Теорема Малкина

Согласно теореме И. Г. Малкина [38] в рассматриваемом случае Т-периодические решения исходной системы вида (42) могут соответствовать лишь тем решениям семейства (47) системы (41), для которых постоянные а ,. .., удовлетворяют системе уравнений [c.53]

Развитие теоремы Ляпунова-Малкина об устойчивости по линейному приближению [c.115]

В русле данного направления исследований ЧУ-задачи по линейному приближению определенную завершенность получили результаты, восходящие к очень часто используемой в приложениях теореме Ляпунова-Малкина [Малкин, 1966] об устойчивости по линейному приближению в критических по Ляпунову случаях. [c.115]

Утверждение теоремы перестает быть верным, если устойчивость по Ляпунову нулевого решения линейной системы (2.2.26) не является равномерной. Это показывает пример [Реп-оп, 1930 Малкин, 1966], построенный для случая В = О, С s 0. [c.117]

На основании теоремы Ляпунова-Малкина и метода нелинейных преобразований переменных решаются задачи стабилизации и управления по части переменных [c.167]

Теорема Ляпунова—Малкина в работе сформулирована при более общих предположениях, когда Y зависят 07 времени, и рассматривается [c.262]

Следует отметить, что из доказательства теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости следует, как это показал И. Т. Малкин (1954), что при условиях этой теоремы имеет место равномерная устойчивость по времени о и координатам Xq начальных возмущений в следующем смысле. [c.19]

Примечание. Следует отметить, что при условиях теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости всякое другое решение уравнений (2.1), достаточно близкое к невозмущенному по начальным условиям, неограниченно приближается к нулевому решению, когда оо. Если же выполняются условия теоремы Дубошина — Малкина, то всякое решение системы (2.1"), начальные значения которых численно сколь угодно малы, вовсе не стремится к нулевому решению системы (2.1), но всегда остается сколь угодно близким к этому решению, т. е. к невозмущенному движению. [c.90]

Устойчивость при постоянно действующих возмущениях. Теорема И. Г. Малкина [c.838]

См. [11], где рассматривается устойчивость при постоянно действующих возмущениях и доказана теорема Дубошина—Малкина о достаточных условиях устойчивости при постоянно действующих возмущениях. Заметим, что на вид самих функций Yf(x, t) никаких ограничений не накладывается. [c.475]

Длина характерная 22 Дубошина—Малкина теорема 475 [c.490]

СИСТЕМЫ А. М. ЛЯПУНОВА ). В системах Ляпунова отсутствует малый параметр, на который в квазилинейных системах умножены нелинейные члены. Большей частью это консервативные системы, обладающие в качестве первого интеграла интегралом сохранения полной механической энергии. При известных условиях такие системы допускают периодическое решение, разлагающееся в ряды по степеням начального значения одной из координат в предположении, что это значение достаточно мало. Вопрос о существовании периодического решения в таких системах был связан у Л. М. Ляпунова с вопросом об устойчивости невозмущенного движения системы, определяемого нулевыми значениями координат в одном из критических случаев , именно, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. Устанавливая условия периодичности возмущенного движения системы, можно, следуя Л. М. Ляпунову, получить также в этих условиях условия устойчивости невозмущенного движения в этом довольно часто встречающемся критическом случае. Общая теория нелинейных систем Ляпунова вместе с обобщением этой теории на класс систем, близких к системам Ляпунова, развита И. Г. Малкиным. Из монографии И. Г. Малкина [31] мы и заимствуем изложение теоремы Ляпунова о существовании и форме периодических решений рассматриваемых систем, приводимой без доказательства. [c.545]

Из результатов Я. Курцвейля (1956) и X. Массера (1956) следует, что если невозмущенное движение (периодическое или установившееся) асимптотически устойчиво, то существует функция Ляпунова, которая обладает всеми свойствами из теоремы II Ляпунова и имеет ограниченные частные производные по переменным х , т. е. удовлетворяет всем условиям теоремы Малкина. Отсюда сразу следует, что для устойчивости устайо- [c.52]

Если воспользоваться рассуждениями Курцвейля [14], то теорему 2.5 можно обратить. Здесь мы проведем это обращение при дополнительном предположении о гладкости правых частей изучаемой системы. Предлагаемые рассуждения во МНОГОМ аналогичны рассуждениям, проведенным Массера при обращении теоремы Ляпунова об асимптотической устой чивости (см. Малкин [15], Массера [16]). )( [c.43]

В данном случае для совокупной системы дифференциальных уравнений возмущенного движения спутника можно сначала решить задачу стабилизации по отношению к переменным, определяющим его положение в орбитальной системе координат. Делается это путем рассмотрения " "укороченной управляемой системы, получающейся из исходной совокупной обращением в нуль неконтролируемых на данном этапе решения переменных. Затем применением теоремы Ляпунова-Малкина [Малкин, 1966] доказывается, что в процессе проведенной стабилизации фактически обеспечивается не только асимптотическая устойчивость по указанной части переменных, но и устойчивость (неасимптотическая) по всем переменным исследуемого невозмущенного движения совокупной системы [Белецкий, 1965 Крементуло, 1977]. [c.23]

Условие полиустойчивости по линейному приближению. Приведем наиболее полный результат, относящийся к теореме Ляпунова-Малкина. [c.116]

Важным для обоснования универсальности метода функций Ляпунова является вопрос об обратимости основных теорем, лежащих в основе этого метода. Действительно, если вторым методом Ляпунова пользоваться как основным при решении задач устойчивости, то должна быть уверенность, что соответствующие функции в самом деле существуют. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопроса о существовании в общем случае функций, удовлетворяющих его основным теоремам. Этот вопрос впервые был поставлен Н. Г. Четаевым перед участниками его семинара по устойчивости в Каэаня и к настоящему времени разрешен трудами ряда советских и иностранных ученых. Первой работой в этой области была статья И. Г. Малкина (1930), в которой рассматрива лись автономные системы второго порядка. Было показано, что для устойчивого установившегося невозмущенного движения может не существовать знакоопределенной не зависящей от времени функции, производная которой в силу уравнений возмущенного движения была бы знакопостоянной противоположного знака однако можно найти такую функцию, зависящую явно от времени. [c.18]

Аналогичные результаты несколько иным путем были получены И. Г. Малкиным (1937), рассмотревшим, кроме того, случай, когда порядок формы больше т и правые части присоединенной системы имеют переменные коэффициенты, являющиеся ограниченными непрерывными функциями времени. В этой работе Малкин дал обобщение теоремы Ляпунова об устойчивости в особенном подслучае случая одного нулевого корня на случай к нулевых корней, когда уравнения возмущенного движения допускают семейство установившихся движений, зависящее от к произвольных постоянных. Впоследствии М. А. Айзерман и Ф. Р, Гантмахер (1957) показали, что эта теорема Ляпунова — Малкина может быть использована для исследования устойчивости положений равновесия неголономной системы. [c.56]

Некоторое уточнение формулировки этой теоремы сделано В. Н. Постниковым (1942). Доказательство И. Г. Малкина (1942, 1952) дано небезупречно, что отметили Н. П. Еругин и Г. В. Каменков. Во. втором издании книги И. Г. Малкина (1966) неточность исправлена. Обсуждаемая теорема известна в литературе под названием принципа сведения . Для рассмотренных Ляпуновым критических случаев этот принцип фактически был им введен и играет центральную роль при изучении критических случаев всеми последующими авторами. В процессе использования принцип сведения подвергся различным усовершенствованиям. В последнее время этот принцип получил весьма существенное развитие в работах [c.57]

Теорема Дубошина — Малкина. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (2.1) существует знакоопределенная положительная функция / 1 Хо), производная которой в силу этих уравнений есть функция определенно отрицательная с ограниченными в области (2.15) [c.88]

Если А(0, 0) =0, то вопрос о существовании периодических решений уравнения (10.1.01) и их числе становится чрезвычайно сложным, так как в этом случае не имеет места теорема о неявных функциях, на основе которой разрешается функциональное уравнение (10.1.07). Некоторые из этих особых случаев рассмотрены Пуанкаре [2] и изложены И. Г. Малкиным [3], [4], Г. Н. Ду-бошпным [5] и К. Зигелем [6]. [c.790]

Теорема И. Г. Малкина [72]. Если для системы (10.3.16) существует знакоопределенно положительная функция У х,1), полная производная по 1 которой [/(дс, 1) в силу системы [c.838]

Как и в случае кине Шгического возбуждения, О.З.Малахова рассмотрела вопрос о существовании и устойчивости квазиравновесий системы 1) двумя способами - с помощью теоремы И.Г.Малкина и посредством метода пряного разделения движений [101, 274] (1990 г.). Ниже привадится доказательство посредством последнего способа, опущенное в работе [101]. [c.92]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...