравнений равновесия для систем и их частей не учитывать изменение их размеров и формы за счет деформаций. [c.426]

Сближение различных разделов механики сплошной среды и даже стирание граней между ними привело к выработке общих методов решения задач (и, в свою очередь, стимулировалось этим процессом). Ярким примером служит теория распространения разрывов в сплошных средах, математические основы которой разрабатывал в начале XX в, Ж. Адамар. В настоящее время теория ударных волн охватывает многие модели сплошных сред (см., например, монографию Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера ). С. А. Христиановичем и другими была установлена близкая аналогия между задачами о плоском установившемся течении в газовой динамике, задачами о распространении упруго-пластических волн в стержнях, задачами о неустановившемся течении воды в каналах и реках, задачами о предельном равновесии идеально-пластической или сыпучей среды (во всех случаях приходится иметь дело с некоторыми системами квазилинейных уравнений гиперболического типа). Общими для всей механики становятся методы подобия и размерностей, асимптотические методы и методы линеаризаций. [c.279]

Ее интерпретация требует привлечения представлений [58], изложенных в главах 2, 3. Они основываются на рассмотрении конденсированного состояния как системы, значительно удаленной от состояния равновесия. Благодаря этому удается единым образом представить упругое и пластическое поведение твердого тела, его течение и разрушение. Оказывается, что элементарные носители указанных явлений представляются автоло-кализованными решениями полевых уравнений вязко-упругой среды [96] (см. п. 1.2). Изложению картины вязкого разрушения, основывающейся на этих представлениях, посвящен п. 2.1. [c.297]

Предложен численный метод решения задач плоского пластического течения жесткопластнческого тела, в которых задаются граничные условия кинематического типа. Напряжения исключаются из уравнений равновесия с помощью закона течения, ассоциированного с условием пластичности Мизеса. В результате получается система из двух нелинейных дифференциальных уравнений эллиптического типа для функции тока и вихря, которая интегрируется методом конечных разностей на ЭВМ. С помощью этого метода решены задачи о прошивке и прессовании при различных обжатиях заготовки. [c.134]

Как в примере расчета пластически изгибаемого стержня-листа, так и в данном примере расчета обжатия в торец толстостенного цилиндра, геометрически упрощая, схематизируя процесс, мы все же, как обычно, устанавливаем условие равновесия, если не элементарных объемов, то некоторых мысленно выделенных слоев или отдельных частей формоизменяемого тела. Характерен, например, прием приведения системы нелинейных зависимостей к линейным путем замены так называемого уравнения пластичности [c.210]

Основная идея способа Эйлера состоит в следующем. Предполагают, что смежная, качественно новая форма равновесия существует, тогда из уравнений, характеризующих эту форму равновесия, определяют нагрузки, при которых она становится возможной. При постановке соответствующих задач идеализируют геометрию системы и способ ее нагружения (идеально прямолинейная форма исходного стержня, идеально плоская исходная форма срединной поверхности пластинки, отсутствие эксцентрицитетов нагрузкн и т. п.). Многие нз этих задач (в случаях большой гибкости конструкции) допускают решение на основе гипотезы о физической линейности (т. е. использование закона Гука), но нередко приходится учитывать физическую нелинейность (пластические свойства материала). [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...