Дифференциальные уравнения равновесия и статические граничные условия

Дифференциальные уравнения равновесия и статические граничные условия [c.410]

Вопрос об устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого стержня на основе статического критерия сведен к решению задачи отыскания наименьшего собственного значения некоторого дифференциального оператора (применительно к сжатому стержню — это задача для дифференциального уравнения (18.26)) при граничных условиях /ш = О, которые всегда линейны и однородны. [c.331]

Рассмотрим теперь статически возможное решение. Пусть напряжения в заштрихованных на рис. 129 полосках равны а == = Og.y = О, Оу = 2т,. Центральная незаштрихованная полоска является жесткой областью, в ней все напряжения равны нулю. При этом удовлетворяются дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия (XIV. 13) на боковых поверхностях и на поверхности, ограничивающей круговое отверстие. Для выбранного поля напряжений растягивающая сила по-прежнему равна Р = 4тд (h — а). Но поскольку верхняя и нижняя оценки совпадают, полученное значение предельной нагрузки является точным. [c.300]

Задачи (96), (100) трудны в том плане, что при их приближенном решении каким-либо численным методом возникает необходимость удовлетворить дифференциальным уравнениям равновесия внутри области и статическим граничным условиям, поэтому имеет смысл перейти к формулировкам с применением лагранжианов. Используя определение (85), находим, что возмущению (94) соответствует лагранжиан [c.112]

В силу произвольности вариаций 8ut°, 8w из уравнения (9.74) следуют основные дифференциальные уравнения равновесия (9.30), (9.33) тонкой пластины, на которую действуют поперечные силы и силы, лежащие в срединной поверхности, а также статические граничные условия [c.204]

В принципе минимума дополнительной работы рассматривается функционал, зависящий от компонент тензора напряжений, которые должны быть статически возможными, т. е. должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия в объеме V и граничным условиям на части Se поверхности тела о заданными поверхностными силами. [c.105]

Определение напряженного состояния в теле, находящемся под действием заданных внешних сил, является одной из основных задач теории упругости. В двумерном случае необходимо решить дифференциальные уравнения равновесия (18), и решение это должно быть таким, чтобы удовлетворялись граничные условия (20). Эти уравнения, выведенные с применением статических условий равновесия и содержащие три компоненты напряжения а , G,j, недостаточны для определения указанных компонент. Задача является статически неопределимой чтобы получить ее решение, следует рассмотреть упругую деформацию тела. [c.47]

Рассмотрим теперь вместо перемещений напряжения, отвечающие положению равновесия. Мы знаем, что дифференциальные уравнения равновесия (123) вместе с граничными условиями (124) недостаточны для определения компонент напряжения. Мы можем найти множество различных распределений напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и граничным условиям в связи с этим возникает вопрос как отличить истинное напряженное состояние от всех других статически возможных распределений напряжений [c.265]

Решение. Ни одно дифференциальное уравнение равновесия не удовлетворяется, равно как и граничные статические условия. Если удержать формулы сопротивления материалов для нормального напряжения в поперечном сечении, т. е. [c.49]

Из трех дифференциальных уравнений равновесия (уравнений статики) найти шесть неизвестных функций не представляется возможным. Имея в виду, что системы, в которых усилия или напряжения не могут быть найдены нз одних уравнений статики, называются статически неопределимыми, приходим к выводу, что напряжения в сплошной среде (за исключением так называемых простейших задач, о которых говорится в главе IX) статически неопределимы. Для выяснения картины распределения напряжений в теле приходится кроме уравнений статики использовать и так называемые уравнения совместности деформаций (см. гл. VI). Граничными условиями для функций, входящих в уравнения (5.59), являются (5.4), если при этом иметь в виду, что наклоненная грань тетраэдра [c.411]

Таким образом, решение плоской задачи теории упругости в напряжениях сводится к интегрированию системы трех дифференциальных уравнений двух уравнений равновесия (17.10) и уравнения неразрывности деформаций (17.19) при выполнении статических граничных условий (17.12) на поверхности тела. [c.350]

Максимальные свойства действительного напряженного состояния. Рассмотрим наряду с действительным напряженным состоянием <3х,. ... гх (удовлетворяющим дифференциальным уравнениям равновесия, граничным условиям на S, условию текучести, соотношениям Сен-Венана—Мизеса (14.14) и уравнениям сплошности) любые напряженные состояния о ,. .., x x> удовлетворяющие только дифференциальным уравнениям равновесия, граничным условиям на Sf и условию текучести будем называть их статически возможными напряженными состояниями текучести. [c.88]

Отметим еще одно преимущество слабой формы уравнений движения над дифференциальной. Иногда при решении конкретных задач трудно реализовывать граничные условия в (1.118)-(1.120), сформулированные в отсчетной конфигурации. Примером могут служить контактные задачи, где статические и кинематические граничные условия ставятся на контактных поверхностях, которые определяются в деформированной (текущей) конфигурации. Вторым примером могут служить следящие (неконсервативные) нагрузки (например, гидростатическое давление), зависящие от деформированной геометрии тела. В этом случае вместо последних членов в правых частях (3.3) или (3.5) можно использовать последний член из правой части (3.1), что всегда можно сделать, так как они равны. В то же время при постановке граничных условий для дифференциальных уравнений движения (равновесия) такую замену сделать невозможно. [c.112]

Пусть для упругого тела известны напряжения а, деформации е и перемещения и, возникающие при действии внешних нагрузок R и р. Напряжения а удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия (1.4) и условиям на поверхности (1.6). Отметим, что на части (Of, поверхности тела равенство (1.6) дает статические граничные условия, а на Шц оно выражает связь между напряжениями и реакциями на тело со стороны наложенных связей. [c.39]

Дифференциальные уравнения равновесия должны выполняться в любой внутренней точке тела. Помимо этого, необходимо учесть условия равновесия на границе тела (статические граничные условия). Рассмотрим, согласно рис. 4.3, границу двумерной области, на которой действуют заданные поверхностные усилия и Ту [c.111]

Этот метод состоит в том, что выражения (14), (15) и (38) подставляют в уравнения равновесия (30). Полученную систему трех дифференциальных уравнений восьмого порядка в частных производных интегрируют при некотором варианте граничных условий, записанных через смещения и их производные. Следует, однако, заметить, что полученная система уравнений очень громоздка, даже для оболочек простой формы. Поэтому в статических задачах ее используют сравнительно редко. [c.641]

Так как вариации 5щ произвольны, то для выполнения равенства (4.6) мы должны приравнять к пулю подыптегральпые выражения в скобках. В результате получим известные дифференциальные уравнения равновесия и статические граничные условия в напряжениях, которые в данном случае являются [c.73]

В записанном уравнении возможные перемещения 6ц, бу, бш между собой не свлганы, поэтому, чтобы оно обращалось в тондаство при любых значениях возможных перемещений, должны обращаться в нуль коэффициенты при возможных перемещениях, стоящие в скобках. Следовательно, получаем шесть уравнений три первых уравнения представляют собой условия на поверхности (4.2), а три других — дифференциальные уравнения равновесия (4,1). Таким образом, вариационное уравнение (к) заключает в себе дифференциальные ураа-нения равновесия и статические граничные условия. Отсюда следует, что при использовании этого уравнения для приближенного решения задач выбранная функция <р, обязательно должна удовлетворять только геометрическим граничным условиям. Статические гранитные ус- [c.155]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...