Гармоническая внешняя сила

Явление резонанса можно рассматривать как случай, когда под действием гармонической внешней силы система совершает почти собственные колебания. Роль внешней силы сводится главным образом к компенсации действуюш,их в системе сил трения. [c.611]

Мы рассматривали до сих пор случай, когда внешняя сила изменяется по гармоническому закону. Однако на практике очень часто приходится иметь дело с воздействиями, хотя и повторяющимися или приблизительно повторяющимися, но не по гармоническому закону, например периодическими резкими толчками. Чтобы ответить на вопрос, как ведет себя линейная колебательная система (гармонический резонатор) при таких негармонических воздействиях, можно воспользоваться тем, что мы уже знаем о воздействии гармонической внешней силы. [c.616]

Дело в том, что, говоря о форме колебаний, можно подразумевать не только закон изменения смещения, но и закон изменения скорости и, наконец,, закон изменения ускорения. В случае, если смещение изменяется по гармоническому закону, скорость и ускорение также меняются по гармоническому закону (ибо производная от гармонической функции есть также гармоническая функция). Если же форма колебаний смещения отлична от гармонической, то форма колебаний скорости не только отлична от гармонической, но и отлична от формы колебаний смещения то же относится к скорости и ускорению, так как ни одна периодическая функция, кроме гармонической, не имеет производной, которая по форме совпадала бы с самой функцией. Поэтому только в специальном случае действия гармонической внешней силы на линейную систему гармонической оказывается форма колебаний как для смещений, так и для скоростей и ускорений. Для определенности мы будем ниже везде (если не оговорено иное) под формой колебаний понимать закон изменения смещения.- [c.620]

Чтобы в сплошной системе наблюдалось явление резонанса, необходимо не только чтобы частота гармонической внешней силы совпадала [c.658]

Рассмотренные в предыдущем параграфе случаи возникновения в стержне стоячих волн значительной амплитуды при заданном гармоническом движении одного из концов стержня представляют собой не что иное, как явление резонанса в сплошной системе. Чтобы вызвать гармоническое движение конца стержня, на этот конец должна действовать гармоническая внешняя сила. Как мы убедились, если бы потери энергии в стержне отсутствовали, то при определенных значениях частоты этой внешней силы амплитуда стоячих волн в стержне возрастала бы до бесконечности. Вследствие потерь энергии при распространении волны в стержне (а иногда и при отражении от его концов) амплитуда стоячей волны будет иметь конечную величину, и тем меньшую, чем больше потери энергии в стержне. [c.688]

Вся эта картина характерна именно для явления резонанса, который должен наступать всякий раз, когда частота гармонической внешней силы совпадает с одной из нормальных частот колебательной системы. И действительно, сопоставив, с одной стороны, условия, определяющие частоты внешней силы, при которых амплитуды стоячих волн в стержне достигают максимального значения, а с другой — условия, определяющие частоты нормальных колебаний стержня ( 149), мы позднее убедимся, что те и другие условия совпадают. [c.688]

Итак, мы убедились, что возникновение в стержне под действием гармонической внешней силы стоячих волн значительной амплитуды представляет собой явление резонанса внешняя сила поддерживает сильные вынужденные колебания, частота и распределение амплитуд которых очень близки к частоте и распределению амплитуд одного из нормальных колебаний стержня. Роль внешней силы сводится при этом лишь к компенсации потерь энергии в стержне. Представим себе, что после установления стоячей волны потери энергии в стержне начинают уменьшаться, но вместе с тем мы уменьшаем амплитуду внешней силы (или заданного движения) так, чтобы амплитуда стоячей волны оставалась неизменной. В пределе, когда потери энергии в системе совсем прекратятся и амплитуда внешней силы обратится в нуль, в стержне останется стоячая волна, совершенно идентичная с соответствующим нормальным колебанием стержня. Таким образом, свойственные сплошной системе без потерь нормальные колебания тождественны со стоячими волнами, которые могут возникать в этой системе. [c.692]

С учетом всех этих оговорок можно сформулировать задачу следующим образом требуется найти параметры (амплитуду и фазу) приближенно гармонического колебания, возбуждаемого в слабо нелинейной колебательной системе с малым затуханием, при заданной гармонической внешней силе. С подобной задачей мы встречаемся не только при рассмотрении механических систем, но и при анализе различных колебательных цепей в радиотехнических устройствах при наличии нелинейных диссипативных элементов (полупроводниковые приборы, радиолампы), а также при использовании ферромагнитных или сегнетоэлектрических материалов в катушках индуктивности и конденсаторах этих цепей. [c.113]

Рассмотрим следующий частный случай гармоническая внешняя сила приложена в точке х — Ь, т. е. [c.336]

Внешнее воздействие на фундамент рассматриваем с одной стороны в виде гармонической внешней силы, приложенной в центре тяжести и имеюш,ей следующие компоненты по осям л , //- 2 [c.195]

Уравнения (12) и (13) для линейной в интервалах между соударениями системы линейны относительно Q и С . Если к звену т приложена гармоническая внешняя сила (или ударник движется гармонически), то, исключив Q и j, приходят к фазовому уравнению (11), из которого определяют соответствующие значения фазы ф соударения. [c.312]

Для ряда систем (особенно точкой механики и приборостроения) существенное значение имеет определение их динамической точности. При этом приобретает важность расчет увода колебательной системы. Так называют нелинейный эффект, проявляющийся, в частности, в том, что под действием гармонической внешней силы звенья ВУС колеблются не около положений их статического равновесия, а относительно некоторых смещенных положений, которые называют положениями динамического равновесия (см. также гл. IX). Эффект увода в нашем случае обусловлен несимметрией действующих на звенья ВУС ударных импульсов. Ниже, используя изложенные выше способы отыскания периодических режимов ВУС, получим количественные характеристики этого эффекта. Если х (t) —закон периодического движения звена ВУС t Т), то положение динамического равновесия j j h и увод б этого звена определяют по формулам [c.321]

Как показано в ряде работ [28, 76, 78, 151, 214, 215, 223, 428], при воздействии гармонической внешней силы на автоколебательную систему, работающую в хаотическом режиме, возможен переход от хаотических колебаний к периодическим с периодом, кратным периоду внешней силы, т. е. возможно явление синхронизации. Существенно, что как бы ни менялась частота воздействия, такой переход воз- [c.237]

Прежде всего рассмотрим нелинейный осциллятор, описываемый уравнением Дуффинга и находящийся под действием гармонической внешней силы, содержащей, в общем случае, постоянную составляющую [c.267]

Бифуркации удвоения периода и переход к хаосу при воздействии гармонической внешней силы были обнаружены также в таких простых системах, как линейный маятник, упруго ударяющийся о стенку, и кусочно-линейный осциллятор. Уравнения движения таких систем можно записать в виде [c.275]

Действие гармонической внешней силы на генераторы периодических и хаотических колебаний [c.313]

Воздействие гармонической внешней силы на генератор с инерционной нелинейностью численно и экспериментально исследовано в [28, 34, 35] в рамках следующей модели (сравните с (4.20)) [c.320]

Рассмотрим теперь явление резонанса в линейном осцилляторе 9 потерями, на который действует гармоническая внешняя сила. Математическая модель описывается неоднородным дифференциальным уравнением [c.92]

Первоначально производится гармоническая линеаризация нелинейной характеристики, входящей в систему уравнений (177). Затем находится решение этой линеаризованной системы, соответствующее вынужденным колебаниям под действием гармонической внешней силы. С этой целью применяется операционный метод решения. В рассматриваемом случае, переходя от оригиналов к изображениям, получим [c.218]

Будем полагать, что гармоническая внешняя сила приложена по Аг-й обобщенной координате, т.е. /(<) имеет вид [c.180]

ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВНЕШНЕЙ СИЛЫ [c.841]

Этот вопрос был частично рассмотрен в 7-й главе I тома, где изучались свободные колебания и установившиеся вынужденные колебания затухающего осциллятора. (Эффект затухания иногда называют демпфированием, а сам осциллятор — демпфированным.) Мы рассмотрим также переходный процесс у гармонического осциллятора, первоначально находящегося в покое и подверженного действию гармонической внешней силы. [c.104]

Установившиеся колебания под действием гармонической внешней силы. Очень большой класс функций F f) можно разложить в ряд Фурье по различным частотам со [c.106]

Здесь нулевой момент времени выбран так, чтобы сделать фазовую константу равной нулю. Если мы будем знать, как найти х (/) для такой гармонической внешней силы, мы легко найдем х (t) для суперпозиции подобных сил, выраженной формулой (12). Действительно, в п. 1.3 было сказано, что для неоднородного линейного уравнения справедлив принцип суперпозиции. Он заключается в том, что решение, соответствующее суперпозиции различных внешних сил, представляет собой суперпозицию отдельных решений. Поэтому мы начнем с неоднородного уравнения с внешней силой в виде одной компоненты ряда Фурье [c.106]

Мы хотим найти решение уравнения (14) для установившегося состояния. Установившееся состояние — это движение, совершаемое осциллятором под влиянием гармонической внешней силы, которая действует в течение значительно большего времени, чем постоянная времени т. В этом случае переходный процесс, который описывает поведение системы в течение интервала времени, равного нескольким т после момента приложения внешней силы, уже закончился, и осциллятор совершает гармонические колебания с частотой вынуждающей силы ю. При этом движении амплитуда колебаний пропорциональна амплитуде внешней силы, а фазовая постоянная определенным образом связана с фазовой постоянной внешней силы. [c.106]

Как известно, они отличны от нуля, если числа частиц в состояниях пип отличаются друг от друга на единицу. Отсюда следует, что дельтаобразные особенности спектральной функции в данном случае определяют изменение энергии ферми-системы при изменении числа частиц в ней на единицу. При этом предполагается, что частица добавляется в состояние X (или изымается из него). Подчеркнем, что состояния X были введены нами в 1 просто как некая базисная система, с помощью которой был произведен переход к представлению вторичного квантования. Они, вообще говоря, отнюдь не обязаны быть стационарными соответственно, спектральная функция может и не иметь особенностей указанного вида. В отсутствие взаимодействия между частицами, однако, всегда можно выбрать в качестве базисной системы собственные функции гамильтониана при этом 7(Х, Е) имеет только дельтаобразные особенности в точках Е, представляющих собой просто значения энергии отдельных частиц. При наличии взаимодействия состояния а(Х)Ф , строго говоря, всегда не стационарны. Соответственно особенности спектральной функции 7(Х, Е) не имеют чисто дельтаобразного характера, и состояние с а(Х)Ф затухает при t- o (ср. 2). При достаточно малом затухании, однако, можно в соответствии с 2 ввести представление о квазистационарных одночастичных состояниях, характеризующихся некоторой энергией и затуханием. Действительно, вычисляя вероятности переходов в системе под влиянием гармонической внешней силы, легко убедиться, что именно частота, определяющая осцилляции амплитуды состояния при >оо, входит в закон сохранения энергии (см. пример в гл. VI). При этом, как всегда в таких случаях, энергия одночастичного состояния сохраняется лишь с точностью до неопределенности, связанной с затуханием. Подчеркнем, что фактически энергии одночастичных . состояний следует относить уже не к отдельным частицам, а ко всей системе в целом. На языке квантовой теории поля [c.38]

Уравнение (7.18) описывает линейную консервативную колебательную систему с собственной частотой, равной единице, находящуюся под воздействием гармонических внешних сил [c.171]

Это уравнение обычной линейной консервативной системы, собствен ная частота которой равна со. На эту систему действуют гармонически внешние силы различных частот, в том числе и частоты со [первое слагаем в правой части (15.55)]. Это значит, что решение х,(/) уравнения (15.55 содержит непериодическое слагаемое вида /sin со/ (резонанс). Решени будет периодическим только в том случае, когда член с sin со/ в право части (15.55) отсутствует, т.е. когда [c.282]

Гармоническая внешняя сила 266 [c.389]

Нелинейные системы, т. е. такие, в которых коэффициенты упругости пружин или модули упругости материала зависят от величин деформаций (либокоэффициенты трения зависят от скоростей), искажают форму не только негармонической, но и гармонической внешней силы. [c.620]

Именно устойчивость формы гармонических колебаний по отношению к широко распространенному классу линейных систем и определяет то исключительное положение, которое занимают гармонические колебания среди всех других форм колебаний. Устойчивость формы играет решающую роль не только в случае гармонической внешней силы, когда эта устойчивость позволяет заранее утверждать, что в линейной системе вынужденные колебания будут гармоническими, и тем самым свести задачу о вынужденных колебаниях только к определению амплитуды и фазы гармонического вынужденного колебания. Так как в линейных системах справедлив принцип суперпозиции, то и в случае негармопической внешней силы решение задачи [c.622]

При действии внепшей силы на связанные системы также наблюдаются явления резонанса. Как и в системе с одной степенью свободы, резонанс наступает всякий раз, когда гармоническая внешняя сила совпадает по частоте с одним из тех гармонических колебаний, которые способна совершать сама система. А так как две связанные си-стемы могут совершать колебания с каждой из нормальных частот, то и резонанс Fia TynaeT в том случае, когда частота гармонического внешнего воздействия совпадает с одной из двух нормалыП)1х частот Mj и Wj системы. Если резонанс в системе достаточно острый (т. е. затухание системы мало), то резонанс на каждой из нормальных частот наблюдается отдельно. Поэтому нри малом затухании и достаточно медленном изменении частоты внешней силы резонанс наблюдается дважды — при совпадении с каждой из нормальных частот связанной системы. Резонансная кривая имеет двугорбый характер (рис. 419). Таким образом, если мы свяжем два резонатора, то они будут отзываться не на те парциальные частоты, которыми обладает каждый из них в отдельности, а на две другие частоты, одна из которых лежит выше более высокой, а другая — ниже более низкой из парциальных частот резонаторов. Это расщепление частоты связанных резонаторов тем более заметно, чем сильнее связь между ними. [c.641]

Для того чтобы эта работа достигла максимума, прежде всего, как и в случае системы с одной степенью свободы, должно быть os <р = 1, т. е. угол сдвига фаз ср должен быть равен нулю, что действительно имеет место при резонансе. Далее, необходимо, чтобы произведение алшлитуд силы и скорости также достигло максимума, В системе с одной степенью свободы это условие выполняется автоматически , так как при заданной внешней силе амплитуда скорости достигает максимума также при резонансе. Но в сплошной системе амплитуды смещений и скоростей в разных точках системы, вообще говоря, различны. Если на систему дейспнует гармоническая внешняя сила заданной амплитуды, то произведение амплитуд внецшей силы и скорости достигает максимума там, где максимальна амплитуда скорости, т. е. в пучности скоростей. Следовательно, наиболее сильный резонанс будет наблюдаться в том случае, когда заданная внешняя сила приложена в том месте, где при колебаниях образуется пучность скорости. Если же заданная внешняя сила приложена в узле скоростей, где амплитуда скорости равна нулю, то, как уже указывалось в 148, работа внешней силы также будет равна нулю, И резонанс наблюдаться не будет. [c.688]

В заключение остановимся на вопросе о форме волн и о том особом месте, которое среди всевозможных по форме волн занимают гармонические волны. Прежде всего, при рассмотрении картины распространения бегущей волны в стержне мы пришли к выводу, что если на конец стержня действует гармоническая внешняя сила, заставляющая конец стержня совершать гармоническое движение, то и волна, бегущая по стержню, является гармонической. Этот вывод являлся непосредственным следствием того, что всякие упругие импульсы, независимо от их формы, распространяются по стержню с одинаковой скоростью и не изменяя своей формы. Правда, это последнее утверждение справедливо только при известных условиях, которые были оговорены в ИЗ, но эти условия часто соблюдаются, как в стержнях, так и во многих других упругих телах и средах, как твердых, так и жидких или газо разных, Тогд , если источник, возбуждающий волны, со- [c.718]

Пытаясь учитывать тот или иной вид демпфирования, следует иметь в виду, что формальный анализ вынужденных колебаний рассматриваемой системы сравнительно просто удается выпслнить лишь в случае линейного трения. Только в этом случае, как мы увидим дальше, система будет двигаться строго гармонически под воздействием гармонической внешней силы. [c.100]

Чтобы сделать более простой и наглядной оценку эффективности виброгасителя ударного действия, целесообразно сравнить его с обычным линейным демпфером. Известно, что если к упругой системе, помимо гармонической внешней силы Рдсозсо/, приложена линейная сила [c.310]

При действии на систему с малой нелинейностью гармонической внешней силы Р sill (oi движение приближенно определяется как гармоническое вида asin o , а амплитуда определяется по приближенной формуле [c.354]

Синхронизация колебаний в системе Лоренца при силовом внешнем воздействии исследовалась Г. Г. Шаталовой. Для этого уравнения Лоренца были затгасаны в форме (4.2) и в первое уравнение была введена гармоническая внешняя сила. Таким образом, моделировалась (численно)- следующая система уравнений [c.324]

Наиболее часто встречается случай воздействия гармонической внешней силы. В зависимости от соотношения частот собственных колебаний системы и вынужденных, колебаний характер общего колебательного процесса системы будет различным. Если частота возмущающих колебаний мала по сравнению с частотой собственных колебаний, то частота общего колебательного процесса будет близка к 1астоте возмущающих колебаний. Если частоты возмущающих и собственных колебаний совпадают, то возникает явление резонанса. В этом случае даже небольшая возмущающая сила может вызвать колебания с чрезвычайно большой амплитудой. Если частота внешних колебаний значительно превышает частоту собственных колебаний системы, то амплитуда общего колебательного процесса становится чрезвычайно малой, так что систему можно считать неподвижной в пространстве. [c.170]

Сравнивая формулы (69), определяющие вынужденные движения, возникшие благодаря действию вынуждаюш,ей силы (58), с выражением для этой силы, устанавливаем, что в этом случае вынужденн1.1е движения представляют собой гармонические колебания той же частоты, но с иными амплитудами и со сдвигом фаз. Амплитуды и фазы вынужденных колебаний полностью определяются введенной выше комплексной функцией F (tQ), и для данной системы зависят поэтому только от частоты внешней силы 13. [c.245]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...