Уравнение жесткости элемента

Включение степеней свободы, отвечающих движению тела как твердого целого, в совокупность уравнений жесткости элемента приводит к линейной зависимости некоторых уравнений от других. Линейная зависимость существует в системе уравнений, если одно нз них можно записать как линейную комбинацию других уравнений системы. Можно также интерпретировать линейную зависимость и с геометрической точки зрения систему уравнений п-то [c.62]

При построении глобальной матрицы жесткости не обязательно следовать методике, описанной в разд. 3.2. Одна из альтернатив заключается в образовании несвязанного массива, состояш,его из всех матриц жесткости элементов, и последующего введения связей между элементами посредством построения и применения преобразования координат, в котором степени свободы элементов и узлов включают преобразованные векторы. Назовем этот подход методом конгруэнтных преобразований. Рассмотрим сначала конструкцию, задаваемую с помощью р конечных элементов, для которых индивидуальные уравнения жесткости записываются в виде (3.1). Объединим уравнения жесткости элементов [c.80]

С помощью определения усилий, статически эквивалентных напряжениям, действующим на границе элемента, выводятся выражения для сил в узлах элемента (Р в зависимости от вида поля напряжений о. Так как поле напряжений о выражено в терминах А (шаг 3), то на данном шаге можно связать (Р и А . Результирующие соотношения являются, по определению, уравнениями жесткости элемента. [c.126]

Находим, что уравнения жесткости элемента записываются в виде Р =[к] А , где [c.129]

Используя метод взвешенных невязок с критерием Галеркина, получите интегральную форму соотношений, необходимую для построения соответствующи уравнений жесткости элемента. Предположите, что поле перемещений аппроксимируется в виде а)=Л/1а)1+Л/2б1+Л/зШ2+Л/402, где. ....N1 задаются с помощью (5,14а). [c.150]

Окончательно, замечая, что это соотношение справедливо для любых значений виртуальных узловых перемещений бА , запишем следующие уравнения жесткости элемента, учитывающие начальные деформации и силы инерции [c.157]

Принцип минимума потенциальной энергии представляет собой основу для непосредственной формулировки уравнений жесткости элемента. Потенциальная энергия конструкции Пр представляет собой сумму энергии деформации и и потенциала внешних сил V, [c.169]

Для существования решения, основанного на принципе минимума энергии, необходимо выполнение условия 2. В разд. 2.9 показано, что число мод движений тела как твердого целого, содержащихся в системе уравнений жесткости элемента, можно определить, подсчитав собственные значения матрицы коэффициентов жесткости. Это условие сводится к требованию, чтобы упругие деформации не возникали при движении тела как твердого целого. В случае простых элементов нетрудно проверить это требование. Например, для изображенного на рис. 5.4 треугольного элемента деформация определяется, согласно (5.21а) и (5.22), в виде [c.229]

Прежде чем коснуться подбора сечений элементов в статически неопределимых системах, покажем, как выполняется эта операция в системах статически определимых, на примере фермы. В статически определимой системе все усилия находятся из одних уравнений статики и не зависят от соотношения жесткостей элементов. Поэтому после отыскания усилий сечение каждого из элементов можно подобрать так, чтобы наибольшее напряжение в нем было [c.184]

K] представляет собой матрицу жесткостей элементов. Если воспользоваться уравнениями (3.5) для функции перемещений и проинтегрировать выражения (3.24), то можно получить [c.57]

Анализ динамических характеристик планетарного редуктора обычно про изводится на основе модели, состоящей из сосредоточенных масс и жесткостей. В тех случаях, когда целью расчета является определение минимальных частот системы, такая модель дает вполне удовлетворительные результаты. Однако, если необходимо исследовать спектр колебаний в более широком диапазоне частот, то предпочтительно использовать решения уравнений движения элементов с распределенными параметрами. В частности, такого подхода требует рассмотрение колебаний блокирующих муфт, зубчатых барабанов и прочих деталей планетарного редуктора, выполненных в виде составных цилиндрических оболочек. [c.18]

Истинные методы конечных элементов отличаются от подходов, в которых рассматривается разбиение масс, главным образом тем, что при разбиении конструкции жесткости элементов определяются посредством классических способов статических исследований самих элементов, а не в процессе идентификации конструкции [1.40—1.46]. На рис. 1.12, а показано несколько обычно используемых типов элементов. Каждый элемент определяется с помощью 6, 8, 16 или 20 точек или узлов, в которых задаются условия совместности для перемещений и нагрузок. Исходными переменными являются пространственные перемещения в этих узлах уравнения движения обычно записываются с помощью того или иного вариационного подхода. Энергия деформаций, вычисляемая для каждого элемента, выражается через все узловые перемещения каждому узлу приписывают некоторую массу, и кинетическую энергию выражают через узловые скорости. Поскольку разбивка на элементы производится с учетом геометрии конструкции, отпадает необходимость в процедуре задания жесткостей, а соответствующие члены уравнений вычисляются из непосредственного рассмотрения геометрии каждого элемента. Для адекватного представления сложной конструкции необходимо большое число узлов, поэтому главными вопросами в методе конечных элементов являются [c.38]

Для достижения достаточно высокой точности расчета следующие основные процедуры МКЭ выполняются с удвоенной точностью построение матрицы жесткости элемента, направляющих косинусов решение системы уравнений. Для решения системы уравнений используется модифицированный метод квадратного корня [15], который является наиболее устойчивым по отношению к ошибкам округления. [c.198]

Рассмотрим случай, когда сложный контур является свободным от связей и нагрузки (рис. 7.12). Для построения матриц жесткости элементов, пересекаемых контуром, используется формула (7.49). При составлении матрицы жесткости ансамбля элементов составляются уравнения не только для узлов, лежащих на оболочке, но и для узлов, находящихся вне оболочки, когда эти узлы принадлежат элементам, пересекаемым контуром. Узлы, принадлежащие элементам, пересекаемым контуром, и лежащие вне тела оболочки, будем называть фиктивными узлами. На рис. 7.12 фиктивные узлы помечены крестиками. После решения системы канонических уравнений получаем перемещение во всех [c.242]

Влияние поперечной жесткости учтем тем, что в уравнение равновесия элемента простой струны введем в (1) элементарную силу (EJy ) dx [c.172]

После анализа структуры уравнения равновесия в форме (3.83) можно отметить, что в правой части стоят внешние силы, действу- ющие в сечении / и сумма приведенных к узлу / поверхностных нагрузок, действующих на сопрягаемые элементы в левой части, стоят произведения матричных блоков МЖЭ и узловых степеней свободы. При формировании уравнений равновесия для /-го узла участвуют лишь блоки матриц жесткости элементов, у которых- первый индекс (по глобальной нумерации) равен /. Расположение этих блоков в /-Й матричной строке в общей системе уравнений рав- новесия (т. е. для всех узлов) определяется вторым индексом. [c.96]

МЖК называется поэлементным. Рассылку коэффициентов матриц жесткости элементов и векторов приведенных нагрузок согласно глобальной нумерации следует рассматривать как формирование уравнений равновесия узлов, принадлежащих рассматриваемому элементу. [c.106]

Подводя итог, можно сказать, что кинематические условия сопряжения (4.164) позволяют для граничного оболочечного элемента перейти к новым обобщенным перемещениям (4.169), в соответствии с которыми преобразуются матрица жесткости элемента и вектор приведенных сил. В случае стыковки в шпангоуте нескольких оболочек преобразования (4.171) выполняются для каждого оболочечного элемента, после чего уравнения равновесия формируются стандартным способом МКЭ. [c.167]

Построить эпюру изгибающих моментов для рамы (рис. 281). Жесткость элементов рамы одинакова н постоянна по длине элементов. Обозначая реакции через А, Н, и С, составляем уравнения статики [c.341]

Теперь с помощью уравнения (3.91) удается определить матрицу жесткости элемента стержня, модуль упругости и момент инерции которого в пределах элемента не меняется [c.92]

Осесимметричное нагружение дисков рассмотрим как наиболее типичное при оценке статической прочности. В качестве расчетного метода использован метод конечных элементов (МКЭ). Это не единственный возможный метод расчета известно применение и других методов дискретизации пространственной задачи к расчету дисков (метод конечных разностей, вариационно-разностный [2, 43, 100]). МКЭ наиболее широко применяют в прикладных задачах 47]. Можно отметить простоту формулировок основных принципов, ясность физической интерпретации, свободу размещения узловых точек, симметрию матриц жесткости элементов и системы уравнений, облегчающую контроль расчетов. При выборе в качестве неизвестных узловых перемещений матрица разрешающей системы будет симметричной, положительно определенной (при исключении перемещения диска как жесткого целого) и иметь ленточную структуру. Это способствует быстрому решению системы разрешающих уравнений прямыми или итерационными методами. Методу конечных элементов посвящено большое число работ [3, 46, 53, 114, 119]. Приведенные в гл, 4 результаты получены ДЛЯ простейшего кольцевого элемента треугольного сечения, однако основные соображения, использованные в решении, имеют достаточно общий характер и применимы как для плоской задачи, так и при более сложных элементах в осесимметричном случае. [c.153]

Следующим шагом является формирование матрицы жесткости элемента, ключевой матрицы и подсчет элементов матрицы жесткости А всего ансамбля в соответствии с используемым методом решения основного матричного уравнения. Далее производится подсчет элементов столбцов правой части основного уравнения. [c.164]

Выражения для компонент матрицы жесткости элемента и столбцов правой части в уравнении равновесия отдельного элемента [c.236]

Установим уравнения равновесия элемента, выделенного из конструктивно анизотропной цилиндрической оболочки. Применяя общие уравнения гл. 1 к оболочкам рассматриваемой формы и учитывая, что, пренебрегая жесткостью на изгиб обшивки по сравнению с жесткостью на изгиб ребер, следует пренебречь в уравнениях моментами и Я по сравнению с М , получим [c.168]

Относительно матрицы жесткости элемента К (1.111), (1.112) можно сказать следующее. Полученная с помощью интегрирования канонической системы (1.107) матрица жесткости одномерного элемента не связана с аппроксимациями по координате 5 полей перемещений, деформаций или напряжений и является точной в отличие от матриц жесткости, полученных в предыдущих разделах. В этом случае можно утверждать, что внутри элемента уравнения равновесия и совместности деформаций выполняются строго и соответствующие поля перемещений элемента содержат необходимые перемещения как жесткого целого. С использованием свойств матрицы фундаментальных решений (1.118) можно показать, что матричные блоки Kij, полученные согласно (1.112), обладают следующими свойствами Kii = Kii K2i = Ki2 К22=К22 , т. е. матрица жесткости К является симметричной. [c.34]

Полная система разрешающих уравнений МКЭ получается суммированием соответствующих коэффициентов систем уравнений отдельных элементов. Матрица жесткости системы является симметричной и в общем случае имеет ленточную структуру с окаймлением. Число столбцов окаймления равно количеству неопределенных коэффициентов At, Bi, Q. [c.24]

Коэффициенты системы уравнений жесткости элемента, вообще говоря, связаны, т. е. внедиагональные коэффициенты отличны от нуля. Поэтому каждая строка есть вектор с отличными от нуля проекциями на более чем одно из п главных направлений. Указанные строки можно преобразовать в векторы, соответствующие п главным направлениям. Эти векторы имеют одну ненулевую компоненту, лежащую на главной диагонали матрицы, и образуют в совокупности диагональную матрицу. Если пара исходных векторов коллинеарна, то один из диагональных элементов окажется равным нулю (число главных направлений меньше, чем размерность исходных векторов на единицу). Если существует s наборов колли-неарных векторов, то на диагонали матрицы, задающей главные направления, будет S нулевых элементов. [c.63]

Уравнение жесткости элемента. =10 фунт/дюйм, ц=0.3. Все величины вычисляются вручную. Для элемента А (элемент 1—2) справедливо AlL=0.7/70. Относительно матрицы жесткости см. разд. 2.3. Преобразование проводится согласно разд, 2.7 при этом созф=1, sin ф=0 [c.77]

Проиллюстрируем прямой метод построения уравнений жесткост элемента на примере треугольного плоско-напряженного элемента изображенного на рис. 5.3 и 5.4. Элемент имеет постоянную тол щину 1, его материал изотропен, и для удобства рассмотрения эле мент расположен так, чтобы одна из его сторон лежала на оси л Этот иллюстративный пример заслуживает особого внимания, та как, во-первых, рассматривается более общее напряженное состоя нне (двумерное) и, во-вторых, получающиеся уравнения жесткост приводят к приближенным решениям дифференциальных уравне ний, определяющих задачи глобального анализа, и, в-третьих, изу чаемый элемент имеет первостепенное значение во всех областя практических приложений. [c.134]

Естественно, что решение задач МКЭ может быть реализовано с помощью ЭВМ. Для программирования решения задач МКЭ широко используется алгоритмический язык FORTRAN. Типичная программа, реализующая МКЭ, состоит из нескольких общих блоков. Такими блоками являются, например, ввод исходных данных, вычисление жесткости элементов, решение уравнений, вычисление напряжений Эти специальные вопросы программирования достаточно подробно обсуждаются в книгах [26, 44]. [c.335]

Основные соотношения МКЭ. Метод конечных элементов основан на предположении, что тело можно представить в виде набора элементов, соединенных друг с другом только в узлах. Связь узловых усилий с узловыми перемещениями задается с помощью матрицы жесткости элемента. Объединение матриц жесткости отдельных элементов в глобальную матрицу жесткости тела позволяет записать условия равновесия тела. При заданных действующих нагрузках или перемещениях и при известной глобальной матрице жесткостзг решение системы алгебраических уравнений равновесия позволяет найти все узловые усилия, а по ним — напряжения и перемещения в пределах каждого элемента. Тем самым напряженно-деформированное состояние тела становится определенным [59]. [c.83]

Вычисление Кх но (13.14) носит название метода виртуального роста трещины [351]. Такая форма записи выражения для вычисления К не содержит производных перемещений и, следовательно, позволяет обойтись единственным решением уравнений равновесия. Производная матрицы жесткости элемента [dkldl] находится при помощи изменения положения вершины трещины, при котором меняется геометрия элементов, окружающих вершину (рис. 13.10) [c.92]

Значение R, определяемое по данному уравнению, зависит от закономерности распределения давления по ширине кольца трения. Закон распределения р определяется в основном жесткостью элементов фрикционной пары и способом приложения осевого усилия Q. В практике расчета обычно ограничиваются рассмотрением двух случаев. В первом случае принимается равномерное распределение давления по всей площади трения, т. е. р = onst. При этом эквивалентный радиус определяется равным [c.226]

Характерная особенность колебаний упругих систем, имеющих в своей структурной схеме зубчатые передачи с внешним зацеплением, состоит в том, что жесткости зубчатых зацеплений обычно на два порядка выше жесткостей элементов упругой системы, соответствующих соединительным валам. Поэтому в высокочастотных формах колебаний, связанных с образованием узлов на участках с зубчатыми зацеплениями, максимальные относительные амплитуды могут сильно отличаться от остальных (на два-три порядка). Указанное обстоятельство позволяет несколько упростить структуру дифференциальных уравнений типа (13), так как отдельные слагаемые числителей выражений, соответствующих демпфирующему и возмущающему членам, оказываются несоизмершшми меадду собой. Принимая во внимание изложенное, дифференциальные уравнеВия (i = 9, 10, 11) можно переписать так [c.86]

Для миникаторов (рис. 79) характерна низкая жесткость элементов крепления на стандартной державке. В результате этого под действием вибраций корпус головки колеблется относительно базовой измерительной поверхности. Эти колебания трансформируются в перемещения измерительного механизма головки и соответственно передаются измерительному механизму. Колебания стрелки на скрученной ленте в этом случае можно выразить уравнением [c.210]

Таким образом, в рассматриваемом датчике имеются две измеряющие точки , в которых прилох<ены вещественные векторы s i и s 2 чувствительности к абсолютному ускорению, и эти точки совпадают с центрами масс инерционных элементов. Следовательно, векторы s j и 5 2 являются связанными векторами. При большой жесткости элементов упругого подвеса перемещения и 62 незначительны, поэтому с точностью до ускорений на относительных перемещениях уравнение (7) можно заменить другим [c.138]

Это основное уравнение жесткости при изгибе может быть применено для расчета жесткости элементов конструкции любого поперечного сечения. В общем случае для прямоугольного поперечного сечения I=bf ll2 и, следовательно, жесткость при изгибе Е1 = ЕЬР1 2, где Ь — ширина, а / — толщина элемента конструкции. Необходимо отметить, что жесткость при изгибе зависит от толщины элемента конструкции в третьей степени и, следовательно, резко увеличивается с ее ростом. Увеличение толщины в 2 раза даст восьмикратное увеличение жесткости при изгибе в отличие от жесткости при растяжении (сжатии), когда увеличение толщины в 2 раза приводит лишь к двукратному увеличению жесткости. [c.183]

Это уравнение является основным при расчете конструкций с помощью МКЭ. Оно позволяет найти перемещения и, воспользовавшись соотношением (3.86), определить напряженное состояние в каждом элементе системы. Основная задача расчета конструкций методол, конечных элементов состоит в определении матриц жесткости элементов, общей матрицы жесткости [К и вектора узловых сил F , [c.90]

Сумма этих матриц дает матрицу жесткости элемента [/(]. Для построения общей матрицы жёсткости всей системы необходимо воспользоваться последовательностью, приведенной в 3.5. Нужно отметить,что при решении задач часто приходится стыковать элементы разных размеров. На участках оболочки, где ожидается быстрое изменение перемещений, например вблизи краевой зоны, длина элементов должна быть небольшой по сравнению с длиной элементов в остальных зонах оболочки. Стыковка элементов разной длины в МКЗ мало усложняет расчет, Jto является большим достоинством метода. Для заданной нагрузки из соотношения (9.46) и матрицы (9.49) на-хрдят вектор узловых сил, который соответствует. ..правой части линейной системы уравнений. Решение этой системы, при учете условий на границе оболочки, определяет все узловые перемещения. [c.266]

Итак, при построении алгоритми складчатой системы необходимо выделить особые узлы, трансформировать по типу (5) матрицы жесткости элементо.в, примыкающих к этим узлам. Последующая процедура обычна с учетом лишь того обстоятельства, что особым узлам будут соответствовать по три уравнения, и вследствие этого элементам, содержащим такие узлы, будут отвечать части глобальной М атр(ицы жесткости системы с 1несколько увеличенной шириной ленты. После решения системы уравнений задачи необходимо перейти от компонент смещений особых узлов по осям Xi к их компонентам по X/, связанным с каждой ячейкой, примыкающей к линии контакта пласвинок. Тогда при вычислении напряжений можно пользоваться матрицами напряжений для плоской области. [c.50]

При определении касательных матриц жесткости элементов в разделе 5.2 не приводился явный вид матриц определяющих соотношений дС и С. Кроме того, остался открытым вопрос вычисления компонент тензсра напряжений, с помощью которых определяются элементы матриц и векторов, входящих в уравнения. В нах тоящем разделе приводятся формулы для опрецеления компонент тензора напряжений и элементов матриц, связывающих приращения вектора напряжений с приращениями вектора деформаций, для различных моделей материала. [c.193]

Использованные выше рассуждения можно применить к образованию сложных конечных элементов из простейших. Выделим часть тела, включающую в себя некоторое число простых конечных элементов. Объединив эти элементы, можно сформировать общую матрицу жесткости и матрицу узловых сил для рассматриваемой части. В результате получим один сложный конечный элемент, который затем можно обычным образом объединять со смежными участками тела для формирования разрешающей системы уравнений. Такой элемент называется подконструкцией (или суперэлементом). Разбиение на подкон-струкции применяется при расчете весьма сложных систем, таких, как самолет в целом. При этом подконструкции могут действительно соответствовать некоторым характерным отсе- [c.152]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...