Однородное интегральное уравнение

Однородное интегральное уравнение, союзное к (2.24), представляет собой уравнение, которое можно получить, если пытаться построить решение первой основной задачи для областей Dt, 02, Оз, . .., От в виде обобщенного упругого потенциала двойного слоя, распределенного на всех поверхностях ). Поскольку краевые условия однородны, то все смещения в дополнительных областях будут равны нулю, а следовательно, будут равны нулю и напряжения. Из непрерывности же вектора напряжений на границе будет вытекать, что во всей области О напряжения равны нулю, что приводит к смещениям тела как жесткого целого. Поскольку же нетривиальное решение при однородных условиях существует, то в общем случае уравнение [c.567]

Для такой системы мы имеем следующую теорему. Пусть 9, (ж), 9, (ж),. .. составляют полную ортогональную систему нормированных характеристических функций однородного интегрального уравнения с ограниченным симметричным ядром [c.249]

Таким образом, функции tf x), удовлетворяющие уравнениям (2), являются характеристическими функциями однородного интегрального уравнения (4). [c.252]

Таким образом, мы установили, что все характеристические функции однородного интегрального уравнения Ук) удовлетворяют уравнениям (2). э [c.253]

Таким образом, числа X и функции tp уравнения (2) оказываются характеристическими числами и характеристическими функциями однородного интегрального уравнения (5) с симметричным ядром. [c.260]

Однородное интегральное уравнение 248 [c.287]

IV. ОДНОРОДНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ [c.22]

В случае свободных гармонических колебаний струны фиксированной частоты ш амплитуда и(х) будет определяться из уравнения вида (170) при /(л ) = О, т. е. из однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. [c.114]

Теорема существования решения второй внешней и первой внутренней задачи. Пусть однородное интегральное уравнение [c.191]

Вторая внутренняя краевая задача (1К )). Однородное интегральное уравнение, соответствующее этой задаче. [c.192]

Таким образом, задача свелась к решению однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода (4.9) с симметричным ядром, причем критический перепад температуры можно рассматривать как независимый параметр. Это уравнение имеет нетривиальное решение при некоторых собственных значениях АТ. Наименьшее из них (с недостатком) можно оценить приближенно по формуле [c.162]

Полное решение однородного интегрального уравнения (10.3) представляет собой сумму двух дискретных решений для tio ф (—1, 1) и всех возможных непрерывных решений для т S е (—1, 1). Рассмотрим отдельно случаи, когда и < 1 и ш=г= I. [c.384]

Многосвязная область с отверстиями и трещинами. Пусть в бесконечной плоскости имеется один замкнутый криволинейный разрез L, разбивающий всю плоскость на две области внутреннюю 5+ и внешнюю 5 Предположим, что при переходе через контур L напряжения остаются непрерывными q t)=0), а вектор смещений получает скачок g t). Тогда комплексные потенциалы Ф г) и 4 (2) определяются по формуле (1.66), а неизвестная функция g t) удовлетворяет уравнению (1.67) (при q t)=0), т. е. сингулярное интегральное уравнение первой основной задачи (при заданной на границе L нагрузке) является одним и тем же для внутренней и внешней области. Из теоремы единственности следует, что для существования решения необходимо выполнение условий равновесия области 5+ (равенство нулю главного вектора и главного момента внешних усилий, действующих на контуре L), т. е. интегральное уравнение в этом случае имеет решение при дополнительных условиях, которым должна удовлетворять правая часть уравнения (следовательно, союзное однородное интегральное уравнение имеет нетривиальное решение). Таким образом, задача является некорректной. Для ее регуляризации в работах [94, [c.19]

Легко проверить, что однородные интегральные уравнения (10.34) [c.186]

Требование повторяемости поля приводит нас к однородному интегральному уравнению Фредгольма второго рода [c.267]

Для задач, сводящихся к интегральным уравнениям, существует какой-либо вариант обобщенного метода, при котором ядро имеет особенно простой вид и собственное значение входит множителем в ядро (а не в аргументы специальных функций, как собственная частота). Если задача дифракции сводится к неоднородному интегральному уравнению, то соответствующее однородное интегральное уравнение второго рода обычно может трактоваться как уравнение для собственных функций одного из обобщенных методов. Основной результат теории в этой ситуации состоит в том, что собственные значения этих уравнений имеют простой физический смысл зная их, можно полностью исследовать окрестность резонансной частоты. [c.9]

Мы выше исходили из дифференциальной формулировки задачи для Однако легко показать, что функции г 5 являются также решениями однородного интегрального уравнения, ядро которого пропорционально функции Грина, соответствующей потенциалу И г). Точнее, если 0 Г1,Г2) удовлетворяет уравнению [c.71]

Можно показать, что собственные функции однородной задачи (11.7), (119) удовлетворяют на 5 системе однородных интегральных уравнений. Записанная, например, для случая т] = 1 ( х= 1, Е — поляризация), эта система имеет вид [c.114]

Подставляя это в (13.7), получаем выражение для собственной функции Un всюду через ее значение на контуре. Опустив Очку наблюдения на S, находим искомое однородное интегральное уравнение второго рода [c.128]

Применение вариационного аппарата к решению однородных интегральных уравнений, возникающих в обобщенном методе, здесь рассматриваться не. будет. Этот аппарат общеизвестен он приводит к функционалам, содержащим двукратные интегралы по рассматриваемой области или по ее границе. [c.146]

В 24 и 25 рассматриваются двумерные задачи о металлических резонаторах произвольной формы с малым отверстием и задачи о фазовых скоростях вытекающих волн волноводов с продольными щелями для Е- н для Я-волн. Эти задачи потребовали некоторой модификации р-метода — в однородное интегральное уравнение для поля собственных колебаний на щели вводится весовая функция, описывающая электростатическую особенность поля на краях щели. [c.201]

В настоящем параграфе рассматривается двумерная задача об открытом резонаторе, образованном парой металлических пластин. С помощью аппарата интегральных уравнений решается однородная задача I варианта р-метода и исследуются резонансные свойства системы. Полученные результаты сравниваются с известной асимптотикой, и тем самым устанавливается степень точности асимптотических результатов при различных значениях геометрических параметров. В последнем пункте кратко изложен новый подход к задаче решения однородных интегральных уравнений. [c.232]

С помощью формулы Грина она легко сводится к однородному интегральному уравнению второго рода [c.251]

Таким образом, функция у х), дающая очертание сечения балки, удовлетворяет однородному интегральному уравнению Вольтерра первого рода с ядром [c.400]

В теории оптических резонаторов большую роль играет уравнение типа (П.Б.2), которое мы и рассматриваем в дальнейшем. Уравнение имеет непрерывные, ненулевые решения для дискретных значений у, которые называются собственными значениями однородного интегрального уравнения или ядра /С(х, у). Соответствующие решения называются собственными функциями интегрального уравнения [c.193]

Собственные функции однородного интегрального уравнения с симметричным ядром ортогональны. Это означает, что [c.194]

Это однородное интегральное уравнение для определения dy b) db примет особенно простой вид, если ввести в качестве переменной интегрирования величину [c.271]

Это однородное интегральное уравнение (2.4) и его общее решение имеет вид [c.292]

Обратное предположение очевидно, и наше утверждение доказано С другой стороны, известно, что однородная задача, соответствующая (2.17), имеет лишь тривиальное решение для По , поэтому однородное интегральное уравнение, соответствующее (2.20), не имеет отличных от нуля решений [c.337]

Соответствующие однородные интегральные уравнения (/ = 0) обозначим теми же символами, снабжая их нижним индексом нуль. [c.352]

Учитывая свойства матрицы (х — у), и то, что г является решением однородного интегрального уравнения (11)0", будем иметь [c.355]

Решение единственно, несмотря на существование нетривиальных решений однородного интегрального уравнения, так как потенциал простого слоя, составленный с помощью этих решений, как плотностей, по теореме единственности есть тождественный нуль. Таким образом, доказана следующая [c.395]

Па теореме 2.8 соответствующее однородное интегральное уравнение [c.396]

Но однородные интегральные уравнения, соответствующие рассматриваемым неоднородным, при Rex > ag согласно теоремам единственности имеют лишь нулевые решения и, следовательно, неоднородные интегральные уравнения при Re х >> ag разрешимы для произвольных значений правых частей. [c.404]

Рассмотрим разные возможные случаи постановки задачи. Если штамп не перемещается вдоль своей оси, т. е. D t) = -D(O), из уравнения (7.46) следует, что контактные давления в процессе изнашивания стремятся к нулю ( оо = 0). Для нахождения искомых функций Qnip) = qn pb)/ bE ) и значений A имеем однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода р — г/Ь) [c.377]

Для определения собственных функций Uk r) и характеристических значений Af однородного интегрального уравнения Фредгольма (7.47) с вещественным, симметричным и положительно определённым ядром (7.48) использовался метод Келлога (см. [103]). Последовательные приближения находились по формуле [c.380]

Линн и Кумбасар [28] исследовали свободные колебания шарнирно опертых пластинок, также имеющих сквозные прямолинейные трещины. Они показали, что решение уравнения частот колебаний эквивалентно решению однородного уравнения Фредгольма первого рода. В их работе выявлено, что частоты свободных колебаний пластинки монотонно уменьшаются по мере увеличения длины трещины. Стал и Кир [29] исследовали свободные колебания и изгиб шарнирно опертой пластинки со сквозной трещиной и показали, что решение включает однородные интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Они также показали, что наличие трещины снижает собственные частоты колебаний Пластинки. [c.96]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...