Биллиард Биркгофа

Такие системы впервые изучал Дж. Биркгоф [42 43] они называются биллиардами Биркгофа. Можно рассматривать более общие случаи, когда граница невыпуклая кусочно-гладкая или движение происходит в ограниченной области многомерного пространства. [c.19]

Сам Биркгоф рассматривал биллиарды как предел задачи о геодезических линиях выпуклой поверхности, которая непрерывно деформируется в область на плоскости. В общем случае строгий анализ такого предельного перехода является довольно деликатной проблемой насколько нам известно, она не изучена до сих пор. Однако в ряде конкретных случаев (например, деформация эллипсоида, когда две его полуоси неизменны, а меньшая стремится к нулю) можно действительно показать, что почти все геодезические линии переходят в траектории биллиарда Биркгофа. [c.20]

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ БИЛЛИАРДА БИРКГОФА [c.57]

Напомним, что биллиардом Биркгофа называется динамическая система следующего вида. Пусть имеется замкнутая выпуклая кривая на плоскости. В области, ограниченной этой кривой, движется точка. Внутри области движение происходит равномерно и прямолинейно, а отскок от кривой является абсолютно упругим (угол падения равен углу отражения). [c.57]

Любой п-звенной периодической траектории биллиарда Биркгофа соответствует (неоднозначно) критическая точка функции L в области D - и любой критической точке функции L в области D соответствует п-звенная периодическая траектория биллиарда. [c.59]

Примечательным является тот факт, что оценки количества периодических решений биллиарда, полученные Биркгофом [42], и в теореме 1 совпадают, хотя получены совершенно разными методами. Это наводит на мысль, что, по-видимому, для любых п, к eN, п>к, существует биллиард Биркгофа, имеющий ровно два геометрически различных периодических решения, совершающих к оборотов вокруг кривой, имея п звеньев по крайней мере для л—2, =1 это, очевидно, верно. [c.65]

Рассмотрим выпуклую область в К . Ее граница Г гомеоморфна сфере 5 . Представим себе поверхность Г изнутри зеркальной и рассмотрим траектории луча света внутри нее. Очевидно, получившаяся динамическая система является естественным трехмерным обобщением биллиарда Биркгофа. Аналогично можно определить биллиарды более высокой размерности. [c.65]

В силу принципа Мопертюи каждой п-звенной периодической траектории биллиарда Биркгофа соответствует критическая точка функции длины L на торе Т". С другой стороны, периодические решения динамических систем являются неподвижными точками отображения Пуанкаре. [c.66]

Замечание. Из формулы (6.2) и (6.3) вытекает, что мультипликаторы периодической траектории биллиарда Биркгофа, инвариантной относительно поворотов на угол 2я/п, вещественны и по абсолютной величине равны единице тогда и только тогда, когда [c.77]

Генетический метод в динамике систем с ударами, развитый в гл. 1, оказывается достаточно эффективным средством исследования устойчивости периодических режимов колебаний. В частности, с его помощью можно получить условия устойчивости периодических траекторий биллиарда Биркгофа, обсуждавшиеся в гл. 2. [c.83]

Здесь V — постоянная скорость движения точки внутри биллиарда Биркгофа значения функции p(t) указаны на ее периоде. Величина I характеризует смещение точки в направлении, ортогональном отрезку невозмущенной периодической траектории. [c.87]

Этот биллиард имеет дополнительный квадратичный по скорости г интеграл. Явное интегрирование осуществляется с использо ванием конических координат. Если радиус сферы 5 устремить к бесконечности, то в пределе получим эллиптический биллиард Биркгофа, рассмотренный в 1. [c.108]

Рассмотрим задачу о движении материальной точки по гладкой поверхности трехосного эллипсоида под действием упругой силы, направленной к центру (или от центра) эллипсоида. Эта задача проинтегрирована Якоби с использованием эллиптических координат [56]. Устремим одну из полуосей эллипсоида к нулю. Тогда задача Якоби перейдет в задачу о колебаниях гармонического осциллятора, заключенного внутри эллипса. Если коэффициент упругости равен нулю, то получим эллиптический биллиард Биркгофа. Динамику гармонического осциллятора внутри эллипса можно исследовать методом 1 с помощью разделяющихся переменных — эллиптических координат на плоскости. [c.111]

Пусть в области М дМ траектории движения являются решениями уравнений Лагранжа, при попадании траектории в гладкую точку границы дМ происходит упругое отражение, при котором энергия Н=Ь2—Ьо сохраняется, а приращение скорости ортогонально границе дМ в метрике Ьг (ср. введение, задача 7). Траектории, попадающие в точки излома дМ, не имеют продолжения. Отметим, что мера начальных условий, соответствующих таким траекториям, равна нулю на ТМ. Эта механическая система является еще одним естественным обобщением биллиарда Биркгофа. [c.133]

С учетом отмеченного выше эвристического предельного перехода из этого утверждения получаем следующий результат для биллиарда Биркгофа индекс Морса невырожденной эллиптической четно-звенной периодической траектории с упругими отражениями всегда нечетный. В главе 2 этот результат получен как следствие теоремы 2. [c.157]

Болотин С, В. Интегрируемые биллиарды Биркгофа /Вести. Моск. ун-та. Сер. 1,. Математика. Механика. 1990. A" 2. С. 33—36. [c.164]

Особое место в книге занимают вопросы существования и устойчивости периодических траекторий упругих биллиардов. Дано вариационное доказательство известной теоремы Биркгофа об [c.4]

В настоящей главе будет дано вариационное доказательство теоремы Биркгофа о существовании периодических траекторий биллиарда в следующей уточненной формулировке. [c.58]

Доказательств,о. Зафиксируем п я к. Для любого биллиарда из и А,а по теореме Биркгофа существует периодическая траектория типа (п, к). Построим новую кривую, принадлежащую ил,а, которая как угодно мало отличается от исходной (в смысле метрики пространства и а,а), причем соответствующий биллиард имеет невырожденное периодическое решение того же типа. [c.123]

В этом параграфе рассматриваем условные интегралы (по Биркгофу см. 2) биллиарда в Д являющиеся полиномами по скорости у ТхМ с С -гладкими коэффициентами. Если Р — условный интеграл, то Р принимает постоянные значения на каждой геодезической в области О и сохраняется при отражении (3.1) [c.137]

Биллиард назовем интегрируемым по Биркгофу, если он имеет п—1 полиномиальных по скорости интегралов на Р, находящихся в инволюции и почти всюду независимых. Отметим, что все интегрируемые биллиарды, описанные в гл. 4, являются интегрируемыми по Биркгофу. [c.138]

Мера X может иметь сингулярности на Т . Предполагаем, что мера всего тора конечна. Это условие заведомо выполнено для биллиардов с гладкой регулярной выпуклой границей. Предложение 7 было известно еще Биркгофу [42, гл. VI]. Оно является следствием теоремы Лиувилля о сохранении фазового объема в теории гамильтоновых систем. [c.146]

Пример П31.6. Рассмотрим задачу Биркгофа о выпуклом биллиарде . [c.229]

При больгиих значениях h фазовый портрет фактически весь состоит из регулярных траекторий и его вид определяется двумя — устойчивым и неустойчивым — двухзвенными периодическими движениями (рис. 18, h = 25). При h оо вся картина стремится к множеству горизонтальных прямых линий, что (как и в случае биллиарда в однородном поле) отвечает классическому кинематическому круговому биллиарду Биркгофа. [c.220]

Если гпуфт , то он не будет равнобедренным. Таким образом, задача двух тел, заключенных между упругими стенками, сводится к биллиарду Биркгофа внутри прямоугольного треугольника. Эту конструкцию нетрудно распространить на любое число тел. [c.20]

Пусть ф1, ф2,. . . — некоторая траектория биллиарда Биркгофа. Очевидно, она однозначно задается углами ф , ф , если взять их за начальные условия. Таким обрасом, движение системы характеризуется последовательностью точек (ф , ф ), (ф , фз),.. . на торе Т2 = (ф1, ф2)то(11 . [c.67]

Таким образом, в силу следствия 4 теоремы 3 справедливо Предложение 4. Двузвенная траектория биллиарда Биркгофа при выполнении одного из неравенств />1/ 1+1Рг или Д < < [c.74]

Доказать, что число N п) геометрически различных периодических траекторий биллиарда Биркгофа с числом звеньев, не преэосходящим п, удовлетворяет оценке [c.81]

Уравнение Хилла часто встречается в задачах об устойчивости периодических движений с ударами. В качестве еще одного примера рассмотрим вопрос об устойчивости двузвенной периодической траектории биллиарда Биркгофа точка движется по отрезку длины t, периодически упруго отражаясь от кривой. Эта задача решена в 6 гл. 2. Обозначим радиусы кривизны граничной кривой биллиарда в концевых точках отрезка через Ri и R , пусть Ri R2- Снова вводя поле упругих сил, получим уравнения в вариациях, аналогичных условию (1.8) [c.86]

Отметим еще, что периодические движения (1.2) являются решениями гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Поэтому два их мультипликатора равны единице, а остальные нетривиальные мультипликаторы определяются как корни характеристического уравнения (1.14), отвечающего уравнению Хилла (1.8). Аналогичное замечание относится и к задаче о двузвенной периодической траектории биллиарда Биркгофа. [c.89]

Применим теперь интегральный признак (2.13) к задаче об устойчивости двузвенной траектории биллиарда Биркгофа. Используя формулы il.9) и переходя к пределу при N—>-оо, получаем достаточное условие устойчивости (в первом приближении) двузвенной траектории [c.93]

Уравнение Хилла (4.2) с таким коэффициентом совпадает с уравнением в вариациях для двузвенной периодической траектории биллиарда Биркгофа в частном случае, когда 2=°° (см. 3). Критерий устойчивости может быть получен из неравенства Ляпунова, (2.13) [c.96]

Пространство аналитических биллиардов. Формулировка теоремы о неинтегрируемости. Рассмотрим биллиард Биркгофа, ограниченный гладкой выпуклой замкнутой кривой на евклидовой плоскости. Пусть фтос12я — параметр на этой кривой. Тогда любой паре точек (фь ф2)тос12л единственным образом сопоставляется пара (ф2, фз)== (фь фг), где точка ф , такова, что последовательность фь ф2. Фз является частью траектории биллиарда Таким образом, биллиарду Биркгофа соответствует отображение —>-Т двумерного тора на себя. [c.120]

Во второй главе доказано существование бесконечного количества периодических решений у биллиарда Биркгофа. Основываясь на этом результате и используя предложение 1, можно доказать неинтегрирувхмость типичного биллиарда. [c.121]

Биллиард Биркгофа назовем аналитическим, если он задается кривой,, лежащей в Оа.л при некоторых А, а>0. В дальнейшем будем отождествлять аналитические биллиарды с соответствующими элементами i/л. . [c.122]

Книга посвящена математическим аспектам теории динамических систем биллиардного типа. Начиная с работ Дж. Биркгофа, биллиарды являются популярной темой исследования, где естественным образом переплетаются различные сюжеты из эргоди-ческой теории, теории Морса, КАМ-теории и т. д. С другой стороны, биллиардные системы замечательны еще и тем, что естественно возникают в ряде важных задач механики и физики (виброударные системы, дифракция коротких волн и др.). [c.4]

Предполагается, что удары о границу являются абсолютно упругими. Эта динамическая система называется эллиптическим биллиардом. Согласно Биркгофу [42, гл. VIII] эллиптический биллиард получается из известной задачи Якоби о движении по геодезическим линиям на поверхности трехосного эллипсоида [c.99]

Данное обстоятельство приводит к тому, что дальнейшее исследование эргодических свойств биллиардов, по сравнению с гладкими равномерно полно гиперболическими системами (см. гл. 7, 3), значительно усложняется. В самом деле, для последних систем сразу можно доказать эргодичность. Это делается с помощью метода, впервые примененного Хопфом (Е. Hopf) для доказательства эргодичности геодезического потока на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Идея этого метода состоит в том, что для почти всех точек Х и Х2 фазового пространства рассматриваемой системы строится конечный набор W4, W , Л.У1А и ЛНМ (цепочка Хопфа) такой, что Wfdxi, и где y = i l. Тогда из эргодической теоремы Биркгофа—Хинчина, (см. гл. 1, 2) легко выводится, что точки Xi и Х2 принадлежат [c.183]

Смотреть страницы где упоминается термин Биллиард Биркгофа : [c.216] [c.58] [c.134] [c.132] [c.157]

Биллиарды Введение в динамику систем с ударами (1991) -- [ c.19 ]

ПОИСК

Биллиард

Биллиард аналитический по Биркгофу

Неинтегрируемость типичного биллиарда Биркгофа

Периодические траектории биллиарда Биркгофа

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...