Обобщенный ансамбль

Для определения энтропии канонического ансамбля, описывающего состояние с заданными средними значениями а- мы используем принцип максимума информационной энтропии. Рассмотрим обобщенные ансамбли Гиббса, в которых средние значения удовлетворяют условиям [c.72]

Энтропией обобщенного ансамбля Гиббса, описываемого функцией распределения (1.3.127), является информационная энтропия (1.3.46). С учетом условий (1.3.126) находим [c.73]

В предыдущей главе мы видели, что ансамбли Гиббса позволяют вывести все соотношения равновесной термодинамики. Теперь мы хотим построить аналогичные ансамбли, соответствующие термодинамическому описанию неравновесных систем, когда наблюдаемые макроскопические величины зависят от времени. Такие обобщенные ансамбли Гиббса мы будем называть квазиравновесными ансамблями ). Для построения [c.79]

Пусть имеется некоторая система, размеры которой настолько велики, что можно дать непротиворечивое определение относящихся к этой системе термодинамических величин. Система будет описываться обобщенным ансамблем, рассмотренным в 1. Для простоты предположим, что k=. Флуктуирующий экстенсивный параметр обозначается символом X, сопряженный интенсивный параметр — символом Р. В состоянии равновесия параметр Р имеет одинаковое значение как для системы, так и для резервуара, в котором она находится. Предположим теперь, что Р для резервуара меняется таким образом, что реакция системы имеет существенно необратимый характер. Сделаем, кроме того, следующие предположения [c.112]

Разработка моделей ядра происходила по двум различным направлениям. Первое направление характеризуется созданием моделей с сильным взаимодействием . В этих моделях ядро рассматривается как ансамбль сильно взаимодействующих и сильно связанных частиц. К данной группе моделей следует отнести модель жидкой капли, альфа-частичную модель, модель составного ядра. Второе направление характеризуется созданием моделей независимых частиц , в которых принимается, что каждый нуклон движется в усредненном поле всех остальных нуклонов ядра почти независимо друг от друга. К этой группе следует отнести модель ферми-газа, модель потенциальной ямы, модель оболочек, обобщенную, или коллективную, модель и оптическую модель. [c.171]

Различают феноменологические, асимптотические математические модели и модели ансамблей. Феноменологические модели возникают как результат прямого наблюдения, изучения и осмысления того или иного физического явления асимптотическая модель получается как частный случай некоторой наиболее общей модели модель ансамблей представляет собой результат обобщения или синтеза отдельных частных моделей. [c.53]

Матрицу [К назовем обобщенной матрицей жесткости узлового ансамбля. В случае предельно мягкого нагружения [К ] вырождается в нулевую. В другом предельном случае [К] является матрицей жесткости узлового ансамбля с удовлетворенными методом подавления кинематическими граничными условиями. [c.136]

Макроскопическое разрушение композита как результат потери устойчивости процесса деформирования ослабленного повреждениями материала определялся отсутствием в математическом смысле решения краевой задачи при нарушении положительной определенности обобщенной матрицы жесткости узлового ансамбля [К]. [c.138]

В соответствии со сказанным и для разработки вопросов статистической теории передачи информации в оптическом диапазоне обобщенную статистическую модель системы связи можно представить в виде рис. 1.2 14], к рассмотрению особенностей которой мы переходим. В этой схеме предполагается, что источник информации генерирует последовательность дискретных символов (сообщений), выбираемых из конечного ансамбля таких символов (сообщений) аналоговые сигналы могут быть преобразованы в 18 [c.18]

Выражение (П.2.56) соответствует обобщенному распределению Пуассона. Это распределение переходит в простое пуассоновское. распределение, если рассматриваются чистые когерентные состояния, т. е. когда отсутствует усреднение по ансамблю Р( а ) = Пб< )(а —а ). [c.210]

Обсудим вопрос о выборе показателей надежности средств контроля и установим точный вероятностный смысл этих показателей и связь между ними. Покажем, как включить оценки надежности систем контроля в схему прогнозирования остаточного ресурса и остаточных показателей безопасности. Излагаемые здесь результаты можно рассматривать как уточнение и существенное обобщение многочисленных работ по методологии обнаружения трещин [105, 106, 110, 113]. Отличительная черта данного анализа состоит в последовательном применении модели пуассоновского ансамбля с реализацией всех преимуществ, которые дает эта модель. [c.285]

Определение тепловых функций для большого канонического ансамбля является непосредственным обобщением соображений, [c.152]

Книга представляет собой современный курс статистической теории неравновесных процессов в классических и квантовых системах многих частиц. В отличие от существующих учебников и монографий на эту тему, изложение теории кинетических, гидродинамических и релаксационных процессов основано на едином методе, который является обобщением метода статистических ансамблей Гиббса на неравновесные системы. В первом томе излагаются основы метода неравновесных статистических ансамблей, его приложения к различным задачам классической и квантовой кинетики, а также теория линейной реакции равновесных систем на механические и термические возмущения. [c.4]

Традиционный способ вывода равновесных распределений основан на постулате Гиббса о равновероятности всех доступных динамических состояний изолированной системы [39]. Этот постулат определяет так называемый микроканонический ансамбль и соответствующее микроканоническое распределение. Распределения Гиббса, описывающие статистическое равновесие при других внешних условиях, выводится затем из микроканонического распределения. Эта схема изложена во многих книгах по равновесной статистической механике, но, к сожалению, ее невозможно обобщить на неравновесные состояния. По этой причине мы рассмотрим другой способ построения равновесных распределений Гиббса, основанный на теории информации. Все эти распределения будут выведены из условия максимума информационной энтропии при дополнительных условиях, определяющих равновесный ансамбль. Мы покажем, что в равновесном случае максимум информационной энтропии совпадает с энтропией Гиббса и может быть отождествлен с термодинамической энтропией. Преимущество такого подхода перед традиционным заключается прежде всего в том, что он допускает интересные обобщения на неравновесные системы, и мы будем часто им пользоваться. [c.53]

Обобщенные силы (1.3.75), усредненные по большому каноническому ансамблю, могут быть получены дифференцированием основного равенства (1.3.68) по обобщенным координатам а-. Учитывая, что эти координаты входят только в гамильтониан Я = Я( а ), находим [c.63]

Это уравнение напоминает термодинамическое соотношение (1.3.74), но в статистическом методе число частиц и обобщенные силы усреднены но большому каноническому ансамблю. Эта особенность термодинамических соотношений, получаемых из распределений Гиббса, довольно естественна, поскольку в каждом ансамбле имеются величины, которые могут флуктуировать. Поэтому наблюдаемые макроскопические переменные должны рассматриваться как средние значения. [c.64]

Пока нет оснований утверждать, что в методе неравновесных статистических ансамблей имеются трудности принципиального характера, однако многие проблемы все еще остаются нерешенными. В частности, мало известно о поведении неравновесных средних и обобщенных уравнений переноса в термодинамическом пределе. В равновесном случае результаты, касающиеся существования этого предела для термодинамических потенциалов и корреляционных функций, в настоящее время удается сформулировать и доказать в виде строгих математических теорем [146]. Решение аналогичных проблем в неравновесной статистической механике представляет собой гораздо более сложную задачу и пока на этом пути сделаны только первые шаги. [c.134]

Предположим, что суммирование по 5 в (4.3.30) ведется в пределах 1 < 5 < ш. Тогда в квазиравновесном состоянии приведенные матрицы плотности при s <т рассматриваются как независимые неравновесные величины, а матрицы плотности более высокого порядка выражаются через них. Частный случай ш = 1 соответствует граничному условию Боголюбова, согласно которому все приведенные матрицы плотности в отдаленном прошлом выражаются через одночастичную. Если в формуле (4.3.30) мы положим 5 = О при 5 > 3, то получим статистический оператор для квазиравновесного ансамбля, в котором заданными величинами являются одночастичная и двухчастичная матрицы плотности. Этот ансамбль описывает важные долгоживущие корреляции, например, связанные двухчастичные состояния ). Эволюция системы описывается системой уравнений для одночастичной и двухчастичной матриц плотности. Здесь мы не будем излагать эту довольно сложную теорию, а рассмотрим один частный, но важный пример обобщенного квазиравновесного статистического оператора, который соответствует объединению кинетического и гидродинамического описаний квантовых процессов [128]. [c.289]

В главе 5 было показано, что линейная реакция многочастичных систем на механические и термические возмущения описывается обобщенными восприимчивостями и кинетическими коэффициентами, которые связаны с равновесными временными корреляционными функциями и запаздывающими функциями Грина. В общем случае кинетические коэффициенты выражаются через корреляционные функции в квази-равновесном ансамбле (см. главу 2). Для слабо неидеальных газов интересующие нас величины можно вычислить элементарными методами, используя теорию возмущений по слабому взаимодействию или плотности. Однако во многих задачах корреляционные эффекты и взаимодействие отнюдь не малы, поэтому приходится суммировать бесконечные последовательности членов в рядах теории возмущений. В таких случаях необходимы более мощные методы, позволяющие, в принципе, производить подобное суммирование. [c.8]

Соотношение (6.2.14) играет важную роль при изучении частично-равновесных ансамблей, так как в этих ансамблях временная эволюция динамических переменных и термодинамические корреляции фактически описываются одним и тем же эффективным гамильтонианом 7/. Как мы увидим ниже, это обстоятельство дает возможность вычислять временные корреляционные функции, а также связанные с ними обобщенные восприимчивости и кинетические коэффициенты, применяя технику термодинамических функций Грина, изложенную в предыдущем параграфе. [c.31]

Нам неизвестны примеры теоретического решения задачи определения теплопроводности твердых растворов методами теории обобщенной проводимости. Последнее может объясняться существенным различием между традиционными подходами анализа на микроскопическом уровне поведения отдельных атомов и молекул и их ансамблей в кинетической теории (корпускулярные модели) и феноменологическим анализом в теории обобщенной проводимости (континуальные модели). [c.173]

Большой интерес представляют турбулентные течения и с чисто теоретической точки зрения как примеры нелинейных механических систем с очень большим числом степеней свободы. В самом деле, движения любой непрерывной среды, строго говоря, описываются бесконечным числом обобщенных координат (в качестве которых можно принять, например, коэффициенты разложения поля скорости по какой-либо полной системе функции от пространственных координат). Однако в случае ламинарных движений эти координаты обычно можно выбрать таким образом, что лишь небольшое число отвечающих им степеней свободы будет возбуждено, т. е. будет реально участвовать в движении. В случае же развитого турбулентного движения возбужденным оказывается большое число степеней свободы, в результате чего изменения во времени любой физической величины описываются функциями, содержащими много компонент Фурье, т. е. имеющими очень сложный характер. Здесь практически безнадежно пытаться описать индивидуальные изменения во времени всех обобщенных координат, соответствующих возбужденным степеням свободы (т. е. математически выразить зависимость от времени полей скорости, давления и т. д. одного отдельного течения). Единственно возможным в теории турбулентности представляется статистическое описание, опирающееся на изучение статистических закономерностей, присущих большим совокупностям однотипных объектов. Таким образом, теорией турбулентности может быть лишь статистическая гидромеханика, изучающая статистические свойства ансамблей течений жидкостей или газов, находящихся в макроскопически одинаковых внешних условиях. [c.8]

В нашей задаче сделать такую обобщенную оценку в- целом трудно. Проще и точнее, рассматривая Фи и ВС-системы как объединенную систему с ансамблем качеств [c.71]

Следует сделать несколько замечаний об особенностях реализации расчетной схемы и ее обобщений на случай полидисперсного ансамбля. [c.14]

Каждая точка обобщенного фазового пространства полностью характеризует состояние непотенциальной динамической системы в данный момент времени для заданных начальных условий. Вместо того чтобы следить за одной системой, будем рассматривать целый ансамбль одинаковых экземпляров одной и той же системы, на которую действуют одинаковые внешние силы, но при различных начальных условиях. [c.171]

Книга разделена на две части в первой обсуждаются колебания и волны в линейных системах и средах, во второй — в нелинейных. С нашей точки зрения, такое разделение значительно облегчает восприятие теории колебаний и волн на современном уровне. Так, распространение плоской гармонической волны в периодически слоистой среде описывается практически той же математической моделью, что и явление параметрической неустойчивости в сосредоточенной системе с одной степенью свободы, и их параллельное рассмотрение вполне естественно. Анализ же, например, автоколебаний в возбудимой среде — ансамбле автогенераторов — представляется непосредственным обобщением задачи о взаимодействии небольшого числа генераторов и т. д. [c.9]

Подчеркнем, что использование именно большого ансамбля Гиббса для нас весьма существенно, ибо в дальнейшем неоднократно придется работать с операторами, не сохраняющими число частиц. По этой причине нам удобно будет ввести обобщенный гамильтониан [c.19]

Статистическое распределение (2.1.20) описывает обобщенный ансамбль Гиббса, или тазиравновесный ансамбль в котором средние значения базисных динамических переменных совпадают с истинными значениями макроскопических наблюдаемых ). Согласно условиям (1.3.127), параметры Fm t) выражаются через неравновесные значения наблюдаемых РпУ Поэтому квазиравновесное распределение является функционалом [c.86]

Для отдельных классов машинных агрегатов упомянутая задача в инженерной практике решается неформальными методами на основе обобщения накопленного расчетно-экспериментального опыта динамических исследований. Результатом такого обобщения является обычно рабочий ансамбль частных, асимптотических моделей, правомерных при исследованиях оиределенного вида динамических процессов в реальных машинных агрегатах при разнохарактерных условиях их эксплуатации [28, 57. При анализе конкретных машинных агрегатов выбор адекватной расчетной модели осуществляется в соответствии с задачами динамического исследования и может в общем случае содержать элементы количественной оценки степени влияния отдельных факторов иа изучаемые процессы. [c.170]

Необходимо теоретическое описание поведения ансамблей дефектов различного рода при действии полей напряжений, температур, при изменении градиентов химического потенциала с учетом механизмов накопления повреждаемости, зарождения и распространения очагов разрушения в приповерхностных и поверхностных слоях материалов при трении. В связи с этим должны быть усовершенствованы методологические принципы исследований, основанные на комплексном анализе физических, химических и механических процессов контактного взаимодействия. На базе комплексного исследования, моделирования процессов и свойств поверхности должны быть получены критериальные связи, позволяющие конструкторам, технологам и эксплуатационщикам иметь характеристики обобщенных оценок качества поверхности в целях применения их при выборе пар трения. [c.196]

Приведенные в работе данные, их обобщение и анализ представляют основу для дальнейшего развития как теоретических, так и экспериментальных исследований в области а) разработки новых физических моделей процесса хрупкого разрушения, основанных не на традиционных схемах неоднородности дислокационной структуры, а за счет реализации различного рода локальной неоднородности распределения ансамбля кластеров из точечных дефектов различной мощности и природы б) изучения основных закономерностей эволюции дислокационной структуры при испытаниях на длительную и циклическую прочность и физической природы усталости металлических и неметаллических материалов в различном диапазоне напряжений и температур в) расшифровки и интерпретации данных по низкотемпературному внутреннему трению металлических и неметаллических материалов и идентификащи их механизмов с учетом возможного влияния чисто методических эффектов (обусловленных спецификой метода и режима испытаний) на характер получаемой информации, а также выявления физической природы механизма старения материала тензодатчиков в процессе их эксплуатации г) получения количественной информации о кинетике, механизме и энергетических параметрах низкотемпературной диффузии (энергии образования и миграции вакансий и междоузлий, значения их равновесных концентраций и др.) д) развития теоретических основ и соз- [c.8]

ЧТО является очевидным обобщением условия (1.1.5). Для рассмотренного ранее частного случая, когда число частиц во всех системах ансамбля равно фиксированному значению имеем Qj q p t) = где SnNq символ Кронекера. [c.15]

Итак, в соответствии с термодинамической эквивалентностью статистических ансамблей, энтропию микроканонического ансамбля в (1.3.125) можно заменить энтропией обобщенного канонического распределения Гиббса (1.3.130), которое описывает состояние с заданными значениями флуктуаций Аа . Считая флуктуации малыми, мы можем разложить S a N V) по отклонениям Аа- = а- — (fljeq- С учетом равенств (1.3.132) запишем [c.73]

Стоит упомянуть о применении метода неравновесных статистических ансамблей к релятивистским квантовым системам. В настоящей книге этот вопрос не рассматривался по двум причинам. Во-первых, объединение идей неравновесной статистической механики и релятивистской квантовой теории поля является далеко не тривиальной проблемой, обсуждение которой привело бы к неизбежному увеличению объема книги ). Другая, более важная, причина состоит в том, что релятивистская статистическая механика находится еще в процессе развития и ее принципы пока не разработаны в той же мере, что и принципы нерелятивистской статистической механики. В настоящее время более или менее завершенным разделом является релятивистская кинетика, основанная на обобщениях уравнения Больцмана с учетом квантовых и релятивистских эффектов. Путем построения нормальных решений релятивистского кинетического уравнения иногда удается вычислить коэффициенты переноса [61], а метод моментов [90], аналогичный методу Трэда в нерелятивистской кинетической теории, позволяет распространить релятивистскую гидродинамику на случай быстрых процессов, когда необходимо учитывать конечную скорость распространения термических возмущений. [c.282]

Выше мы исследовали процесс формирования одиночной лавины. Перейдем теперь к рассмотрению самоподобного ансамбля лавин, характеризуемого распределением (1.71). Следуя методу, изложенному в п. 2.2, мы будем учитывать шумы всех степеней свободы, а также дробную обратную связь, введенную в п. 2.3. Основой нашего рассмотрения является система Лоренца, однако теперь синергетические параметры характеризуют не сыпучую среду, а ансамбль лавин, который в рамках подхода Эдвардса [40, 41], обобщенного на неадцитивную систему, представляется по аналогии с термодинамической системой. Это позволяет описать изменение размера лавины, неаддитивной сложности ( omplexity) и кинетической энергии сыпучей среды. В рамках синергетического подхода указанные степени свободы играют роль параметра порядка, сопряженного поля и управляющего параметра соответственно. [c.65]

Параграф 5 посвящен исследованию иерархических дефектных структур, возникающих в процессе развитой пластической деформации. Сначала рассмотрена ситуация, отвечающая процессу ползучести твердого тела (п. 5.1). Эволюция системы дефектов представлена как немарковская цепь термофлуктуационных скачков по минимумам фрактального рельефа, отвечающего термодинамическому потенциалу дефектной кристаллической структуры. Установившаяся ползучесть связывается с атермическим преодолением барьеров. Выяснена природа критического замедления при логарифмической ползучести. Найдены возможные виды временнбй зависимости деформации. Построена диаграмма ползучести в осях напряжение — температура. В п. 5.2 проводится обобщение на произвольный режим деформирования. Исходя из картины потенциального рельефа многоуровневой системы, делается вывод о фрактальной природе иерархически соподчиненной дефектной структуры. Для ее описания вводится ультраметрическое пространство состояний, точки которого отвечают отдельным ансамблям дефектов, образующих неэргодическую систему. Структурная релаксация представлена как диффузия в ультраметрическом пространстве. [c.223]

Отсюда вытекает закон сохранения фазового объема (теорема Луивилля). Согласно этому закону фазовый объем данного ансамбля механических систем с обобщенно-потен-циальными силами и голономными идеальными связями в отсутствие диссипативных сил сохраняется, т. е. [c.392]

Динамическому состоянию непотенциальной системы соответствует точка обобщенного фазового пространства. Статистическому ансамблю [17] непотенциальной системы соответствует множество точек обобщенного фазового пространства. Как было указано, элемент объема фазового пространства Г инвариантен относительно эволюции динамической непотенциальной системы. Аналогично работе [101] предположим, что элемент количества состояний статистического ансамбля с1Ы , соответствующий элементу ОдОр , также инвариантен. В этом случае можно говорить о сохранении плотности распределения числа состояний в пространстве Г [c.173]

Чтобы учесть изменения в расположении атомов смеси, надо ввести функции, описывающие статистические распределения атомов одного и того же или разных типов в тех или иных конфигурациях. Естественным обобщением выражения (2.21) была бы парциальная функция распределения (1, 2), характеризующая среднюю по ансамблю вероятность найти атом типа р в точке 2, при условии что в точке 1 есть атом типа а. Хорошая теория жидкой смеси должна была бы выдать нам вид функций g аа Щ-i g в в (Щ gABIR)i каждую из которых в отдельных случаях можно найти из опыта ( 4.5). [c.118]

Приведенное доказательство того, что система в термостате обладает каноническим распределением Гиббса, т. е. теоремы Гиббса, основано на выборе модели термостата (система осцилляторов или идеальный газ). Можно доказать эту теорему, не прибегая к конкретной модели термостата, если рассматривать данную систему как подсистему большой системы той же природы. Это было сделано Ю. Крутковым [2] для классического случая. Обобщение доказательства на большой канонический ансамбль см. в [3]. Изложение этих доказательств см. в [4], стр. 31 и 36, а обобщение на квантовый случай см. там же, стр. 80 и 86. При этих доказательствах также требуется решать функциональное (или интегральное) уравнение для т (Е), но с дополнительным условием постоянства энергии полной системы.— Прим. ред. [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...