Виртуальная деформация виртуальных сил

Вариацию потенциальной энергии деформации оболочки и виртуальную работу внешних сил можно представить в виде [см. [c.334]

Остальные компоненты тензора скоростей деформаций равны нулю. Виртуальная мощность внутренних сил элемента определяется произведением [c.109]

Виртуальную работу внешних сил 5Av[ виртуальную работу внутренних сил 5W на возможных перемещениях и деформациях определим с помощью следующих интегралов [c.39]

При этом следует помнить, что действительные силы уже полностью приложены к телу до появления возможных перемещений и с ними не связаны. Таким образом, виртуальная работа внешних сил, действующих на тело, находящееся в равновесии, равна работе внутренних напряжений на соответствующих виртуальных деформациях [c.39]

Из уравнений (3.3), (3.4) вытекает, что виртуальная работа внешних сил и сил инерции равна вариации энергии деформации. Нужно отметить, что в случае смешанных граничных условий поверхностный интеграл, входяш ий в вариационные уравнения, берется только по той части поверхности За-, где заданы напряжения. [c.121]

Аналогично виртуальная работа внутренних сил определяется как работа действительных внутренних напряжепий па возможных деформациях [c.72]

Левая часть этого уравнения содержит виртуальную работу массовых сил, поверхностных сил и сил инерции. Правая часть равна виртуальной работе внутренних усилий. Уравнение (9) является обобщением принципа виртуальных работ Лагранжа на задачи термоупругости. Этого уравнения было бы достаточно для рассмотрения несопряженных задач термоупругости, когда температура в последнем интеграле правой части является известной функцией Ч Однако при учете сопряжения поля деформации и поля температуры функция 0 не может быть определена независимо. Поэтому необходимо установить добавочное соотношение, учитывающее явление теплопроводности. Основой наших рассуждений будет закон Фурье [c.51]

Уравнение (3) выражает следующий весьма общий факт виртуальная работа внутренних сил тела, находящегося в равновесии, равна работе напряжений на соответствующих виртуальных деформациях. Уравнение (3), называемое принципом виртуальных работ , справедливо как для упругих, так и для неупругих тел. [c.121]

Таким образом, вариация суммы работы деформации, теплового потенциала и функции диссипации равна виртуальной работе внешних сил, сил инерции и нагрева поверхности тела. [c.24]

Окончательно, замечая, что это соотношение справедливо для любых значений виртуальных узловых перемещений бА , запишем следующие уравнения жесткости элемента, учитывающие начальные деформации и силы инерции [c.157]

Учитывая малость деформаций и их линейную зависимость от нагрузок, б качестве возможных перемещений можно принимать упругие перемещения, вызванные любым видом нагрузки и происходящие без нарушения связей. Работа внешних и внутренних сил на возможных перемещениях называется воэ иож-ной или виртуальной работой. [c.368]

В формуле (2.1.1) содержится утверждение, что работа внешних массовых и поверхностных сил на виртуальном перемещении б точек упругого тела из положения равновесия, определяемого вектором и, равна вариации потенциальной энергии деформации. При этом на той части G>i поверхности О, на которой заданы перемещения, следует принять Ьи = О, так что [c.149]

В теории конечных деформаций упругого тела принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа стационарности потенциальной энергии при условии, что существуют функция энергии деформации материала тела и функции потенциалов внешних сил. Как только принцип стационарности потенциальной энергии установлен, он может быть обобщен с использованием множителей Лагранжа. [c.19]

Развитые методы распространяются на динамические задачи теории упругости путем учета сил инерции. Таким образом, принцип виртуальной работы для динамических задач выводится с помощью понятия кинетической энергии. Принцип виртуальной работы преобразуется в новый вариационный принцип, если предположить, что существуют функция энергии деформации и функции потенциалов внешних сил. Полученный таким образом вариационный принцип можно рассматривать как принцип Гамильтона, распространенный на динамические задачи теории упругости. Он может быть далее обобщен с применением правила множителей Лагранжа. [c.19]

Находясь в рамках применимости линейной теории, можно сформулировать другой вариационный принцип, двойственный к вариационному принципу виртуальной работы для задачи теории упругости, поставленной в 1.1. Рассмотрим тело, находящееся в состоянии равновесия при заданных массовых силах и граничных условиях, и обозначим компоненты деформации и перемещений в этом теле через е .,. .., и и, v, w соответственно. Очевидно, что [c.34]

Элементарная теория балки, рассмотренная в предыдущих параграфах, основана на гипотезе Бернулли—Эйлера, согласно которой деформации поперечного сдвига отсутствуют. В этом параграфе рассмотрим приближенную формулировку динамической задачи с учетом поперечного сдвига. Динамическая задача, аналогичная рассмотренной в 7.2, будет взята в качестве примера, но теперь внешние силы будут зависеть от времени. Приближенная формулировка задачи будет дана на основе принципа виртуальной работы. [c.201]

Сформулируем другой вариант инкрементальной теории с помощью модифицированного подхода Лагранжа, в котором используются модифицированные тензоры напряжений Кирхгофа и модифицированные тензоры деформаций Грина. Обозначим напряжения, деформации, перемещения, массовые силы, внешние силы, действующие на 5,,, и заданные на перемещения в состояниях Q(N) и Q(A/-fi) .дк, как показано в табл. 16.2. Отметим, что напряжения и внешние силы на отнесены к единичной площади, а массовые силы — к единичному объему состояния Q< ). Тогда принцип виртуальной работы в состоянии запишется в виде [c.392]

Второе замечание касается физической интерпретации уравнения (3.48). Рассмотрим бесконечно малые параллелепипеды до деформации и после нее, как показано на рис. 3.2. Тогда виртуальная работа, совершаемая на отсчитываемых от состояния равновесия после деформации бесконечно малых перемещениях бг напряжениями и массовыми силами, действующими на бесконечно малый параллелепипед, равна [c.468]

Здесь компоненты напряжений, деформаций и перемещений обозначаются соответственно через Oij, и а величины Xt, Fi и Ы(- являются компонентами заданных массовых сил, поверхностных сил и перемещений. Из приведенных выше соотношений получим принцип виртуальной работы для квазистатической задачи в рамках теории малых перемещений в виде [c.499]

С использованием введенного тензора работа внешних сил при виртуальном приращении закритической деформации в области Г2 с границей So может быть представлена выражением [c.209]

Уравнение (2.17) выражает собой принцип возможных перемещений (принцип виртуальных работ) применительно к упругому телу, согласно которому работа внешних сил на возможных перемещениях равна вариации потенциальной энергии деформации. [c.38]

Вначале рассмотрим представление виртуальной работы с5П в форме (3.2.2). Принятые допущения о малости удлинений и сдвигов по сравнению с единицей позволяют отождествить объемы, площади, линейные размеры элементов тела оболочки с соответствующими величинами после деформации. Из (3.2.3) видно, что в этом случае допустимо отождествление обобщенных напряжений с истинными напряжениями ст - в лагранжевых переменных. Принимая во внимание эти упрощения, учитывая отсутствие обжатия нормали и представляя, согласно (1.1.31), сдвиговые поперечные деформации компонентами в базисе г , отсчетной поверхности Q, приходим к следующему выражению для виртуальной работы (5П внутренних сил [c.49]

Принцип энергетической согласованности также положен в основу построения различных нелинейных вариантов трех- п двумерных континуальных моделей деформируемых тел п оболочек. Принятые геометрические гипотезы относительно характера нелинейных деформаций распределения полей перемещений или их скоростей определяют вид мощности внутренних сил в единице объема тела. Конкретная форма соответствующих нелинейных уравнений движения выводится на основе принципа виртуальных скоростей. [c.6]

Вне зависимости от реологических свойств сплошной среды кинематические параметры (скорости деформаций Уч или обобщенные скорости деформаций, их выражения через перемещения) должны быть энергетически согласованы с силовыми факторами (напряжениями т - или обобщенными напряжениями и формой их связи в уравнениях равновесия или движения). Это означает, что для любой приближенной модели, так же как и для общей, должны быть выполнены баланс механической мощности и вариационное равенство, соответствующее принципу виртуальных скоростей (массовые внешние силы опущены) [c.34]

Если изначально постулировать мощность внутренних сил в виде (3.2.3) для дискретной системы, состоящей из прямолинейных звеньев, соединенных в узлах, а также дискретные представления скоростей деформаций (3.2.4), то из принципа виртуальных скоростей в дискретной форме, аналогичного (3.1.12), при сосредоточенных массах в узлах и независимых виртуальных скоростях 8zi будут следовать дискретные уравнения движения (3.2.1). Обобщение этого способа построения дискретных моделей для описания динамических процессов деформирования различных систем положено в основу дискретно-вариационного метода и подробно рассматривается в следующих главах. [c.61]

Последний член представляет собой виртуальную работу внутренних сил, которую проще подсчитать с помощью объемного интеграла от бискалярного произведения тензора напряжений (от действительного нагружения) на тензор возможной деформации, где, очевидно [c.70]

Дадим теперь перемещениям Ui виртуальные приращения 6щ, следствием которых являются виртуальные деформации 5sij. Предполагаем, что вариации дщ достаточно малы и не влияют на равновесие внешних сил и внутренних напряжений, они совместимы с условиями закрепления тела на границах и условиями неразрывности внутри тела. Это означает, что 6ui — кинематически допустимые функции, то есть Jwj = О на В остальном возможные перемещения могут быть произвольными непрерывными функциями. [c.39]

Таким образом, виртуальная работа внеп1них сил, действуюгцих на тело, находягцееся в равновесии, равна работе внутренних напряжений на соответствующих виртуальных деформациях. [c.73]

Правая часть этого уравнения представляет собой виртуальную работу внутренних сил, т. е. работу напряжений на виртуальнььх деформациях. [c.121]

Из уравнений (4) и (5) вытекает, что виртуальная работа внешних сил и сил инерции равна вариации внутренних сил, т. е. вариации работы деформации. Нужно добавить, что в случае смешанных граничных условий (когда на Л заданы перемеше-ния, а на Аа — нагрузки) поверхностный интеграл, входяший в уравнения (4) и (7), берется только по поверхности Аа. [c.589]

Таким образом, виртуальная работа внещих сил и сил инерции равна вариации работы деформации. Заметим, что интеграл по поверхности в выражении для ЬЬ берется по поверхности дУ-р. [c.200]

Для определения виртуальной работы упругих сил воспользуемсн выражением для энергии деформации стержня [c.353]

Напряжения oij и a. j самоуравновешены, но деформации ejj и e j не представляют собою деформаций, возможных в сплошном теле, при создании дислокации сплошность нарушается. Поэтому Wt не является виртуальной работой самоуравновешенной системы сил и не должна обращаться в нуль. [c.475]

В выражение для полной потенциальной энергии, представленное с учетом приведенных выше постулатов 1) и 2) членами в скобках в (137 ), не входят приращения второго порядка от массовых н поверхностных сил. Приращения первого порядка обращаются в нуль, так как действительные перемещения а, v, W в этом виде возмущения можно принять за виртуальные. Поскольку приращение второго порядка должно быть положительным, состояние является устойчивым в определенном здесь смысле. Мы увидим, что этот вывод связан с использовг.нием закона Гука, а также постулатов 1) и 2) ). Для нелинейных зависимостей между напряжениями и деформациями возможны приращения порядка выше двух. [c.263]

Принцип виртуальных скоростей и напряжений. В основе вариационного принципа возможных изменений напряженного и деформированного состояний лежит принцип виртуальных скоростей и напряжений. Выразим удельную мощность внутренних сил через компоненты девиатора напряжений де-виатора скоростей деформаций е /, шарового тензора напряжений а, шарового тензора скоростей деформаций . Получим = s4 4- ogH) ец -f Igtj) = -f s lgij + agfleif -f + og lgu- Ho (D,) = 0, og i, oe = [c.309]

Здесь бЛ, bR — приращения (вариации) работы деформации и работы внешних сил при сообщении точкам тела возможных (виртуальных) перемещений. При варьировании смещений будем давать виртуальные перемещения не суммарным перемещениям (7.1), а лишь дополнительным смещениям аи, av, aw. То есть в качестве возможных перемещений будем рассматривать функции аби, afio, a w. [c.132]

Вариационные методы наиболее плодотворно применяются в теории малых деформаций упругого тела. В случае когда существует функция энергии деформации и при вариациях перемещений внешние силы остаются неизменными, принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа минимума потенциальной энергии. Этот вариационный принцип с помощью введения множителей Лагранжа дает семейство вариационных принципов, включающее принцип Хеллингера — Рейсснера, принцип минимума дополнительной энергии и т. д. [c.18]

Рассмотрим плоскую рамную конструкцию, состоящую из прямых элементов, и используем для ее анализа элементарную теорию балки и предположение о том, что деформацией, обусловленной продольной силой, можно пренебречь по сравнению с деформацией, обусловленной изгибающим моментом. Кривизну ij TO элемента и изгибающий момент в этом элементе обозначим через (х) я Мц (х) соответственно, где отсчитывается вдоль оси. Докажите, что если Щ1 ( ) обозначает изгибающий момент в ty-м элементе, обусловленный едиинч-иои виртуальной нагрузкой, действующей в точке, перемещение 6 которой неизвестно (нагрузка прикладывается в направлении перемещения), то теорема [c.314]

Как известно, работа внешних сил на статически им соответствующих перемещениях равна удвоенной упругой энергии тела. Покажем справедливость аналогичного уравнения, включающего виртуальные перемещения и деформации. Умножим уравнение равновесия в предположении для простоты отсутствия массовых сил на 6щ, проинтегрируем по объему и используем формулы ГауссагОстроградского и Коши [c.207]

Остановимся кратко на содержании главы. В разд. 2,2 на основе принципа виртуальных перемещений Лагранжа выведены основные соотношения подкрепленной ребрами криволинейной панели. В разд. 22.3 выделено элементарное решение Сопротивления материалов. Преобразование исходных уравнений для плоской панели к системе разрешающих уравнений содержится в разд. 2.4. Далее в разд. 2.5 изучено напряженно-деформированное состояние симметрично подкрепленной панели. Рассмотрена панель как конечной, так и бесконечной длины. Решение представлено в виде быстросходящихся рядов, даны результаты численных расчетов и программы расчета. В разд. 2.6 изучается эффект подкрепления панели на торце дополнительным ребром, работающим только иа изгиб. В разд. 2.7, как и в разд. 2.5, рассмотрена симметрично подкрепленная панель, но при кососимметрнчиом загруженин ребер парой сил. Решение отличается от полученного в разд. 2.5, так как требуется учитывать изгиб панели в ее плоскости. Решение доведено до числа. В разд. 2.8 рассмотрены панели с двумя ребрами разной жесткости для случа.я, когда поперечное перемещение панелн равно нулю или отлично от нуля. В разд. 2.9 на примере бесконечной пластины с полубесконечным ребром дается оценка погрешности решения путем введения гипотезы отсутствия поперечной деформации пластины. Эта оценка выполнена, путем срав неиня решения на основе упомянутой гипотезы с точным решением, полученным иа основе уравнений плоской теории упругости. Результаты этого раздела опубликованы Э. И. Грнголюком и В. М. Толкачевым [5]. В этой работе дана также общая постановка задач включения на основе гипотезы отсутствия поперечной деформации, рассмотрены задачи для пластины и ребра конечных размеров, для полубесконечной пластины с полубесконечным ребром, а также задача для защемленной по боковым сторонам полубесконечной полосы, нагруженной на торце постоянной распределенной нормальной нагрузкой. [c.68]

Принцип виртуальной работы. Так как этот принцип не зависит от принципа наложения, его можно использовать как для больших, так и для малых перемещений. Принн сп только утверждает, что при бесконечно малом возможном изменении перемещений работа, которую совершают нагрузки, т. е. все действующие на тело внешние силы, равна изменению энергии упругой деформации. Возможное изменение перемещения есть перемещение, изменяющееся непрерывно в зависимости от координат и не нарушающее граничные условия, что, например, случается, если рассматриваются перемещения и повороты точек, в которых наложенные связи не допускают их. Следует отметить, что действительные перемещения могут быть большими, а малыми должны быть только их изменения. Такие малые возможные пер емещения называются виртуальными перемещениями, отсюда — и наименование принципа слово виртуальное является традиционным, и в дальнейшем в этой книге ему не будет придаваться иной смысл. [c.24]

Принцип возможной (виртуальной) работы может быть выведен из уравнений равновесия и наоборот, что указывает на их взаимозаменяемость. Представим себе, что тело заменяется эквивалентной системой частиц, соединенных невесомыми упругими пружинами. Пусть и, v, w — перемещения характерной частицы в направлении осей х, у, z, а du, dv, dw — изменения этих перемещений. Затем для каждой частицы запишем уравнения равновесия 2 /х = 2 /у = 2 /г = умножим каждое из этих урав-, нений соответственно на перемещения du, dy, dw каждой частицы и сложим все уравнения. В получающемся при этом выражении произведения компонент нагрузок на компоненты перемещений (в направлении нагрузок и в месте их приложения) складывают-, ся в pa6oTyj совершаемую нагрузками когда соответствующие произведения, включающие силы, возникающие из-за действия пружин, складываются с отрицательным по знаку изменением "энергии упрулЬй деформации, их сумма получается равной нулю. [c.25]

Полученное соотношение выражает собой так называемый принцип дополнительных виртуальных работ. При выводе формулы (2.23) использовались формулы Коши (1.7), следствием которых являются уравнения совместности деформаций (1.10). Таким образом, исходное напряженное состояние неявно предполагалось не только статически возможным, ио и удовлетворяющим уравиеииям совместности. Напряженное состояние, для которого удовлетворяются уравнения совместности деформаций, будем называть совместным. Из урав-иення (2.23) следует, что для совместного напряженного состояния вариация дополнительной энергии деформации равна вариации дополнительной работы внешних сил. [c.41]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...