Дифференциальные уравнения движения системы Условия равновесия

Дифференциальные уравнения движения системы. Условия равновесия. Напишем основные векторные уравнения динамики для п точек системы [c.130]

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии равновесие устойчиво, а возмущения малы, то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движения тоже оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы,П [(см. 143, формулы (115)], примет вид [c.389]

Из общего уравнения динамики (2, 123) можно вывести так называемые дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах, подобно тому, как из общего уравнения статики (1, 121) были выведены условия равновесия системы в обобщенных координатах (2, 122). [c.788]

Согласно принципу Даламбера, задачи динамики могут сводиться к задачам статики, если к действительно действующим силам присоединить условно вводимые силы инерции. Приняв это условие и составив уравнения равновесия, т. е. уравнения статики, можем получить дифференциальные уравнения движения системы материальных точек (18). [c.32]

В 143 мы получили условия равновесия системы в обобщенных координатах. Теперь, пользуясь методом обобщенных координат, обратимся к выводу дифференциальных уравнений движения системы, которые находят широкое применение в динамике. [c.549]

Под моментом сил Остроградский подразумевал работу сил. Итак, здесь ученый развивает мысль о распространении метода возможных перемещений на системы с освобождающими связями, поставив условием равновесия требование, чтобы полный момент сил был равен нулю или меньше нуля. Этот же метод был применен Остроградским для вывода дифференциальных уравнений движения, причем эти уравнения были выведены Остроградским и для случая голономных освобождающих связей, и для дифференциальных (неголономных) связей линейного вида. [c.221]

А. Если колеблющаяся система, несущая груз Q, обладает довольно значительной распределенной массой (число степеней свободы, следовательно, велико), упрощенные расчеты, приведенные в предыдущем параграфе, будут иметь уже значительную погрешность. В этом случае дифференциальные уравнения движения составляются с учетом массы системы. При решении подобного рода задач удобнее исходить не из условий равновесия, на основе которых составлены уравнения (29.23) и (29.24), а из закона сохранения энергии. [c.506]

Что представляет собой система с двумя степенями свободы С помощью каких величин описывается их движение 2. Какое положение называется устойчивым положением равновесия и каковы его условия 3. Какие колебания называются собственными колебаниями системы 4. Каковы дифференциальные уравнения колебаний системы с одной и двумя степенями свободы 5. Что представляют собой главные колебания системы 6. Как определяются частоты главных колебаний 7. Как определяются нормальные координаты [c.160]

Дифференциальные уравнения движения (1.21)-(1.25) или (1.26)-(1.30) при краевых условиях (1.31) допускают решения, соответствующие положениям равновесия тросовой системы в орбитальной системе координат. [c.419]

Общее уравнение динамики для систем, подчиненных голономным, идеальным, неосвобождающим связям, дает полную информацию о движении таких систем, т. е. из него аналогично тому, как из принципа возможных перемещений получались условия равновесия системы, можно получить полную систему дифференциальных уравнений. Для вывода этих уравнений следует использовать понятия обобщенных координат и обобщенных сил. [c.387]

Как известно, решение (618) дает свободный переходный процесс исследуемой системы после вывода ее из состояния равновесия. Под свободным понимается такой переходный процесс, когда возмущающее воздействие является лишь причиной появления переходного процесса и не влияет на систему в период самого переходного процесса. Такие процессы описываются линейными однородными дифференциальными уравнениями (без правой части). Характер переходного процесса в этом случае полностью определяется параметрами элементов, входящих в систему, а количественные соотношения — начальными условиями движения. Решение (620) дает вынужденный переходный процесс под влиянием постоянно действующих возмущений в виде [c.473]

Динамические характеристики важны для создания математических моделей объектов. Особенно при необходимости упрощения последних, возникновении непреодолимых трудностей теоретического определения коэффициентов переноса (эффективной теплопроводности, диффузии и т.п.), химической, сорбционной кинетики, кривых сушки и др. Использование для этой цели системы дифференциальных уравнений сохранения (неразрывности, движения, импульса и диффузии) в частных производных (см. пп. 1.5.1. 1.5.2. 3.5.2 3.18 книги 2 настоящей серии), дополненной уравнениями состояния, фазового равновесия, кинетики и краевыми условиями (см. пп. 7.1.3, 7.4.3, 7.5.1 книги 1 настоящей серии) часто излишне трудоемко или невозможно из-за сложности протекающих в объекте процессов. В этом случае указанные коэффициенты определяют с помощью динамических характеристик, полученных опытным путем на физических моделях, натурных объектах, применяют типовые математические модели тепло- и массообменных аппаратов. [c.287]

В 1892 г. вышла в свет классическая работа А. М. Ляпунова Общая задача об устойчивости движения , в которой был установлен ряд общих достаточных условий устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения, описываемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений. В этой работе А. М. Ляпунов связал сам факт устойчивости или неустойчивости невозмущенного движения и тем самым положения равновесия с наличием функции V (л ,. ....х , производная которой по времени, взятая согласно системе дифференциальных уравнений, обладает определенными свойствами. [c.34]

Итак, в только что изложенном материале начато рассмотрение модельного варианта задачи о свободном плоскопараллельном торможении тела в среде. В нем проводится вспомогательный качественный анализ систем дифференциальных уравнений, описывающих данное движение для некоторой области ненулевой меры в пространстве параметров. На основе этого получено новое двухпараметрическое семейство фазовых портретов, состоящее из бесчисленного множества различных типов портретов. В системе при этом отсутствуют автоколебания, и почти при любых начальных условиях все траектории стремятся к асимптотически устойчивым положениям равновесия. [c.229]

Это могут быть прежде всего состояния равновесия, в которых скорости и ускорения, определяемые из дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, обращаются в нуль. Второе условие равносильно тому, что на систему не действуют никакие регулярные силы, учитываемые дифференциальными уравнениями. Но во всякой физической системе помимо таких регулярных сил действуют и малые нерегулярные силы, например флуктуационного характера. Вследствие наличия этих сил система никогда не может находиться точно в состоянии равновесия и совершает малые движения вблизи состояния равновесия (броуновское движение). Но вблизи состояний равновесия на систему действуют уже и регулярные силы (они равны нулю только точно в состоянии равновесия), которые могут либо возвращать систему к состоянию равновесия, либо удалять ее еще больше. В первом случае будем иметь устойчивые, а во втором — неустойчивые состояния равновесия. Ясно, что для изучения поведения системы нужно уметь не только находить состояния равновесия, но и определять их устойчивость по отношению к малым изменениям координат и скоростей. Устойчивость в этом смысле является необходимым условием того, чтобы система могла находиться вблизи данного состояния равновесия как угодно долго. [c.30]

Требуется 1, Составить дифференциальные уравнения движения системы в форме уравнений Лагранжа 2-го рода и уравнение для определения натяжения S4 нити КЕ. 2. Найти т условий равновесия системы в бобщенных координатах момент М. 3. Для найденного значения М и заданных начальных условий решить полученные уравнения на ЭВМ на интервале времени т. [c.130]

Принцип Даламбера устанавливает единый подход к исследованию движения любо11 механической системы вне зависимости от характера налагаемых па это движение условий. При этом динамическим дифференциальным уравнениям движения придается вид уравнений равновесия. [c.278]

Ограничимся рассмотрением таких свободных колебаний, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями. Для того гтобы уравнения движения были линейными, необходимо, чтобы отклонения системы от положения равновесия были достаточно малы (что обеспечивается малостью начальных возмущений). Кроме того, система должна быть такова, чтобы уравнения движения допускали линеаризацию в окрестности положения равновесия. Последнее условие накладывает ограничения на структуру системы, тип связей и свойства действующих сил. [c.55]

Для изучения движения вязкой жидкости может быть составлена система дифференциальных уравнешш, решение которой представляется более точным для ламинарного режима движения жидкости, чем для турбулентного. Для этого в соответствии с предложениями Навье и Стокса выделим элементарный параллелепипед со сторонами йх, йу II йг (рис. ХХ1.2) и рассмотрим условия его равновесия с учетом сил инерции, воспользовавшись принципом Даламбера. Если обозначить отнесенные к единице массы составляющие объемных сил через X, У, 2 и аналогичные силы инерции через 1йих1Ш йиу1Ш йи й1, то они войдут в уравнение равновесия в, следующем виде [c.439]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...