Метод растянутых координат

Метод растянутых координат [c.67]

Гл. 3. Метод растянутых координат [c.68]

Заметим, что мы представили систему двух дифференциальных уравнений второго порядка (3.2.98), (3.2.99) как систему четырех дифференциальных уравнений первого порядка, которая является более удобной для применения метода растянутых координат. [c.105]

Ограничения метода растянутых координат 113 [c.113]

Как показал Леви [1959], метод растянутых координат непригоден для класса задач с сингулярными возмущениями, в которых малый параметр стоит при высших производных (п. 3.5.2). Он показал, что этот метод приводит к ошибочным результатам в задаче о цилиндрических ударных волнах. Тем не менее можно показать, что растяжение зависимых вместо независимых переменных приводит к равномерно пригодному разложению (упражнение 3.33). [c.114]

Мы покажем трудности метода растянутых координат на следующих примерах. [c.114]

Леви [1959] показал, что применение метода растянутых координат к задаче о цилиндрической ударной волне (приведенной в упражнении 2.3) приводит к некорректным результатам. Толщина ударной волны, которую нашел Ву [1956], не зависела от величины скачка, что противоречило результату, полученному Леви с помощью топологического анализа. Вместо того чтобы показывать непригодность разложения на примере цилиндрической ударной волны, мы, следуя Леви, обсудим более простую задачу, обладающую теми же особенностями, но имеющую точное решение для сравнения. Уравнение имеет вид [c.115]

Чтобы применить метод растянутых координат к этой задаче, в разложении (3.5.10) положим [c.116]

Ниже мы покажем, что применение метода растянутых координат к двумерной задаче о космическом корабле Земля—Луна (введенной в п. 2.4.2) приводит к непригодным разложениям. Чтобы сделать разложение (2.4.17) и (2.4.18) равномерно пригодным, применим метод растянутых координат. Подставив [c.117]

Результаты 3.5 показывают, что с помощью метода растянутых координат нельзя получить равномерно пригодные разложения в случаях, когда в некоторых областях изменения независимых переменных зависимые переменные испытывают резкие изменения. В таких случаях, как правило, прямые разложения становятся непригодными в указанных областях, и почти тождественные преобразования независимых переменных (растянутые координаты) не могут компенсировать этих резких изменений. Чтобы получить равномерно пригодные разложения, мы должны выяснить и использовать тот факт, что эти резкие изменения характеризуются увеличенными масштабами, отличными от характерных масштабов изменения зависимых переменных вне областей резких изменений. [c.124]

Рассматриваемая задача математически представлена уравнениями (2.4.7)—(2.4.9) в п. 2.4.2. Одномерная задача исследовалась в п. 3.2.2 с помощью метода растянутых координат. В п. 3.5.3 показано, что в двумерном случае метод растянутых координат приводит к ошибочным результатам. [c.151]

Напряжения в сечениях кольца определяются при известных силах и моментах обычными методами по формулам, сведенным в табл. IV. 1. В этой таблице г — координаты точек, в которых определяются напряжения. Положительными считаются напряжения в растянутых волокнах и наоборот. Экваториальные моменты инерции сечений кольца Л, и определяются соответственно относительно оси х или z обычными для сложных сечений методами. [c.120]

Функции Лежандра встречаются также при применении метода разделения переменных к ортогональным координатам, полученным внутренними сечениями семейства конфокальных растянутых эллипсоидов вращения и семейства конфокальных гиперболоидов (рис. 29). Если записать [c.106]

Последнее разложение можно рассматривать как почти тождественное преобразование переменной х к переменной 8. Функции называются растягивающими функциями и выбираются так, чтобы разложение для и было равномерно пригодным. Другими словами, должно выполняться условие и /и 1 <оо для всех рассматриваемых значений л ,, или, что то же самое, высшие приближения должны быть не более сингулярными, чем предыдущие. Заметим, что если = с постоянными со , то метод Лайтхилла переходит в метод Линдштедта—Пуанкаре. Так как в методе Лайтхилла преобразуется координата, а не параметр, то этот метод назван методом растянутых координат. [c.68]

В предыдущих параграфах было показано, что метод растянутых координат является мощным средством для построения равномерно пригодных разложений в различных физических задачах. Однако, несмотря на успех при исследовании гиперболических дифференциальных уравнений для волн, распространяющихся в одном или в двух направлениях, этот метод не может быть применен для построения равномерно пригодных разложений эллиптических дифференциальных уравнений. Хотя Лайтхилл [1951] и получил равномерно пригодное разложение до второго порядка для обтекания несжимаемой жидкостью тонкого кругового крыла, Фокс [1953] нашла высшие приближения, которые не являются равномерно пригодными. Она доказала также, что для обтекания тонкого крыла сжимаемым газом не может быть получено равномерно пригодного разложения даже второго порядка. В связи с этим Лайтхилл [1961] в более поздней статье рекомендовал применять его метод только для гиперболических дифференциальных уравнений. Несмотря на это, Вальо-Лорен [1962] успешно применил этот метод в сочетании с методом интегральных соотношений в задаче о тупом теле (смешанная краевая задача). Более того, Эмануэль [1966] и Куйкен [1970] успешно применили этот метод к параболическим задачам, связанным с исследованием нестационарного турбулентного потока при диффузии и химических реакциях, а также потока вдоль наклонной поверхности, вызванного сильным впрыскиванием жидкости. [c.113]

Цянь Сюэ-сэнь [1956] высказал предположение, что ограниченность применения метода растянутых координат к исследованию задачи о тонком крыле объясняется тем, что разложения для функций выписываются вблизи нерегулярной точки. К счастью. [c.113]

Несмотря на то что этот метод дает равномерно пригодные разложения для периодических решений в слабо нелинейных колебательных системах, Найфэ [1966] показал, что эти разложения не содержат никакой информации, кроме предельных циклов и предельных точек. Вообще, если амплитуда изменяется, то метод растянутых координат неприменим. [c.114]

Для рассмотренных выше гиперболических дифференциальных уравнений равномерно пригодное разложение было получено растяжением одной из характеристик линеаризованного уравнения. Результирующая растянутая координата была лучшим приближением к точной характеристике. Линь [1954] и Фокс [1955] обобщили метод Лайтхилла для задач с гиперболическими дифференциальными уравнениями с двумя независимыми переменными, выбрав характеристические параметры в качестве независимых переменных. Эта процедура сводится к растяжению двух семейств характеристик. Таким образом они смогли рассмотреть общие волны в потоке жидкости, в котором исходящие и приходящие волны взаимодействуют. [c.103]

При определении расстояний в (V.75) большую роль играет начало отсчета (точка г = 0). В предположении абсолютно жестких контактных поверхностей 2 = 0 соответствует кромке цапфы, при этом фланцы должны раскрываться. При упругих фланцах и незатянутых предварительно болтах границей раскрытия является нейтральная линия, по одну сторону которой расположена сжатая часть фланца, а по другую — растянутые болты. Координату этой линии 2о (рис. V. 19, в) можно найти из условия равенства статических моментов сжатой площади фланцев М ет. фл = /сж ( ) растянутой площади скрепляющих фланцы болтов Мстат. б = /р (2) графическим методом [62] на пересечении кривых этих моментов. В действительности раскрытие фланцев не допускается чтобы его устранить, болты предварительно затягивают. Линия перегиба при этом становится неопределенной она находится в пределах цапфы, и расстояния 2,- могут быть больше или меньше определенных по рис. V. 19 и всегда меньше расстояний, определенных из предположения о перегибе через кромку цапфы, при которых отрывающий момент и напряжения в болтах получаются наибольшими. [c.166]

Вопрос о структуре фронта ударной волны в газе с замедленным возбуждением степеней свободы впервые был рассмотрен Я. Б. Зельдовичем (1945, 1946) на примерах обратимой химической реакции и возбуждения колебаний в молекулах. Этот анализ затем повторяется во всех последующих работах, посвященных релаксационному слою, число которых огромно, так как экспериментальное исследование релаксационного слоя в ударной волне стало впоследствии одним из важнейших методов изучения кинетики и измерения скоростей различных физических и физико-химических процессов (см. 2). Анализ основан на том, что в растянутом релаксационном слое градиенты газодинамических величин малы, и распределение этих величин подчиняется уравнениям гидродинамики идеальной жидкости. Дифференциальные уравнения стационарного плоского течения в системе координат, связанной с фронтом, интегрируются и дают для текущих значений давленияр"(ж), плотности р (ж) и т. д. в релаксационном [c.215]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...