Сравнение разностных схем

Сравнение разностных схем. Перечислим разностные схемы, выбранные для испытания на тестовых задачах А—монотонная схема 1-го порядка аппроксимации (3.5) В — консервативная монотонная схема 1-го порядка (3.29) С — монотонная схема 2-го порядка (3.7), (3.8) D — консервативная монотонная схема 2-го порядка (3.30) В—монотонная схема 4-го порядка аппроксимации (3,53) F — консервативная схема с центральными разностями 2-го порядка аппроксимации [c.119]

При 5=1/2 и х>1 из (7.43) получаем, что решение разностного уравнения колеблется около точного с амплитудой, не большей ао—а при увеличении шага эти колебания затухают довольно медленно. Тем не менее разностная схема при 5=1/2 дает решения, близкие к точному в тех областях, где величина ао—а мала по сравнению с а. Такие области соответствуют малым значениям г и течениям, близким к равнове- [c.205]

Следует отметить, что далеко не всегда измельчение сетки приводит при численном методе к уточнению стационарного температурного поля. Метод, используемый для решения, может оказаться при условиях конкретной задачи неустойчивым, т. е. при измельчении сетки будет давать решение, все более отличающееся от истинного. Поэтому для оценки точности численного решения при выбранном шаге и его проверки вообще целесообразно в нескольких узлах провести сравнение с аналитическим решением, если таковое существует. Например, для рассмотренной выше задачи разностная схема (6.7) неустойчива, поскольку температура на поверхности куба не является непрерывной функцией. Действительно, аналитическое решение для куба с ребром а при указанных выше граничных условиях имеет для точки с координатами х, у, г) вид бесконечного равномерно сходящегося ряда [33] [c.93]

Построение разностных схем. При построении разностных схем для многомерных задач обычно используется рассмотренный выше метод баланса. Для его применения необходимо разбить исследуемую область на элементарные объемы. Очевидно, что по сравнению с одномерным случаем, где элементарный объем всегда является отрезком, здесь имеется гораздо большее число видов этих объемов. Например, двумерную область можно разбить на элементарные объемы прямоугольной (рис. 3.11, а), треугольной (рис. 3,11, б) формы [c.111]

Для простой области прямоугольной формы описанная процедура составления разностной схемы на основе ее физической интерпретации не сильно облегчает работу по сравнению с формальным путем, однако для более сложных областей (см. рис. 3.12) она оказывается весьма полезной и позволяет избежать ошибок. [c.122]

Прежде всего отметим, что процедура построения уравнений в МКЭ имеет важную особенность по сравнению с методом конечных разностей. При построении конечно-разностной схемы мы рассматривали уравнение теплового баланса для элементарного объема, построенного около узла сетки с номером т (см. 3.3), и сразу получали т-е уравнение общей системы. В случае МКЭ в т-е уравнение системы (4.21) входит сумма производных от функционалов /<">, вычисленных для различных элементов, которые содержат узел с номером т. Поэтому при составлении каждого уравнения надо производить суммирование вкладов от разных элементов. Из-за этой особенности процедура построения системы уравнений МКЭ несколько менее наглядна, чем в случае конечных разностей, и при ее первоначальном изучении возникают некоторые трудности. Для простоты изложение начнем с разбора конкретного примера для области, изображенной на рис. 4.8 и состоящей всего из трех элементов, которые содержат пять узлов. [c.141]

Сигнал от тензометра поступает на схему сравнения < , разностный сигнал поступает на усилитель 4 и после усилителя -- на управляющую обмотку двигателя 6, который поворачивает через редуктор барабан лентопротяжного механизма и ползунок реохорда. При работе с сельсинной связью разностный сигнал схемы сравнения 12 сельсина-приемника 11 и сельсина-датчика 10 подается на усилитель 4, с выхода которого сигнал поступает на двигатель 6, который поворачивает барабан лентопротяжного механизма и ротор сельсина-приемника И до положения, в котором разностный сигнал от сельсинов близок к нулю. [c.437]

Дополняя полученную систему уравнений (8.19) разностными аналогами двух граничных условий на левом и двух на правом краях оболочки в соответствии с выражениями (8,5), получаем полную систему (N + 2) нелинейных уравнений с зависящей от решения правой частью и с (IV + 2) неизвестными. При этом порядок аппроксимации дифференциальных операторов разностными понижается с О (t ) на равномерной сетке внутри области до О (1) на ее границах. Однако этого можно избежать, используя на краях оболочки или более мелкую сетку, или более точные по сравнению с (8.18) разностные схемы. [c.159]

Ввиду того что в последнем примере число Маха было небольшим, сжимаемость играла малую роль. Этот пример выбран с тем, чтобы изучить возможность применения разностной схемы в области быстрого увеличения скорости и . Иногда в реальной задаче бывает возможным пренебречь эффектом сжимаемости в диапазоне М <0,5. Это в значительной степени зависит от размера области с М <0,5 по сравнению с полной областью рассматриваемой задачи. [c.348]

Решение динамических задач теории вязкоупругости при использовании сеточных методов не вызывает заметных усложнений по сравнению с квазистатическими задачами. Более того, оказывается, что явная схема для динамической задачи теории вязкоупругости может оказаться устойчивой, в то время как аналогичная схема для соответствующей упругой задачи таковой не является [76]. Для исследования разностных схем в случае динамической задачи теории вязкоупругости может быть применено Z-преобразоваНие. [c.321]

Как известно, для решения сложных многомерных задач газовой динамики разностными методами при наличии ударных волн часто вводят так называемую искусственную вязкость, которая размывает сильные разрывы. Для оценки же эффективности разностных схем с искусственной вязкостью необходимо сравнение приближенных, полученных численно, решений с точными решениями, структура которых отражает реальные особенности газовых потоков, в частности присутствие ударных волн. Построенные решения могут быть использованы в качестве эталона при оценке эффективности различных разностных методов. [c.205]

В табл. 1 приведены экспериментальные и теоретические частоты колебаний для пластинки с центральным вырезом. Черными точками на рисунках табл. 1 обозначены узлы конечно-разностной сетки, в которых при теоретическом исследовании были получены максимальные амплитуды и соответствующие им формы свободных колебаний. Как видно, в случае использования улучшенной конечно-разностной схемы результаты получаются значительно более точные. Сравнение теоретических и экспериментальных данных показывает хорошее совпадение, и различия между ними не превышают 1,5% для основной формы колебаний и 3 % для более высоких. Очевидно, что для высших форм колебаний точность результатов, полученных методом конечных разностей, снижается. Общей закономерностью, как видно из схем табл. 1, является то, что максимальные амплитуды колебаний имеют место около краев выреза. [c.124]

Заметим, что если при расчетах отслаивание не учитывать, то точки контакта надо рассчитывать по формулам (VII.21) в силу их простоты и более высокой точности в случаях крутых волновых фронтов. Описанные выше разностные схемы имеют по координатам второй, а по времени — первый порядок точности. Шаг по времени, обеспечивающий устойчивость вычислений, находят путем численных экспериментов. При этом пристрелочное значение шага находят из условия Куранта. Необходимая точность решения достигалась дроблением сеточной области. Сравнение результатов, полученных на различных сетках, показало, сколько узлов дискретизации необходимо для удовлетворения высокой точности. Укажем, что при очень больших г доминирующими членами разрешающей системы уравнений становятся вязкостные члены и разработанная явная численная схема теряет устойчивость. [c.203]

Описанная процедура эффективна при использовании во внутренних узлах устойчивых разностных схем, например схем переменных направлений (4.34) — (4.37), которые допускают большие шаги по времени. По сравнению с традиционным способом вычисления завихренности на стенке она позволяет увеличить шаг т в 5—10, а иногда и более раз. Однако при больших числах Рэлея (Ка>10 ) сказывается сглаживающий эффект этого метода, который может привести к ощутимой потере точности и требующий поэтому значительного сгущения сетки в пристеночном слое. Тем не менее метод нашел применение во многих отечественных работах по ЕК, в том числе и в исследованиях по турбулентной конвекции [45—47]. [c.104]

На промежутке Ка 10 все схемы дали близкие решения— разница в результатах, полученных на сетках с шагом /г 1/20, при Ка=10 и Ка=10 не превышала соответственно 1 % и 10 %. При таких Ка практическая ценность громоздкой по конструкции схемы Е невелика, несмотря на высокий порядок аппроксимации. Предпочтительнее здесь выглядит схема О, которая так же проста и так же быстра , как и схемы А, В, С, но обладает несколько лучшими аппроксимационными свойствами. При низких числах Рэлея (Ка Ю ) некоторый выигрыш по затратам машинного времени дает центрально-разностная схема Р он достигается за счет меньшего на 10—15 % по сравнению со схемой О количества арифметических действий, приходящихся на одну итерацию. [c.121]

В последние годы предложено несколько методов численного интегрирования релаксационных уравнений. Наиболее эффективными и универсальными из них являются методы, основанные на использовании неявных разностных схем [8, 10, 27]. Основное требование к таким методам — возможность расчета по единой схеме с высокой точностью как областей, где все или несколько неравновесных параметров близки к равновесным значениям, так и тех областей, где имеет место заметное отклонение от них. Ниже дается обоснование выбора неявных разностных схем для расчета релаксационных уравнений. Неявные схемы позволяют на несколько порядков увеличить шаг интегрирования по сравнению с явными. [c.104]

В этом разделе мы сопоставим области влияния уравнений в частных производных и соответствующих конечно-разностных уравнений. Нашей целью будет показать, как при помощи конечных разностей против потока удается сохранить некоторое подобие правильного поведения характеристик дифференциальных уравнений. Отметим также, что в этом случае ошибки аппроксимации по пространственной переменной не столь сильно возрастают по сравнению со схемами с центральными разностями. [c.356]

Таким образом, неудачный выбор коэффициента вязкости приводит к неустойчивости схемы даже при выполнении критерия Куранта. Другими словами, вязкие члены могут ухудшать устойчивость разностной схемы по сравнению со случаем, когда диссипация отсутствует. [c.184]

Распределенные интерференционные аэродинамические нагрузки для случая двух тел определены численно А.Н. Кравцовым с помощью комплекса программ, описанного в [10]. В этих программах обтекание тела (системы тел) сверхзвуковым потоком газа рассчитывается маршевым методом с выделением основных ударных волн и при отсутствии в поле течения дозвуковых зон. Конечно-разностная схема (Мак-Кормака) имеет второй порядок точности. Заметим, что численное решение задачи обтекания тел с ярко выраженными областями разрежения (в данном случае это течения Прандтля - Майера в окрестности изломов образующей тела при переходе от конического носка к цилиндрической части корпуса) даже в случае выделения ударных волн в качестве разрывов имеет лишь первый порядок точности из-за разрывов первых производных газодинамических функций на начальных характеристиках вееров разрежения. Тем не менее, как показывают сравнения, выполненные в [10], эксперимент и расчет дают очень близкие результаты по силовым и моментным характеристикам для тел рассматриваемого класса. [c.194]

Рассматриваемые в главах 3—5 численные методы расчета позволяют решать значительно более широкие классы задач по сравнению с аналитическими методами. Однако тем не менее использование точных аналитических решений при расчетах на ЭВМ температурных полей в ряде случаев весьма полезно. Это вызвано следующими обстоятельствами. Во-первых, эти решения используют в качестве тестовых при анализе различных численных схем. Во-вторых, применение аналитических решений часто позволяет существенно сократить затраты машинного времени и памяти, так как число пространственно-временных точек, в которых находятся значения искомой функции, определяется только объемом требуемой информации об исследуемом процессе. При использовании же численных методов число узлов пространственно-временной сетки, необходимое для получения разностного решения с удовлетворительной точностью, как правило, оказывается существенно большим. Кроме того, реализация многих раз- [c.50]

Решение системы разностных уравнений. Вернемся к задаче (3.73)—(3.75). В случае использования явной схемы алгоритм расчета не имеет существенных особенностей по сравнению с одномерным случаем. Он сводится к повторяющимся вычислениям значений сеточной функции и п, т на новом /-М временном слое по явным [c.114]

Принцип работы схемы заключается в следующем. Сигналы с рабочего и опорного детекторов поступают на схему отношений, с которой снимается выходное напряжение через блок задержки. Положительные разностные импульсы суммируются, а результат после сравнения с установленным порогом регистрируется в случае его превышения как сигнал о появлении де- [c.380]

Схема комбинированного метода сравнения частот проста (фиг. 21). В положении переключателя 1 модулятор заземлен разностная частота определяется путем измерения периода повторения фигуры синусоидальной развертки. Для установления знака при разностной частоте наблюдают направление движения разделенной фигуры, возникающей при подаче напряжения низшей частоты на модулятор. Для получения этой фигуры растягивают фигуру синусоидальной развертки за пределы экрана осциллографа, устанавливают небольшую яркость свечения и, переводя переключатель в положение 2 фокусируют электронный луч. В случае необходимости незначительно регулируют интенсивность электронного луча, а затем и его фокусировку до получения ярких отчетливых светящихся линий. Разделенная фигура, перемещающаяся слева направо или справа налево, позволяет установить знак при разностной частоте, если предварительно, пользуясь вспомогательным генератором, определить, какому направлению движения фигуры соответствует положительное приращение одной из сравниваемых частот. [c.440]

Генерация гармоник, суммарных и разностных частот играет важную роль для применений в квантовой электронике и в спектроскопии. Как уже было объяснено в разд. В.1 и в ч. I, с помощью этих процессов возможно преобразование света с подходящими свойствами (мощность, когерентность, временное поведение) в такие спектральные области, в которых не существует хороших источников или в которых создаются благоприятные предпосылки для детектирования. В подходящих материалах, при использовании соответствующих резонаторных схем и при согласовании фаз может быть достигнуто почти полное преобразование излучения. Существенный прогресс был достигнут в последние годы в области генерации гармоник, суммарных и разностных частот в волноводах, благодаря чему открылись новые перспективы в применениях интегральной оптики (ср. [3.14-1]). Следует отметить, что благодаря зависимости скорости распространения света определенной длины волны от свойств поперечной моды, в которой это распространение происходит, появляются дополнительные возможности для согласования фаз по сравнению с компактной средой. [c.336]

Порядок проведения численной проце,цуры, связанный с правилом перебора ячеек рассматриваемой области, подробно описан в работе. Там е, на примере модельного уравнения проведен анализ устойчивости дву Сло,.ного по времени неявного разностного оператора. Следует отметить, что применение трехслойной по времени неявной разностной схемы (9) по сравнению с двухслойной позволило увеличить допустимый шаг по времени Г в 2 раза. При этом величина г практически не зависала от способа аппроксимации плотностей Т. [c.28]

Для понимания нелинейных явлений в волоконных световодах необходимо рассмотреть теорию распространения электромагнитных волн в нелинейной среде с дисперсией. Цель этой главы-получить основное уравнение распространения оптических импульсов в одномодовых световодах, В разд. 2,1 вводятся уравнения Максвелла и основные понятия, такие, как линейная и нелинейная индуцированная поляризация и диэлектрическая проницаемость, зависящая от частоты. Понятие мод волоконного световода вводится в разд, 2,2, в котором обсуждается также, при каком условии световод будет одномодовым, В разд. 2,3 рассматривается теория распространения импульсов в нелинейной среде с дисперсией в приближении медленно меняющихся амплитуд в предположении, что ширина спектра импульса много меньше частоты электромагнитного поля, В разд. 2,4 обсуждаются численные методы, используемые для решения уравнения распространения. Особое внимание уделено методу расщепления по физическим факторам с использованием быстрого преобразования Фурье на дисперсионном шаге (SSFM) он отличается большей скоростью счета по сравнению с большинством разностных схем. [c.33]

Заключение. Создана математическая модель новой схемы сверхзвукового пульсирующего детонационного прямоточного двигателя -СПДПД . Пульсирующий нестационарный процесс в нем инициируется периодическими изменениями режима подачи топлива, а специальный источник зажигания нужен лишь для запуска. Нестационарное течение в цилиндрической детонационной камере и в сопле рассчитывается интегрированием уравнений одномерной нестационарной газовой динамики с помощью монотонной разностной схемы второго порядка аппроксимации с выделяемыми явно детонационными волнами и главными контактными разрывами. Для сравнения характеристик СПДПД и его стационарных альтернатив с до- и сверхзвуковым го- [c.111]

С конца бО-х годов наряду с методом характеристик для расчета сверхзвуковых течений в ЛАБОРАТОРИИ интенсивно развивались методы расчета нестационарных течений, а на их основе с использованием процесса установления - стационарных смешанных (с переходом через скорость звука) течений. Для таких расчетов в качестве базовой была взята монотонная разностная схема, предложенная С. К. Годуновым в 1959 г. [15] для расчета нестационарных течений. В основе численной реализации этой схемы (далее схемы Годунова -СГ) лежит решение задачи о распаде произвольного разрыва, в силу чего СГ получила название раснадной . К концу бО-х годов в аэро- и газодинамических приложениях были известны лишь единичные примеры ее применения. К тому же полученные в них результаты не отличались высоким качеством по сравнению с результатами, полученными в те годы другими методами. В противоположность этому первая же выполненная в ЛАБОРАТОРИИ работа по применению СГ ([16, 17] и Глава 7.2) к решению прямой задачи теории сопла Лаваля продемонстрировала несомненные достоинства указанной схемы. Существенным моментом для успеха применения СГ для расчета смешанных течений стало обнаружение ситуаций, при которых в задаче о распаде разрыва граница разностной ячейки попадает в волну разрежения. Такие ситуации неизбежно возникают вблизи звуковых линий при расчете смешанных течений методом установления. Однако в двумерных задачах они, снижая точность результатов, оставались незамеченными. Указанная возможность была обнаружена при решении в одномерном приближении задачи о запуске ударной трубы переменной площади поперечного сечения ([18] и Глава 7.3). Предложенный тогда же элементарный способ учета подобных ситуаций стал неотъемлемой принадлежностью любых реализаций раснадных схем. [c.115]

Ниже для расчета нестационарного двумерного течения в осесимметричной ударной трубе применен численный метод, предложенный в [6]. Ранее с его помощью выполнен анализ расчетных и нерасчетных режимов течения в соплах [7, 8]. Особенностью данной разностной схемы является сквозной счет сильных разрывов, которые представляют собой области с резкими градиентами параметров. С целью оценки эффектов размазывания для цилиндрической ударной трубы проведено сравнение с точным решением и с результатами, полученными в [9] по разностным схемам типа Лакса-Вендрова. [c.134]

На ЭВМ БЭСМ-4 были проведены вычисления прогибов и моментов для оболочки с двумя жесткими слоями и различными условиями на торце (заделка, опирание, свободный край). В качестве примера на рис. 5 и 6 представлены результаты для заделанного торца. Сплошной линией показано точное решение, штриховой — применение метода ортогональной прогонки, штрнхпун-ктирной — результаты использования разностной схемы. Сопоставление результатов свидетельствует о незначительном расхождении точного и приближенных решений при сравнении прогибов. 6 83 [c.83]

Комбинированная разностная схема обладает улучшенными по сравнению со схемой Лакса — Вендроффа диссипационно-дисперсионными характеристиками. Порядок точности комбинированной схемы приближается к третьему. [c.145]

При 5 = 1/2 и X > 1 из (2.5) следует, что решение разностного уравнения колеблется около точного с амплитудой, не большей ао —а , и при увеличении шагов эти колебания затухают медленно. Тем не менее разностная схема при 5 = 1/2 дает решения, близкие к точному в тех областях, где величина ао а мала по сравнению с а. Такие области соответствуют малым значениям т и течениям, близким к равновесию. В тех же областях, где т велико, а течение сугцественно отклоняется от равновесного (нанример, в угловой точке или за ударно волной), величина ко—а может быть сравнима с а и использование разностной схемы нри 5=1/2 может приводить к большим ошибкам. Кроме того, как показывает рассмотрение модельного уравнения при 5 = 1/2 и больших X, ошибка в начальных данных затухает лишь после значительного числа шагов. Это обстоятельство может затруднять отход от начальных точек вблизи равновесия, особенно для многокомнонентной смеси. [c.63]

Суммируя результаты теоретического анализа и численных расчетов, мы можем заключить, что при расчете задач газовой динамики иолностью консервативные разностные схемы дают определенные количественные преимущества по сравнению с другими схемами того же порядка аппроксимации, в том числе и классическими консервативными схемами. Эти преимущества проявляются при расчете быстропеременных во времени и про-страпстпо решений па грубых роменпых разностных сетках, когда фактически неприменимо понятие аппроксимации. [c.139]

Вместе с тем понято, что разные задачи и даже этапы проектирования (например, моделирование испытаний в сравнении с анализом выполнимости ТЗ) требуют разного уровня адекватности модели объекта, а следовательно, и ее изменения. Следствием указанного является требование адаптируемости модели - ее способности принимать ту конфигурацию, которая необходима для конкретного применения. Соответственно должна быть предусмотрена и возможность использования моделей разного уровня. Например, при описании электрюмеханическо-го преобразования энергии предусматривается переход от уравнений обобщенного ЭМУ к схеме замещения, соответствующей конкретному его типу, а в дальнейшем и к модели в терминах первичных параметров (геометрические размеры, обмоточные данные, свойства материалов и пр.) (рис. 1.4). Аналогично при применении конечно-разностной [c.99]

При работе с сельсиппой связью сельсин-приемник 17 соединяется через редуктор с двигателем 12, разностный сигнал со схемы сравнения 20 сельсина-датчика 16 и сельсина-приемни-ка 17 подается на вход усилителя мощности 3. В этом случае указатель шкалы и перо перемещаются пропорционально углу поворота сельсина-приемника 17. [c.436]

В работе [Л. 431] также исследовался процесс радиационно-конвективного теплообмена в плоском канале, но в более упрощенной по сравнению с [Л. 104] постановке (перенос излучения рассматривался в дифференциально-разностном приближении, была произведена линеаризация четвертой степени температуры, а источники тепла за счет охлаждения среды принимались равномерно распределенными ио слою). Эта задача так же, как и в работе [Л. 104], была сведена по существу к рассмотрению одномерной схемы радиационно-кондуктив-ного теплообмена с источниками по толщине слоя. [c.401]

Если учесть более благоприятные условия в смысле устойчивости и точности, то неявные уравнения предпочтительнее явных. Однако в случае кратковременных процессов и процессов с переменными краевыми условиями неявные уравнения теряют свои преимущества в отношении как устойчивости, так и точности по сравнению с явными, а метод расчета становится сложным вследствие неявности и необходимости решения системы алгебраических уравнений. Следует отметить, что если отношение шага интегрирования по времени неявного метода к соответствующему шагу интегрирования явного меньше трех, то количество алгебраических операций в неявном методе будет больше, чем в явном методе расчета. В этом случае явная схема расчета предпочтительнее неявной. Следует также иметь в виду, что в реальных условиях работа конструктивных элементов происходит при переменных краевых условиях. Постоянные условия теплообмена на практике встречаются крайне редко. Чтобы учесть изменение условий теплообмена, как правило, приходится принимать малый шаг интегрирования по времени. Кроме того, как было уже отмечено, численный метод будет нами использован для расчета процессов с малым временем теплового воздействия. В связи с указанным приходим к выводу, что для расчета нестационарных тепловых процессов в элементах конструкции тепловых двигателей явные конечно-разностные уравнения предпочтительнее неявных. Поэтому при изложении численных методов расчета основное внимание будет сосредоточено на явных уравнениях и на явном методе расчета. Неявный метод ргсчета изложен в 2-9. [c.39]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...