Периодическое решение и область его существования

Следует отметить, что определение связи между свойством и фрактальной структурой - задача достаточно сложная, так как существующие модели, устанавливающие эти связи для периодических структур, неприменимы к фрактальным. Решение указанной задачи требует разработки фрактального анализа микроструктур и определения области существования структурного самоподобия, а таюке разработки фрактального синтеза, включающего моделирование характерных геометрических форм (путем итераций) как способа для изучения начальных структур в реальных материалах. [c.92]

Границы второй, четвертой и т. д. областей неустойчивости ищем из условия существования Г Периодического решения. В результате приходим к уравнению [c.125]

Наличие нелинейной муфты создает особенности в работе агрегата при динамических режимах, в частности затягивание резонанса в область высоких частот, возможность возникновения колебаний с частотой в целое число раз меньшей, чем частота возбуждающего момента. Уравнение движения системы с нелинейной муфтой имеет точное решение лишь в отдельных случаях. При расчетах таких систем большое значение имеет зависимость частоты k от амплитуды при свободных колебаниях. Эта зависимость в графической форме носит название скелетной кривой. Виды скелетных кривых для некоторых нелинейных зависимостей вместе с формулами, связывающими частоту с амплитудой, даны в табл. III.2. Для построения скелетных кривых обычно пользуются приближенными способами [15]. При этом заранее предполагают (например, на основании эксперимента) существование дифференциального уравнения движения и форму его периодического решения. При гармонической линеаризации считают, что режим колебаний близок к гармоническому. Решение в общем случае получаем в виде (р = фо + Ф os (и + а). Частота свободных колебаний (скелетная кривая) может быть найдена из приближенных формул [c.61]

Значения х 2п) и Х2 2п) определялись численным интегрированием уравнения в вариациях (2.7.20). Результаты исследования корней характеристического уравнения (2.7.21) представлены на рис. 17, где в плоскости п , е построены границы областей устойчивости периодических решений (тонкие линии) и кривая разветвления (жирная линия), выходящая из точки ( =1, б = 0). Область Ез существования трех периодических решений расположена на рис. 17 левее и выше кривой разветвления. Одному периодическому решению соответствует область Ей расположенная правее и ниже кривой разветвления. [c.99]

Рис. 17. Области существования одного и трех периодических решений и области устойчивости решений

Полагая р = 1, найдем условия существования периодических решений, или, что то же самое, уравнения границ областей устойчивости (знаки -j- и — соответствуют целым и полуцелым решениям) [c.247]

Аналогичные соображения использованы в [8] для доказательства существования бесконечного числа периодических решений различных типов при фиксированных конечных значениях параметра е. В [8] малый параметр вводится искусственно в области, где потенциальная энергия много меньше кинетической. Периодические решения, полученные в работах [c.242]

В этих исследованиях, которые невозможно перечислить, вопросы качественного характера (о существовании периодических решений, установление типов этих решений, исследование их устойчивости в смысле Ляпунова) большей частью соприкасаются с вопросами аналитического направления, т. е. с вопросами о представлении периодических решений при помощи бесконечных периодических рядов, сходящихся хотя бы в некоторой области рассматриваемых значений параметров исследуемой системы. [c.355]

Обсуждаются общие свойства пространства решений симметрии, различные расслоения фазового пространства, его разделение на колебательную и вращательную области. Изучаются свойства рещений, соответствующих колебательной области свойства асимптот при движении твердого тела, различные отношения эквивалентности на пространстве траекторий, качественные аналогии, механические интерпретации асимптотических движений. Изучаются свойства решений, соответствующих вращательной области существование семейства периодических траекторий, всюду плотно заполняющих некоторые области, вопросы плотности незамкнутых траекторий в ограниченных множествах. [c.169]

Таким образом, задача расщепляется на две отдельные частичные задачи. Первая задача, относящаяся к области качественной теории дифференциальных уравнений, это задача о существовании периодических решений, и методы решения этой задачи суть качественные методы небесной механики. Вторая задача, заключающаяся в нахождении формул, представляющих периодические решения, относится к области аналитической теории, и методы ее решения суть аналитические методы небесной механики. [c.124]

Основываясь па этом критерии, Н. Д. Моисеев [28], [29] установил существование четырех семейств периодических решений в плоской ограниченной круговой задаче трех тел Солнце — Юпитер — астероид. С помощью критерия Уиттекера И. Д. Моисеев нашел кольцевые области, в которых располагаются периодические решения. И. Ф. Рейн разработала [103] метод нахождения периода периодического решения в ограниченной задаче трех тел, аналитическая структура которого неизвестна. В теории движения ИСЗ критерий Уиттекера был применен В. Г. Деминым [31]. [c.797]

Условно-периодические решения порождаются начальными условиями, принадлежащими области / д, определенной формулой (10.1.53). Для начальных условий, принадлежащих области [ = Г Г [Р — область, в которой происходит движение планет, определена формулой (10.1.44)], вопрос о существовании условно-периодических движений остается открытым. Правда, при этом мера /а может быть сделана сколь угодно малой по сравнению с мерой [c.840]

Основываясь па идее, восходящей еще к Пуанкаре, можно попытаться доказать существование таких периодических решений при помощи следующего рассуждения. Рассмотрим область G, состоящую из точки О и тех точек R П R+, в которых [c.85]

На рис. 1.1 показаны области существования различных решений в координатах X/D и а/Я, где а — вертикальное расстояние между гребнем и подошвой волны. Два вида разрушений ограничивают область существования периодических волн. На глубоководном конце шкалы расположены так называемые волны максимальной высоты, которые, если они существуют в виде стационарных волн на течении, замораживают движение частиц в своих гребнях, заостренных в форме клина, что впервые было показано Стоксом. Волны промежуточных высот, которые также были вычислены Стоксом, носят теперь его имя. [c.24]

ОЦЕНКИ И ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ [c.67]

Периодическое решение и область его существования [c.180]

В плоскости область существования периодического решения (5.15) ограничена кривыми, уравнение которых (5.22), (5.23) и =0,5Г. Эта область изменяется в зависимости от величины параметра Т. На рис. 5.1,6 [c.183]

Известные методы решения [62, 172, 296] стохастической краевой задачи (4.9) основаны на разложении коэффициентов ,jf /(r) и искомого поля перемещений и, (г) на осредненные и пульсационные составляющие. При этом, нулевым приближением для поля является осредненное решение (и,(г)). В работе [62] и других было показано, что корреляционные функции упругих свойств матричных композитов имеют область отрицательных значений. Существование области отрицательных значений установлено и для корреляционных функций квазипериодических композитов. Наличие области отрицательных значений есть признак присутствия периодических составляющих в соответствующих случайных полях [32]. Поэтому ниже на примере решения задачи (4.9) рассмотрим метод периодических составляющих, основанный на выделении из коэффициентов Qj/ei(r) и искомого [c.72]

Теория периодических и двоякопериодических бигармонических задач достаточно полно разработана для областей, ограниченных круговыми отверстиями. Однако представляет интерес развитие теории вопроса на общий случай некруговых отверстий. Здесь наметились в основном две тенденции сведение периодических и двоякопериодических задач к интегральным уравнениям, а также различные конструктивные методы. Следует подчеркнуть, что при современном уровне развития вычислительной техники полученные интегральные уравнения нужно рассматривать не только как аппарат для доказательства существования и единственности решений, но и как средство для проведения конкретных расчетов. Поэтому составление новых, более простых интегральных уравнений и разработка методов численного их решения имеют важное значение. [c.7]

H i случаев 3 и 4 следует, что на границе области устойчивости, то есть для значений б и е, удовлетворяющих уравнениям (7.79), существуют периодические peujeHHH периода Т и 2Т. Эти выводы дают возможность определить границы области устойчивости из условия существования периодических решений уравнения Хилла. [c.242]

Выясним, каким периодическим перемещениям — устойчивым или неустойчивым — соответствует полученное решение. Физические сообра>г<ения (сравнение с соответствующими приводами з линейном виде без демпфера или с линейным демпфированием) говорят о том, что в рассматриваемом нелинейном приводе выше кривой ЕО будет область неустойчивости в большом , а ниже кривой ЕО — область устойчивости в малом . Последняя сохраняется при входных воздействиях со скоростями, меньшими обозначенных этой кривой. Следовательно, периодическое решение, соответствующее кривой ЕО, является неустойчивым, аналогичным решению, получаемому при учете в рабочем органе привода усилия Т сухого трения (см. рис. 3.27). Можно сделать приближенную проверку этих выводов. Применение критерия устойчивости Гурвица к уравнению (3.197) движения привода привело к условию соблюдения неравенства (3.198). Так как все параметры и коэффициенты, входящие в левую часть этого неравенства, положительны, причем кoэффищ eнт гармонической линеаризации q нелинейной характеристики демпфера стоит в числителе, то неравенство будет выполняться, очевидно, при подведенном давлении, определенном из выражения (3.200), [соответствующего условию существования периодического решения и полученного из равенства нулю левой части неравенства (3.198)] н значениях коэффициента q, больших, чем в формуле (3.200). Последнее может быть при отношении —, меньшем обозначенного ли-нией ЕО. Неравенство (3.198) нарушается при величине отноше-ния —, большей обозначенной линией ЕО. Следовательно, ни- [c.219]

Как следует из формулы (3.228), в диапазоне подведенного давления < Рп < р пп, возможно существование двух периодических решений в соответствии с участками кривых СД и ДЕ. Как показывает анализ, нижняя кривая соответствует неустойчивому, а верхняя — устойчивому решению. При дальнейшем росте амплитуды А периодического решения происходит также рост соответствующего ей подведенного давления, причем кривая ДЕ асимптотически стремится к пунктирной кривой. Таким образом, в результате применения управляющего золотника с переменным коэффициентом усиления в приводе образовалась область 111 устойчивости в малом , и произошло расширение области устойчивости равновесия / на дополнительную область II, что привело к повышению устойчивости привода. Определение граничного подведенного давления (границы области автоколебаний) рпг = Рпп , ниже которого при внешнем воздействии любой величины привод приходит к состоянию устойчивого равновесия, можно произвести по миниму- [c.229]

Из анализа области существования периодического решения следует, что при данном расходе жидкости в пленке и заданной скорости газа теоретически может иметь место бесконечное множество волновых режимов, длины волн которых изменяются от нуля до бесконечности [56]. Для решения вопроса о том, какой из всех теоретически возможных режимов может быть реализован, необходимо принять некоторые дополнительные ограничения. Так, П. Л. Капица [56] и А. А. Точигин 1127] предполагали, что на практике реализуются только такие волновые режимы, при которых энергия диссипации будет минимальной, причем амплитуда волн при этом достигает некоторого максимального значения. Л. Н. Маурин и В. С. Сорокин [86] исходили из того, что осуществляются такие волновые режимы, при которых коэффициент [c.188]

Области отрицательных зачений % соответствуют областям существования устойчивых периодических решений неб1оль-шого периода. Вблизи значения (х = = —0,78497... зависимость Я от (х определяется формулой (4.3) и имеет вид, показанный на рис. 8.12. [c.243]

На рис. 149 представлены области существования решений в переменных min = minr (Z), Гтах max (ZJ. Периодическим решершям (34.8) соответствует линия ОА периодическим решениям (34.13) — линия ОС солитонным решениям - линия ВС квазипериодическим решениям соответствует заштрихованная область. [c.242]

Используя теорему 6, получаем, что если выпуклая оболочка Д не является ромбом, то уравнения Гамильтона с гамильтонианом (8.25) при е > О имеют бесконечно много различных изоэнергетически невырожденных решений с одним и тем же периодом (или энергией). К сожалению, область существования этих решений по е неограниченно уменьшается при к —> оо. Поэтому при каждом фиксированном е > О мы можем гарантировать существование большого, но конечного числа изоэнергетически невырожденных периодических решений. Это обстоятельство не позволяет доказать неинтегрируемость системы (8.25) при малых фиксированных значениях е > 0. Однако можно доказать отсутствие аналитического по е семейства первых интегралов и нетривиальных групп симметрий. [c.232]

В общем случае анализ периодических решений уравнения плоских колебаний на эллиптической орбите проводился численными методами, что позволило получить полную картину областей существования устойчивых периодических колебаний при любых значениях эксцентриситета эллиптической орбиты и любых моментах инерции спутника (В. А. Златоустов, 1964 Д. Е. Охоцимский, 1964 В. А. Сарычев, 1964 А. П. Тор-жевский, 1964). Исследованию уравнения плоских колебаний на эллиптической орбите посвящены также работы В. В. Белецкого (1963), И. Д. Килля (1963—1964) и А. П. Торжевского (1964). [c.290]

Анализ влияния слоя малой волновой толщины показывает, что он может быть заменен неким эквивалентным сосредоточенным препятствием. Этот физически довольно простой факт позволяет формулировать условия сопряжения между отдельными областями существования звукового поля, учитывая влияние слоя с помощью некоторых им-педансных характеристик. Полученные в этом параграфе выводы будем неоднократно использовать далее при рассмотрении более сложных задач. При этом удается развить подходы к решению таких задач, которые не всегда поддаются рассмотрению в более строгой постановке. Конечно, при этом следует иметь в виду, что граничные условия вида (1.50) и (1.52) приближенные и получены с использованием предположения о малости волновых размеров слоя. Если учесть, что вещественные и мнимые части импеданса слоя являются периодическими функциями, то можно утверждать, что в случае прохождения звука через слой соотношения (1.50) и (1.52) справедливы и для толстых слоев, если их волновая толщина близка к половине длины волны или кратна ей. Однако при этом следует иметь в виду, что использорание условий типа (1.50) и (1.52) для описания взаимодействия звука с препятствиями конечных размеров может быть неверным. Физические причины такого обстоятельства становятся понятными при анализе задачи прохождения звука через замкнутый кольцевой слой, рассмотренной в параграфе I следующей главы. [c.28]

Чтобы найти границы, разделяющие области существования устойчивых и неустойчивых решений, необходимо отыскать чисто периодические решения. В самом общем случае эта задача в математическом отношении достаточно сложна, однако некоторые особенно интересные периодические решения могут быть найдены из физиче- [c.173]

Из анализа области существования периодического решения следует, что при данном расходе жидкости в пленке и заданной скорости газа существует бесконечное множество волновых режимов, длины волн которых изменяются от нуля до бесконечности. Однако, в опыте при этих условиях за пределами участка стабилизации устанавливается, волновой режим с вполне определенными схюднестатистическими значениями волновых параметров. [c.184]

На границах первой, третьей и т. д. областей неустойчивости одно из решений будет 2Т-периодическим. Используя этот факт, ищем граиицы этих областей из условия существования решения с этим периодом. Уравнение для нахождения границ инсег вид условия равенства нулю некоторого бесконечного определителя (ц = 1) [c.124]

Особо следует отметить работу 3. С. Аграновича, В. А. Марченко, В. П. Шестопалова [89], в которой по существу определены основные направления в решении проблем резонансного рассеяния волн периодическими дифракционными решетками. К моменту ее появления было ясно, что основным средством электродинамического анализа в резонансной области частот должен стать численный эксперимент. Необходимо только так переформулировать исходную краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных, чтобы можно было эффективно использовать вычислительную технику с прогнозируемой погрешностью и в реальном масштабе времени получать необходимые результаты. В [891 реализована схема, отработанная в рамках классического функционального анализа. Путем выделения и обраш,ения (метод полуобраш,ения, левая регуляризация) статической части задача сведена к канонической фредголь-мовой. На этом формально ее решение можно считать законченным, так как для операторных уравнений фредгольмового типа из единственности следует существование решения, а свойства компактности обеспечивают сходимость вычислительных процедур, основанных на редукции бесконечных систем линейных алгебраических уравнений [90]. [c.8]

Сам факт существования таких поверхностных волр можно объяснить следующим образом. В разд. 6.2 мы показали, что для заданной частоты существуют области к , для которых величина К комплексная, причем К - тж/А iK,. Внутри бесконечной периодической среды волна с экспоненциальным изменением интенсивности не может существовать, и мы называем эти области запрещенными зонами. Если периодическая среда является полубесконечной, то экспоненциально затухающая волна может быть вполне законным решением в окрестности границы раздела, где его амплитуда может иметь конечную величи . Огибающая поля внутри периодической среды убывает как где г — расстояние от границы раздела в глубь периодической среды. Она также экспоненциально затухает по мере проникновения в полубесконечную однородную среду при условии, что с/с /со > [c.226]

Если у области возможных движений есть края, то периодические движения натуральной системы могут быть уже двух типов вращения и либрации. В этой ситуации результаты Уиттекера и Биркгофа не применимы из-за вырожденнос-ти метрики Якоби на границе. Легко указать примеры, когда вращения отсутствуют. Первый общий результат о либрационных периодических движениях натуральных механических систем принадлежит Г. Зейферту [90], доказавшему существование либраций в случае, когда область возможных движений диффеоморфна п-мерному диску. В работе автора [58] доказано существование либрационных решений для случая, когда область возможных движений диффеоморфна N х [О, 1], где N — гладкое компактное многообразие. Методы доказательства существования либраций в работах [58, 90] имеют некоторые общие моменты. Доказательство теоремы о либрациях, проведенное в этой главе, отличается от первоначального [58]. [c.147]

Когда уравнения возмущенного движения нелинейны, вопрос о существовании периодических движений рассматривали А. А. Андронов (1937) для уравнений второго порядка и П. А. Кузьмин (1939) для уравнений второго и третьего порядков, а вопросы о поведении траекторий как в области точек бифуркации, так и в точках ответвления периодических орбит исследовал Н. Н. Баутин (1950). Последний показал, что в рассматриваемых случаях поведение динамической системы вблизи границы области устойчивости определяется ее поведением на самой границе. Те границы области устойчивости, на которых невозмущенное движение устойчиво,, называют безопасными , а те границы, на которых оно неустойчиво,— опасными . Нахождение опасных и безопасных границ сводится, к решению задачи устойчивости в критических случаях. Впоследствии эти результаты были развиты в работах ряда авторов (А. И. Лурье, 1951 И. Г. Малкин, 1952, и другие). [c.60]

Прп конденсации в трансзвуковой области сопла возможно воз-нпкповеппе нестационарных режимов течения. Экснерихментальпо в ряде работ [177, 178] обнаружено существование нестационарных явлений и отмечены значительные пульсации параметров потока (с частотой 500—1000 Гц) при конденсации в трансзвуковой области во влажном воздухе. Проведен анализ этого явления в рамках одномерной теории и показана возможность существования нестационарного процесса. В работе [178] методом С. К. Годунова получено численное решение системы уравнений, описывающей нестационарное одномерное течение со спонтанной конденсацией в трансзвуковой области сопла Лаваля. Показано, что при определенных условиях при нестационарных начальных и граничных условиях предельное состояние не является стационарным, а обладает периодической структурой, что связано с возникновением и исчезнове-нпем ударных волп, порожденных неравновесной конденсацией. [c.327]

Прежде всего следует обсудить вопрос о том, как развить далее подтверждаемый многими примерами общий результат Стокса существование периодических волновых пакетов является типичным свойством нелинейных диспергирующих систем. Эти решения являются аналогом решений вида (1.3) в линейной теории, но теперь уже не действует принцип суперпозиции. Однако, как уже было указано в связи с формулой (1.26), многие важные результаты линейной теории основываются на использовашш групповой скорости модулированных волновых пакетов. При этом переход к интегралу Фурье несуществен, так что можно построить теорию нелинейной групповой скорости. Соответствующие рассуждения проводятся в гл. 14 на основе уже упоминавшихся вариационных принципов. Зависимость дисперсионных соотношений от амплитуды приводит к ряду новых эффектов (например, к наличию двух групповых скоростей), которые обсуждаются в общем виде в гл. 15. Кроме исходных задач о поведении волн на воде, одной из главных областей приложения теории является нелинейная оптика, новая быстро развивающаяся область. Ряд приложений к обеим областям дается в гл. 16. [c.21]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...