Дифференциальные уравнения равновесия. Граничные условия

Тогда нагружение элементов тела, как показал А. А. Ильюшин [ ], будет простым. В самом деле, пусть при t= в теле будут напряжения а х,. .. и деформации. .. Другими словами, этими значениями удовлетворены дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия, условия совместности Сен-Венана и соотношения теории упруго-пластических деформаций (13.27) при законе (15.2). [c.56]

Максимальные свойства действительного напряженного состояния. Рассмотрим наряду с действительным напряженным состоянием <3х,. ... гх (удовлетворяющим дифференциальным уравнениям равновесия, граничным условиям на S, условию текучести, соотношениям Сен-Венана—Мизеса (14.14) и уравнениям сплошности) любые напряженные состояния о ,. .., x x> удовлетворяющие только дифференциальным уравнениям равновесия, граничным условиям на Sf и условию текучести будем называть их статически возможными напряженными состояниями текучести. [c.88]

К соотношениям (2.16)-(2.18) следует присоединить дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия и соотношения Коши, следующие из линейности соотношений (2.12), (2.13) [c.95]

Пусть при t на рассматриваемое вязкоупругопластическое тело действуют внешние объемные и поверхностные силы Fi x,t), Ri x,t) при граничном перемещении uoi x,t), которые вызывают напряжения aij x,t) и деформации ij x,t). При этом должны удовлетворяться дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия в напряжениях и перемещениях, соотношения Коши [c.107]

Дифференциальные уравнения равновесия. Граничные условия на поверхности (статические уравнения) [c.61]

То, что одинаковый результат решения задачи получен двумя различными путями, подтверждает, что вариационное уравнение включает в себя дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия и механические свойства тела. Во многих случаях, когда совместное решение уравнений равновесия и уравнений состояния затруднительно, использование вариационных принципов позволяет сравнительно простым путем получить требуемые результаты. [c.136]

Решение задачи для конкретного упругого тела с заданными поверхностными и объемными силами требует определения компонент напряжений или перемещений, которые удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям и граничным условиям. Если в качестве основных неизвестных выбраны компоненты напряжения, то следует удовлетворить 1) уравнениям равновесия (123), 2) условиям совместности (125) и 3) граничным условиям (124). Обозначим через ... напряжения, вызванные поверхностными силами X, Y, Z и массовыми силами X, Y, Z. [c.252]

Было показано, что для обычного метода конечных элементов в перемещениях (1) область подвергается дискретизации на конечное число элементов (2) точно не удовлетворяются ни дифференциальные уравнения равновесия, ни условия взаимности межэлементных усилий, ни граничные условия в усилиях [c.202]

Книга состоит из 11 глав, Гл. 1 содержит сведения из геометрически нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек типа Тимошенко построенной на основе независимых гипотез относительно характера распределения перемещений и поперечных касательных напряжений по толщине пакета. Путем использования смешанного вариационного принципа получены уравнения равновесия, граничные условия и интегральные соотношения упругости для поперечных касательных напряжений. В случае осесимметричной деформации многослойных анизотропных оболочек вращения выведена нормальная система десяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая в дальнейшем решается численно на ЭВМ. [c.4]

В этом параграфе исследование устойчивости равновесия радиально сжатой круговой слоистой трансверсально изотропной пластинки выполнено без привлечения кинематических гипотез. Его основу составили уравнения теории устойчивости трехмерных упругих тел. С развернутым изложением этой теории, включающим в себя постановку задачи, вывод соответствующих линеаризованных дифференциальных уравнений и граничных условий, обсуждение аналитических и численных методов исследования сформулированных краевых задач, решение конкретных задач устойчивости, заинтересованный читатель может ознакомиться по монографиям [125, 126]. Здесь ограничимся лишь формулировкой некоторых основных уравнений трехмерной теории устойчивости упругих трансверсально изотропных тел в системе координат, нормально связанной с плоскостью изотропии. [c.151]

Если напряжённое состояние тела является однородным, то ответ на поставленный вопрос очевиден поскольку напряжения не зависят от координат тела, то и деформированное состояние, согласно (2.13), тоже является однородным дифференциальные уравнения равновесия и условия совместности деформаций выполняются тождественно, и массовые силы должны отсутствовать. Таким образом, напряжённое состояние определяется только граничными условиями, т. е. только [c.115]

Дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия имеют тот же вид (7.7), (7.10), что и в случае плоской деформации. Уравнения неразрывности деформаций (6.29) принимают вид [c.133]

Консольная балка узкого прямоугольного сечения нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью < . Приняв функцию напряжений в виде (7.28), определить напряжения ап, ajs, Оп и проверить, удовлетворяются ли дифференциальные уравнения равновесия Коши и граничные условия. [c.170]

Проверить, удовлетворяет ли это решение дифференциальным уравнениям равновесия Коши и граничным условиям. Построить эпюры напряжений Оц в сечениях над опорой и по середине пролета, а также эпюры ajj для сечений X2T=hj2 и j 2=A/4 в предположении h=2l. [c.171]

В силу произвольности вариаций 8ut°, 8w из уравнения (9.74) следуют основные дифференциальные уравнения равновесия (9.30), (9.33) тонкой пластины, на которую действуют поперечные силы и силы, лежащие в срединной поверхности, а также статические граничные условия [c.204]

Соотношения (14.37) вместе с дифференциальными уравнениями равновесия, дифференциальными зависимостями Коши и граничными условиями дают замкнутую систему уравнений для решения задач кратковременной ползучести. [c.313]

Поскольку, согласно определению, условия па боковой поверхности призматического тела не зависят от координаты Хз, граничные условия задаются на контуре одного из поперечных сечений или на нескольких контурах, если сечение многосвязное. Таким образом, система дифференциальных уравнений равновесия (6.5) и соотношения (6.3), наряду с контурными условиями, характеризуют более простые задачи статики упругого тела ( 35) при этом здесь также различают три основные двумерные граничные задачи. [c.101]

Задача об упругом равновесии призматического тела при указанных условиях сводится к нахождению величин Ghr, удовлетворяющих в области, занятой телом, дифференциальным уравнениям равновесия (2.25) при отсутствии массовых сил и формулам закона Гука (4.35), а также граничным условиям на боковой поверхности и основаниях призматического тела. [c.173]

Дифференциальные уравнения равновесия (2.26) и граничные условия (2.28) являются необходимыми условиями равновесия деформируемого тела. Если во всей области V, занятой телом, будут удовлетворены уравнения (2.26), а на поверхности 5 тела выполняться условия (2.28), то тогда будут удовлетворены и уравнения равновесия деформируемого тела (2.18) и (2.19). Действительно, подставив в (2.18) и (2.19) вытекающее из (2.26) значение р/ —р/ Э/ = = —получим [c.37]

Выясним, удовлетворяет ли это решение (а) основным уравнениям теории упругости, т. е. является ли оно точным. Очевидно, что уравнения Бельтрами—Мичелла (4.51) и дифференциальные уравнения равновесия (4.3) выполняются при отсутствии массовых сил. Граничные условия (4.6) при данном решении (а) принимают вид [c.87]

В принципе минимума дополнительной работы рассматривается функционал, зависящий от компонент тензора напряжений, которые должны быть статически возможными, т. е. должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия в объеме V и граничным условиям на части Se поверхности тела о заданными поверхностными силами. [c.105]

Таким образом, для вариационного уравнения бУ = О уравнениями Эйлера—Остроградского являются дифференциальные зависимости Коши (5.76) и дифференциальные уравнения равновесия (5//7), а естественными граничными условиями — условия (5.78) и (5.79). [c.106]

Коснемся вопроса о том, при каких условиях обобщенное решение оказывается решением в классическом смысле (т. е. имеет нужное количество производных, удовлетворяет дифференциальному уравнению и краевым условиям). Оказывается [69,159], что если правая часть является кусочно-непрерывной функцией, то уравнения Ламе удовлетворяются. Краевые же условия выполняются, если граничная поверхность достаточно гладкая, а правые части уравнений равновесия достаточное число раз непрерывно дифференцируемы. В общем же случае однородные краевые условия удовлетворяются в следующем смысле. Существует такая последовательность функций ы (входящих в энергетическое пространство), что выполняется равенство [c.626]

Определение напряженного состояния в теле, находящемся под действием заданных внешних сил, является одной из основных задач теории упругости. В двумерном случае необходимо решить дифференциальные уравнения равновесия (18), и решение это должно быть таким, чтобы удовлетворялись граничные условия (20). Эти уравнения, выведенные с применением статических условий равновесия и содержащие три компоненты напряжения а , G,j, недостаточны для определения указанных компонент. Задача является статически неопределимой чтобы получить ее решение, следует рассмотреть упругую деформацию тела. [c.47]

Мы уже показали, что решение двумерных задач сводится к интегрированию дифференциальных уравнений равновесия вместе с условием совместности и граничными условиями. Начнем со случая, когда единственным видом объемных сил являются силы тяжести. Тогда должны удовлетворяться следующие уравнения [c.49]

Рассмотрим теперь вместо перемещений напряжения, отвечающие положению равновесия. Мы знаем, что дифференциальные уравнения равновесия (123) вместе с граничными условиями (124) недостаточны для определения компонент напряжения. Мы можем найти множество различных распределений напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и граничным условиям в связи с этим возникает вопрос как отличить истинное напряженное состояние от всех других статически возможных распределений напряжений [c.265]

Проверить, удовлетворяется ли дифференциальное уравнение равновесия при указанных выше формулах Проверить также граничные условия. [c.46]

Решение. Ни одно дифференциальное уравнение равновесия не удовлетворяется, равно как и граничные статические условия. Если удержать формулы сопротивления материалов для нормального напряжения в поперечном сечении, т. е. [c.49]

Большая трудность задач теории пластичности по сравнению с задачами теории упругости вынуждает иногда обращаться даже к приближенному составлению самих дифференциальных уравнений равновесия, к приближенному начертанию условий пластичности (см. 5.1), к приближенным записям граничных условий. [c.256]

Мы получили уравнение (9.4), пользуясь соотношением (9.2), определением индивидуального объема, дифференциальными уравнениями равновесия и граничными условиями, определяющими напряжения на границе. [c.390]

Обратно, из (9.4) и (9.2) на основании произвольности возможных перемещений 8гс, с помощью преобразования (9.3) и условия б (р ( т) = о, можно получить дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия для напряжений. В этом смысле можно говорить, что уравнение (9.4) эквивалентно системе уравнений равновесия и граничным условиям. Если имеются граничные условия в перемещениях, то они должны быть учтены дополнительно ). [c.390]

Основы теории упругости были разработаны почти одновременно Навье (1821), Коши (1822), Пуассоном (1829). Независимо друг от друга они получили по существу все основные уравнения этой теории. Особо выделялись работы Коши. В отличие от Навье и Пуассона, привлекавших гипотезу молекулярных сил, Коши, опираясь на метод, в котором используется статика твердого тела, ввел понятия деформации и нагфяжения, установил дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия, зависимости между деформациями и перемещениями, а также соотношения между напряжениями и деформациями для изотропного тела, первоначально содержавшие две упругие постоянные. В эти же годы появились исследования М. В. Остроградского о распространении волн в упругом теле при возмущении в его малой области. На эти исследования ссылается в своих работах Пуассон, впервые (1830) доказавший существование в однородной изотропной среде двух типов волн (волны расширения и искажения). [c.5]

Предварительно доказывается некоторый вариационный принцип. Предполагается, что дифференциальные уравнения и граничные условия задачи определяют состояние равновесия рассматриваемой упругой системы неединственным образом в решения входят некоторые постоянные параметры или функции независимых переменных задачи, остающиеся неопределенными. Рассматривается вариация поля смещений 5и1, соответствующая вариации множества неопределенных элементов. Используется принцип возможных перемещений [c.364]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Эти соотношения необходимы и с математической точки зрения. Действительно, деформированное состояние тела описывается тремя непрерывными функциями Uj Xh), через которые на основании зависимостей Коши (1.40) определяются компоненты тензора деформации, а напряженное состояние тела определяется шестью независимыми компонентами ои тензора напряжений. Однако для определения этих девяти функций щ Xk) и ffjj (Xk)) в зависимости от внешнего воздействия на тело пока что имеем лишь систему трех дифференциальных уравнений равновесия (2.26), решение которых должно удовлетворять граничным условиям, например (2.28). Такая система уравнений называется ле-замкнутой, так как не позволяет найти функции u хи) и Oij (л й,), каковы бы ни были для них граничные условия. Это вполне понятно, го-скольку не учтены физические свойства рассматриваемой сплошной среды. [c.49]

Отсюда ввиду независимости и произвольности вариаций би,- и 8oij получим дифференциальные уравнения равновесия (5.81) и граничные условия (5.83) и (5.84). [c.107]

Наконец, полагая, что заранее выполнены соотношения (5.82), дифференциальные уравнения равновесия (5.81) и граничные условия (5.83), полный функционал Э превращается в функционал Кастилья-но V. [c.107]

Положим Т — Т а, F = F a, здесь Т и — постоянные векторные поля, заданные соответственно на поверхности тела и в его объеме, а — параметр нагружения, возрастающий монотонно. Мы удовлетворим дифференциальным уравнениям равновесия и граничным условиям, положив Oij = оуос. Объемная деформация связана с гидростатической компонентой тензора напряжений [c.542]