Плоскости симметрии кристалла

Определить внутренние напряжения в анизотропной среде вокруг винтовой дислокации, перпендикулярной плоскости симметрии кристалла. [c.156]

Для направлений волнового вектора, перпендикулярных или параллельных плоскости симметрии кристалла, имеется равенство [276] [c.340]

Введенные выше поверхности, хотя и представляют собой геометрические образы, тем не менее достаточно сложны для воспроизведения и восприятия. Значительно более наглядны сечения этих поверхностей плоскостями, проходящими через начало координат. Сечение поверхности представляет собой кривую, в общем случае того же порядка, что и сама поверхность. В частных случаях уравнение этой кривой распадается на произведение отдельных множителей, дающих сечения той или другой полости нормальных волн. Такое разложение на множители происходит фактически в двух случаях когда секущая плоскость является плоскостью симметрии кристалла и когда она перпендикулярна оси симметрии второго, четвертого или шестого порядков. Рассмотрим эти случаи подробнее для поверхности волновых векторов, заданной уравнениями (5.1). Обозначим нормаль к секущей плоскости как ось Ха, координаты в самой плоскости Хъ, х . Компоненты волнового вектора, соответствующие координатам Ха, Хь, Хс, пусть будут дь, q , а значения тензоров е, с и е отметим штрихами. Новые переменные связаны со старыми преобразованиями поворота. Поскольку левая часть (5.1) — скаляр, вид уравнения (5.1) в новых переменных тот же, что и в старых. [c.37]

Как отмечено в разд. 6.7.2, направления фазовой и групповой скоростей обычно не совпадают. Фазовая скорость ПАВ параллельна нормали электродов преобразователя, т. е. направлена вдоль его продольной оси групповая скорость показывает направление переноса энергии ПАВ, исходящей из преобразователя. По практическим соображениям подложка и преобразователь ориентированы так, чтобы направления обеих скоростей совпали. Для этого достаточно, чтобы плоскость подложки совпадала с плоскостью симметрии кристалла или нормаль подложки либо продольная ось преобразователя совпадала с некоторой осью симметрии кристалла. [c.411]

Далее, отражение в плоскости симметрии, перпендикулярной к оси у, есть преобразование х- х, у —у, z -> z, или для величин I, г I -> г , т] -> . Поскольку при этом преобразовании Ццх переходит в то эти две компоненты должны быть равны друг другу. Таким образом, кристаллы ромбоэдрической системы обладают всего шестью модулями упругости. Для того чтобы написать выражение для свободной энергии, надо составить сумму [c.54]

В кристаллах число элементов симметрии ограничено. В них, как в конечных фигурах, различаются следующие основные элементы симметрии зеркальная плоскость симметрии, поворотная ось симметрии (простая и зеркальная), центр Симметрии, или центр инверсии. [c.14]

Итак, исследование внешней симметрии кристаллов привело к установлению 32 классов симметрии. Эта симметрия находится в прямой зависимости от внутренней структуры и определяется располол<ением дискретных частиц в пространственной решетке. В пространственной решетке к рассмотренным выше элементам — плоскость симметрии, оси симметрии, центр симметрии — добавляется новый элемент симметрии — трансляция Т, которая действует не на какую-нибудь точку решетки, а на всю решетку в целом. При перемещении решетки на трансляцию в направлении вектора трансляции решетка совмещается сама с собой всеми своими точками. Комбинация трансляции с элементами симметрии, характерными для кристаллов как конечных фигур, дает новые виды элементов симметрии. Такими элементами являются поворот около оси- -параллельный перенос вдоль оси=винтовая ось отражение в плоскости+параллельный перенос вдоль плоскости=плоскость скользящего отражения. [c.15]

Фактор повторяемости. При получении рентгенограмм от поликристаллических образцов интенсивность дифракционных линий также зависит от вероятности нахождения кристаллитов в отражающем положении. Эта вероятность, в свою очередь, зависит от числа эквивалентных плоскостей hkl , для которых d.- hki имеют одинаковые значения. Число эквивалентных плоскостей р, называемое множителем (фактором) повторяемости, зависит от симметрии кристалла. Так, для кубического следующие значения 48 для плоскостей [c.47]

Стандартная проекция (рис. 63) обычно используется для представления кристаллических структур и ориентировок кристаллов. Такой тип проекции получается при ориентировке на плоскости проекции кристаллической плоскости с малыми индексами. Например, для кубической плоскости центром проекции является нормаль к плоскости куба, т. е. направление [001]. В таких проекциях полностью проявляется симметрия кристалла. Для кубического кристалла (г.ц.к. и о.ц.к.) проекция делится путем пересечения большими кругами на 24 элементарных стереографических треугольника, которые кристаллографически идентичны (рис. 63,6). В каждом конкретном случае три угла треугольников представляют эквивалентные направления <001 >, <011> и <111 >, образуя всегда одни и те же углы друг с другом. На проекции эти треугольники различны по форме вследствие изменения величины угловых и линейных элементов в различных частях проекции. [c.116]

Факт существования той или иной симметрии определяется наличием тех или иных элементов, порождающих симметрию. В кристаллах к числу их относятся осб симметрии, плоскость симметрии, зеркально поворотная ось симметрии, инверсионная ось симметрии. [c.608]

Все направления, связанные с элементами симметрии кристалла, являются особыми. Продольными нормалями являются оси симметрии и направления, перпендикулярные плоскостям симметрии. Для осей 3-го, 4-го и 6-го порядков скорости обеих поперечных волн совладают, так что эти направления представляют собой продольные акустич. оси. Все направления, лежащие [c.506]

В К. широкое применение для интерпретации онтич. свойств кристаллов находит метод оптич. поверхностей (волновых и лучевых). В соответствии с ур-пием (1) свойства кристалла могут быть геометрически описаны его оптич. индикатрисой — эллипсоидом с полуосями (т. н. поверхностью волновых нормалей, абс. значения радиусов-векторов к-рой по заданному направлению N равны значениям показателей преломления волн, идущих по этому направлению). Оси симметрии этого эллипсоида определяют три взаимно перпендикулярных главных направления в кристалле, а значение его полуосей — главные значения тензора диэлектрич, проницаемости. Сечение индикатрисы плоскостью, проходящей через её центр и перпендикулярной заданному направлению N, является в общем случае эллипсом. Длины гл. полуосей этого эллипса равны показателям преломления, а их направления совпадают с направлением колебаний (вектора 7> в волне). Во всех точках кристалла оптич. индикатрисы имеют одинаковую ориентацию и одинаковые размеры полуосей, зависящие от симметрии кристалла. [c.511]

Рис. 1. Изменение топологии поверхности Ферми при электронном топологическом переходе а — появление новых полостей й — разрыв перемычки. Количество и расположение перемычек и новых полостей определяется симметрией кристалла так, на рис. а показан случай кубического кристалла — 6 полостей (изображена проекция ва одну из плоскостей симметрии).

Следующим приближением к описанию внутренней структуры кристаллов являются пространственные (или федоровские) группы — совокупности элементов симметрии, действующих на систему трансляций или на ячейку Бравэ (элементы симметрии дисконтинуума— пп. 5—7 в табл. 5.1). Всего получается 230 пространственных групп (Пр.гр.). Символ Пр. гр. включает символ ячейки Бравэ и далее символы осей симметрии или нормалей к плоскостям симметрии вдоль так называемых главных трансляционных направлений, которые для разных сингоний выбираются по-разному, а именно для кубической [001], [111], [ПО] для гексагональной, тетрагональной, ромбоэдрической [001], [010], [110] для ромбической [001], [010], [100] для моноклинной [010] в триклинной СИНГОНИЙ нет осей симметрии или плоскостей симметрии. [c.101]

Со свободной поверхностью кристалла винтовая или краевая дислокация взаимодействует так же, как и с зеркально расположенной относительно этой поверхности дислокацией противоположного знака (рис. 2.14). Именно при таком взаимном расположении дислокации в кристалле в плоскости симметрии поля напряжений полностью компенсируют друг друга, что соответствует условиям на свободной от напряжений поверхности кристалла. Следовательно, свободная поверхность кристалла притягивает и винтовую и краевую дислокации, а после выхода их на поверхность потенциальная энергия кристалла уменьшается. [c.87]

Понятие об ортогональной анизотропии. Симметрия анизотропной среды определяется ее структурой. Наиболее часто в технике встречаются материалы, которым с достаточной степенью точности можно приписать наличие трех взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии. Такие материалы называются ортотропными или ортогонально анизотропными. Линии пересечения плоскостей симметрии являются осями симметрии второго порядка поворот фигуры на половину окружности вокруг такой оси приводит к полному совмещению всех ее точек (см. рис. 1.1). Пространственная фигура (поверхность анизотропии), изображающая характеристику какого-либо свойства ортотропного материала, обладает меньшей симметрией, чем фигуры для материала с кубической симметрией. Оси симметрии материала с кубической симметрией имеют четвертый порядок. Поворот фигуры на четверть окружности приводит в этом случае к совмещению всех ее точек. На рис. 1.2 изображены для примера поверхности анизотропии модулей Е и О кристалла с кубической симметрией (монокристалла альфа-железа). Фигуры отсекают на трех осях симметрии одинаковые отрезки. Для ортотропного материала эти отрезки имеют различную величину, поскольку оси симметрии ортотропного материала имеют не четвертый, а второй порядок (см. рис. 1.1). Если величины отрезков, отсекаемые на одной и той же оси по обе стороны от центра фигуры, одинаковы, то говорят, что фигура имеет центр симметрии. Оси сим- [c.10]

Ромбическая система. Кристаллы всех классов этой системы имеют либо две перпендикулярные оси симметрии, либо ось симметрии и плоскость симметрии. Если одна из осей координат выбирается вдоль оси симметрии, а другая — вдоль второй оси симметрии или в плоскости симметрии, то схема коэффициентов теплопроводности запишется в виде [c.45]

Покажем, что направленпе, перпендикулярное плоскости симметрии кристалла, также является продольной нормалью. Поскольку плоскость, перпендикулярная п,— одновременно элемент симметрии тензора с и диады п п, она будет н элементоы симметрии тензора Если считать, что п II 0Z, то компоненты = А Ру1 = О, так как они изменяют знак нри замене [c.27]

Если направление распространения п лежит в плоскости симметрии кристалла, то эта плоскость будет элементом симметрии диады п п и тензора а пьезоэлектрический вектор е снова лежпт в этой плоскости. Таким образом, тензор Л снова имеет вид (3.8) с осью 0Z, перпендикулярной плоскости симметрии. Один из собственных векторов Л перпендикулярен плоскости симметрии и определяет поляризацию чисто иоиеречной волны, скорость которой не зависит от пьезоэффекта. Две другие волны поляризованы в плоскости симметрии кристалла (ква-зипродольная и квазипоперечпая волны). Направление распространения, обладающее такими свойствами, называют поперечной нормалью. [c.28]

Моноклинная система. Рассмотрим класс С, выбираем систему координат с плоскостью х, у, совпадающей с плоскостью симметрии. При отражении в этой плоскости координаты подвергаются преобразованию х х, у - у, г —г. Компоненты тензора преобразуются как произведения соответствующих координат. Поэтому ясно, что при указанном преобразовании все компоненты среди индексов которых индекс г содержится нечетное (1 или 3) число раз, переменят свой знак, а остальные компоненты останутся неизменными. С другой стороны, в силу симметрии кристалла все характеризующие его свойства величины (в том числе и все компоненты kthim) должны остаться неизменными при отражении в плоскости симметрии. Поэтому ясно, что все компоненты с нечетным числом индексов г должны быть равными нулю. Соответственно этому общее выражение для свободной упругой энергии кристалла моноклинной системы есть [c.52]

Любой кристаллический многогранник имеет определенное число элементов симметрии. Полную совокупность элементов симметрии, характеризующую симметрию объекта, в общем случае называют классом симметрии. Классы симметрии различаются либо числом, либо расположением элементов симметрии. Полный математический анализ всех возможных случаев комбинаций элементов симметрии, встречаемых в кристаллах, показал, что число таких комбинаций строго ограничено, а следовательно, ограничено и число кристаллических классов. Результаты подобного анализа сводятся к тому, что из пяти осей (пяти простых поворотных и пяти зеркальг.ых) симметрии, плоскости симметрии и центра симметрии можно образовать всего лишь 32 различных класса симметрии. [c.15]

Все те узлы обратной решет-1 ки, которые попали в область между граничными сферами (на рис. 1.45 заштрихованная область), находятся в отражающем положении, поскольку для них выполняется условие Вульфа — Брэгга nX—2dsmQ. Как можно видеть из рис. 1.45, в случае, если направление первичного пучка совпадает с одной из осей симметрии кристалла или лежит в плоскости симметрии, то такую же -симметрию имеет и дифракционная картина, образованная лучами, которые испытали брэгговское отражение. Поэтому, ориентируя кристалл определенным образом относительно первичного пучка, всегда можно найти нужные направления, в частности направления, необходимые для выявления осей элементарной ячейки (см. табл. 1.1). [c.50]

Двойникование наблюдается в ряде кристаллов, особенно имеющих плотноупакованную гексагональную или объемно-центрированную кубическую решетку. При двойниковании происходит сдвиг определенных областей кристалла в положение, отвечающее зеркальному отображению несдвинутых областей. Такой симметричный сдвиг происходит относительно какой-то благоприятным образом ориентированной по отношению к приложенному напряжению т кристаллографической плоскости, называемой плоскостью двойникования (рис. 4.12), которая до деформации не обязательно была плоскостью симметрии. Областью сдвига является вся сдвинутая часть кристалла. При двойниковании, как видно из рис. 4.12, в области сдвига перемещение большинства атомов происходит на расстояния, меньшие межатомных, при этом в каждом атомном слое атомы сдвигаются на одно и то же расстояние по отношению к атомам нижележащего слоя. [c.129]

Если свойства образца, вырезанного из материала, не зависят от его ориентации, материал называется изотропным. В противном случае материал называют анизотропным. В зависимости от того, какой критерий принимается при отождествлении свойств образцов, говорят о механической, оптическох , тепловой и других видах анизотропии. Кристаллы, например, всегда анизотропны, это определяется их внутренним строением, поскольку атомы в кристаллической решетке располагаются совершенно определенным образом. Зная строение кристаллической решетки, можно сделать некоторые выводы о характере анизотропии, например указать плоскости симметрии. Образцы, вырезанные из кристалла симметрично относительно такой плоскости, обнаружат тождественные свойства. Технические сплавы состоят из кристаллических зерен, ориентация которых беспорядочна и произвольна. Поэтому в теле, состоящем из большого числа таких зерен, нельзя указать какое-то предпочтительное направление, отличающееся от других. Поликристаллический металл ведет себя в среднем как изотропное тело. При этом, конечно, предполагается, что размеры образца достаточно велики и он содержит в себе достаточно много кристаллических зерен. Малые образцы, состоящие из небольшого числа зерен, будут обнаруживать разные свойства, но эта разница совершенно случайна, она зависит не от ориентации образца, а от случайных ориентаций составляющих его зерен. [c.40]

Если отдельные кристаллики материала в соответствии с их расположением по отношению к плоскости шлифа вытравливаются сильно, то возникает явление, известное в минералогии как образование фигур травления. Под фигурами травления понимают контуры среза поверхностью шлифа плоскостей куба кристалла, обнаженных в результате избирательного вытравливания. Величина фигур травления, называемых также еще ямками травления , зависит от реагента и продолжительности травления. В плоскости зерна фигуры травления однотипны и имеют одинаковое расположение. Однородные фигуры травления ука- зывают на кристаллографически однозначные плоскости, разнородные фигуры травления принадлежат кристаллографически различным плоскостям. Итак, фигуры травления находятся во взаимосвязи с симметрией кристалла. Принципиального различия между выявлением плоскости зерна и фигур травления зерен нет, однако выявление фигур может происходить точно по граням и углам элементарного куба. Беренс (И ] наблюдал фигуры травления на олове, которые он тогда объяснял иначе. Благодаря Даниэльсу, Леудольту и Баумхауеру [12], фигуры травления кристаллов были истолкованы в соответствии с современной теорией. [c.29]

ОПЕРАЦИИ СИММЕТРИИ (преобразования симметрии) — пространств, преобразования объекта (кристалла), при к-рых он совмещается сам с собой. К О. с. относятся поворот вокруг оси симметрии, отражение от плоскости симметрии, инверсия относительно центра симметрии, зеркальный поворот вокруг оси симметрии, а также операции дискретных переносов — трансляций. Совокупность О. с. данпого объекта является его группой симметрии. Подробнее см. Симметрия кристаллов. [c.417]

На опыте наблюдаются конечные пучки звуковых волн, направления распространения к-рых отгределяют-ся лучевыми скоростями. Направления лучей в кристаллах значительно отличаются от направлений соответствующих волновых векторов. Лучевые скорости падающей, отражённых и преломлённых волн лежат в одной плоскости лишь в исключительных случаях, наир, когда плоскость падения является плоскостью симметрии для обеих кристаллич. сред. В общем случае отраженные ж преломлённые лучи занимают разнообразные по- [c.506]

Поверхность полупроводника. Под поверхностью П. понимают неск. атомных слоёв вблизи границы П. Она обладает свойствами, отличающимися от обьёмных. Наличие поверхности нарушает траисляц. симметрию кристалла и приводит к поверхностным состояниям для электронов, а также к особым эл.-магн. волнам (поверхяостные поляритоны), колебат. и спиновым волнам. Благодаря своей хим. активности поверхность, как правило, покрыта макроскопич. слоем посторонних ЯТО.МОВ пли молекул, адсорбируемых из окружающей среды. Эти атомы и определяют физ. свойства поверхности, маскируя состояния, присущие чистой поверхности. Развитие техники сверхвысокого вакуума позволило получать и сохранять в течение неск. часов атомарно чистую поверхность. Исследования чистой поверхности методом дифракции медленных электронов показали, что кристаллографии, плоскости могут смещаться как целое в направлении, перпендикулярном к поверхности. В зависимости от ориентации поверхности по отношению к к ристал л о-графич. осям это смещение может быть направлено внутрь П. или наружу. Кроме того, атомы приповерхностного слоя изменяют положение равновесия в плоскости, перпендикулярной поверхности, по сравнению с пу положениями в такой же плоскости, находящейся далеко от поверхности реконструкция поверхности). При этом возникают упорядоченные двумерные структуры с симметрией ниже объёмной или не полностью упорядоченные структуры. Первые являются термодинамически равновесными, и их симметрия зависит от ориентации поверхности. При изменении темп-ры могут происходить фазовые переходы, при к-рых симметрия структур изменяется (см. Поверхность). [c.43]

Рис. 1. а — кристалл кварца 3 — ось симметрии 3-го порядка, 2 с, Зу, 2V — оси 2-го порядна б — кристалл водного метасилината натрия т — плоскость симметрии. [c.509]

Группы симметрии кристаллов. Р(рпсталлу может быть присуща не одна, а неск. операций симметрии. Так, кристалл кварца (рис. 1, а) совмещается с собой не только при повороте на 120° вокруг оси 3 (операция gi), но и при повороте вокруг оси 3 на 240° (операция . ), а также при поворотах на 180° вокруг осей 2 , 2у, 2ц. (операции gз, g , g ). Каждой операции симметрии может быть сопоставлен э л ем ент симметрии — прямая, плоскость или точка, относительно к-рой производится данная операция. Напр., ось 3 или оси 2х, 2у, 2, являются осями симметрии, плоскость т (рис. 1, б) — плоскостью зеркальной симметрии и т. п. Совокупность операций симметрии ( 1, gг,. .., 5 данного кристалла образует группу симметрии ( е ( 1,. .., gn) в смысле мате.м. теории групп. Последоват. проведение двух операций симметрии также является операцией симметрии. В теории групп это обозначают как произведение операций = ,. Всегда существует операция идентич- [c.509]

Рис. 3. Примеры кристаллов, принадлежащих к разным точеч ным группам (кристаллографическим классам) а — к классу т (одна плоскость симметрии) 6 к классу 1 (центр симметрия или центр инверсии) в — к клаежу 2 (одна ось симметрии -и) порядка) г — к классу 6 (одна инверсионно-поворотная ое 6-го порядка).

Число точечных групп ( бесконечно. Однако в кристаллах ввиду наличия кристаллич. решётки возможни только операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го в кристаллич. решётке не может быть оси симметрии 5-го порядка, т. к. с помощью пятиугольных фигур нельзя заполнить пространство без промежутков). Операции точечной симметрии и соответствующие им элементы симметрии обозначаются символами оси 1, 2, 3, 4,6, инверсионные оси Т (центр симметрии или центр инверсии), 2 (она же — плоскость симметрии т), 3, 4, 6 (рис. 4). [c.510]

Кроме того, в кристаллах некоторых классов этих систем имеется ось симметрии, перпендикулярная оси z, или соответствующая плоскость симметрии если ось л выбрана так, что она совпадает с этой осью или лежит в этой плоскости, то в выражении (17.12) УС[2=0. Существует несколько классов, принадлежащих к таки.м системам, для которых равенство К12 нулю вытекает не только из соображений симметрии однако, как будл показано ниже, это соотношение, по-видимому, оказывается справедливым. [c.45]

В 1967 г. Белл и Грин (Bell and Green [1967, 31) проанализировали 168 опытов с монокристаллами, проведенных, начиная с 1925 г. для всех твердых тел с кубической решеткой, для которых определение с помощью Х-лучей осей кристаллов сопровождалось вычислением определяющих сдвигов после того, как ось образца достигала плоскости симметрии. Ни в одном из опытов начиная с 1929 г. не было фактов, подтверждающих предположение о появлении двойного скольжения после достижения осью образца плоскости симметрии. [c.120]

Применяя операции симметрии к кристаллам, относящиеся к различным кристаллографическим классам , можно получить вид матрицы Xijk 2. Вид этой матрицы для всех кристаллографических классов, не обладающих центром инверсии, приведен, например, в [8]. Ниже приводится вид этой матрицы (в сокращенной записи) для двуосных кристаллов моноклинной и ром 1ческой сингоний, к которым относятся по гги все молекулярные кристаллы. Класс 1 (триклинный) не содержит элементов симметрии, и матрица имеет вид (19). Моноклинные классы 2 и w содержат одну ось второго порядка или одну зеркальную плоскость соответственно. Принято считать, что в этих классах ось симметрии параллельна, а плоскость симметрии перпендикулярна оси у. Класс 222 содержит три взаимно перпендикулярные оси второго порядка, класс т г2-ось второго порядка (ось z) и две проходящие через нее плоскости симметрии. [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...