Лакса схема

Оказывается, несмотря на первый порядок точности схемы Лакса, схема (3.12), (3.13) имеют второй порядок точности, так как в силу симметричности расположения полуцелых узлов в шаблоне схемы крест главные члены погрешности (3.12) компенсируются. Это нетрудно показать, используя формулу Тейлора. При этом удобнее исключить из (3.13) значения функции в полуцелых узлах. Имеем [c.79]

Схемы (3.9), (3.10) имеют второй порядок точности. Рассмотрим теперь схему Лакса (рис. 3.2, в) [c.78]

Построим на основе схемы Лакса двухслойную явную схему второго порядка точности. Ее шаблон (рис. 3.2, г) помимо основных узлов т—1,п), т, п), т+1,п), т, м+1) содержит два вспомогательных или полуцелых узла (т—1/2, м+1/2), (т+1/2, п+1/2). Значение определяют в два этапа. На первом этапе вычисляют значения искомой функции в полуцелых узлах по схеме Лакса [c.79]

Опишем явную схему типа предиктор — корректор, которая аппроксимирует систему (3.66). Сначала по схеме Лакса вычисляют значения w +V/iz, Имеем [c.97]

Одной из таких схем является схема Лакса, которая в случае модельного уравнения (6.5) имеет следующий вид [c.159]

Как показывает опыт, схема Лакса сильно размазывает любые разрывы, точность ее невелика, и в ряде случаев эта приводит к искажению качественных свойств решения. [c.159]

В приведенной форме метод Лакса—Вендроффа является явным и имеет второй порядок точности. Он дает хорошие результаты для гладких течений при отсутствии резких градиентов и разрывов. В общем случае, когда присутствуют сильные ударные волны, необходимо добавлять в уравнения искусственную вязкость. Различные модификации этого метода широко используются в аэродинамических расчетах. В последнее время широкое применение нашла схема того же порядка аппроксимации — схема Мак —Кормака [32]. Оба подхода дают одну и ту же окончательную разностную формулу для одномерных уравнений в консервативной форме (1.21) —(1.23), но формулы для двумерных уравнений различны. Обзор по рассматриваемому вопросу можно найти, например, в [33]. [c.39]

В работе [19] проанализированы ошибки различных конечно-разностных методов решения задачи о распространении ударных волн в трубе, заполненной газом. Рекомендуется решение указанной задачи с помощью комбинированной схемы, состоящей из двухшаговой схемы Лакса — Вендроффа и метода коррекции потоков. Такой вывод согласуется с широко известными фактами высокой точности двухшагового метода Лакса — Вендроффа при изучении широкого класса нестационарных течений жидкости [172] и метода коррекции потоков при расчете ударных волн [28]. [c.144]

Исходя из сказанного выше, для исследования кавитационных колебаний жидкости выбрали комбинацию двухшаговой схемы Лакса — Вендроффа с методом коррекции потоков. [c.144]

Двухшаговая схема Лакса — Вендроффа заключается в следующем [c.144]

Естественно, что решения, построенные в рамках редукционной схемы, полностью совпадают с выражениями, вытекающими в случае серии Аг из общей формулы (1.12), полученной на основе представления типа Лакса. Для того чтобы в этом убедиться, следует воспользоваться явным выражением для старших векторов фундаментальных представлений алгебры А, в виде полинома от соответствующих кратных интегралов. [c.150]

В этой главе предлагается общая схема построения солитонных решений динамических систем без обращения к матричной реализации представления типа Лакса. Если в методе обратной задачи рассеяния, с помощью которого находятся солитонные решения, удачный выбор Л-пары существенно облегчает все расчеты и, вообще, позволяет их провести, то развиваемая ниже конструкция инвариантна относительно выбора конкретного представления алгебры внутренней симметрии и апеллирует непосредственно к свойствам алгебры. Л-пара в этой конструкции заменяется системой линейных уравнений высших размерностей на одну единственную скалярную функцию, условием совместности которых и является уравнение исходной динамической системы. [c.192]

По решению, известному в этих узлах, с помощью схемы Лакса определяется решение в промежуточных узлах а, Ь,с, й на слое га + Я, отстоящем от нижнего на временной интервал ЯЛi. Затем по узлам /, а, Ь, с, й, е, используя схему крест , получим решение в узле / с индексами т, к на слое п + [c.106]

Уравнение (3.219) в том виде, как оно записано, является безусловно неустойчивым уравнением со слабой расходимостью, обусловленной тем, что здесь множитель перехода имеет вид G = 1 +0(А/2) см. Лилли [1965]. Так как неустойчивость слабая, эту схему можно использовать для расчетов нестационарных течений невязкой жидкости при условии, что полное время решения невелико. Лилли [1965] обнаружил, что эта схема точнее схемы Лакса — Вендроффа [1964] (см. разд. 5.5.5). Наличие вязких членов в уравнении (3.220) стабилизирует это уравнение, давая возможность выбрать шаг М в зависимости от числа Рейнольдса Re (см. задачу 3.11). [c.116]

Эти два способа вывода схемы, один из которых основывается на квадратичной интерполяции по пространственной переменной, а другой — на разложении второй производной по времени, приводят к одинаковым результатам, так как уравнение (3.226) дает связь между производными и д%/дх . Однако эта связь справедлива только в случае уравнения для невязкой жидкости при постоянном и. В этом случае схема Лейта совпадает со схемой Лакса — Вендроффа и другими двухшаговыми схемами Лакса — Вендроффа, основанными на разложении по времени (см. гл. 5). [c.120]

Рис< 5.1. Расчет распространения ударной волны при М = 3 на эйлеровой сетке при помощи двухшаговых схем Лакса - Вендроффа с максимальным числом Куранта 0.95. По оси абсцисс отложено расстояние, по оси ординат — давление. Ударная волна распространяется слева направо. Показаны распределения давления через равные промежутки времени. (Заимствовано из работы Тайлера [1970].) а — двухшаговая схема Рихтмайера, 6, = 0 б — модифицированная схема Мак-Кормака, 6,=0 в — двухшаговая схема Рихтмайера, 6i = 0,15 г — модифицированная схема Мак-Кормака, 6, =0 325 [c.343]

Эту разностную схему называют схемой чехарда или схемой Лакса — Вендрофа. [c.79]

Схема Лакса и схема Годунова обладают свойством монотонности при переходе от п к п+ сохраняется монотонный характер решения. Обе схемы имеют первый порядок точности по времени, и это не случайное совиадеине. Свойство сохранения монотонности присуще только схемам первого порядка [c.159]

Установление в соплах с замкнутым контуром происходило быстрее, чем в соплах с разомкнутой дозвуковой частью, где наиболее медленно устанавливалась область малых дозвуковых скоростей. Использованная разностная схема несмотря на кажущуюся сложность весьма проста при реализации на ЭВМ, причем время счета одного слоя существенно меньше, чем например, для модифицированной Моретти и Аббетом схемы Лакса-Вендрова [15. [c.133]

Ниже для расчета нестационарного двумерного течения в осесимметричной ударной трубе применен численный метод, предложенный в [6]. Ранее с его помощью выполнен анализ расчетных и нерасчетных режимов течения в соплах [7, 8]. Особенностью данной разностной схемы является сквозной счет сильных разрывов, которые представляют собой области с резкими градиентами параметров. С целью оценки эффектов размазывания для цилиндрической ударной трубы проведено сравнение с точным решением и с результатами, полученными в [9] по разностным схемам типа Лакса-Вендрова. [c.134]

Предложена новая разностная схема первого порядка, являющаяся стационарным аналогом известной схемы С. К. Годунова [1, 2] для нестационарных течений. При расчете нестационарных течений, а также стационарных течений с применением процесса установления схема С. К. Годунова обеспечивает меньпЕее размазывание ударных волн, чем, например, разностная схема Лакса (или ее модификации) того же порядка аппроксимации [3, 4]. Аналогичным свойством слабого размазывания ударных волн обладает и схема, предложенная в данной работе. Указанная схема оказалась весьма простой с точки зрения реализации на ЭВМ, что оправдывает ее использования для расчета не только разрывных, но и гладких течений. Эффективность развитого метода иллюстрируется примерами расчета двумерных потоков. [c.141]

Все остальные коммутаторы равны нулю. Пользуясь зтими коммутационными соотношениями, можно построить явную реализацию этой алгебры с помощью матриц или дифференциальных операторов. Матричная реализация даст нам обычную пару Лакса, которую можно будет потом использовать для реализации схемы метода обратной за-х ачи. Обратим здесь внимание на скалярный параметр А, который появился в формуле (2.3) при введении линейной зависимости между операторами Уб, 1, 2- Он играет роль спектрального параметра и существенным образом используется в методе обратной задачи. Наличие этого дополнительного параметра указывает и на то, что с данным [c.18]

Комбинированная разностная схема обладает улучшенными по сравнению со схемой Лакса — Вендроффа диссипационно-дисперсионными характеристиками. Порядок точности комбинированной схемы приближается к третьему. [c.145]

При расчете разрывных решений обычно используются консервативные уравнения, т. е. уравнения в виде законов сохранения, и консервативные (дивергентные) разностные схемы. Прежде всего нун но отметить работу [248], в которой для одномерных дивергентных уравнений газовой динамики разработана разностная схема второго порядка точности. Весьма удобный для расчетов вариант этой схемы разработал Рихтмайер [161]. Он предложил двухшаговый вариант (консервативную схему предиктор-корректор), который в 1962 году обобщил на двумерные нестационарные уравнения. Разностные схемы этого типа носят название схем Лакса — Вепд-роффа. Аналогичная двухшаговая схема для двумерных нестационарных уравнений в неконсервативной форме была предложена в [61, 164, 168]. Стационарный вариант консервативной двухшаговой схемы в случае двух и трех переменных разработан в [125, 126, 165, 167]. Различные варианты двухшаговой схемы рассматривались в [14, 85, 258]. [c.88]

К классу схем сквозного счета относятся некоторые разностные схемы, в которых вязкость не присутствует в явном виде. Отметим схему Лакса [247], которая имеет первый порядок точности и воспроизводит монотонный профиль решения в зоне разрыва благодаря наличию аппроксимационной вязкости. В работе [223] приведена двухшаговая схема типа Лакса — Вендроффа второго порядка точности, сохраняюш,ая монотонность на разрывах вследствие специального выбора шага промежуточного слоя. С. К. Годунов [37] разработал для нестационарных уравпений газово динамики разностную схему первого порядка точности, основанную на аппроксимации интегральных законов сохранения. В работах [73, 74] опа перенесена на случай стационарных течений газа. Обоснование этой схемы и многочисленные применения содержатся в работе [37]. Дальнейшим развитием схемы С. К. Годунова явилась разработка монотонной разностной схемы второго порядка точности в работе [96]. Для сквозного счета, во всяком случае для не очень сильных ударных волн, представляют интерес также так называемые Я-схе-мы [254]. [c.89]

В плоскости X, i зададим сетку с узлами = хо + тк, = пх и вспомогательные узлы с полуцелыми индексами т + 1/2, п + X. Переход от слоя па слох осуществляется в два этапа. Вначале определяются параметры течения в полуцелых узлах. Для этого используется трехточечная схема Лакса [247] [c.93]

В работе Лакса, опубликованной в 1954 г., сама численная схема гораздо менее важна, чем использованная форма дифференциальных уравнений — консервативная форма. Лаке показал, что преобразованием обычных уравнений гидродинамики, в которых зависимыми переменными являются скорость, плотность и температура, можно получить систему уравнений, в которой в качестве зависимых переменных служат количество движения, плотность и удельная внутренняя энергия торможения. Эта новая система уравнений отражает сущность физических законов сохранения и позволяет сохранять интегральные характеристики течения в конечно-разностной схеме. Такая система уравнений широко используется в настоящее время для расчета распространения ударных волн независимо от применяемых конечно-разностных схем, поскольку скорость плоской ударной волны точно рассчитывается любой устойчивой схемой (см. Лонгли [1960] и Гари [1964]). [c.23]

Размазывание ударной волны при помощи неявной схемной вязкости осуществляется и в некоторых других методах. Так, в настоящее время широко применяется схема Лакса — Вендроффа [1960] и ее двухшаговые варианты, например схема Рихтмайера (см. Рихтмайер [1963]). В методе PI и в его модификации EI (метод взрыва в ячейках), разработанной в 1964 г. Мадером, размазывание скачков достигается за счет введения конечного числа рассчитываемых частиц. Этот прием дает также возможность рассматривать поверхности раздела в жидкости (см. Харлоу и Уэлч [1965, 1966], а также Дали [1967]). В методе PI , как и в более раннем методе Куранта — Изаксона — Риса [1952], используются односторонние разности для первых производных по пространству и таким образом вводится своего рода схемная вязкость (см. гл. 3), однако эти методы сохраняют истинные характеристические свойства дифференциальных уравнений. Хотя во всех этих методах неявно используются диссипативные члены, размазывающие ударные волны, для обеспечения устойчивости каждого из них в некоторых частных случаях требуется введение дополнительных членов с явной искусственной вязкостью. [c.23]

О Брайен, Хаймен и Каплан [1950], а также Эдди [1949] определяют устойчивость исходя из роста или затухания ошибок округления. Лаке и Рихтмайер [1956] дают более общее определение устойчивости, устанавливая границу, до которой может возрастать любая компонента начальных данных в процессе численного расчета. Фундаментальную роль здесь играет теорема Лакса. Она устанавливает, что для системы линейных уравнений наличие устойчивости является необходимым и достаточным условием сходимости конечно-разностной схемы, аппроксимирующей систему дифференциальных уравнений. [c.27]

Отметим здесь, что ни линейный анализ устойчивости, ни даже само ее определение не являются вполне удовлетворительными. Филлипс [1959] привел пример того, что он назвал нелинейной устойчивостью она возникает из непостоянства коэффициентов уравнений (Лилли [1965]). Томмен [1966] показал, что при использовании двухшаговой схемы Лакса — Вендроффа или схемы Лакса — Вендроффа — Рихтмайера (Рихт- [c.27]

Выше были приведены примеры трех различных методов анализа устойчивости метод дискретных возмушений, метод фон Неймана и метод Хёрта, В методе Хёрта использовался критерий Куранта — Фридрихса — Леви [1928] для гиперболических систем. Известны еще по меньшей мере три более или менее популярных метода, а также ряд других менее популярных, Ограниченность решения разностных уравнений можно непосредственно проверить при помощи критерия Фридрихса о положительности коэффициентов (см, Рихтмайер и Мортон [1967, с, 22] и Хан [1958]), а также при помощи энергетических методов ) Келлера и Лакса (см, Рихтмайер и Мортон [1967, с, 23 и далее]). На практике эти методы оказываются применимыми только для простейших разностных схем дифференциальных уравнений. Подобно этим двум методам в методе Эдди [1949] также рассматриваются непосредственно свойства множителя перехода для конечно-разностных уравнений, а не дискретные фурье-компоненты. Оказывается, что в простых случаях, рассмотренных в работе Эдди [1949], этот метод дает результаты, совпадающие с результатами метода фон Неймана, но он сложнее в приложениях и не используется в открытой литературе. [c.77]

Некоторые схемы, аналогичные схеме Лейта, обсуждаются в работах Касахары [1965] и Фишера [1965а]. Эти схемы и схема Лейта похожи на схему Лакса — Вендроффа и ее двухшаговые варианты, которые будут рассматриваться в гл. 5. Хотя схемы Лакса — Вендроффа были разработаны для течений сжимаемой жидкости, они представляют интерес и для течений несжимаемой жидкости (Лилли [1965]), несмотря на то что эти схемы приводят к сильному затуханию коротковолновых возмущений. [c.127]

Конечно, переменность скорости и по пространственной координате и большая размерность задачи могут привести к количественному изменению описанного поведения решения. В частности, при переменной скорости и можно допускать, чтобы сеточное число Рейнольдса превышало значение Re > 2 вне окрестности выходной границы, причем пилообразные осцилляции не возникают, если вблизи границы Re < 2. Выводы проведенного здесь исследования оказались приемлемыми для двумерных гидродинамических задач. Используя полные уравнения Навье — Стокса для двумерных расчетов течения нескольких жидкостей в пограничном слое, А. Руссо (личное сообщение) столкнулся с одномерными пилообразными осцилляциями в каждом из направлений — параллельном стенке и перпендикулярном ей. Пилообразные осцилляции в каждом из направлений устранялись либо путем изменения граничного условия на условие Неймана, либо путем перехода к схеме с разностями против потока в одном таком направлении. Другим эффективным средством, нримененным Руссо, является локальное уменьшение шага сетки вблизи стенки (см. разд. 6.1), что локально приводило к уменьшению сеточного числа Рейнольдса до значений Re < 2. Полджер [1971] устранил пилообразные осцилляции в рещении вблизи стенки, учитывая диффузию только с узла, отстоящего на один шаг от стенки. Он проводил расчеты по схеме Лакса (разд. 5.5.4), но схема с разностями против потока (разд. 3.1.8) в этом случае также работала бы. (В линейной одномерной задаче, представленной на рис. 3.26, применение схемы с разностями против потока при г= 10 почти полностью устраняет пилообразные осцилляции.) [c.252]

В работе Лонгли [1960] были опробованы четыре различные разностные схемы, и при этом оказалось, что из-за использования уравнений в консервативной форме все они дают правильные значения скорости скачка. Гари [1964] показал, что применение схемы Лакса — Вендроффа к уравнениям в неконсервативной форме приводит к значительным погрешностям в величине скорости скачка (хотя волна разрежения рассчитывается несколько точнее). [c.318]

Схема фон Неймана — Рихтмайера по-прежнему широко употребляется и часто успешно конкурирует с более новыми схемами. Шварц [1967] применил ее для расчета в сферических координатах задачи релятивистской газодинамики о гравитационном коллапсе звезды. Хикс и Пелцл [1968] обнаружили, что при расчете сильных скачков и волн разрежения она дает лучшие результаты, чем схема Лакса — Вендроффа (разд. 5.5.5, 5.5.6 см. также сравнения в разд. 5.4.4). Лаваль [1969] при помощи схемы фон Неймана — Рихтмайера исследовал процесс [c.348]

Численные методы газовой динамики (1987) -- [ c.78 , c.89 ]

Вычислительная гидродинамика (0) -- [ c.23 , c.252 , c.350 , c.362 , c.365 , c.371 , c.373 , c.375 , c.376 , c.378 , c.407 , c.421 , c.436 , c.460 , c.480 , c.482 , c.521 , c.522 , c.535 ]

Вычислительная гидродинамика (0) -- [ c.23 , c.252 , c.350 , c.362 , c.365 , c.371 , c.373 , c.375 , c.376 , c.378 , c.407 , c.421 , c.436 , c.460 , c.480 , c.482 , c.521 , c.522 , c.535 ]

Вычислительная гидродинамика (1980) -- [ c.23 , c.252 , c.350 , c.362 , c.365 , c.371 , c.373 , c.375 , c.376 , c.378 , c.407 , c.421 , c.436 , c.460 , c.480 , c.482 , c.521 , c.522 , c.535 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...