Произведение тензоров

Свёртывание, сложение, симметричность, альтернирование, идеи, понятие, частный случай, свойства, поле, определение, компоненты, элементы, главные значения, главные оси. .. тензора. Умножение вектора. .. на тензор. Действия. .. над тензором. Скалярное произведение. .. тензоров. [c.88]

Аналогично, назовем произведением вектора а на тензор Р или произведением тензора на вектор слева вектор с = аР с проекциями [c.118]

Отметим, что определение произведения тензора на вектор или вектора на тензор соответствует операции перемножения матрицы II II тензора Р на матрицу а1 аз или а вектора а. [c.118]

Полный дифференциал da вектора а можно представить как произведение тензора D на вектор dr справа или D на вектор dr слева [c.336]

Обратим внимание на некоторое сходство структуры выражения (147) с мощностью силы F [равенство (9)], приложенной к точке, движущейся со скоростью v. В последнем случае мощность равна скалярному произведению F-v вектора силы на вектор скорости, в случае же сплошной среды плотность мощности внутренних сил равна также скалярному произведению тензора напряжений на тензор скоростей деформаций ( 78). [c.254]

Тензорным (внешним) произведением тензора ранга р на [c.393]

Аналогично определяется скалярное произведение тензоров, вообще говоря, любых рангов. Так, скалярное произведение тензоров [c.394]

Замкнутые (закрытые) кинематические цепи. Замкнутые кинематические цепи могут быть одно- и многоконтурными, в общем случае следует рассматривать пространственные кинематические цепи. Какова бы ни была одноконтурная кинематическая цепь, с каждым ее звеном связывается пространственная система координат 0,л ,г/ 2, (i = 1, 2, п, где п — количество звеньев). Тензоры преобразования последующей системы координат в предыдущую обозначим Каждому из тензоров ставится в соответствие матрица четвертого порядка вида (3.13), элементы которой в каждом конкретном случае определяются в зависимости от вида кинематических пар, образуемых смежными звеньями. Если произвести последовательные преобразования систем координат вдоль замкнутого контура звеньев, начиная с некоторого звена или, иначе говоря, с некоторой системы координат, и вернуться к исходному звену или к исходной системе координат, то такое преобразование будет являться тождественным. На операторном языке это означает, что произведение операторов равно единичному оператору или произведение тензоров равно единичному тензору Е [c.44]

Возможен и другой путь составления уравнений для определения скорости и ускорений движения механизмов и кинематических цепей. Соотношения между скоростями, ускорениями, перемещениями звеньев и постоянными их параметрами могут быть получены путем дифференцирования по параметру времени тензорных уравнений (3.20), (3.21), (3.24) и т. д. Такие производные, очевидно, многокомпонентных произведений тензоров, входящих в уравнения, будут содержать в качестве сомножителей в правой и левой частях уравнений как сами тензоры, так и их производные первого порядка в уравнениях для определения скоростей и производные первого и второго порядка в уравнениях для определения ускорений. [c.47]

Произведение тензора на скаляр. Значительное место при решении задач кинематики пространственных механизмов тензорными методами имеет операция умножения тензоров. [c.60]

Различают также скалярные и векторные произведения тензоров и векторов, а также — скалярное произведение тензоров [58]. [c.60]

Скалярное произведение тензора Т на вектор а справа. Пусть тензор Т определен тремя векторами xj, х, х относительно координатных векторов Xi, Хз, Хд равенствами (2), которые представим с учетом краткого обозначения (3) его элементов [c.60]

Скалярное произведение тензора Т на вектор а слева. Чтобы перемножить скалярно слева тензор Т, определяемый векторами (10), на вектор а, представленный равенством (11), необходимо перемножить каждую проекцию вектора а последовательно на [c.60]

Произведение тензоров. Умножение тензоров возможно в любом случае, т. е. если даже перемножаемые тензоры имеют различную структуру и ранг. [c.61]

Умножение тензоров удобнее всего привести к умножению их матриц. При этом все операции и свойства произведения тензоров имеют те же особенности, что и произведения матриц (см. гл. 4 стр. 24) и, в частности, произведение тензоров некоммутативно т. е. если Р w Q два каких-либо тензора, то PQ QP. Ранг тен зора-произведения равен сумме рангов тензоров сомножителей [c.61]

Произведение тензора 2-го порядка а. - на [c.236]

Найдем теперь тотальное произведение тензора согласно уравнению (36) на радиус-вектор г = 1X1 + /Хз + кХ . В результате получаем [c.176]

Скалярное произведение тензора внутренних напряжений и тензора скоростей деформаций (PS) представляет собой работу внутренних сил в единице объема среды за единицу времени и выражается различным образом для разных моделей сплошной среды. [c.17]

Внешнее произведение тензора первого ранга (вектора) и тензора второго ранга является тензором третьего ранга [c.523]

Аналогично (20) внутреннее произведение тензора Ж с единичным тензором 1 . равно [c.524]

Отсюда с учетом формул (53) и (71) К = Jw, где произведение тензора инерции (54) на вектор угловой скорости w понимается как результат матричного умножения. В технических обозначениях (55) и (56) это соотношение имеет вид [c.50]

Складывать и вычитать можно тензоры одного ранга, компоненты которых имеют одинаковое строение индексов. При этом получается тензор того же ранга, компоненты которого равны сумме (разности) соответствующих компонент заданных тензоров. Тензорным, или внешним произведением тензоров является тензор, компоненты которого равны произведениям компонент тензоров-сомножителей. Индексы в обозначении компонент тензора-произведения повторяют индексы в обозначении компонент первого, а затем второго сомножителя. Поэтому умножать можно тензоры любого ранга с любым строением индексов. Ранг тензора-произведения равен сумме рангов тензоров-сомножителей. На- [c.39]

Что такое тензорное (внешнее) и скалярное (внутреннее) произведение тензоров Приведите примеры. Однозначно ли скалярное произведение тензоров [c.42]

Свойства тензоров второго ранга. Отметим некоторые важные свойства тензоров второго ранга. Произведением тензора ац на скаляр X называется тензор bij, компоненты которого bij = Xaii. Суммой тензоров aij и bij называется тензор сц, компоненты которого ij — aii + bij. [c.13]

Скалярное произведение тензора второго ранга aij на вектор b=biet можно записать так [c.18]

В левых частях этих равенств стоят произведения тензоров на векторы, т. е. векторы. Умножим обе части этих равенстн скалярно на и Найдем [c.126]

Последний член представляет собой виртуальную работу внутренних сил, которую проще подсчитать с помощью объемного интеграла от бискалярного произведения тензора напряжений (от действительного нагружения) на тензор возможной деформации, где, очевидно [c.70]

Производится также свертывание тензора с тензором, Эта операция, называемая внутренним произведением тензоров, состоит в предварительном тензорном (внешнем) умножении тензоров, а затем полученный мультипликативный тензор свертывается по индексам, принадлежащим тензорам-сомножителям. Например, перемножая тен-зорно два вектора (а ) и (6 ), а затем свертывая полученную диаду ( i/) = (ад (bj), приходим к инварианту [c.394]

Скалярное умножение тензоров (ац) и (b i) по двум парам-индексов i и fe, / и /, называемое бискалярным произведением тензоров, приводит к скаляру d [c.395]

Тензор можно множать на скаляр. Произведением тензора на скаляр к является новый тензор, компоненты которого в л раз боль[ие соответствуюшлх ко спонентов умножаемого тензора [c.21]

Распределение напряжений у вер шины трещины при плоском напряженном состоянии на примере тонкой пластины с трещиной анализировалось Хатчинсом [250], который по лучил сингулярность типа г для произведения тензора напряжений па тензор деформаций, как и в работе 1П2] для плоской деформации, но только для радиального распределе ния. Для распределения по углу оно отличается от распределения при плоской деформации. [c.11]

Скалярным или внутренним произведением тензоров является тензор, который получается в результате свертывания тензорного произведения тензоров-сомножителей. Например, тензорное произведение векторов А = A ei VI В = Вje> есть тензор второго ранга Т = = (A Bj)eiej. Произведя свертывание, получим фор- [c.39]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...