Поверхности второго порядка общее уравнение

Пусть дана поверхность второго порядка. Общее уравнение ее имеет вид (5.35). Пусть луч идет из точки А (рис. 5.5), отражается от поверхности в точке М и приходит в сопряженную точку А. [c.133]

Поверхности второго порядка общего вида. Поверхностями второго порядка называются поверхности, уравнение которых в системе декартовых координат имеет вторую степень. С прямой линией такая поверхность пересекается не более чем в двух точках. Линией пересечения поверхности с плоскостью является кривая второго порядка. Из известных уже нам поверхностей к поверхностям второго порядка относятся эллиптическая и прямая круговая коническая и цилиндри- [c.161]

Этому уравнению удовлетворяют поверхности второго порядка общего вида. Если [c.417]

Уравнение поверхности второго порядка в общем виде [c.44]

Общее уравнение поверхности второго порядка [c.113]

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид [c.214]

Аналитические модели представляют уравнениями, описывающими контуры или поверхности детали. Например, общее уравнение кривой второго порядка на плоскости в прямоугольной системе координат имеет вид [c.259]

Общий вид уравнения поверхностей второго порядка [c.157]

Если же с = 0, то и р = , и уравнение орбиты (10.2) теряет смысл. Обращаясь тогда к общему уравнению (9.35) поверхности второго порядка, мы увидим, что в случае, когда с = 0, эта поверхность превращается в конус с верщиной в начале координат. Поэтому траектория движения (которая есть линия пересечения поверхности (9.35) и плоскости (9.34)) есть в этом случае прямая линия, проходящая через начало координат, и движение, происходящее по этой прямой, называется прямолинейным кеплеровским движением или просто прямо-л и н е й н ы. м движение м. [c.473]

Отсюда видно, что поперечные сечения не остаются плоскими, а принимают форму поверхности второго порядка. В общем случае анизотропии ось искривляется и уравнение изогнутой оси будет [c.80]

Уравнение поверхности второго порядка. Добавляя к формуле (2.93) член второго порядка относительно s, т. е. квадратичную форму относительно s, получим общее уравнение поверхности второго порядка в виде [c.57]

Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай. [c.289]

Искажение круговой формы сечения , характеризуемое перемещением ы и первым слагаемым в формуле для ы , связано только с деформацией Постоянные С, и j определяют перемещения оболочки как жесткой — поворот ее относительно оси у ( j) и поступательное перемещение вдоль оси х ( g). При k > общие интегралы уравнений (6.7) и (6.8) могут быть получены только при некоторых формах меридиана оболочки. В частности, они могут быть найдены для оболочек, срединная поверхность которых получена вращением кривой второго порядка относительно оси симметрии [40 j. [c.297]

Предлагаемая математическая модель деформации многослойных эластомерных конструкций может быть названа дискретной. Система уравнений многослойного пакета состоит из уравнений деформации отдельных резиновых и армирующих слоев, объединенных условиями упругого сопряжения на поверхностях контакта слоев. Деформация одного слоя резины описывается уравнением второго порядка, а армирующего слоя — системой уравнений десятого или восьмого порядка. Порядок общей системы уравнений зависит от количества слоев в пакете. [c.117]

Установив таким образом два дифференциальных уравнения, одно из которых четвертого, другое второго порядка, мы приобретаем возможность удовлетворить трем вместо двух граничным условиям для контура пластинки. Имея в виду общий случай элемента цилиндрической боковой поверхности пластинки, заданного направлениями нормали п и касательной t (рис. 54), мы можем фиксировать положение элемента, например, уравнениями [c.197]

Пренебрегая, как всегда, очень малыми величинами второго порядка, мы можем подставить у, -г вместо у, 2 и вывести общее уравнение искривленной поверхности сечения со [c.430]

Эти уравнения для волновых амплитуд принято называть уравнениями генерации . Для их вывода мы до сих пор ограничивались изотропной средой и волнами с одним направлением поляризации. Однако обычно в приложениях важную роль играют также анизотропные вещества, поскольку в них нелинейные эффекты проявляются уже во втором порядке. Кроме того, как в изотропных, так и в анизотропных веществах наблюдаются эффекты, в которых большое участие принимают компоненты поля с различными направлениями поляризации. В этих общих случаях система уравнений генерации сложным образом зависит от направлений распространения и поляризации отдельных волн. В дальнейшем мы сделаем упрощающие предположения, при которых уравнения генерации для компонент Е. будут подобны уравнениям для изотропной среды при фиксированном направлении поляризации. Вновь предположим, что волновые векторы всех участвующих в процессе волн имеют одно и то же направление, за которое мы выберем ось г лабораторной системы координат. Этого можно достичь, если направить излучение перпендикулярно к соответствующим образом вырезанной поверхности кристалла. Кроме того, мы ограничимся оптически одноосными кристаллами и расположим ось у лабораторной системы координат в плоскости главного сечения, т. е. в плоскости, образуемой направлением распространения луча и оптической осью. Ось х перпендикулярна этой плоскости. При таком выборе осей. -компонента волны с частотой I распространяется как обыкновенная водна с волновым числом = <7о (Л, а /-компонента — как необыкновенная волна с волновым числом ао /) . (Мы обозначаем через волновое число света с направлением поляризации .) Наконец, мы сделаем достаточно часто выполняющееся предположение, что эллипсоид линейного показателя преломления мало отклоняется от сферической формы. При этом предположении оказывается возможным во многих случаях пренебречь [c.101]

Введенные выше поверхности, хотя и представляют собой геометрические образы, тем не менее достаточно сложны для воспроизведения и восприятия. Значительно более наглядны сечения этих поверхностей плоскостями, проходящими через начало координат. Сечение поверхности представляет собой кривую, в общем случае того же порядка, что и сама поверхность. В частных случаях уравнение этой кривой распадается на произведение отдельных множителей, дающих сечения той или другой полости нормальных волн. Такое разложение на множители происходит фактически в двух случаях когда секущая плоскость является плоскостью симметрии кристалла и когда она перпендикулярна оси симметрии второго, четвертого или шестого порядков. Рассмотрим эти случаи подробнее для поверхности волновых векторов, заданной уравнениями (5.1). Обозначим нормаль к секущей плоскости как ось Ха, координаты в самой плоскости Хъ, х . Компоненты волнового вектора, соответствующие координатам Ха, Хь, Хс, пусть будут дь, q , а значения тензоров е, с и е отметим штрихами. Новые переменные связаны со старыми преобразованиями поворота. Поскольку левая часть (5.1) — скаляр, вид уравнения (5.1) в новых переменных тот же, что и в старых. [c.37]

Поверхностью второго порядка общего вида называют поверхность, которую можно выразить алгебраическим уравнением второй степени в пространственной системе координат. К поверхностям второго порядка общего вида относятся трехосный эллипсоид, однополостный и двуполостный эллиптические гиперболоиды, гиперболический параболоид. [c.78]

Наши уравнения (24.10а) и (24.11) являются частными случаями гораздо более общих соотношений, связывающих обобщенные импульсы с обобщенными скоростями. Но это мы можем показать лишь в гл. VI, 36. Теперь нам важно выяснить геометрическое толкование уравнений (24.10). Речь идет здесь о знаменитом построении Пу-ансо по заданной оси вращения oj найти направление вектора момента импульса N. Собственно говоря, это построение не ограничивается случаем твердого тела его всегда можно применять в том случае, когда имеют дело с симметричным тензором изображают этот тензор тензорной поверхностью второго порядка и находят линейную векторную функцию, с которой сопоставляется этот тензор. [c.176]

Теорема Сильвестра. Полодию для общего случая движения Пуансо можно определить, как геометрическое место точек, лежащих на нейтральной поверхности второго порядка и обладающих тем свойством, что плоскости, касательные к поверхности в различных точках этой кривой, находятся на постоянном расстоянии от центра поверхности. Поэтому на основании формул (47. 65) и (4 7.G6) на стр. 535 и 536 при обозначениях, принятых в настоящей гллве, мы можем уравнения иолодии наиисать гак [c.551]

Итак, полученный полином второй степени адекватно описывает поверхность отклика в области экспериментов. Поверхности второго порядка поддаются систематизации. Чтобы отнести полученную поверхность к одному из известных видов, уравнение второго порядка необходимо представить в канонической форме. Приведение уравнений к канонической форме и их анализ подробно излагаются в курсах аналитической геометрии. В общем случае уравнение в канонической форме для трехфакторной задачи будет иметь вид [c.60]

Таким образом вопрос о движении жидкости сводится к интегрированию трех уравнений (10) с частными производными второго порядка и уравнения (11), которое есгь нелинейное уравнение с частными проиаводными первого порядка. Произвольные функции интеграции определяются по данным условиям задачи, каковы граничные условия, условия НЗ свободной поверхности, и по другим начальным данным. Интегрирование этих уравнений в общем виде до настоящего времени еще не выполнено. [c.699]

Это выражение представляет собой уравнение поверхностп второго порядка в координатах х, у, z. Оно показывает, как изменятся составляющие однородного напряженного состояния при замене координатных осей х, у, z на х, у, 2. При вращении координатных осей шесть составляющих напряжения меняются так же, как меняются постоянные в уравнении поверхности второго порядка при таком же вращении осей. В общем случае эта поверхность [c.109]

Это и есть общее уравнение гидростатического равновесия, onst = р" (0) - р Ф) определяется из граничных условий конкретной задачи. Кривизна поверхности H(z) — нелинейный дифференциальный оператор второго порядка. В частности, если поверхность в декартовой системе координат определяется как z - f x, у), то [c.90]

В общем случае при любых 2 (101(11=1= 0, но является малой второго порядка по сравнению с малыми величинами ско ррстей жидкости. Ниже мы выбираем поверхность 2 так, чтобы (101(11 = о, и поэтому соотношение (19.22) можно рассматрива,ть как точное уравнение количества движения для решений о движении жидкости и о внутренних напряжениях, определяемых из приближенных уравнений Стокса. [c.233]

Вариационный подход на основе уравнений медленного течения применялся к теории смазки, где предполагалось, что в идеализированной постановке процессы в подшипнике могут быть рассмотрены при помощи двумерной задачи о движении двух близко расположенных параллельных поверхностей, скользящих одна по другой и разделенных тонкой пленкой смазки. Неоднородное уравнение в частных производных второго порядка, которое впервые ввел Рейнольдс [25] и он же приближенно его решил, как уже отмечалось ранее, представляет основу для этих методов. Некоторые авторы получили численные и аналоговые решения двумерных уравнений Рейнольдса, а Хейз [14] представил общий метод, используя вариационный подход. [c.112]

В случае ограниченного моря С не обращается в нуль и имеет во всякий момент времени определенное значение, зависящее от положения возмущающего тела по отношению к Земле. Это значение может быть легко выведено из уравнений (10) и (11). Оно равно сумме сферических функций второго порядка от и а с постоянными коэфициентами в форме интегралов по поверхности, значения которых зависят от распределения суши и воды на земном шаре. Колебания значения С, зависящие от относительного движения возмущающего тела, вызывают общее повышение и падение свободной поверхности с четырнадцатисуточным (для случая Луны), суточным и полусуточным периодами. Это уточнение статической теории, приведенное в обычной форме, было исследовано впервые полностью Томсоном и [c.451]

Случай, когда разница порядков велика, не привлекал особенного внимания, хотя и был рассмотрен в [52], а это именно тот случай, который нужен в задачах главы II. Это задачи для эллиптических уравнений второго порядка, содержащие спектральный параметр в граничном условии на компактной поверхности 5. Сводя их на 5, мы приходим к рассмотрению эллиптических псевдодифференциальных операторов L = Lo- -Ll первого порядка, очень близких к самосопряженным полу-ограниченным операторам о (см. 36, 37). В частности, оказывается оператором порядка — оо, если несамосопряженность имеет причиной лишь условия излучения или граничные условия на поверхности, не имеющей общих точек с 5. [c.410]

Таким образом, уравнение (III.20а) — более общее уравнение поверхностей вращения второго порядка, а гипотеза Бужинского содержит в себе как частные случаи все предложенные энергетические теории вида (II 1.18). [c.79]

Установив на точностной диаграмме положения кривой, характеризующей изменение х р для отдельных групп во времени, можно выявить влияние систематических закономерно изменяющихся погрешностей на общую погрешность обработки. Если, например, значения х р расположены на прямой, наклоненной к оси абсцисс под некоторым углом, то величина систематической погрешности выражается уравнением прямой с соответствующим угловым коэффициентом. Величина систематической погрешности может быть дана в функции времени или количестве снятых со станка деталей. Можно ее выражать также в функции обработанной поверхности или длины пути инструмента в металле обрабатываемых заготовок. При распределении значений Хср по параболе величина систематической погрешности может быть выражена уравнением кривой второго порядка. В более сложных случаях зависимость целесообразно представлять аппроксимирующейся функцией. [c.154]

Наличие нескольких систематических факторов с постоянной и переменной интенсивностью их действия во времени приводит к целому семейству теоретических кривых распределения, подробно рассмотренных Н. А. Бородачевым. Установив на точностной диаграмме положение кривой, характеризующей изменение х<.р для отдельных групп во времени, можно выявить влияние систематических закономерно изменяющихся погрешностей на общую погрешность обработки. Если, например, значения х р изменяются по закону прямой, наклоненной к оси абсцисс под некоторым углом, то величина систематической погрешности выражается уравнением прямой с соответствующим угловым коэффициентом. Величина систематической погрешности может быть дана в функции времени или числа снятых со станка деталей. Можно ее выражать также в функции обработанной поверхности или длины пути инструмента при обработке заготовок. При распределении значений Х(.р по параболе величина систематической погрешности может быть выражена уравнением кривой второго порядка. В более сложных случаях зависимость целесообразно представлять аппроксимирующейся функцией. К недостатку данного метода исследования точности нужно отнести то, что при наличии нескольких закономерно изменяющихся систематических погрешностей они не разделяются, а их влияние на суммарную погрешность оценивается комплексно. Кроме того, для исследования необходимо большое число наблюдений. [c.36]

Заметим, что mj (0) и разность g(0) - go представляют собой вклад валентной зоны в обратную эффективную массу и g-фактор электрона на дне зоны проводимости, рассчитываемые во втором порядке кр теории возмущений. Этим и обусловлено введение величин ( ) и g( ) в уравнения (2.34), (2.35). При расчете электронных состояний в гетероструктурах внутри каждой однородной области находится общее решение уравнения (2.34), затем эти решения сшиваются на граничных поверхностях с помощью граничных условий. В модели Кейна граничные условия задаются требованием непрерывности спинора м( г) и составляющей вектора Pv(r), перпендикулярной к гетерогранице. [c.24]

Плоская деформация. Более общий тип деформации, заключающий простое удлинение и сдвиг как частные случаи, мы получим, предполагая, что одно яз главных относительных удлинений равно нулю. Если направление соответствующей главной оси принять за ось г, то поверхность деформации представляет собай цилиндр, опирающийся на кривую второю порядка, лежащую в плоскости ДГд, эта кривая может быть названа кривой деформации ее уравнение имteт вид [c.57]

Наиболее важный результат, получаемый при этом предположении, — это Приближенное значение компонента напряжения Z . Если мы имеем дело с равновесием и пластинка плоская, то Zj, = 0 даже во втором приближении при том же условии, когда средняя поверхность кривая, Zg исчезает в первом приближении, ио во втором приближении мы принимаем этот компонент пропорциональным Л 1-—2 и линейной функции главных кривизн, а также величинам, определяющим изменение кривизны. Результаты относительно Zg и его выражения через Лиг можно иллюстрировать исследованием колебания бесконечно большой пластинкя конечной толщины, Которое базируется иа общих уравнениях колебания упругого тела. Такого род исследование произвел Релей 2) из его результатов видио, что в этом случае имеются виды колег аний, когда Z, исчезает во всей пластинке, для остальных же видов выражение Zj может быть развернуто в ряд по возрастающим степеням h к z, в кою-рь,й не будут входить члены ниже четвертого порядка. [c.568]

Профилям второго порядка, принимаемым в теории Герца, соответствует п=1 в этом случае выражения (5.17) и (5.19) сводятся к выражениям (4.43) и (4.44) соответственно. Для ббльших величин п давление достигает максимальных значений на некотором расстоянии от центра контакта. При п- оо ситуация приближается к случаю контакта двух плоских поверхностей на участке х а, разделенных с обеих сторон вне участка контакта узкими зазорами или трещинами. Распределение давлений в этом случае приближается к распределению для плоского жесткого штампа, для которого характерны бесконечные давления иа границе участка контакта. Когда профили могут быть представлены единственным членом в уравнении (5.15), размер участка контакта связан с нагрузкой соотношением (5.18). Для профилей более общего вида распределение давлений и полная нагрузка определяются комбинацией выражений типа (5.18) и (5.19). [c.134]

Рассмотрим одновременную компенсацию комы и астигматизма. Приравняв нулю соответствующие коэффициенты в соотношениях (2.40), получим систему уравнений с двумя решениями l/s = l/rg — п/[ п — 1)/], / =/"г и 1/ 2 = = 1/ 2 — /[( —1)/]. Легко показать, что в первом случае линза представляет собой совокупность нетривиальной аплана-тической и изопланатической поверхностей, а во втором — поверхности тех же типов расположены в обратном порядке. Таким образом, решение общей задачи для тонкой линзы привело к сочетанию поверхностей с известными свойствами. Практический вывод, который можно отсюда сделать, заключается в том, что при синтезе оптических систем целесообразнее идти не от отдельных тонких (или приближающихся к тонким) линз, как это часто делается [41], а от отдельных преломляющих поверхностей. [c.79]

Е. Н. Kennard [3.118—3.121] (1953—1958) рассматривает задачу о малых упругих колебаниях круговой цилиндрической оболочки в развитии статьи [3.84]. Считая, что искомые функции являются аналитическими по z, автор разлагает в ряды по степеням z компоненты тензора напряжений и вектора перемещений. Пользуясь граничными условиями и общими соотношениями теории упругости, автор исключает слагаемые, содержащие производные от искомых величин по переменной г. Это позволяет вывести уравнения движения без привлечения гипотез о неизменяемости нормального элемента и получать уравнения с любой степенью точности, которая оценивается степенью h. Получены уравнения в перемещениях с точностью до включительно. В приближении тонких оболочек предполагается, что hIR очень мало и изменение любой функции вдоль срединной поверхности на расстояниях порядка h тоже мало. В этом случае, как полагает автор статьи, метод степенных рядов справедлив и законно усечение рядов. Показано, что несоблюдение второго условия может приводить к паразитным решениям. Проверкой служит предельный переход h 0. Если в этом случае мембранные уравнения имеют решение и притом единственное, то построенное приближенное решение действительно [c.189]

Решение проблемы равновесия пластинок и оболочек при упругопластических деформациях, как и при чисто упругих, основывается на двух основных постулатах Кирхгоффа-Лява. Первый состоит в том, что совокупность материальных частиц, расположенных на нормали к серединной поверхности оболочки до деформации, расположена также на нормали к серединной поверхности её после деформации, и потому деформированное состояние оболочки определяется только деформированным состоянием её серединной поверхности. Этот постулат, по существу, говорит о том, что каждый кусок оболочки, размеры серединной поверхности которого малы сравнительно с общими её размерами (и соизмеримы с толщиной), находится в условиях, весьма близких к чистому изгибу и кручению, наложенным на растяжение и сдвиг без изгиба и кручения. Второй постулат состоит в том, чю все компоненты напряжений, имеющие направление нормали к серединной поверхности, весьма малы сравнительно с другими. Оба эти постулата находятся в согласии друг с другом и означают, что всякий тонкий элементарный слой материала, парадлельный серединной поверхности оболочки, находится в условиях плоского напряжённого состояния или, точнее, напряжения, действующие в его плоскости, значительно больше других напряжений. В справедливости такого предположения можно убедиться из анализа порядка различных компонентов напряжений в тонкой оболочке, исходя из уравнений равновесия. [c.153]

Предложенные в первой и второй главах методы позволян т привести задачи равновесия упругих оболочек к эллиптическим системам уравнений с двумя независимыми переменными. Порядок этих уравнений определяется степенью приближений относительно координаты ж (см. гл. I) к искомому, решению задачи. В первой главе мы покажем, что если приближения выражаются при помощи полиномов степени N относительно координаты ж , то в одном из рассмотренных вариантов ( 8) порядок соответствующей зллиптической системы равен б/У +б. В другом варианте ( 7) исключения составляют случаи N=0, 1, 2, тог щ эти системы расщепляются на взаимно независимые Системы более кизкого порядка. В частности, при 0 1 мы получаем системы уравнений безмоментного состояния оболочки, а также бесконетао малых изгибаний поверхностей. В общем же случае (М > 2) мы имеем зацепленную систему уравнений порядка имею- [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...