Существование решений в бесконечных областях

Существование решений в бесконечных областях [c.70]

ОЦЕНКИ И ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ [c.67]

Многосвязная область с отверстиями и трещинами. Пусть в бесконечной плоскости имеется один замкнутый криволинейный разрез L, разбивающий всю плоскость на две области внутреннюю 5+ и внешнюю 5 Предположим, что при переходе через контур L напряжения остаются непрерывными q t)=0), а вектор смещений получает скачок g t). Тогда комплексные потенциалы Ф г) и 4 (2) определяются по формуле (1.66), а неизвестная функция g t) удовлетворяет уравнению (1.67) (при q t)=0), т. е. сингулярное интегральное уравнение первой основной задачи (при заданной на границе L нагрузке) является одним и тем же для внутренней и внешней области. Из теоремы единственности следует, что для существования решения необходимо выполнение условий равновесия области 5+ (равенство нулю главного вектора и главного момента внешних усилий, действующих на контуре L), т. е. интегральное уравнение в этом случае имеет решение при дополнительных условиях, которым должна удовлетворять правая часть уравнения (следовательно, союзное однородное интегральное уравнение имеет нетривиальное решение). Таким образом, задача является некорректной. Для ее регуляризации в работах [94, [c.19]

Приведем модельный вариант задачи, в котором существование решения очевидно, а единственность доказана. В этом варианте линия склейки у считается не конечной, опирающейся на заданный отрезок [—а,а], а бесконечной, отрезающей от О область 0 типа полосы (так что ), ограничена осью х и кривой у) считаются заданными скорость У потенциального потока, завихренность ш и расход N в вихревой полосе (т. е. разность значений 1 ) на у и на оси х). [c.191]

В этой главе рассмотрены различные основные и смешанные граничные задачи статики и-гармонических колебаний классической теории упругости для конечных и бесконечных областей, ограниченных несколькими замкнутыми поверхностями. Построены соответствующие тензоры Грина и доказаны теоремы существования и единственности решений указанных задач. [c.422]

Следующим этапом исследования явилось определение области существования найденных решений в плоскости годографа скорости и в плоскости течения. Для безударных решений была найдена область, в которой увеличение энтропии ведет к увеличению сопротивления тела или к уменьшению тяги сопла. На основании исследования локальной второй вариации была найдена область, в которой выполняются необходимые условия минимума сопротивления. Граница этой области совпадает с геометрическим местом точек экстремалей, в которых ускорения становятся бесконечными. Для решения с изэнтропическими разрывами было найдено дополнительное необходимое условие минимума. Было выполнено построение области существования различных решений в плоскости течения для осесимметричных сопел при безвихревых течениях совершенного газа. [c.243]

В этих исследованиях, которые невозможно перечислить, вопросы качественного характера (о существовании периодических решений, установление типов этих решений, исследование их устойчивости в смысле Ляпунова) большей частью соприкасаются с вопросами аналитического направления, т. е. с вопросами о представлении периодических решений при помощи бесконечных периодических рядов, сходящихся хотя бы в некоторой области рассматриваемых значений параметров исследуемой системы. [c.355]

Доказательства сходимости последовательных приближений, получаемых методом упругих решений в общем случае пространственной задачи, пока не дано, хотя условия (2.71) её обеспечивают во всех рассматриваемых ниже случаях. Более того, вычисления показывают очень быструю сходимость приближений, так что, даже в случае действия на тело сосредоточенных сил, третье приближение даёт вполне удовлетворительные результаты. Строгое доказательство сходимости метода упругих решений применительно к пластинкам и оболочкам при условии (2.71) дано Панферовым ( 1. Попутно им доказывается существование и единственность решения, а также конечность числа и ограниченность размеров областей пластических деформаций в телах бесконечных размеров. [c.125]

Этот классический метод бесконечных определителей был математически обоснован в работах Пуанкаре и излагается в большинстве учебников применительно к линейным дифференциальным уравнениям в комплексной области. Возможно, будет достаточно, если мы скажем, что этот метод приводит к удобному способу фактического вычисления характеристических показателей и соответствующих решений вида (lOi) 144. Между тем соображения, приводившиеся в 140—144, гарантировали лишь существование характеристических показателей и соответствующих решений, но не указывали на подходящий метод их вычисления. [c.493]

Настоящий параграф является основным параграфом главы. Здесь будут получены формулы, описывающие распространение волн вблизи границы S в задаче (1.1), (1.2), сформулированной в 1. Напомним, что область Q, в которой ищется решение задачи и для которой кривая S является границей, уходит на бесконечность и предполагается выполненным принцип предельного поглощения. В окончательных формулах, носящих локальный характер, частота колебаний со — большой вещественный параметр. Полученные формулы в силу их локального характера остаются справедливыми и для замкнутых областей. В этом случае для существования решения задачи (1.1), (1.2) [c.362]

Таким образом, приходим к необходимости отыскать значения содержащихся в уравнениях (2.8) произвольных постоянных из бес конечной системы (2.13). В связи с этим вопрос о существовании решения рассматриваемой граничной задачи сводится к доказательству существования такого решения системы (2.13), которое обеспечивает сходимость бесконечных рядов для составляющих поля во всей рассматриваемой области. [c.44]

Ряд результатов представляет общий интерес для математической теории упругости. Это — неравенства Корна в конечных и перфорированных областях, обоснование принципа Сен-Венана, асимптотика решений системы теории упругости на бесконечности и ряд других вопросов. Много места уделено теоремам существования и единственности обобщенных решений краевых задач теории упругости в конечных и бесконечных областях. Эти задачи исследуются единым функциональным методом на основе теоремы Рисса о представлении функционала в гильбертовом пространстве. [c.8]

При расчете оптических систем встречаются функции, которые зависят друг от друга во всей области существования решений. Такие функции можно назвать абсолютно зависимыми. Примером таких функций могут служить, напрнмер, коэффициенты аберраций третьего порядка 1, 1, для бесконечно тонкой системы. Напомним, что если заданы значения каких-либо двух коэффициентов из указанных трех, иапример 1 и 5ц, то значение 5п1 точно определено. В этом примере можно считать, что 5ц, зависит от 1 н 5ц. Поэтому = кх - + 2- н [c.450]

Очевидно, что рассмотренное в п. 2.1 распределение напряжений, обладающее особенностью в окрестности вершины трещины, является математической абстракцией в том смысле, что никакой реальный материал бесконечных напряжений выдержать не может. Общепринятое оправдание использования сингулярного (с особенностью) поля напряжений для оценки сопротивления материала с применением упругого коэффициента интенсивности напряжений основывается на утверждении о существовании маломасштабного пластического течения. Таким образом, предполагают, что потенциально большие значения напряжений в непосредственной близости к вершине трещины уменьшаются вследствие пластического течения в области, размеры которой малы по сравнению с длиной трещины и характерными размерами деформируемого тела. Далее принимается гипотеза о том, что распределение напряжений в упругом материале, примыкающем к малой зоне пластического течения, хорошо описывается главным сингулярным членом упругого решения. [c.90]

Аналогичные соображения использованы в [8] для доказательства существования бесконечного числа периодических решений различных типов при фиксированных конечных значениях параметра е. В [8] малый параметр вводится искусственно в области, где потенциальная энергия много меньше кинетической. Периодические решения, полученные в работах [c.242]

Основанием другому оригинальному направлению исследования вопросов существования и единственности решений задач теории струй послужила работа М. А. Лаврентьева о некоторых свойствах однолистных функций (1938) (см. также его работы за тот же год в Докладах Академии наук СССР), основанная на развитых им вариационных принципах (1934). Лаврентьевым были изучены функции, реализующие конформное отображение полуплоскости на области с одной бесконечно удаленной граничной точкой, и далее были даны приложения математических результатов к теории струй. Были доказаны существование и единственность решения струйной задачи об обтекании неограниченным потоком дужки, симметричной относительно оси X. При этом рассматривалась только одна половина течения. В качестве естественного обобщения исследовалась задача о срыве струи с препятствием для полуплоскости (рис. 3). Эта задача отличается от задачи о симметричном обтекании дужки только тем, что на струи не накладывается более условие, запрещающее им проникать в верхнюю полуплоскость. Кроме того, в задаче о симметричном обтекании рассматривается случай, когда струи соединяются на конечном расстоянии за дужкой. Относительно дужки требуется, чтобы она состояла из конечного числа дужек ограниченной кривизны, и предполагается, что любая прямая, перпендикулярная к оси абсцисс, пересекает обтекаемую дужку не более чем в двух точках или по вертикальному отрезку. [c.8]

Производных (1.11-5), которая обеспечивала бы выполнение граничных и начальных условий данной проблемы. Для этого во всех типичных случаях векторный потенциал должен быть охарактеризован в некоторой конечной области пространства это означает задание компонент А. для бесконечно большого числа несчетных значений г., образующих г.-континуум. Существование этого множества создает трудности при проведении конкретных расчетов, особенно при решении вопросов нормировки. Поэтому целесообразно найти такой метод, в котором без ограничения общности векторный потенциал описывался бы счетным множеством численных значений. Мы покажем, что существуют две возможности для такого представления. Они заключаются в выборе, смотря по обстоятельствам, определенных граничных условий, не затрагивающих общую применимость метода, ибо при его проведении ограничивающую поверхность можно выдвинуть далеко вовне, в пределе до бесконечности. Там, во всяком случае, величину А. можно считать достаточно быстро убывающей. Оба возможных метода мы опишем в двух следующих пунктах. [c.128]

Иосифьян Г А, Олейник О А О существовании и асимптотическом поведении решений системы теории упругости в бесконечной области//УМН. [c.305]

Особо следует отметить работу 3. С. Аграновича, В. А. Марченко, В. П. Шестопалова [89], в которой по существу определены основные направления в решении проблем резонансного рассеяния волн периодическими дифракционными решетками. К моменту ее появления было ясно, что основным средством электродинамического анализа в резонансной области частот должен стать численный эксперимент. Необходимо только так переформулировать исходную краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных, чтобы можно было эффективно использовать вычислительную технику с прогнозируемой погрешностью и в реальном масштабе времени получать необходимые результаты. В [891 реализована схема, отработанная в рамках классического функционального анализа. Путем выделения и обраш,ения (метод полуобраш,ения, левая регуляризация) статической части задача сведена к канонической фредголь-мовой. На этом формально ее решение можно считать законченным, так как для операторных уравнений фредгольмового типа из единственности следует существование решения, а свойства компактности обеспечивают сходимость вычислительных процедур, основанных на редукции бесконечных систем линейных алгебраических уравнений [90]. [c.8]

Сам факт существования таких поверхностных волр можно объяснить следующим образом. В разд. 6.2 мы показали, что для заданной частоты существуют области к , для которых величина К комплексная, причем К - тж/А iK,. Внутри бесконечной периодической среды волна с экспоненциальным изменением интенсивности не может существовать, и мы называем эти области запрещенными зонами. Если периодическая среда является полубесконечной, то экспоненциально затухающая волна может быть вполне законным решением в окрестности границы раздела, где его амплитуда может иметь конечную величи . Огибающая поля внутри периодической среды убывает как где г — расстояние от границы раздела в глубь периодической среды. Она также экспоненциально затухает по мере проникновения в полубесконечную однородную среду при условии, что с/с /со > [c.226]

Итак, в прикладных проблемах линейные задачи теории стоячих волн представляют основной интерес. Тем не менее на ряд вопросов линейная теория ответить не может. Например, при настройке системы управления важно знать зависимость частоты колебаний от амплитуды. Иногда полезно знать (с высокой степенью точности) структуру волновой поверхности и т. д. Поэтому нелинейная теория представляет определенный интерес для практики. Однако, как мне кажется, наибольший интерес нелинейная теория стоячих волн имеет для математика. В теории установившихся волн проблема существования решений довольно элементарна. В теории стоячих волн дело обстоит значительно сложнее. Первая работа в этой области была сделана Я. И. Секерж-Зеньковичем (1957), который предложил процедуру последовательных приближений, позволяющую рассчитать нелинейные стоячие волны в безграничной жидкости. Эта задача дает ответ о характере нелинейных волн, возникающих в сосуде, ограниченном вертикальными стенками, в предположении, что глубина сосуда бесконечна. В начале пятидесятых годов ту же проблему для сосудов произвольной формы изучал Н. Н. Моисеев. Колеблющаяся жидкость рассматривалась как некоторая система Ляпунова счетного числа степеней свободы. Была развита теория, в рамках которой удалось рассмотреть как свободные, так и вынужденные колебания. Была построена полная аналогия с колебательной системой Ляпунова конечного числа степеней свободы и показано, что для того, чтобы провести все вычисления, достаточно уметь решать соответствующую линейную задачу. Разумеется, развитая теория позволяла изучать только такие волновые процессы, которые близки к тем, которые описываются линейной теорией. (Полное изложение этой теории нелинейных волн можно найти в монографии Н. Н. Моисеева и А. А. Петрова, 1965.) [c.64]

Если число аппроксимирующих функций увеличивается до бесконечности, то приближенное решение будет сходиться, стремясь к истинному решению, и притом равномерно в каждой из областей, лежащих целиком внутри заданного тела. Если принять как предпосылку существование решения, то можно дать сравнительно простре доказательство этого положения, руководясь методами, изложенными в предыдущих параграфах. [c.164]

В соответствии со свойством обратной функции функция М будет стремиться к бесконечности на границе, соответствующей 1Юставленному условию. Решение в этом случае получается следующим образом. Сначала в пространстве проектирования выбирают какую-либо подходящую точку. Затем с помощью выбранного метода находят оптимум, соответствующий заданному начальному значению г . Поскольку исходная точка расположена в области существования решения, то и найденный оптимум тоже будет находиться в этой области. Никакая траектория наискорейшего спуска, выходящая из точки пространства проектирования, не может пересечь границу, заданную дополнительным условием. Найдя минимум, используют его как исходную точку для новой целевой функции с меньшим значением Гр. Процедуру оптимизации повторяют, используя убывающие значения Гр [c.188]

Имеет смысл рассматривать отображения Пуанкаре и глобально, выделяя на фазовой плоскости области, для которых отображение Пуанкаре определено. Они называются областями возможных движений (ОВД). Обычно они определяются из существования решения для уравнения энергии Ж р, q) = Е, р, q) е q = до = onst (в нашем случае р, q) = = L,G,l,g),до = до)- Если уровень энергии является компактным, то справедлива теорема Пуанкаре о возвращении и точка снова пересечет выбранную плоскость, причем бесконечно много раз. Очевидно, что на границе ОВД траектория касается секущей плоскости, т. е. происходит потеря трансверсальности пересечения. Глобальные отображения Пуанкаре еще плохо изучены. [c.56]

Часть IV книги посвящена в основном уравнению Гельмгольца и волновому уравнению. Здесь подробно изложена теория краевых задач для уравнения Гельмгольца в неощ>аниченных (внешних) областях, доказаны теоремы существования и единственности решений таких задач с условием излучения Зоммерфельда на бесконечности, причем для доказательства существования решения используются метюды теории потенциала, а также метод предельного поглощения и метод предельной амплитуды. Рассматривается вопрос о продолжении резольвенты в комплексную область, вопрос о частотах рассеяния, изучена задача об акустическом резонаторе и поведении его частот рассеяния, а также другие физические задачи, связанные с уравнением Гельмгольца. [c.8]

Нелинейные задачи о движении контура вблизи границы раздела двух жидких сред привлекают внимание многих исследователей. Особое место в этой области занимает задача о движении вихря заданной интенсивности под свободной поверхностью, интерес к которой обусловлен существованием различных режимов обтекания, в том числе и безволновых [1]. Первые аналитические исследования, связанные с изучением вопросов существования и единственности решения, для движения вихря под свободной поверхностью бесконечно глубокой жидкости проведены в [2], а для ограниченной снизу - в [3]. [c.126]

В 3.2.5 было установлено, что знак величины д на экстремали постоянен. Если t < о, то в области (4.11) имеем 1 -а < 0. Из (3.23) тогда заключаем, что при движении по характеристикам второго семейства в сторону уменьшения rj) величина у уменьшается. Зависимость а у) или а(г) на экстремалях частный вид которой тфиведен на рие, 3.11, показывает, что такое движение по экстремалям ведет в сторону линии с бесконечными ускорениями, а в плоскости а,< — в сторону кривой VSU. Следовательно, в осесимметричном случае попытка отыскания решения одного из рассмотренных видов может привести к тому, что экстремаль не будет принадлежать целиком области П. Это обстоятельство приводит к новым ограничениям области существования найденных решений для внешних течений. Подобное ограничение не возникает, если > 0 в начальной точке экстремали, поскольку в этом случае 1 > 0 на всей экстремали. [c.126]

Рассмотрим прямую задачу для общего случая нестационарного трехмерного течения нереагирующей смеси газов. В этом случае на жесткой стенке (контуре обтекаемого тела или канала) задается условие непротекания (WV) F=0, где F x, у, z)=0 — уравнение жесткой стенки. В качестве начальных условий при t = Q во всей области течения задают все газодинамические параметры течения (при этом допускается существование поверхностей разрывов). При решении внешних задач обтекания в некотором сечении х = Хо вверх по потоку от тела должно быть задано распределение скоростей, в частности в случае равномерного обтекания ы = ыоо = сопз1, v = w=0. При этом в случае сверхзвукового обтекания это сечение может быть расположено непосредственно у фронта ударной волны, поскольку в сверхзвуковом потоке возмущение, создаваемое телом, ограничено ударной волной. При дозвуковом обтекании начальное сечение x = Xq должно быть отнесено достаточно далеко от тела, так как возмущение, создаваемое обтекаемым телом, вообще говоря, распространяется до бесконечности. Вниз по потоку от обтекаемого тела при сверхзвуковом обтекании не [c.50]

Из анализа области существования периодического решения следует, что при данном расходе жидкости в пленке и заданной скорости газа теоретически может иметь место бесконечное множество волновых режимов, длины волн которых изменяются от нуля до бесконечности [56]. Для решения вопроса о том, какой из всех теоретически возможных режимов может быть реализован, необходимо принять некоторые дополнительные ограничения. Так, П. Л. Капица [56] и А. А. Точигин 1127] предполагали, что на практике реализуются только такие волновые режимы, при которых энергия диссипации будет минимальной, причем амплитуда волн при этом достигает некоторого максимального значения. Л. Н. Маурин и В. С. Сорокин [86] исходили из того, что осуществляются такие волновые режимы, при которых коэффициент [c.188]

Карта режимов на плоскости д, Го> изображена на рис. 43. Левее штриховой линии q = —2 вращение отсутствует. На полуоси 4 = 0 Г решение но существует. С приближением к полуоси формируется сильная восходящая струя. Между осью д = = 0 и кривой 51 (или 5о) лежит область существования двухъячеистых режимов. Кривая 1 отвечает случаю, когда на оси Уп = 0, а 8о — иг = 0. Правее кривой 51(5 о)—область опускных режимов с пристенной струей. Если зафиксировать величину Го и увеличивать д, то в пределе д > 1 картина меридионального течения совпадает с полученной в 2 при отсутствии вращения. Если, напротив фиксировать величину д и устремить Го к бесконечности, то иолучим сильную приосевую струю, вне которой формируется предельное, не зависящее от Го течение без вращения, соответствующее эффективному стоку на оси обильности = 4—д. [c.125]

Мы назовем эти линии ветвления естественными границами, поскольку они являются абсолютными границами области течения в плоскости X, у ц ъ поле переменных, служащих для описания напряженного состояния пластической деформации тела. Ни одно из соотношений нельзя аналитически продолжить за эти огибающие линий скольжения. Это свойство характерно лишь для таких полей пластических линий скольжения, которые имеют огибающие линии или кривые и которые можно противопоставить состояниям пластической деформации, допускающим аналитическое продолжение за границы пластической зоны. В основе обоих типов течения лежит постулат об огибающей окружностей наибольших главных напряжений Мора в плоскости Оп, Тп Представляющееся парадоксальным существование специфической группы решений, обладающих естественными границами, связано с той особенностью, что внешние напряжения на этих границах тела совпадают случайно со значениями Сп, Хп для точек Р, расположенных на двух образуюи их Мора, равных нормальному и касательному напряжениям в плоскостях скольжения естественная граница тел — это бесконечно плотное скопление и совмещение площадок скольжения. [c.577]

Соотношения (1.58) — (1.60) образуют бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов бесконечных рядов, представляющих потенциалы скоростей в различных частичных областях. Традиционный подход к рассмотрению задач, приводящих к бесконечным системам, заключается в том, что при отыскании неизвестных используется метод простой редукции. Во второй главе для одного частного случая излучения звука цилиндром приводятся довольно громоздкие выкладки, позволяющие установить квазирегулярность бесконечных систем, возникающих при использовании метода частичных областей. И хотя такой результат несомненно важен, поскольку позволяет убедиться в существовании ограниченного решения, вопрос о единственности решения остается открытым. [c.31]

Обратимся снова к рис. 83. Разобъем всю область существования звукового поля на следующие частичные области полупространства л О и л а также бесконечное число областей, каждая из которых — объем среды в щели между брусьями. Чтобы не усложнять решение рассматриваемой задачи, ограничимся случаем нормального падения звуковой волны на решетку 0 = 0. Учитывая принятое ограничение и свойства симметрии решетки, исходную задачу можно заменить эквивалентной ей задачей о распространении звука в плоском волноводе с акустически жесткими стенками. [c.158]

Перейдем к непосредственному решению задачи. oвepпJeннo очевидно, что всю область существования звукового поля рационально разбить на такие же частичные области, какие были выбраны ранее при изучении peпJeтки, изображенной на рис. 85, а именно область л О и область л /, а также бесконечное число областей, каждая из которых ограничена объемом щели между соседними брусьями. Испо ль-зуя свойство симметрии рассматриваемой решетки, представим потенциалы скоростей в указанных частичных областях в следующей форме [c.167]

Из анализа области существования периодического решения следует, что при данном расходе жидкости в пленке и заданной скорости газа существует бесконечное множество волновых режимов, длины волн которых изменяются от нуля до бесконечности. Однако, в опыте при этих условиях за пределами участка стабилизации устанавливается, волновой режим с вполне определенными схюднестатистическими значениями волновых параметров. [c.184]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...