Метод бесконечных определителе

Метод бесконечных определителей 634 [c.1014]

Этот классический метод бесконечных определителей был математически обоснован в работах Пуанкаре и излагается в большинстве учебников применительно к линейным дифференциальным уравнениям в комплексной области. Возможно, будет достаточно, если мы скажем, что этот метод приводит к удобному способу фактического вычисления характеристических показателей и соответствующих решений вида (lOi) 144. Между тем соображения, приводившиеся в 140—144, гарантировали лишь существование характеристических показателей и соответствующих решений, но не указывали на подходящий метод их вычисления. [c.493]

Приравнивая нулю определитель этой системы, мы получим для параметра % алгебраическое уравнение, степень которого равна числу членов в представлении прогиба w, таким образом, если /с=1, 2,. .., п, мы получаем п значений % п п критических нагрузок. Но мы видели, что в действительности число критических нагрузок и соответственно форм потери устойчивости бесконечно велико. Поэтому естественно поставить вопрос о том, в каком отношении находятся приближенные значения Л, найденные описанным методом, и точные величины критических [c.418]

Вводные замечания. В ряде случаев исследование колебаний систем как с конечным, так и бесконечным числом степеней свободы описанными выше точными методами затруднительно вследствие большой математической сложности, состоящей либо в том, что дифференциальные уравнения имеют переменные коэффициенты, если, например, балка имеет неравномерное распределение масс и жесткостей вдоль оси, или в том, что порядок характеристического определителя очень высок и сложно не только решить характеристическое уравнение, но даже и составить его, т. е. раскрыть определитель. Встречаются случаи, в которых требуется быстрая, хотя бы и приближенная оценка динамических свойств системы. В перечисленных выше случаях приходится использовать или целесообразно использовать приближенные методы динамического анализа систем, состоящего в определении собственных частот колебаний, в установлении форм свободных колебаний, определении динамических коэффициентов и в проверке динамической прочности. В настоящем параграфе и рассматриваются такие методы. [c.238]

Произвольные постоянные Апт и Впт,ч определяются из условий (8.41). Для этого решение с помощью теоремы сложения (2.40) представляется в одной из систем координат. В результате удовлетворения граничным условиям получается бесконечная система. Заменяя неизвестные способом, применяемым выше, можно показать, что для вязко-упругих тел преобразованная система имеет определитель нормального типа. Поэтому ее приближенное решение ищется методом редукции. [c.202]

Для получения главной части движения узла можно использовать метод бесконечного определителя. Эта проблема фактически была решена Адамсом при помощи метода, отчасти сходного с методом Хилла для перигея. [c.317]

В ходе изложенного выше анализа Хилл пришел к методу бесконечных определителей. В то же время Адамс (проделавший несколько раньше Леверье работу, связанную с открытием Нептуна) также использовал этот метод (раньше Хилла) при рассмотрении уравнения (8) 481, служащего для определения наклонности. [c.493]

Уравнения (17.343) — это уравнения метода Бубнова — Галер-кина. На самом деле используется не бесконечное число членов в сумме, а ограниченное количество (п) этих членов тогда формула (17.343) дает систему конечного порядка и рещение методом Бубнова — Галеркина является приближенным, дающим верхнюю оценку для искомой величины. Если решается задача о свободных колебаниях, то / = 0 и система уравнений (17.343) относительно коэффициентов а, однородна, вследствие чего ее определитель для получения нетривиального (ненулевого) реще-ния должен быть равен нулю. Составленное таким образом условие нетривиальности решения системы (17.343) представляет собой частотное уравнение, корнями которого являются собственные частоты. Собственные векторы матрицы системы (17.343) определяют собой формы свободных колебаний ). [c.243]

Для К. — де Ф. у. найдены точные решения разл. вида, одно из осн.— солитон, или уединённая волна, и 2к h (к x—A-K l — амплитуда солитона и положение его центра xq — произвольные постоянные. Убывающее при х оо нач. возмущение, эволюционируя согласно К.— деФ. у., распадается на ряд невзаимодействующих солитонов, распространяющихся влево, и на осциллирующий и затухающий фон, распространяющийся вправо. Поведение решения при t- oo вычисляется по нач. данным. При помощи обратной задачи рассеяния метода можно найти для К,— де Ф. у. бесконечные наборы точных решений, простейшим является jV-солитовное и 2дЧиА/дх , где Д — определитель матрицы Д// = % + -Щ (х/ + ку)-1 ехр [— (я,- + xj) X +8х г], [c.468]

Хилл дал метод решения X. у. с использованием определителей бесконечного порядка. Это явилось толчком для создания теории таких определителей и далее для создания 3. Фредгольмом (Е. Fredholm) теории интегральных ур-ний. Для X, у. ставятся прежде всего задачи устойчивости решений, существования или отсутствия периодич. решений, Если в действительном случае в X. у. ввести [c.405]

Линейное уравнение вида (1.8) с периодическим коэффициентом p(t) общего вида впервые получено американским астрономом Дж. Хиллом в связи с задачей о движении перигея Луны и теперь носит его имя [55]. Дж. Хилл предложил метод решения этого уравнения с использованием определителей бесконечного порядка. Метод Хилла обсуждается в 4. Обобщение теории Хилла на случай системы уравнений дано Д. В. Трещевым и С. В. Болотиным оно изложено в добавлении 2. [c.86]

Данное трансцендентное уравнение является уравнением устойчивости упругой системы по МГЭ. Корни уравнения устойчивости определяют спектр критических сил, число которых (теоретически) бесконечно. Чтобы не пропустить первой критической силы, нужно начинать анализ поведения определителя (4.6) с достаточно малых значений сжимающих сил Г. Рекомендуется начальное значение Г выбирать из интервала (1/100 - 1/1000)Гть, где Гщь - минимальная критическая сила стержней основной системы метода перемещений. Шаг изменения сжимающей силы рекомендуется выбирать равным (1/100 - 1/1000) интервала, на котором выполняется поиск критических сил. Изменение знака определителя (4.6) или равенство его нулю свидетельствует о прохождении критической силы. Таким образом, методика определения критических сил не отличается от методики определения частот собственных колебаний упругих систем. Здесь можно использовать программы на языках ГоЛгап и Разса1 примеров №13, №14 с соответствующим изменением обозначений переменных. В рамках принятых допущений МГЭ позволяет определять точный спектр собственных значений (частот или критических сил). Однако, линеаризация дифференциальных уравнений и краевых условий, неучет деформаций [c.122]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...