Консервативные схемы

Разностная схема, составленная таким образом, что закон сохранения выполняется для каждой элементарной ячейки и не нарушается в результате суммирования по всем ячейкам, т. е. выполняется и для всей области исследования, называется консервативной. Такие схемы могут быть с успехом применены для уравнений с негладкими и разрывными коэффициентами, при выборе произвольных сеток и т. д. Использование консервативных схем, как правило, приводит к повышению точности решения. [c.63]

Разобранный пример показывает, что консервативность схемы не обеспечить без принятия специальных мер. Поэтому в настоящее время в большинстве случаев разностные уравнения получают не из аппроксимации операторов дифференциального уравнения, а из непосредственной аппроксимации самих соотношений теплового баланса, записанных для элементарных объемов. При этом для тепловых потоков на границах используются выражения, обеспечивающие выполнение условий согласования. Этот способ построения консервативных разностных схем называется интегро-интерполяционным методом или методом баланса. [c.87]

Для испытаний податливых деталей используют машину консервативной схемы с креплением динамометра 7 в подвижной си- [c.298]

Эту же задачу методом сеток рассмотрел Е. П. Колпак. Использовалась консервативная схема второго порядка аппроксимации. Полученная при этом система нелинейных алгебраических уравнений решалась методом простой итерации. Отвечаюш,ие сеткам 20 X 20 и 30 X 30 значения прогибов и напряжений почти совпали, вплоть до прогибов порядка длины стороны квадрата. [c.177]

Приведены дискретные модели и результаты расчетов динамики осесимметричных оболочек, балок и пластин при импульсной нагрузке. Для построения явной консервативной схемы применена энергетически согласованная аппроксимация силовых и деформационных величин. Результаты расчета представлены серией графиков изменения формы пластин и оболочек в процессе деформирования и контактного взаимодействия с жестокой преградой. [c.54]

На основе описанного алгоритма явной схемы расчета динамики балок и узких пластин разработана прикладная программа на языке ФОРТРАН с выводом графической информации. Тестирование созданной программы [84, 86] проведено путем сопоставления результатов с экспериментальными данными и численными расчетами других авторов [37, 120, 179] по импульсному нагружению пластин. Совпадение с экспериментальными данными по характерному прогибу в центре пластины давало отклонения, не превышающие 5—10 %, при этом ввиду полной консервативности схемы допустимо проводить расчеты для длительных промежутков времени, когда нестационарный волновой процесс завершается и пластина совершает малые упругие колебания в окрестности конечной остаточной формы. [c.63]

Сначала, не заботясь о монотонности и консервативности схемы, покажем, как на любой сетке можно обеспечить разностную аппроксимацию уравнений. Для этого рассмотрим произвольную ячейку, не ограничивая числа ее сторон в двумерном случае или граней - в пространственном. Наряду со значениями параметров в некоторой ее точке О на уже известном п-м временном слое способом, описанным ниже, найдем с погрешностями 0 Н) все их пространственные производные. Но ним с помощью отрезков рядов Тейлора найдем на том же слое с погрешностью 0 Ь ) отличия от параметров в точке О их значений в центрах тяжести (ЦТ) граней (сторон) ячейки. Найденные величины используем затем, взяв за О ЦТ ячейки, при записи для нее на временном интервале г интегральных законов сохранения. Анализ показывает, что при этом погрешности их разностной аппроксимации есть 0[т/г (/г+г)] с г/ = 2 и 3 соответственно в двух- и трехмерном случаях, а погрешности в имеющих порядок г приращениях параметров при переходе с п-го на (п + 1)-й слой - 0[т к + г)]. Нри установлении интегральные законы сохранения потоков, каждый из которых на отдельной грани есть 0(/г ), записываются с погрешностью 0(/г + ). Данные оценки показывают, что и в нестационарном случае, и после установления для любой сетки имеет место аппроксимация уравнений с первым порядком. Если сетка равномерна, то Н + г) из-за частичной компенсации ошибок заменится на (/г + ) что при установлении повышает порядок аппроксимации до второго. [c.203]

Различие параметров и производных в соседних ячейках при описанном способе разностной записи уравнений вели бы в подобластях непрерывности течения к отличию в 0[тН Н + г)] потоков с разных сторон каждой грани, нарушая, без влияния на аппроксимацию, консервативность схемы. Если в областях непрерывности течения эти нарушения невелики, то на размазанных разрывах отличие указанных потоков было бы того же порядка, как сами потоки, что недопустимо. Поэтому для обеспечения консервативности схемы будем определять потоки по большим величинам, которые, как и в СГ, будем находить из задачи о распаде произвольного разрыва. При этом в отличие от СГ в упомянутой задаче за исходные возьмем не параметры в ЦТ примыкающих к грани ячеек, а параметры в ЦТ грани с разных ее сторон. [c.203]

Дискретизация по времени. Полностью консервативная схема [c.22]

Нетрудно показать, что схема (11)-(12) является диссипативной, т.к. проектирование (12) всегда уменьшает кинетическую энергию. Кроме того, она имеет первый порядок аппроксимации по т. Для построения полностью консервативной схемы второго порядка воспользуемся алгоритмом, аналогичным описанному в S1.2 [c.149]

Таким образом разностная схема здесь аналогична схеме 3 из 1.2. Эта схема для данной задачи оказалась предпочтительнее полностью консервативной схемы, поскольку опа дает более гладкие решения, а сохранение энергии здесь не так принципиально как в волновых задачах. [c.177]

Заметный акцент в монографии сделан на монотонные разностные схемы как наиболее работоспособные, на консервативные схемы. Удовлетворяющие на сетке физическим законам сохранения, и схемы повышенного порядка аппроксимации Получена и записана в форме. Удобной для практического применения, консервативная монотонная схема 2-го порядка аппроксимации Построена и исследована схема [c.5]

Интегро-интерполяционный метод построения консервативных схем. Продемонстрируем интегро-интерполяционный метод на примере стационарного линейного уравнения (3.1). Заметим, что его коэффициенты связаны соотношением [c.53]

Аналогичным образом составим оператор у[ В результате получим консервативную схему вида (3.24) [c.60]

Монотонная схема 1-го порядка аппроксимации. На равномерной сетке получим консервативную схему, удовлетворяющую принципу максимума при любых и йа- Разностный оператор построим, использовав то [c.61]

Таким образом, консервативная схема (3.22) с оператором (3.32) обладает на неравномерной сетке условной аппроксимацией уравнение (3.1) аппроксимируется в узле х бн, если только 1 при Й ->-0, а = 1, 2. Это [c.66]

Обременительные ограничения на шаги /г и /12 удается снять, если конвективные члены аппроксимировать односторонними разностями, ориентированными против течения. Применим, например, монотонный оператор консервативной схемы (3.30), построенной для стационарного конвективного уравнения. При этом неявное разностное уравнение для функции тока (4.28) оставим в силе, а для температуры и завихренности составим чисто явные аппроксимации вида [c.93]

Сравнение разностных схем. Перечислим разностные схемы, выбранные для испытания на тестовых задачах А—монотонная схема 1-го порядка аппроксимации (3.5) В — консервативная монотонная схема 1-го порядка (3.29) С — монотонная схема 2-го порядка (3.7), (3.8) D — консервативная монотонная схема 2-го порядка (3.30) В—монотонная схема 4-го порядка аппроксимации (3,53) F — консервативная схема с центральными разностями 2-го порядка аппроксимации [c.119]

Важность свойства консервативности легко понять на примере уравнения неразрывности для сжимаемой среды. Рассмотрим задачу об естественной конвекции в полностью замкнутом сосуде с непроницаемыми стенками. В начальный момент времени считаем, что во всем объеме V = 0. К нижней стенке сосуда подводится тепло, и происходит естественная конвекция, возможно достигающая стационарного состояния. Если для расчетов принимается какая-либо неконсервативная схема (см. задачу 3.2), то полная масса в исследуемом объеме будет меняться. Если же используется консервативная схема, то полная масса не будет меняться, (без учета машинных ошибок округления). Некоторым утешением в первом случае может служить тот факт, что ошибки, вызванные нарушением сохранения [c.55]

Эти соображения мы считаем суш ественными и настоятельно рекомендуем применять консервативные схемы. Однако здесь имеются доводы и за и против, причем примеры численных контрольных расчетов, опубликованные в литературе, не дают возможности сделать однозначный выбор. Обратимся к этим доводам и к результатам контрольных расчетов. [c.56]

Для одномерной нестационарной газовой динамики Ю. П. Попов и А. А. Самарский (Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, т. 9, № 7) предложили полностью консервативные схемы. В схемах такого типа обеспечивается не только сохранение полной энергии, но и выполняются дополнительные балансы по отдельным видам энергии (внутренней и кинетической). — Прим. ред. [c.57]

Разностные схемы должны отражать основные законы сохранения сплошной среды, и, по существу, должны быть разностными аналогами основных законов сохранения. Разностные схемы, обладающие указанными свойствами, называются консервативными. Интегроинтерполяционный метод построения консервативных разностных схем был предложен А. Н. Тихоновым и А. А. Самарским. Было показано, что для широкого круга задач консервативность схемы является необходимым условием ее сходимости. [c.249]

Для построения консервативной схемы можно использовать интегроинтерполяционный метод [25] (или метод элементарных балансов), существо которого состоит в том, что разностная схема строится на основе интегральных законов сохранения. В результате получается разностный аналог закона сохранения для ячейки сетки. В качестве примера рассмотрим построение консервативной схемы для стационарного уравнения теплопроводности (или диффузии) [c.251]

Самым простым способом получения консервативных схем является метод баланса, основанный на применении дивергентных форм физических законов к ячейкам сетки. Рассмотрим его на примере разностной схемы для расчета потенциального поля. Потенциальные поля описывают стационарный процесс теп.топроводности, электрическое поле рабочего конденсатора при диэлектрическом нагреве и т. д. т Запишем выражение для потока вектора [c.131]

Для испытания податливых деталей используется консервативная схема с креплением динамометра 7 (В подвижной системе, имеющей возможность совершать крутильные колебания в корпусе 11 (рис. 68, г). Моменты инерции массы 12 этой системы и траверсы ц выбираются по формуле (V. 11) таким образом, чтобы нагруженнЬсть и возмущающие перемещения возбудителя были минимальными при колебании обеих траверс в противоположных фазах. Правильно выбирая параметры колебательной системы, можно увеличить общий угол закрутки (при сравнении с предыдущим вариантом) в несколько раз и испытывать очень податливые детали, например многоопорные коленчатые валы двигателей внутреннего сгорания, полуоси задних мостов грузовых автомобилей и т. д. [c.113]

Анализ работ, посвященных изучению свойств разностных законов сохранения, указывает на незавершенность теории априорного исследования консервативности схем и противоречивость оценок. Так, например, большинство авторов для уравнения энергии считает предпочтительней дивергентную форму, а для уравнения сохранения массы — недивергентную (плотность равна массе, деленной на объем). В этих условиях конструктивные предложения, позволяющие из всех возможных разностных схем выбирать в некотором смысле наилучшие, имеют большое зн ение для практических работ по математическому моделированию процессов в твердых телах. [c.217]

Отсюда следует, что все полностью консервативные схемы термодинамически нормальны. Однако схемы с о 0.5 сильно диссипативны. Требование слабой диссипативности приводит к дальнейшему сужению множества схем с уравнениями (7.113). Среди этих схем слабо диссипативной является единственная разностная схема с а = 0.5. [c.236]

Построение дивергентных, консервативных разностных схем [45, 97, 161, 175, 192], аппроксимирующих на разностной сетке законы сохранения полностью консервативных схем [46, 47, 162, 173] схем, обладающих свойством локальной консервативности [101, 197]. Для этого этапа характерно моделирование сред и элементов конструкций дискретными ячейками, широкое использование лагранжевых сеток [11—17, 51, 52, 56, 82, 86, 175—179], эйлерово-лагранжевых [21, 61, 186] и сеток переменной структуры на основе построения ячеек Дирихле [117, 132]. [c.85]

Приведенные дискретные модели являются энергетически согласованными и представляют полностью консервативные схемы. Соответствующие им континуальные модели с заданным порядком аппроксимации нетрудно получить с помощью аппарата дифферециальных приближений [197] аналогично рассмотрению, приведенному в 5.2. [c.125]

Для решения уравнений Лагранжа (5) 1.1 сугцествует классическая схема (Голдстейн 1975), суть которой состоит в том, что уравнения связей дважды дифференцируются по времени. В полученные соотношения из уравнений подставляются выражения для ускорений и, в результате, получается система линейных уравнений для определения множителей Лагранжа. Полученная таким образом система дифференциально-алгебраических уравнений может быть решена любым методом численного интегрирования систем ОДУ. Недостатком такой схемы является прежде всего отсутствие консервативности, особенно ярко нро-являюгцееся в задачах типа соударения. В связи с этим возникает естественное желание попытаться построить полностью консервативную схему (ПКС). В ряде работ (Гасилов и др. 1979), (Волкова и др. 1985) строятся такие ПКС, но они требуют доро-гостоягцих итераций но нелинейности для которых, в частности, использовался метод параллельных хорд. Специфика уравнений для несжимаемой жидкости позволяет построить линейную ПКС (Франк 1987), в которой на каждом шаге по времени требуется только один раз обрагцать некоторую симметричную положительно определенную матрицу. [c.22]

Видно, что схема 4 обладает вторым порядком точности и наименьшей ошибкой вычисления X. Ошибка по 7 у нее в полтора раза больше, чем у схемы Р-К. Заметим, что схема 4 в два раза экономичней схемы Р-К, так как требует одного вычисления правой части в (8.2). Кроме того, ошибка вычисления и для нее в два раза меньше, чем ошибка по 7 у схемы Р-К. Этим объясняется лучшая точность вычисления X, так как согласно (8.4) частицы движутся именно со скоростью 11. Это любопытное свойство консервативных схем отмечалось и в других эасчетах и может быть объяснено немонотонностью изменения [c.30]

Уравнения конвекции выражают несколько физических законов сохранения (тепла, массы, завихренности). Дифференциальные уравнения получаются из законов сохранения (уравнений баланса) при достаточной гладкости функций, входяш,их в эти уравнения. В теории и практике метода сеток широко известен интегро-интер-поляционный метод построения разностных схем [12, 14], когда дискретизации на сеточном шаблоне подвергается не дифференциальное уравнение, а соответствую-ш,ее ему уравнение баланса. Метод позволяет конструировать схемы, отражающ,ие в дискретной форме интегральные законы сохранения на сколь угодно больших и на сколь угодно малых участках сеточной области. Такие схемы называются консервативными, или дивергентными. Консервативные схемы, как правило, улучшают точность решения, особенно в качественном отношении. Разностный оператор консервативных схем обладает свойством самосопряженности, которое является одним из определяющ,их условий сходимости различных итерационных алгоритмов решения разностных задач. [c.53]

Для стационарных уравнений (4.45), аппроксимированных со 2-м порядком монотонной консервативной схемой (3,30), рассмотрим простейший релаксационный алгоритм зейделевского типа [c.106]

При расчете разрывных решений обычно используются консервативные уравнения, т. е. уравнения в виде законов сохранения, и консервативные (дивергентные) разностные схемы. Прежде всего нун но отметить работу [248], в которой для одномерных дивергентных уравнений газовой динамики разработана разностная схема второго порядка точности. Весьма удобный для расчетов вариант этой схемы разработал Рихтмайер [161]. Он предложил двухшаговый вариант (консервативную схему предиктор-корректор), который в 1962 году обобщил на двумерные нестационарные уравнения. Разностные схемы этого типа носят название схем Лакса — Вепд-роффа. Аналогичная двухшаговая схема для двумерных нестационарных уравнений в неконсервативной форме была предложена в [61, 164, 168]. Стационарный вариант консервативной двухшаговой схемы в случае двух и трех переменных разработан в [125, 126, 165, 167]. Различные варианты двухшаговой схемы рассматривались в [14, 85, 258]. [c.88]

Холст Т. Л. Ускоренный численный метод решения уравнения для полного потенциала скорости трансзвукового потока на основе консервативной схемы, и Ракент. техн. и космонавтика.— 1980.— № 12.— С. 29— [c.362]

Шанкар В. Неявная маршевая консервативная схема для расчета параметров сверхзвуковых течений на основе нелинейного уравнения потенциала. Ц Аэрокосмическая техника.— 1983.— № 6.— С. 24—35. [c.362]

До сих пор опыт показывает, что консервативные схемы, вообще говоря, дают более точные результаты. Чен [1968] и Аллен [1968 показали, что с помощью консервативной схемы получаются существенно более точные результаты для некоторых решений уравнения Бюргерса (2.19) и (2.20). Сайрус и Фалтон [1967] выяснили, что для эллиптических уравнений консервативная схема дает более точные результаты, чем неконсервативная. На примере задачи о течении внутри замкнутой прямоугольной области с одной подвижной границей Торранс с соавторами [1972] убедились в том, что даже схема первого порядка точности для уравнений в консервативной форме дает более точные результаты, чем схема второго порядка для уравнений в неконсервативной форме. Преимущества расчета ударных волн при консервативной форме уравнений (Гари [1964]) хорошо известны (они будут рассматриваться в гл. 5), однако следует заметить, что в работе Гари волны разрежения несколько точнее рассчитывались по неконсервативной схеме. Кроме того, дивергентная форма уравнений более осмысленна физически и облегчает постановку граничных условий для течений сжимаемой жидкости. [c.56]

Обычно схемы, обеспечивающие сохранение основных величин, таких, как вихрь, масса, количество движения или полная энергия, не требуют большого труда. В двумерной задаче о переносе вихря дополнительная работа заключается в выполнении двух лишних конечно-разностных операций для получения составляющих скорости из решения для функции тока и двух лишних умножений. В задачах о движении сжимаемой среды дополнительная работа больше, что в некоторых случаях может оказаться причиной отказа от применения консервативной схемы (см. метод Моретти, гл. 6). При решении многих задач консер- [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...