Уравнения равновесия сдвигах

Ограничимся пока случаем, когда перемещения точек осевой линии стержня малы. Мысленно выделим элемент стержня и рассмотрим его равновесие (рис. 4.1,6) с учетом всех сил, действующих на этот элемент. Так как проекции сил остаются неизменными в декартовых осях, то целесообразно и уравнения равновесия получить в этих осях. Считаем, что сечения стержня остаются при деформации стержня плоскими и ортогональными осевой линии стержня, т. е. деформации сдвига не учитываются. [c.129]

Ранее в 6.3 было указано, что в излагаемой приближенной теории изгиба пластин не учитываются деформации сдвига, отвечающие поперечным силам Qx Qy Поэтому последние не могли быть непосредственно выражены через прогибы с помощью закона Гука, а должны находиться из уравнений равновесия элемента пластины. Полученные зависимости (6.10) и представляют как раз такие выражения. [c.156]

Встретившийся здесь прием введения функции напряжений с помощью (9.7.4) или (9.7.7) носит совершенно общий характер. При построении теории сложного сдвига и кручения можно было принять за отправной пункт не кинематическую гипотезу 9.6, а уравнение равновесия (9.1.2) вместе с предположением о равенстве нулю всех остальных компонент напряжения. Представляя Т( и Тг как производные от функции F, мы удовлетворим уравнению равновесия. Из (8.5.8) следует, что при равенстве нулю остальных напряжений как т,, так и Та — гармонические функции. Отсюда следует [c.294]

Пусть (г), 81 (г), г4 (г) — решение граничной задачи для упругого тела, деформации которого сопровождаются большими углами поворота при малых удлинениях и сдвигах, не превосходящих предела пропорциональности. Тогда компоненты тензора деформации e j (г) и напряжений о (г), а также вектора перемещений И (г) будут удовлетворять закону упругости (5.1), нелинейные уравнениям равновесия (5.4), соотношениям (5.5) и граничным условиям (5.6). Прямой подстановкой можно показать, что решение 8 ( , г), t, г), t,r) граничной задачи для такого [c.297]

Таким образом, сосредоточим внимание на исследовании деформации, которую мы назвали состоянием чистого растяжения . Растяжение в осевом направлении с необходимостью влечет за собой, разумеется, изменение размеров и формы поперечного сечения. Если в начальном состоянии волокна прямолинейны и параллельны, то переход от начального состояния к состоянию чистого растяжения определяется формулами (91). В этом случае деформация поперечного сечения тела представляет собой чистое сжатие в направлениях, перпендикулярных оси. Поскольку сдвиг отсутствует, касательное напряжение S равно нулю и уравнения равновесия удовлетворяются при Т — = Р = 0. (Уравнения равновесия имеют в точности ту же форму, что и для случая обычной плоской деформации.) Единственная ненулевая компонента тензора напряжений 5з(0, X) представляет собой нормальное напряжение на площадках, перпендикулярных оси растяжения. [c.333]

В состоянии чистого натяжения касательное напряжение S равно нулю, п, следовательно, величина сдвига k также равна нулю. Таким образом, при одноосном растяжении, сопровождающимся состоянием чистого натяжения, сдвиг должен отсутствовать. Обратно, из условия k — Q следует, что 5 = 0, и, следовательно, уравнения равновесия удовлетворяются при Т= = Р = 0. Поскольку параметры k и Я постоянны, 5з также постоянно и, следовательно, такое состояние напряжений является одноосным. [c.334]

Из шести уравнений равновесия элемента стержня с прямолинейной осью запишем два (1.9)2,4, относящихся к поперечному изгибу в плоскости Оуг и сопровождающему его сдвигу. Эти уравнения выражают равенство нулю суммы проекций всех сил на ось у и равенство нулю суммы моментов всех сил относительно оси X [c.203]

Вторая гипотеза используется лишь при определении перемещений и связанной с ними осевой деформации волокон стержня, параллельных его оси. Эта гипотеза, таким образом, используется при определении лишь нормальных напряжений в плоскости поперечного сечения стержня на основании уравнений закона Гука. Касательные же напряжения в рамках второй гипотезы, разумеется, не могут быть определены при помощи закона Гука, поскольку согласно этой гипотезе сдвиги равны нулю. Для определения касательных напряжений используется уравнение равновесия. Картина здесь совершенно аналогична наблюдаемой в теории поперечного изгиба стержней гипотеза плоских сечений применяется лишь для определения и (путем использования закона Гука), для отыскания же х х и (или) Хгу рассматривается равновесие элемента балки, так как закон Гука применен быть не может, поскольку в рамках гипотезы плоских сечений сдвигов нет. [c.386]

При выводе уравнений равновесия считается, что поперечные нормальные сечения стержня, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации (гипотеза Бернулли), т. е. сдвиги не учитываются. [c.66]

Наибольшее усилие трения Р/шах при ро = О, которое должна преодолевать нажимная пружина, бывает при монтаже уплотнения в агрегат. Это усилие рассчитывается по методам 41 для начала движения эластичного уплотнения. В процессе обкатки торцового уплотнения в агрегате плавающий и опорный диски устанавливаются в определенное положение, относительно которого происходят лишь колебания с угловой амплитудой у. При этом трение эластичного уплотнения по плавающему диску часто не возникает, но появляется реакция упругой микродеформации вспомогательного уплотнения в осевом направлении. Ее можно считать деформацией сдвига кольца, сопровождающейся воздействием силы Р/, пропорциональной произведению у на модуль G. Важно, что усилие пружины и создаваемое ею минимальное контактное давление рпт а являются стабильными величинами, не зависящими от случайных причин, в отличие, например, от величины гидродинамического давления. Главными членами уравнения равновесия являются [c.164]

С аппроксимацией напряжений поперечного сдвига дело обстоит несколько сложней. Как указывается в [6] анализ достаточно точных решений задач изгиба толстых плит и оболочек, а также специальные исследования, посвященные вопросу выбора аппроксимирующих функций, показывают, что некоторые неизбежные неточности, которые допускаются при выборе этих функций, незначительно влияют на основные расчетные величины оболочки вдали от линий искажения. Некоторый произвол при разумном выборе функций не может внести в уточненную теорию недопустимых погрешностей . Вариационный принцип Рейсснера позволяет достаточно гибко подойти к этому вопросу. Вид аппроксимирующих функций можно найти, исходя из структуры уравнений равновесия (4.189). Интегрируя первое уравнение по г, получим [6] [c.172]

Результаты прогибов в центре трехслойных шарнирно опертых пластин приведены в табл. 5.3. Анализ этих данных позволяет с делать следующее заключение прогибы, полученные при точном решении системы дифференциальных уравнений равновесия рассматриваемых пластин и при применении МКЭ в случае учета поперечного сдвига, практически совпадают дополнительный учет деформации нормального обжатия позволяет получить почти на всем диапазоне отношений /г/а решения, практически совпадающие с точными расчет по классической теории неприменим даже для тонких пластин. [c.130]

Величина полной силы трения может быть определена методами осадки со сдвигом, принудительного торможения и крутящего момента при прокатке, разрезной волоки, двух месдоз при прессовании (см. гл. 5). В ряде случаев величина ср может быть найдена по усилию деформации. Для вывода расчетных формул используется дифференциальное уравнение равновесия сил. В работе [83] для процесса прокатки получена формула [c.158]

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЭЛЕМЕНТА ТЕЛА ПРИ МАЛЫХ УДЛИНЕНИЯХ И СДВИГАХ (Е <р1у 1) [c.31]

Рассматривается случай, когда углы поворота, хотя и малы по сравнению с единицей, но существенно превосходят удлинения и сдвиги. В результате уравнения равновесия (1.2.13) и (1.2.14) упрощаются 125, 39, 51]. [c.32]

Уравнения равновесия при малых удлинениях и сдвигах [c.34]

Элемент тела, выделенный линиями скольжения а, р, испытывает деформацию чистого сдвига. Компоненты (2.4.14) удовлетворяют следующим соотношениям уравнениям равновесия [c.107]

В соответствии с первой гипотезой углы поперечного сдвига равны нулю, а касательные напряжения, перпендикулярные к срединной поверхности, рассматриваются как чисто статические факторы. Они определяются из уравнений равновесия, а их связь с составляющими деформаций не учитывается. [c.117]

Вдобавок к уже рассмотренным двум типам деформации окрестности вершины трещины существует трещина так называемого параллельного скольжения , или трещина продольного сдвига — тип III деформации — изображенная на рис. 3. Данный тип деформации существует, например, в антиплоском сдвиге, который возникает локально при скручивающей нагрузке. Для такого типа деформации трещины удобной является замена функции напряжений Эри функцией поперечных перемещений при антиплоском сдвиге w x,y) уравнения равновесия удовлетворяются, если эта функция гармоническая. Обозначим функцию перемещений через Zm тогда [c.22]

Уравнения (17.97) содержат минимальное число членов, необходимое для описания влияния поперечной деформации сдвига, поперечной нормальной деформации и искажения поперечного сечения. Для вывода уравнений равновесия используется принцип минимума потенциальной энергии. Для примера с помощью этих уравнений была решена задача и решение было сопоставлено с точным решением по трехмерной теории. Ло и др. [38] обобщили эту теорию и на случай толстых слоистых пластин. [c.422]

В 1944 г. вариант теории пластин, в которой учитываются поперечные сдвиги, был предложен Э. Рейсснером [25]. Задав линейный закон изменения напряжений а, Оу, Хху по толщине пластины, получив затем из уравнений равновесия квадратичный закон изменения напряжений т г и Xyz и кубический закон для напряжений Сг, он выводит соотношения обобщенного закона Гука из вариационного принципа Кастилиано. В 1945 г. Э. Рейсснер [26] получил разрешающие уравнения уравнение для прогиба и для функции t]5, которая входит в формулы для перерезывающих сил. Через год [c.191]

Если известна зависимость тангенциальных напряжений по координате г, то напряжения поперечного сдвига и обжатия можно найти путем интегрирования уравнений равновесия (1.7) [c.34]

В формулах для перерезывающих усилий Ni и моментов 6, (1.17)-(1.20) модули сдвига G i3 нужно заменить на G = /[2(1 + I/)]. Неизвестные функции и, v, w, Г/, г определяются из уравнений равновесия (1.10). [c.100]

Показано, что основная причина нелинейности задачи состоит в сильной анизотропии упругих свойств резиноподобных материалов на сдвиг и объемное сжатие (деформационная анизотропия), и эта нелинейность проявляется через уравнения равновесия элемента объема. Если в массивном теле объемным сжатием обычно пренебрегают (материал считается несжимаемым), то в краевых задачах для тонкого слоя сжимаемость существенна. Нелинейность наиболее важна в уравнениях равновесия. Она может сохраняться и в том случае, когда закон упругости и кинематические формулы Коши линейны. [c.275]

Возможность линеаризации уравнений равновесия зависит не только от деформаций и поворотов, но и от механических свойств материала — отношения модулей сдвига и объемного сжатия. Изотропный материал при деформации проявляет ярко выраженные анизотропные свойства. Дополнительным к геометрическим факторам условием линеаризации является относительное приращение объема и первый инвариант тензора деформаций должны быть малы по сравнению с отношением обобщенных модулей сдвига и объемного сжатия. [c.282]

Особое внимание уделено получению основных уравнений, соотношений и вариационных формулировок задач статики и термоупругости многослойных оболочек с использованием варианта теории, учитывающего деформации поперечных сдвигов. В качестве кинематических гипотез выступают предположения о несжимаемости стеики оболочки в поперечном направлении и линейном распределении по толщине многослойного пакета касательных перемещений. Распределения касательных поперечных напряжений выбираются в наиболее простом виде независимо от кинематических гипотез. Приведение трехмерной задачи теории упругости к двумерной осуществляется с использованием смешанной вариационной формулировки. Все преобразования выполнены с учетом переменности метрики по толщине оболочки. Показана идентичность полученных уравнений равновесия с интегральными уравнениями трехмерной теории упругости. [c.66]

Порядки напряжений поперечного сдвига и поперечного растяжения — сжатия можно приближенно установить, воспользовавшись уравнениями равновесия (2.48). Если принять предположение о том, что изменяемость напряженного состояния вдоль координатных линий ь 2, Z для пластины (Н1—Н2—Нз=1) характеризуется масштабными коэффициентами I и h, т. е. [c.94]

Тензоры усилий и моментов М известны из классической теории оболочек [99, 322]. Силовые тензоры 5 , Q в классической теории отсутствуют. Их появление в рамках излагаемой модели деформирования многослойных оболочек естественно и необходимо, поскольку введение дополнительных кинематических характеристик л (л , л ), л (л-, х ), описывающих явление поперечных сдвигов, означает увеличение числа степеней свободы оболочечной системы. Этим дополнительным обобщенным кинематическим параметрам и соответствуют в качестве обобщенных внутренних усилий указанные силовые тензоры, удовлетворяющие устанавливаемым ниже уравнениям равновесия. [c.50]

При построении расчетной модели толщина оболочки считается малой по сравнению с радиусом и принимается гипотеза о несжимаемости пакета в радиальном направлении. Из асимптотического исследования уравнений равновесия пластины известно [41], что если нормальные напряжения ai, параллельные срединной поверхности, имеют порядок единицы, то касательные и нормальные напряжения т и аз, действующие по плоскостям, эквидистантным срединной, имеют порядок hwW- [h — безразмерная толщина). Если обозначить соответствующие модули упругости через fi, G, 3, то для применяемых в настоящее время стекловолокнистых материалов i/Gr- ( 10- 20), а 1/ зг (2-1-3). Отсюда можно заключить, что учет деформаций поперечного сдвига, по-видимому, оказывается существенным для оболочек из стеклопластика, в то время как сжимаемостью пакета можно пренебречь. [c.88]

Придадим прослойке, лежащей между слоями / и /+1, индекс I, /+1). Предполагая, что прослойка ввиду ее малой жесткости работает только на сдвиг и передает поперечное давление от слоя к слою, запишем уравнения равновесия (см. рис. 3. 1). Пре- [c.90]

В [214] выведены уравнения равновесия и граничные условия, основанные на кинематических гипотезах, которые соответствуют заданию закона изменения всех компонент перемещения по толщине оболочки. Эти соотношения позволяют учитывать влияние как поперечного сдвига, так и поперечного обжатия, но сильно усложняют разрешающую систему уравнений. [c.10]

Можно видеть, что при допущениях (а) и (б) относительно деформаций не возникают нормальные напряжения, действующие между продольными волокнами стержня или в направлении самих волокон. Не возникают и искажения плоскостей иопеэечиых сечений, поскольку е ., и обращаются в нуль. В каждой точке мы имеем чистый сдвиг, определяемый компонентами и Туг. функция х, у), опредсляющая депланацию поперечного сечения, должна быть выбрана таким образом, чтобы удозлетво-рялись уравнения равновесия (123). Подставляя выражения (г) в эти уравнения и пренебрегая массовыми силами, находим, что функция 1 ) должна удовлетворять уравнению [c.301]

Принимая допущение о прямолинейности нормального элемента, мы тем самым пренебрегаем сдвигами в направлениях 2 , и гаг, т. е. мы должны бы пренебречь и касательными напряжениями Тз1 и Тзг, а следовательно, и поперечными силами <2з1 и зг- Однако пренебрегать поперечными силами (2з1 и Qri. не следует, так как они играют существенную роль в уравнениях равновесия. Иначе говоря, первое допущение Кирхгофа — Лява следует трактовать таким образом, что при определении деформаций волокон в оболочках II пластинах пренебрегаем сдвигами, вызванными действием касательных напряжений Тм и Тзг, по не самими напрялщнпямн. [c.238]

В разд. III, наибольшем по объему из всех разделов этой главы, изучаются задачи о плоской конечной деформации. Здесь поясняются некоторые подробности методов решения. Краевые задачи в перемещениях можно решать чисто кинематически, не пользуясь ни развернутыми гипотезами относительно связи напряжений с деформациями, ни даже уравнениями равновесия. В краевых задачах в напряжениях и в смешанных краевых задачах необходимо постулировать определенные зависимости, описывающие поведение материала под действием касательных напряжений. Для простоты мы ограничимся исследованием упругого сдвига или квазиупругого поведения пластических или вязкоупругих материалов. Основы теории разд. III заимствованы из работы Пиикина и Роджерса [26]. [c.290]

Общие интегралы уравнений равновесия, определяемые формулами (60), (61), (64) и (66), имеют место для тел с любой формой поперечного сечения и при любой связи касательных напряжений с деформациями. Здесь мы ограничимся исследованием однородных пластпн, которые были подробно рассмотрены в предыдущих разделах и поверхности которых до деформации совпадают с волокнами У = О и Y = D. Предположим, что материал является упругим или квазиупругим. В качестве упрощающей гипотезы мы примем, что задача такова, что в выражении k = Q f для величины сдвига функция f представляет собой постоянную, и будем писать / = —0i, [c.318]

Порядки напряжений поперечного сдвига и сжатия в обшивках можно приближенно установить, воспользоваадиись уравнениями равновесия элемента [c.195]

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЭТЕМЕНТА ТЕЛА ПРИ МАЛЫХ УДЛИНЕНИЯХ И СДВИГАХ [c.31]

Ползучесть при продольном сдвиге. Продольный сдвиг моносяоя - это вид нагружения, при котором наиболее сильно проявляются вязкоупругие свойства полимерного связующего. Для определения ползучести монослоя по де-формативным свойствам компонентов воспользуемся расчетной моделью (см. рис. 5.1.2). Согласно этой модели материал состоит из неограниченного числа слоев бесконечно малой толщины, параллельных плоскости нагружения. Полагается, что каждый слой находится в однородном напряженном состоянии и средние деформации всех слоев в любой момент нагружения одинаковы. Деформация сдвига слоя складывается из деформаций полимерного связующего и волокон. В процессе ползучести напряжения в компонентах монослоя меняются, т.е. происходит их перераспределение во времени. Таким образом, эпюры распределения напряжений сдвига в момент нагружения и при любом фиксированном значении времени нагружения различны. В результате решения системы уравнений равновесия с учетом закона деформирования компонентов (5.1.39) получается закон деформирования моносяоя при продольном сдвиге [c.290]

Впоследствии Спилкер и др. 120, 21 ] предложили упрощенную гибридную модель, считая, что деформации по толщине всей пластины распределяются линейно, как в модели Тимошенко— Миндлина. Таким образом, учитывается влияние поперечного сдвига, но пренебрегается искажением поперечного сечения. В этом подходе продольные напряжения в плоскости пластины выражаются через С и принимается распределение деформаций типа Тимошенко—Миндлина, а напряжения в плоскости поперечного сечения пластины определяются интегрированием континуальных уравнений равновесия. При этом для вычисления постоянных интегрирований используются условия непрерывности компонент напряжений на границах слоев. Такая гибридная модель, не учитывающая искажение поперечного сечения, правильно описывает поведение тонких пластин и дает удовлетворительные результаты для пластин средней толщины ). [c.420]

Так как прогибы w, не вызывают относительного поворота поперечных сечений, то такой поворот, целиком обусловлен прогибами Wj, которые представляют собой те же самые прогибы, которые в главе 2 обозначались просто через w. Поэтому уравнение (2.2) принимает вид Мк = —EI d W]/dx (которое при этом уже не является следствием введенной аппроксимации), а из аналогичных рассуждений получаем, что поперечная компонента силы F, действующая на элемент длиной dx (рис. 2.1, г), равна F d Wf/dx )dx. Здесь в уравнениях равновесия, в отличие от рассматривавшихся ранее, имеется еще один член, а именно, момент Fxdws, связан-ный с прогибами, обусловленными сдвигами поперечных сечений (рис. 3.20, а). [c.196]

Уравнения теории слоя в нулевом приближении со()гвет-ствуют уравнениям равновесия упругости (уравнениям Ламе) с погрешностью е точно удовлетворяются все граничные условия кинематического типа на лицевых поверхностях слоя и два статических условия на боковой поверхности — для нормального и касательного напряжений. При этом напряжение поперечного сдвига в ноль не обращается, как должно быть, если задано только нормальное давление. Но эти напряжения имеют порядок малости е по сравнению с основными. Интегральное условие для напряжений поперечного сдвига выполняется. [c.44]

Рассматриваются два варианта 1ео )ИЙ армирующего слоя — сдвиговая и обобщенная классическая. Каждая теория имеет свои преимущества и недостатки. Ос1сопные преимущества классической теории, на наш взгляд, п том, что ома имеет более низкий порядок уравнений, чем сдвиговая, и в том, что она не использует закон упругости для перерезывающих усилий. Последние определяются из уравнений равновесия. Было бы неправильным утверждать, что классическгш теория является частным случаем сдвиговой в прямом смысле. Решение краевой задачи, полученное по сдвиговой теории, может оказаться менее точным, чем по классической. Это те случаи, когда приближенно выполняются равенства е з = егз = О, т. е. сдвиги малы по сравнению с углами Поворота от изгиба. [c.85]

Уравнения равновесия и граничные условия. В качестве добавления к основным результатам данной главы приведем исследование задачи об изгибе пластины Рейсснера. Е. Рейсснером [30] была предпринята попытка уточнить теорию изгиба пластин Кирхгофа прелюде всего за счет учета деформаций поперечного сдвига, супдествен-ных у ряда современных материалов. Более подробно о выводе уравнений Рейсснера и о соотношениях между решениями по теории Рейсснера и по теории Кирхгофа можно найти в [24, 16а]. [c.120]

Далее на базе гипотезы Тимошенко используется первый из указанных подходов. При этом в кинематических соотношениях деформирования конечного элемента учтены деформации как поперечных сдвигов, так и обжатия, что позволяет применять разработанный конечный элемент для расчетов анизотропных оболочек вращения из композитов. В геометрически нелинейной постановке при статических консервативных нагрузках приведены матричные уравнения равновесия и устойчивости конечного элемента оболочки врЬщеиия (в качестве исходного состояния выбрано начальное, недеформнрованное состояние оболочки). Как частный случай соответствующие уравнения рассмотрены в классической линейной постановке. [c.277]

Существенно отметить, что при описании деформации оболочки в п. 1.2 (в соответствии с геометрической гипотезой Кирхгофа) не учитывались сдвиги, связанные с напряжениями Стщ, ffjn (см. рис. 1.4, а и б). Поэтому, казалось бы, следует пренебречь и перерезывающими силами Гщ, Т п (см. форм. (1.80), (1.82)). Однако это было бы ошибкой, так как названные усилия играют существенную роль в уравнениях равновесия, вывод которых будет дан в следующем разделе. С учетом сказанного геометрическую гипотезу следовало бы сформулировать так при определении деформации волокон оболочки, параллельных ее срединной поверхности, следует пренебрегать сдвигами, соответствующими напряжениям Ощ, а также удлинениями волокон, перпендикулярных к срединной поверхности. Такая формулировка геометрических допущений, разумеется, неравносильна изложенной во введении. [c.37]

Такой упрощенный (технический) вариант теории цилиндрических оболочек, удовлетворяющий обоим указанным требованиям, строится на базе следующих допущений (см. параграф I гл. VII) в выражении для компоненты деформации поперечного сдвига можно пренебречь тангенциальным смещением и . соотношения упругости можно брать в наиболее простом виде, удовлетворяя при этом шестому (недифференциальному) условию равновесия лишь приближенно во втором уравнении равновесия (VIII.I) допустимо пренебречь членом, содержащим перерезывающее усилие из уравнений совместности деформаций (VIII.2) достаточно принять во внимание лишь одно (третье). [c.175]

Усилие прижима штампуемого материала в процессе односторонней резки (см. рис. 11) определяют исходя из силы отталкивания (сдвига) материала при его деформировании. Задача сводится к тому, чтобы удержать материал в состоянии покоя. Чем больше величина режущего зазора г, тем больше отталкивающее усилие N. Согласно опытным данным, усилие сдвига N полосы (ленты, карты) в сторону, противоположную подаче, при односторонней резке ориентировочно принимают равным (0,1—0,4) Ррез- Принимая N — 0,2, уравнение равновесия сил, действующих на полосу (ленту) при данном процессе, получим в следующем виде [c.395]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...