Колебания слабо нелинейные

При изучении колебаний слабо нелинейной системы уравнения, описывающие эти колебания, обычно преобразуются к стандартному виду [c.216]

Метод усреднения принадлежит к асимптотическим методам исследований в теории нелинейных колебаний. Как уже было упомянуто, теперь эта теория достигла значительного совершенства. Изложенные выше приемы решения задач следует рассматривать как историческое введение к существующим методам, включающим стандартные формы уравнений колебательного движения слабо нелинейных систем, т. е. систем с малыми значениями е, рассмотренными выше, В настоящее время существует обширная литература, относящаяся к этой области механики. Отсылаем читателей к этим работам ). [c.294]

Метод медленно меняющихся амплитуд и его применение к расчету колебаний в слабо нелинейных системах с малым затуханием [c.70]

В предыдущем параграфе мы рассмотрели вынужденные колебания, возбуждаемые в слабо нелинейной консервативной системе гармоническим внешним воздействием. Определение слабой нелинейности в нашем толковании основано на близости исследуемого колебательного процесса к соответствующему колебательному процессу, происходившему в линейной системе. Поэтому, как указывалось ранее, даже для существенно нелинейных консервативных систем в большинстве случаев ) можно найти такую область амплитуд свободных или вынужденных колебаний, оставаясь внутри которой, нам удается с требуемой точностью описывать [c.106]

Рассмотрение вынужденных колебаний в слабо нелинейных диссипативных системах при гармоническом силовом воздействии методом гармонического приближения [c.112]

Обратимся к особо важному случаю гармонического воздействия и из всего многообразия нелинейных диссипативных систем с одной степенью свободы выберем слабо нелинейные системы, в которых вынужденные колебания при таком воздействии также близки к гармоническим. Требование малости диссипации не столь уж принципиально, но поскольку нас интересуют в основном системы с отчетливо выраженными колебательными свойствами, а не апериодические, то мы в нашем рассмотрении ограничимся случаями небольшого затухания (малой диссипации). [c.112]

С учетом всех этих оговорок можно сформулировать задачу следующим образом требуется найти параметры (амплитуду и фазу) приближенно гармонического колебания, возбуждаемого в слабо нелинейной колебательной системе с малым затуханием, при заданной гармонической внешней силе. С подобной задачей мы встречаемся не только при рассмотрении механических систем, но и при анализе различных колебательных цепей в радиотехнических устройствах при наличии нелинейных диссипативных элементов (полупроводниковые приборы, радиолампы), а также при использовании ферромагнитных или сегнетоэлектрических материалов в катушках индуктивности и конденсаторах этих цепей. [c.113]

В 2.5 были описаны основы метода медленно меняющихся амплитуд применительно к анализу автономных слабо нелинейных систем с малым затуханием. Там же были даны примеры применения этого метода для исследования свободных колебаний в некоторых нелинейных системах. Однако исходные положения, на которых основана возможность получения упрощающих задачу укороченных уравнений, допускают также применение этого метода к случаю систем, находящихся под внешним воздействием. [c.119]

На основании описанных вычислений можно сделать вывод о сильном сдвиге максимальных колебаний упругой нелинейной системы при относительно небольшом изменении коэффициента демпфирования. Напомним, что в линейных системах, наоборот, трение очень слабо смеш,ает максимум. Как отмечалось выше, этот вывод может быть интересным для пояснения особенностей колебаний некоторых элементов конструкции, в частности лопаток турбомашин со свободной посадкой в замке, имеющих разброс напряжения в 200—300%. [c.52]

Практически следствием попадания вала в условия неустойчивости может оказаться появление самовозбуждающихся незатухающих колебаний, амплитуда которых в результате фактически имеющейся (хотя и слабой) нелинейности системы может сохранить ограниченное значение. [c.126]

Метод малого параметра. В основе метода лежит предположение о том, что система обладает слабой нелинейностью. Такова, например, система, колебания которой описываются дифференциальным уравнением [c.77]

Рассмотренный выше метод определения амплитуды автоколебаний пригоден только в случаях слабой нелинейности, когда сила трения невелика и колебания приближенно можно считать синусоидальными. [c.294]

Чаще всего силы сопротивления описываются нелинейными функциями скоростей, однако в практических расчетах эти функции иногда можно линеаризовать, считая сопротивление линейно-вязким. Обычно основанием для линеаризации сил сопротивления служит не столько слабая нелинейность истинных зависимостей (в действительности она может быть сильной), сколько заведомо малое влияние сил сопротивления на некоторые колебательные свойства и процессы. Так, в большинстве случаев для расчета частот свободных колебаний достаточно использовать линеаризованные характеристики сил трения, а иногда даже полностью пренебречь сопротивлениями. Силами трения часто можно пренебрегать и при вычислении амплитуд вынужденных колебаний вдали от резонанса. [c.15]

Книга содержит систематическое изложение теоретической механики и основ механики сплошных сред. Большое внимание уделено фундаментальным понятиям и законам механики Ньютона — Галилея, законам изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии, уравнениям Лагранжа, Гамильтона и Гамильтона — Якоби для класса обобщенно-потенциальных сил, а также законам механики сплошных сред, на единой основе которых рассматриваются идеальная и вязкая жидкости, упругое тело. В книге подробно излагаются-, задача двух тел и классическая теория рассеяния, законы изменения импульса, кинетического момента и энергии относительно неинерциальных систем отсчета, теория линейных колебаний систем под действием потенциальных, гироскопических и диссипативных сил, метод Крылова — Боголюбова для слабо нелинейных систем, методы усреднения уравнений движения. Книга содержит большое количество примеров интересных для физиков, в частности рассматриваются примеры на движения зарядов в заданных электромагнитных полях, задачи на рассеяние частиц, колебания молекул, нелинейные колебания, колебания систем с медленно меняющимися параметрами, примеры из магнитогидродинамики. Книга рассчитана на студентов и аспирантов физических специальностей. [c.2]

ОТ положения равновесия и скорости для слабо-нелинейных колебаний [c.319]

Слабо нелинейные колебания 313 Собственные (свободные) колебания 255 [c.572]

Вынужденные колебания изучались почти исключительно в случае, когда F (i) — периодическая функция, и особенно подробно для чисто гармонического возбуждения F (t) = Н sin iu . Для случаев слабой нелинейности установлены следующие наиболее характерные черты движения. [c.95]

Подчеркнем еще раз, что на основе сложившихся представлений теории колебаний и волн можно связать те или иные явления в конкретной системе с ее характеристиками, фактически не решая задачи. Например, когда речь идет о преобразовании энергии одних колебаний в другие в слабо нелинейной системе или среде, будь то волны на воде, электромагнитные колебания в ионосфере или колебания маятника на пружине, можно сказать сразу, что такое преобразование возможно только в случае, когда выполнены определенные резонансные условия между собственными частотами подсистем. [c.12]

Рассмотрим одну из основных и в то же время элементарных задач теории нелинейных колебаний и волн — взаимодействие трех связанных осцилляторов с квадратичной нелинейностью. При отсутствии нелинейности, как мы знаем, в системе из трех связанных осцилляторов будут происходить движения, представляющие собой просто суперпозицию колебаний на трех нормальных частотах Ш2, и>з). Уравнения системы, записанные в нормальных координатах, имеют вид -Ь -I- = О (j = 1, 2, 3). Наличие слабой нелинейности приведет к [c.350]

Метод медленно меняющихся амплитуд. Этот приближенный метод был предложен Ван дер Полем для широкого класса задач о колебаниях систем со слабой нелинейностью, когда дифференциальное уравнение движения можно представить в виде [c.50]

В зависимости от свойств вновь введенных функций A t) и ф(i) зависимость (2.34) может оказаться более или менее близкой к гармоническим колебаниям с частотой Ло- При постоянных Л и ф выражение (2.34) совершенно точно описывает гармонические колебания. В случае, когда А и ф — почти постоянные , т. е. медленно меняющиеся функции времени, выражение (2.34) описывает колебания с медленно меняющимися амплитудой и фазой этот случай типичен для систем со слабой нелинейностью, в частности для рассматриваемых здесь систем. [c.51]

Глава 1 содержит обозначения, определения и действия над асимптотическими разложениями. Источники неравномерности в разложениях возмущения классифицированы и рассмотрены в главе 2. Глава 3 посвящена методу координатных преобразований, в котором равномерность достигается путем разложения как зависимой, так и независимой переменных в ряды по новым независимым параметрам. В главе 4 описываются метод сращивания асимптотических разложений и метод составных асимптотических разложений. Первый метод позволяет выразить решение с помощью нескольких разложений, пригодных в различных областях и согласованных между собой с помощью процедуры сращивания второй метод представляет решение в виде единственного всюду пригодного разложения. В главе 5 для исследования медленных изменений амплитуд и фаз слабо нелинейных волн и колебаний используются понятия быстрых и медленных переменных в сочетании с методом вариации произвольных постоянных. Методы глав 3, 4 и 5 обобщены в главе 6 и объединены в одну из трех разновидностей метода многих масштабов. В главе 7 рассмотрены существующие методы построения асимптотических решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. [c.8]

Как следует из приведенного выше обсуждения, этот метод основан на наличии параметра задачи, зависящего от величины возмущений. В следующих параграфах показано, что этим параметром может быть частота в слабо нелинейной системе, энергетические уровни в задачах квантовой механики, характеристический показатель в нормальном решении линейной задачи с периодическими коэффициентами, волновое число или частота в колебаниях плазмы и волновая скорость или частота поверхностных волн конечной амплитуды. [c.69]

Отметим одну характерную особенность, отличающую вынужденные колебания в рассматриваемой линейной системе с периодически изменяющимися параметрами от колебаний в линейных системах с постоянными параметрами. В нашем случае из-за пульсации параметров каждая гармоника j возмущающей силы способна вызвать колебания с бесконечным числом гармоник, в то время как в линейных системах с постоянными параметрами при этом возбуждается только одноименная гармоника /. Это обстоятельство в известном смысле приближает рассматриваемый класс задач к классу нелинейных. Однако, как показывает анализ, отмеченная связь с чужими гармониками оказывается существенной только непосредственно в резонансных зонах, причем лишь для тех гармоник решения, которым соответствует слабая гармоника возмущающей силы. В остальных случаях указанная особенность обычно слабо проявляется на результатах расчета. Приведенные выше, соображения позволяют записать следующую приближенную зависимость для инженерной оценки амплитуд соответствующих сильных гармоник [c.272]

Выполненные исследования четко показывают, что нелинейность в граничных условиях проявляется в большей мере, чем нелинейность в самой балке (в дифференциальном уравнении). Это согласуется, в частности, с хорошо известным положением о том, что искажение в форме колебаний влияет на собственные частоты существенно слабее, чем искажения в граничных условиях (этот вывод следует и из работы [2]). [c.4]

Действительно, элемент балки, расположенный в поперечном сечении, проходящем через нелинейную упругую опору, не будет совершать гармонических колебаний, а следовательно, этого не будут делать и другие, соседние с ним, элементы балки. Однако из опыта нахождения решений для одномассовых нелинейных систем, можно предполагать, что во многих случаях колебания элементов балки будут близки к гармоническим колебаниям. Можно думать, что это утверждение будет достаточно хорошо выполняться в случае слабо выраженной нелинейности в граничных условиях аналогично тому, как в одномассовых нелинейных системах колебания будут близки к гармоническим при достаточно малой величине нелинейного члена соответствующего дифференциального уравнения. [c.7]

В последней главе рассматриваются распределенные, сильно нелинейные системы. Для них теория разработана слабо, а некоторые экспериментально обнаруженные явления ранее не наблюдались. Таким образом, с точки зрения собственно теории колебаний эти вопросы наименее изучены и представляют наибольший интерес. [c.4]

Эти высшие гармонические компоненты достаточно малы пока система для данной амплитуды колебаний слабо нелинейна, но возрастают по мере роста амплитуды вынужденных колебаний. Если частота одной из возникших за счет нелинейности системы гармонических компонент близка к собственной частоте колебаний системы, то амплитуда этой компоненты может существенно возрасти. В итоге при исходной гармонической вынуждающей силе результирующий колебательный процесс может иметь характер весьма далекий от гармонического с резким увеличением амплитуды тех компонент, частоты которых лежат в резснансной области. При этом, естественно, от вида нелинейных зависимостей (тип нелинейности) существенно зависит возможный характер результирующего процесса. [c.107]

Особенности волновых процессов в нелинейных системах удобно пояснить на примере одномерных возмущений в энергетически пассивной, слабонелине1шой однородной среде, когда спектральный язык ещё не утрачивает свою пригодность. В линейном приближении поле В. есть суперпозиция нормальных гармонич. В. с частотами й) и волновыми числами к, подчиняющихся дисперс. ур-нию (8). А в нелинейном режиме гармонич, В. взаимодействуют, обмениваясь энергией и порождая В, на новых частотах. В частности, затравочное возмущение на частоте ш сопровождается появлением высших гармоник на частотах 2<в, Зи и т. д. Энергия колебаний как бы перекачивается вверх по спектру. Эффективность этого процесса зависит от дисперс. свойств системы м может быть велика даже при очень слабой нелинейности. Действительно, если дисперсии нет. то В. всех частот распространяются синхронно с одинаковыми Уф, и их взаимодействие будет иметь резонансный, накапливающийся характер, поэтому на достаточно больших длинах (в масштабе к) перекачка энергии может осуществляться весьма эффективно. Если дисперсия велика, то фазовые скорости гармонич. возмущений, имеющих разные частоты, не совпадают, с.т1едовательно, фаза их взаимных воздействий будет быстро осциллировать, что приведёт на больших длинах к ничтожному результирующему эффекту. Наконец, возможны специальные, промежуточные случаи, когда я системе с сильной дисперсией только две (или несколько) избранные В. с кратными частотами имеют одинаковые 1 ф и поэтому эффективно взаимодействуют. В ряде случаев достигается своеобразное спектральное равновесие, когда амплитуды всех синхронных гармоник сохраняются неизменными и суммарное поле имеет вид стационарной бегущей Б, вида (1), при этом в случае сильной дисперсии ф-ция f x—vt) близка к синусоиде, а при слабой — она может содержать участки резкого изменения поля (импульсы, ступеньки и др.), поскольку число гармоник в её спектре велико. [c.324]

Наиб, полно развита теория С. к. для квазигармони-ческих колебаний в слабо нелинейных системах [2—4]. [c.526]

Как уже отмечалось, одним из самых простых и наглядных примеров стохастических генераторов является осциллятор с отрицательным трением, колебания которого ограничиваются за счет ударов, уменьшающих скорость осциллятора на величину р и производимых в моменты времени в которые ж = О и ж > > а > О [150, 280]. Таким осциллятором может служить, например, маятник Фроуда [15, 216, 345]. Считая трение слабо нелинейным, запишем уравнение осциллятора в виде [c.262]

Наконец, в силу нелинейности уравнения движения его общее решение не сводится к суммё частных решений, и, следовательно, принцип суперпозиции не имеет места. Таковы особенности нелинейных малых колебаний или, как говорят, слабо-нелинейных колебаний. [c.313]

Расс1Йотрим уравнение слабо-нелинейных собственных одномерных колебаний вида [c.313]

Амплитуды ультрагармонических колебаний в случаях слабой нелинейности малы по сравнению с амплитудой основной гармоники. Амплитуды субгармонических колебаний иногда могут быть весьма значительными, но эти колебания могут быть полностью подавлены демпфирующим действием достаточно больших сил трения. [c.261]

Рассмотрим уравнение малых колебаний х+Ах=0, матрица А симметрична и положительно определена. Соответствующее фазовое пространство Р " распадается в прямую сумму двумерных инвариантных плоскостей Ь), /=1,..., п. Каждая такая плоскость заполнена замкнутыми фазовыми кривыми, движение по которым происходит с частотой где /=1,..., п, — собственные значения оператора А. Следующая теорема показывает, что если уравнение малых колебаний возмутить нелинейными членами так, что полученная система будет сохраняться при обращении времени, тогда возмущеннаяг система будет иметь, как и в линейном случае, п однопарамет-рических семейств замкнутых фазовых кривых на частоты налагается слабое ограничение. [c.83]

Соотношения (7.5.4) и (7.5.5) показывают ), что в автоколебательной системе с двумя контурами всегда осуществляется сильная связь (612621 = 4Р1Р2)- Поэтому бигармонический режим в такой системе невозможен. В газовом лазере преимущественно реализуется случай слабой связи. Это различие обусловлено тем, что в системе с двумя контурами (см. 7.5) усиление колебаний обеих частот происходит в одном и том же нелинейном активном элементе, например в полевом транзисторе или лампе. В газовом же лазере с неоднородным уширением линии поглощения усиление накаждой из генерируемых мод происходит за счет энергии различных атомов активной среды. Поэтому взаимное влияние колебаний различных частот оказывается малым и возможна одновременная генерация двух независимых колебаний. [c.367]

Следовательно, упругие свойства масляного слоя подшипника скольжения при малой толщине, равной 0,1 величины радиального зазора, выражаются нелинейной характеристикой жесткости, порядок величины приведенной жесткости (0,2 -ь 0,3)-10 кПсм близок к величине жесткости металлоконструкции машины (зубчатого зацепления, опор и т. д.), демпфирующие свойства масляного слоя характеризуются величиной декремента колебаний б = 0,44, т. е. составляют сравнительно большую величину, что в значительной степени определяет слабые виброзащитные свойства масляного слоя как упругой связи. Поэтому в тех случаях, когда предъявляются повышенные требования по вибрациям корпуса механизма, имеющего внутренние источники высокочастотных (выще 500 гц) колебаний, рационально применять упругие вкладыши подшипников с одним рядом упругих элементов для виброизоляции от источников среднечастотных (100—600 гц) колебаний лучше использовать двухрядные упругие вкладыши с металлическими конструкциями упругих элементов — пружин. [c.80]

Первое состояние. может практически реализоваться, когда спектр рабочего колеса выявляется резонансным способом при относительно слабом возбуждении вынужденных колебаний, например при экспериментальном определении его в лабораторных условиях. Достижение второго состояния наиболее вероятно непосредственно на работающей турбомашине, когда резонансные колебания могут совершаться с несравненно более высокими амплитудами, при которых усилия, возникающие на контактных поверхностях, существенно превышают силы трения, действующие на них. При экспериментальных исследованиях как в лабораторных, так и в рабочих условиях возможна также реализация различ.чых промежуточных состояний системы, когда на поведение рабочего колеса сильно, влияют нелинейные эффекты, связанные с действием сил трения на контактирующих поверхностях (в условиях развитых колебаний со смещениями по кон-.тактирующим поверхностям нелинейности, вносимые относительно малыми силами трения, могут проявляться весьма слабо, и спектр колебаний рабочего-колеса, выявляемый резонансным способом, будет сравнительно мало отличаться от спектра, когда силы трения отсутствуют). Здесь возможна реализация коле- бательных движений с остановками, существование режимов, когда по одному из возмол<ных относительных смещений направлений силы трения преодолены а по другому нет, и т. п. [c.110]

Нелинейные эффекты. В действительности колебания кристалла не являются строго гармоническими. Несмотря на малость ангармонкзма, при слабых возбуждениях нормальные колебания кристалла оказываются связанными друг с другом (фононы образуют неидеальный газ, т. е. взаимодействуют между собой), а закон дисперсии оказывается зависяш им от темп-ры. Наличие энгармонизма взаимодействие между фононами), в частности, объясняет тепловое расширение кристалла. [c.619]

Явление, при к-ром для нек-рого интервала значений I Шц—ршц I (при р> 1) происходят периодич. колебания с частотой ш , наз. ультрагармоническим 3. ч. Образ этого явления в фазовом пространстве есть предельный цикл периода 2л/о)д с р оборотами в плоскости (а , х). Число вращения иа торе при слабом воздействии в том случае равно i/p. Если автоколебат, система описывается ур-нием (1), где нелинейность / и внеш. сила h малы, то это ур-нис с помощью ас шп- [c.59]

Обычно козф. переноса, обусловленные М. п., зависят не только от парных столкновений частиц, но гл. обр. от взаимодействий волна — частица и могут на много порядков превосходить их классич. значения (см. Переноса процессы) в этих случаях говорят об аномальных диффузии и теплопроводности плазмы. Теория аномального переноса даёт спектры колебаний, возбуждаемых М. п. на нелинейной стадии развития неустойчивости. Если возникающую вследствие М. п. турбулентность можно представить в виде суперпозиции большого числа слабо взаимодействующих. между собой колебаний, то она описывается методом слабой турбулентности с использованием квазилинейного приближения. Часто турбулентность плазмы оказывается сильной, поэтому при расчётах спектральных характеристик флуктуаций используют перенормировочные теории и размерностные оценки. Коэф. аномальной диффузии О ) тпУтт длина волны, а — инк- [c.138]

В Н. с. даже в отсутствие случайных воздействий возможны чрезвычайно сложные, нерегулярные коле-бат. и волновые режимы, требуюнще для своего описания привлечения вероятностных методов, — т. н. стохастические колебания. Такие колебания может совершать, напр., частица в двумерном погенц. поле при нек-рых формах потенц. рельефа. Стохастическим является также взаимодействие квазимонохроматич. волн в нелинейной среде, когда возбуждено лгаого волн и каждая из них участвует во мн. элементарных взаимодействиях, удовлетворяющих условиям синхронизма,— т. н. слабая турбулентность (см. Турбулентность плазмы). [c.313]

Пример Н. ф. п. — возникновение лазерной генерации. С термодинамич. точки зрения лазер представляет собой неравновесную систему, т. к. она включает в себя атомы и ноле, к-рые связаны с резервуарами, имеющими раал. темп-ры. При слабой накачке активные атомы излучают независимо друг от друга. С увеличением накачки лазер переходит в когерентное состояние, в к-ром все атомы излучают в фазе. При этом обнаруживается аналогия с фазовыми переходами 2-го рода. Подобная аналогия имеет место при Н. ф. п. и в др. системах физических (образование конвективных ячеек Бенара возникновение осцилляций напряжённости алектрич. поля в диоде Ганна), химических (появление автоколебаний и автоволн при хим. реакциях), биологических (переход в режим ритмич. активности нейтронных ансамблей образование неоднородных структур ври морфогенезе) и т. д. Рассмотрение этих явлений в рамках единого подхода, использующего Ландау теорию фазовых переходов и теорию нелинейных колебаний и волн, составляет основу синергетики. [c.329]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...