О решениях для бесконечных областей

О решениях для бесконечных областей [c.303]

Перейдем к изложению расчетной схемы. При этом возникает весьма важный вопрос о переходе к конечной области. Предлагается задавать некоторую область (ее сечение в меридиональной плоскости ограничено контуром Г1 (см. рис. 77), а именно (2 = 2о, г = Я)) достаточно больших размеров так, чтобы влияние возмущения, вызванное переходом к конечной области, можно было устранить (в некоторой степени) выбором краевых условий. Исходным моментом являются рассуждения, приведенные в [68], при рассмотрении задачи о колебаниях струны ограниченных размеров, где показано, что при определенных граничных условиях не существует отраженных волн. Получаемое тогда рещение будет совпадать с решением для бесконечной струны. [c.643]

Формула (3.94) представляет собой решение конечно-разностного уравнения (3.93) при нулевых граничных условиях. Общее решение получается заменой в (3.94) V" на Л ", где л интерпретируется как показатель степени. Это конечно-разностное решение можно использовать для того, чтобы наглядно продемонстрировать некоторые свойства сходимости конечно-разностной схемы (3.93) (см, Рихтмайер и Мортон [1967]). Хотя (3.94) не является решением уравнения с конвективным и диффузионным членами, мы хотим вскоре обратиться к такому полному уравнению, избегая, однако, обсуждения вопроса о влиянии граничных условий. Это легко сделать (после дополнительной аппроксимации), анализируя устойчивость для бесконечной области согласно фон Нейману. [c.69]

При Гь = се внешняя задача ставится в бесконечной области, что неудобно при численном решении. В случае пузырька это неудобство обходится тем, что обычно внешнее граничное условие на Гь = оо вполне можно сносить на некоторый конечный радиус Tj,, который достаточно близок к г = а (т = 1). В случае же с каплей такой конечный радиус может оказаться многократно большим, чем радиус капли а, ибо для того, чтобы можно было рассматривать как бесконечность , необходимо, чтобы теплоемкость газа между я и rj, была многократно большей, чем теплоемкость капли или [c.275]

По аналогии с полем скоростей для внешней области будем искать решение системы (5.18а) в виде бесконечных степенных рядов (при этом учитываем, что при г = О скорости должны быть конечны) [c.212]

Чисто математический подход к задачам теории упругости приводит к необходимости рассматривать решения для таких абстрактных (но часто употребляемых в математической физике) областей, которые имеют неограниченную протяженность (как-то пространство с полостями, где ограничивающие поверхности являются замкнутыми), а также для областей, ограниченных простирающимися в бесконечность поверхностями (например, полупространство). Уже обращалось внимание на специфические особенности, возникающие при решении задач для этих областей (например, в 1 говорилось о теореме единственности для подобных областей). [c.303]

Для доказательства единственности внешних задач на основе формулы (12.16), кроме условий о поведении решения вблизи 2, необходимо еще учесть, что область 2) содержит бесконечно удаленную точку, и необходимо показать, что добавочное требование о регулярности и конечности потенциала ф вблизи бесконечно удаленной точки гарантирует сходимость интеграла (12.18), распространенного на бесконечную область интегрирования 3). Для решения этого вопроса ниже мы [c.165]

Наибольшее затруднение в использовании (18.173) для отыскания границ между устойчивыми и неустойчивыми состояниями системы состоит в большой сложности построения частных решений fl и Ь хотя бы в пределах первого периода. Областей динамической неустойчивости бесконечное множество. Общий характер расположения этих решений можно исследовать, предполагая, что периодическая составляющая внешней продольной силы очень мала. На рис. 18.113 этому соответствует область, примыкающая к оси абсцисс. Обнаруживается, что при р О решения с периодом 2Т лежат попарно вблизи частот 0 = 2П/А (к = 1, 3, 5,. ..), а решения с периодом Т — вблизи частот О. = 20/ к = 2, 4, 6,. ..). Оба случая объединяются формулой [c.462]

Знание набора нормальных мод в волноводе является важным фактом при решении вопросов практического их использования. Однако не менее важным является вопрос о способах и эффективности возбуждения того или иного типа волнового движения. Здесь картина оказывается значительно сложнее, чем в рассмотренной в главе 3 задаче о вынужденных колебаниях полупространства. Это усложнение физической картины приводит к постановке ряда сложных краевых задач, не все из которых имеют к настоящему времени достаточно полное решение. Наиболее простые задачи, возникающие при моделировании реальных ситуаций, относятся к бесконечному и полубесконечному волноводам. Для бесконечного волновода задача о возбуждении волн связана с заданием на некоторой части границы системы внешних воздействий — кинематические или силовые граничные условия. Вне этой области границы волновода считаются свободными. Задачи другого типа возникают при моделировании процесса возбуждения волн путем задания внешних усилий или смещений на торце полу-бесконечного волновода. Они оказываются намного сложнее для теоретического анализа. [c.241]

Чтобы подтвердить правильность этого решения, следует только отметить, что функция (9.4) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности. Кроме того, в точке (х, у, г ) оно стремится требуемым образом к бесконечности, а во всех остальных точках при О оно равно нулю. При х = 0 оно удовлетворяет нашему граничному условию, поскольку этими свойствами обладает решение (2.6) настоящей главы. Иным способом решение можно найти методом, изложенным в следуюш,ем параграфе. Решение для области j > О при начальной температуре f (х, у, г) и теплообмене со средой, имеющей температуру f (у, z, t), можно получить, воспользовавшись соотношением (1.2) данной главы. [c.364]

Нам бы хотелось также упомянуть о том, что один из алгоритмов метода граничных элементов для однородной области по своей форме эквивалентен методу конечных элементов с единственным конечным элементом , совпадающим со всей областью. Такой суперэлемент может быть добавлен к обычному набору конечных элементов, формирующемуся по стандартным правилам, для получения решения комбинированным методом. Одно из очевидных достоинств комбинированного подхода, присущее исключительно МГЭ, состоит в возможности простого и точного учета бесконечно удаленных границ. [c.10]

С другой стороны, внешние задачи (о полостях в бесконечных телах) при использовании метода разрывных смещений требуют несколько иного подхода. Как объяснено в 5.4, внутренняя задача связана с соответствующей внешней задачей, а решения для них отыскиваются одновременно. Поэтому необходимо задать условия, предотвращающие смещение внутренней области контура как жесткого целого, даже если нас интересует только внешняя задача. Если в рассматриваемой задаче есть две линии симметрии, то внутренняя область фиксируется относительно этих линий автоматически. Таким образом, (фиктивные) компоненты разрывов смещений определяются однозначно вдоль всего замкнутого контура, а смещения и напряжения для внешней области можно представить линейной комбинацией компонент разрывов смещений. Если же рассматриваемая задача не симметрична, тогда смещение внутренней области как жесткого целого предупреждается путем фиксирования смещений определенных точек внутри замкнутого контура, как показано на рис. 5.7. Это достигается введением в этих точках дополнительных граничных элементов и заданием смещений на их отрицательных сторонах, [c.98]

Необходимо заметить, что теорема взаимности Бетти по своей сути связывает решение двух различных краевых задач для одной и той же области. Она является следствием линейности уравнений равновесия и закона Гука- Само фундаментальное решение, которое базируется на рассмотрении задачи о сосредоточенной силе в бесконечной упругой среде, может быть интерпретировано как функция Грина для бесконечно упругой среды или функции влияния. [c.52]

Z < оо (г, (р, Z — цилиндрические координаты). Такую область здесь будем называть усеченным клином, так как исследование рассматриваемой задачи будет опираться на решение некоторых задач для бесконечного клина. [c.149]

Теорию, изложенную в общих чертах в разд. 6, можно применить для аналитического решения задач о сдвиговом течении газа в полубесконечной и бесконечной областях. Можно решить, например, следующую задачу. Пусть два полупространства разделены плоскостью л = О, и пусть первоначально газ в обеих областях имеет одинаковую плотность ро и температуру Го, но в области л > О он равномерно движется в направлении г со скоростью У, а в области л < О — в том же направлении со скоростью — V. Требуется найти эволюцию газа, включая сглаживание и диффузию разрыва скорости. Задачу можно решить [25], используя теорему полноты во всем пространстве для построения преобразования Лапласа. Можно даже получить аналитическое обращение преобразования Лапласа и записать решение для массовой скорости в виде [c.346]

Решение (7) конечно, когда С = 1, и поэтому оно годится для пространства внутри эллипсоида вращения выражение (8), наоборот, бесконечно для С = 1, но обращается в нуль для С = оо и годится поэтому для внешней области. Отметим частные случаи формулы (9) [c.176]

Как видно из результатов расчетов, выполненных в работах [24, 53, 54] и приведенных на фиг. 13, величина собственного значения а является критерием интенсивности передачи возмущений вверх по потоку. С ростом а эффект уменьшается. Поэтому, согласно данным, полученным в работах [55, 561 для течения на плоской пластине, при вдуве газа через поверхность тела эффект усиливается, а при охлаждении поверхности резко ослабевает. Весьма важным является вопрос о постановке дополнительного краевого условия, используемого для отбора единственного решения задачи. В работе [49] для течений с х > О (1) показано, что если решение для основной части тела [длиной Ах/Г) II не содержит особой точки, в которой трение обращается в бесконечность, то в конце области давление не может изменяться на порядок величины [c.259]

Неавтомодельные решения для течений разрежения оканчиваются особой точкой, в которой напряжение трения на теле и абсолютная величина градиента давления обращаются в бесконечность. Однако величина давления остается конечной и положительной, равной p . Вопрос об отборе решения в этом случае уточнен в работе [56], где показано, что при значениях донного давления рд [(л //) = 1] вопрос решается так же, как и для течений сжатия. В этой области значений Рд его изменение влияет на распределение давления по всей поверхности тела. Если Р1 > Рд > [2/(Т + 1)]< р1, то решение на основной части тела, т. е. при О < а // С 1, фиксировано и имеет ва конце особую точку. Это означает, что вблизи донного среза формируется область с большими локальными градиентами давления, в которой давление на теле меняется от до рд на расстояниях порядка толщины пограничного слоя /т. Изменение рд в указанных пределах влияет на течение только в локальной области. Дальнейшее уменьшение донного давления рд < [2/(у l)lv/(v- )p, уже не влияет на тече- [c.261]

Рассмотрим вопрос о том, в какой степени реализуются на практике предсказываемые линейно-упругой механикой разрушения упругодинамические поля напряжений. Суждение об адекватности поля напряжений, вычисленного согласно (1.26), и реального поля напряжений может быть основано на сравнении найденных аналитически и экспериментально коэффициентов интенсивности напряжений. Как это ни странно, но анализируя огромное число публикаций, можно вьщелить только несколько из них для подобного сравнения [73, 95 ]. Проблем здесь несколько. Аналитические решения известны, как правило, только для бесконечных областей с полубесконечной или конечной трещиной, эксперименты же проводятся на образцах малого размера. Поэтому сравнение результатов возможно только до начала взаимодействия отраженных от границ волн образца с вершиной трещины, т. е. или в очень короткий промежуток времени, изменяемый микросекундами (при использовании малых образцов), или в большем диапазоне (но при использовании образцов соответствующего размера). Кроме того, в аналитических решениях зависимость нагрузки от времени имеет вид функции Хевисайда, в экспериментах же появляется дополнительный параметр - скорость нагружения, причем известно, что она оказывает существенное влияние на инициацию разрушения. Отметим также, что эксперименты проводятся в пластинах, где наблюдается дисперсия волн и не всегда обеспечивается двухмерное напряженное состояние. [c.161]

Для бесконечной области 0 (внешние задачи). Определить в области В регулярный вектор и х)у который является решением системы А д , со) и — + М (х) = О, удовлетворяюи им на бесконечности условию упругого излучения и одному из граничных условий на 5 [c.423]

И при г — 3, = 0,25, Во = соотношению (1.7) нельзя удовлетворить (предполагается, что О С V С /г). Отсюда, имея в виду теорему Келдыша — Лаврентьева о представимости в конечной односвязной области гармонической функции равномерно сходящимся рядом гармонических полиномов, надо заключить, что представление (1.7) при V = 0,25 невозможно. Для бесконечной области с полостью в представлении Во следует заменить тг на — (га + 1), знаменатель в ряде (1.8) 4 (1 — V) + + га И- 1 не обращается в нуль ни при каком целом п и О < V < отбрасывание Во в этом случае законно. Аналогично доказывается, что решение (1.5) является общим для конечной односвязной области, не исключая V = 0,25, а для бесконечной области с полостью при V Ф 0,25. Более общие результаты можно найти у М. Г. Слободянского (1954). [c.7]

Метод кусочно-однородных решений эффективно применяется к задачам для бесконечных областей с несколькими линиями раздела граничных условий. В работе В. Г. Богового и Б. М. Нуллера ]77] рассмотрена осесимметричная задача о вдавливании осевой силой плоского кругового штампа в упругое полупространство при следующих условиях контакта иа полуплоскости 0= /2л [c.243]

В 3.2.5 было установлено, что знак величины д на экстремали постоянен. Если t < о, то в области (4.11) имеем 1 -а < 0. Из (3.23) тогда заключаем, что при движении по характеристикам второго семейства в сторону уменьшения rj) величина у уменьшается. Зависимость а у) или а(г) на экстремалях частный вид которой тфиведен на рие, 3.11, показывает, что такое движение по экстремалям ведет в сторону линии с бесконечными ускорениями, а в плоскости а,< — в сторону кривой VSU. Следовательно, в осесимметричном случае попытка отыскания решения одного из рассмотренных видов может привести к тому, что экстремаль не будет принадлежать целиком области П. Это обстоятельство приводит к новым ограничениям области существования найденных решений для внешних течений. Подобное ограничение не возникает, если > 0 в начальной точке экстремали, поскольку в этом случае 1 > 0 на всей экстремали. [c.126]

Вопрос о характере неустойчивости пограничного слоя по отношению к бесконечно малым возмущениям (абсолютном или конвективном) еще не имеет полного решения. Для профиля скоростей без точки перегиба неустойчивость является конвективной в той области значений R, где обе ветви нейтральной кривой (рис. 29, а) близки к оси абсцисс (сюда относится то же самое доказательство, что и для плоского пуазейлевого тече- [c.240]

Рассмотрим один пример, вызывавший довольно долго противоречивые мнения [76]. Ставилась задача о расчете напряжений в треугольнике (плоская задача), когда на одной грани приложено нормальное давление, пропорциональное расстоянию до угловой точки, на другой грани —равные нулю напряжения, а третья грань была закреплена ). Вместо нее решалась задача для клина, когда одна грань свободна от нагрузки, а на другой грани нормальная нагрузка пропорциональна расстоянию до вершины (т. е. условия истинной задачи переносились на клин, а граница, где были заданы смещения, отодвигалась в беско-I нечность). Такая задача элементарно решается методом разделения переменных. Однако полученное решение даже вблизи от вершины является ошибочным. Было дано разъяснение [96] и показано, что для такой области, как клин (при угле, большем некоторого), вследствие неединственности решения малые вариации краевых условий могут вызвать сколь угодно большие изменения в напряжениях. Более того, оказалось, что решение задачи для клина, когда на одной его грани приложена указанная нагрузка вплоть до некоторой точки, а дальше равна нулю при стремлении этой точки к бесконечности, не приводит к тому решению, которое получается методом разделения переменных. [c.304]

Перлин П. И. О свойствах бесконечных систем уравнений в задачах теории упругости для двусвязных тел. — В кн. Исследования по механике и прикладной математике. Тр. МФТИ, 5. — М. Оборопгиз, 1960. Поручиков В. Б. Решение динамических задач теории упругости для угловых областей со смешанными условиями. — ПММ, 1978, т. 42, вып. 5. [c.675]

Задача о напряженном и деформированном состоянии зуба и впадин резьбы от нагрузки, приложенной к грани зуба, решена методом Н.И. Мус-хелишвили [34]. Известно, что решение задачи теории упругости для односвязной бесконечной области при заданных на границе напряжениях Х и У сводится к нахождению двух аналитических функций ifiii O и в единичном круге, удовлетворяющих на контуре граничному условию [c.160]

Местный изгиб оболочки вблизи краев и в области приложения сосредоточенной нагрузки называется краевым эффектом. По мере удаления от края влияние местного изгиба быстро затухает (рис. 9.30). Из условия ограниченности решения на бесконечности в решении для и> ( с) следует положить Сз = О, С4 = О, если решение строится для области л > О (или С = О, j = О — для области х < 0). В результате получаем решение для полубесконеч-ной оболочки (х > 0) [c.422]

Предположим, что свободно опертая круговая цилиндрическая оболочка является замкнутой и.занимает область (О, I) в направлении продольной координаты %. Пусть далее Ф(5— о) —функция Грина для бесконечно длинной цилиндрической оболочки. Точка — это точка приложения сосредоточенного фактора, — точка, где ищется решение. Функция Ф зависит также и от аргумента Ф—фо, однако дJJя простоты мы его пока записывать не будем. Обозначим через ol5( , о) основную разрешающую функцию Грина для свободно опертой оболочки, через которую по формулам (6.15) можно получить решение граничной задачи. [c.274]

Формула (6.79) получена путем добавления к функции ifid, go) бесконечного числа частных решений однородного уравнения ф1(1. 5о+2А/)=0. То, что функция г л( , о+Ш) для кфО есть решение однородного урав1нения, очевидно, так как при любом значении go из области 0<1о<1 и при имеет место неравенство (go 2fe/) 0. Значит, Z) ( +go 2W)=0, /) ф( —go=F +2fe/)sO и согласно формулам (6.77) и (6.78) Z) ip(g, lo 2kl)=0. Ограничение 0поверхностная нагрузка не приложена к граничным контурам оболочки. [c.276]

Интегральные представления комплексных потенциалов Ф (г) и Y (г) (1.145) являются общим решением двумерной бигармони-ческой задачи, содержащим две произвольные комплексные функции g (/) и q (/) (или четыре действительные функции), что позволяет с их помощью изучать самые разные краевые задачи для областей с разрезали . В частности, удовлетворив с помощью представления (1.145) и формул (1.26), (1.30), (1.42) граничным условиям плоской задачи теории упругости для бесконечной плоскости с разрезами, когда на одном берегу разреза заданы смещения, а на другом — напряжения, найдем сингулярные интегральные уравнения второго рода. При использовании условий неидеального контакта упругих тел, когда напряжения и смещения берегов разреза связаны линейными зависимостями (см. [40, 172, 175, 261]), легко получить сингулярные интегро-дифференциальные уравнения типа Прандтля для тел с тонкостенными упругими включениями 238]. Интегральные представления могут быть использованы при решении различных смешанных задач для тел с разрезами, задач о полосах пластичности, моделируемых скачками перемещений [23], и др. [c.38]

Трещины ветвления. Пусть бесконечное пространство ослаблено основным разрезом Lq, из правого конца которого симметрично выходят два боковых разреза Li и L4 (см. рис. 13). Интегральные уравнения аитиплоской задачи теории упругости для такой области имеют вид (VI.70) (N — 4), где уг (х ) — Уз = О- Как следует из проведенного анализа особенностей решения в точках [c.199]

Следует заметить, что те же самые фиктивные элементарные компоненты разрывов смещений, какие использованы при вычислении результатов, данных выше для круглого диска, служат также для нахождения численного решения аналогичной задачи для внешней области. Это задача о бесконечном теле с круглым отверстием, находящемся под действием нормальных усилий а = —р на двух диаметрально расположенных дугах гранищл и свободном от нагрузок на остальной части границы. Напряжения и смещения в неограниченной области можно вычислить и для этой задачи с помощью программы TWODD, если выбрать точки вне круговой гранищ к [c.101]

К настоящему времени решены уже многие плоские задачи о напряженно-деформированном состоянии тел с отверстиями и трещинами, однако в основном они касаются случаев неограниченных областей (плоскость, полуплоскость, полоса). Изучение таких задач было начато Бови [135] и развито затем другими исследователями [И. 29, 30, 45, 65, 70, 95]. Данная глава посвящена решению задач об упругом равновесии конечной многосвязной области с трещинами и отверстиями, среди которых имеется хотя бы одно круговое. При этом, как и в предыдущей главе, понижен порядок исходной системы сингулярных интегральных уравнений при использовании общего аналитического решения первой основной задачи для бесконечной плоскости с круговым отверстием. Указанный подход позволяет более эффективно решать задачи для многосвязных областей различных внешних очертаний, ослабленных трещинами и круговым отверстием. При этом сравнительно легко могут быть рассмотрены случаи действия сосредоточенных или разрывных нагрузок на круговом граничном контуре, а также трещины, выходящие на край указанного отверстия. [c.183]

Существенный вклад в дальнейшее развитие теории упругости был внесен учеником Сен-Венана Ж. Вуссинеском. Ему принадлежит обширный трактат Приложение потенциалов к изучению равновесия и движения упругих тел... , в котором систематически рассмотрены задачи для бесконечных тел с заданием сил или смещений в малой области (на поверхности или внутри тела) Для построения общих решений Вуссинеск использовал ряд элементарных решений, даваемых различного рода потенциалами (прямыми, обратными и логарифмическими). В общем виде им рассмотрены задачи для полупространства с заданием на граничной плоскости трех компонент смещений (или напряжений), а также пары смещений (напряжений) и нормального напряжения (смещения) . Большой практический интерес представляют полученные решения задач для полупространства при задании вертикальной нагрузки и о давлении жесткого штампа. [c.56]

Теорию, разработанную в 6, мояшо применить для аналитического решения задач о сдвиговом течении газа в полубесконеч-ной и бесконечной областях. Можно, например, решать следующую задачу предполояшм, что два полупространства отделены друг от друга плоскостью х = О и первоначально газ имеет одну и ту же плотность ро и температуру в обеих областях. В области X > О газ течет однородно в направлении 2 со скоростью С/, [c.195]

Кольцевой в плане штамп. В монографии В. Л. Рвачева, В. С. Проценко [31] (гл. 9, 3) приведено решение задачи о штампе, который имеет в плане форму эллиптического кольца. Считается, что эллипсы соосны. Штамп нагружен вертикальной силой. В рассматриваемом случае область контакта очевидно является двусвязной, но это обстоятельство, как отмечается в [31], не является препятствием для применения структурного метода, так как функция, отвечаюш,ая за геометрию области контакта, может быть построена с помош,ью Л-функций практически для любых областей конечной или даже бесконечной связности. [c.138]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...