Уравнения пространственной задачи с малым параметром

Уравнения пространственной задачи с малым параметром [c.177]

В работе [2] описана специальная конструкция тригонометрических рядов для построения периодических решений пространственной конвекции. В [3] детально разработан метод решения плоской задачи Релея с помощью этих рядов для случая валов. Показано, что с помощью специального подбора управляющих параметров алгоритма можно, в отличие от стандартного метода малого параметра, получать надежные количественные результаты для существенно больших надкритичностей конвективных движений. В предлагаемой статье приводится подробная аналитическая разработка подхода 2] для пространственной конвекции с гексагональной симметрией в горизонтальном слое со свободными границами. На основе полученных формул исследуется приближенно поведение линий тока, изотерм, зависимость числа Нуссельта от волнового числа. Численные расчеты проведены для малых надкритичностей при сохранении небольшого количества членов в рядах (7V = 2,4,6). Хотя область применимости построенных представлений по числу Релея еще не оценена, предложенная конструкция может быть использована при небольших N для расчета начальных приближений при построении, например, конечноразностных итерационных процедур решения уравнений Буссинеска для гексагональной конвекции. [c.390]

В работах В. М. Александрова и Д. А. Пожарского [7,49,50] исследуются пространственные контактные задачи для упругого конуса. При помощи разложения векторных функций по полной системе векторных гармоник на поверхности конуса [25] с использованием интегрального преобразования Меллина и ряда Фурье выводится интегральное уравнение контактной задачи для пространственного конуса. Используются сферические координаты р, Г], ф. Для осевой симметрии находятся [50] однородные решения для конуса, включая корни характеристического уравнения при разных углах конусности 2а, полезные при решении контактных задач для усеченного конуса. Рассматриваются задачи о взаимодействии конуса с жестким [49] или деформируемым [50] кольцевым бандажом. Используются асимптотические методы больших и малых Л , где параметр Л характеризует относительную удаленность бандажа от вершины конуса. Численный анализ свидетельствует о смыкании разных асимптотических решений в определенном диапазоне значений Л, зависящем от а. [c.191]

Цикл работ Д.Д. Ивлева посвящен линеаризированным задачам упругопластического состояния тел. Метод малого параметра, развитый в работах Д.Д. Ивлева, позволил получить решение ряда плоских, осесимметричных, пространственных задач упругопластического состояния тел и определить неизвестную границу, отделяющую область пластического состояния материала, описываемую уравнениями гиперболического типа, от области упругого состояния тела, описываемой уравнениями эллиптического типа. На примере разложения в ряд классических решений Л.А. Галина и Г.П. Черепанова было установлено их совпадение с решениями, полученными непосредственно методом малого параметра, и показана достаточно быстрая сходимость приближений. Дальнейшее развитие получили линеаризированные методы решения задач жесткопластического анализа, в том числе линеаризированные задачи о вдавливании жестких тел в идеально пластическую среду. [c.8]

Выше были получены уравнения, описывающие течение совершенного газа в ламинарном взаимодействующем пространственном пограничном слое на поверхности тонкого крыла произвольной формы. Эти уравнения в общем случае являются существенно трехмерными, и их численный анализ сопряжен с большими трудностями вычислительного характера. Для частного случая крыльев малого удлинения (го <С1) решение задачи может быть представлено в виде ряда по малому параметру. В результате этого решение задачи сводится к интегрированию двумерных систем уравнений. [c.209]

В связи с этим решение прямой задачи в рамках одномерного приближения при расчете разного рода неравновесных течений в соплах и струях, в том числе и двухфазных, представляется нецелесообразным. В то же время очевидны преимущества решения обратной задачи с заданным по длине распределением какого-либо из газодинамических параметров р, р или W. В этом случае отпадает необходимость использования уравнения (3.36), так как форма струйки тока не задана, а определяется из уравнения (3.24), а система (3.25). .. (3.29) не содержит уже особой точки. Кроме того, давление, а в еще большей степени — плотность и скорость мало отличаются от соответствующих равновесных значений и могут быть определены из расчетов, например, двумерных равновесных течений или измерены в эксперименте. И, наконец, отработанный алгоритм решения системы (3.25). .. (3.29) с заданным распределением p=p s) или p = p(s) может быть полностью использован при расчете пространственных неравновесных течений. Если неравновесный процесс начинается в сверхзвуковой области сопла (в случае, например, неравновесной конденсации), то необходимость прохождения особой точки отпадает и возможно решение как прямой, так и обратной задачи. Отметим, что решение обратной задачи особенно удобно при исследовании течений в струях, для которых форма струйки F F s) неизвестна. [c.113]

В качестве третьего примера применения метода составных разложений рассмотрим краевую задачу с начальными условиями для уравнения теплопроводности, поставленную Келлером [1968]. Предположим, что температура и х, е) зависит от одной пространственной переменной х, которая изменяется от О до Ь(г1), где Ь—известная функция, а е—малый параметр. Таким образом, Ь—слабо меняющаяся функция 1. Математически задача записывается в виде [c.166]

Будем рассматривать течение пленки вязкой жидкости, свободно стекающей по внешней поверхности вертикального цилиндра под действием силы тяжести. В случае больших цилиндров, у которых радиус много больше характерной толщины пленки, при малых расходах решение можно искать в виде рядов по малому параметру. Тогда все величины удается представить в виде полиномов от поперечной координаты с коэффициентами, зависящими от толщины пленки и ее производных. В итоге, используя кинематическое условие на свободной границе, задачу удается свести к одному нелинейному уравнению, описывающему эволюцию возмущений толщины пленки [1]. Некоторые аксиально-симметричные волновые режимы этого модельного уравнения были рассмотрены в [2]. В настоящей работе излагаются результаты численных исследований пространственных стационарно бегущих решений такого уравнения. [c.176]

Таким образом, внутренняя задача свелась к решению двумерного уравнения Лапласа (1.12) для потенциала в плоскости, нормальной к передней кромке тонкого пространственного тела в некоторой ее точке, с условием Римана-Гильберта (1.13) [9] на одной из граней клина Zi = еАтпц. Здесь опущены члены порядка по сравнению с единицей. Во внутренней области эта точке является образом линии пересечения поверхности г = е/ х у) с указанной плоскостью. Переменные и — параметры внутренней задачи. Если плоскость г = о — плоскость симметрии пространственного тела в малой окрестности передней кромки, то к условию (1.13) следует добавить краевое условие = 0 при Zi = 0, пц < 0. В более об- [c.663]

Классический метод ортогональных функций, берущий свое начало с известной статьи П. И. Клубина [26], получивший свое развитие и математическое обоснование в работах Г. Я. Попова, В. М. Александрова и их учеников [44], является одним из эффективных алгоритмов решения плоских и пространственных задач математической физики со смешанными граничными условиями. Суть его состоит в следующем. Смешанная задача сводится к решению интегрального уравнения первого рода, ядро которого содержит безразмерный геометрический или физический параметр. Выделяется главная (сингулярная) часть ядра, соответствующая выбранной области изменения параметра. При этом второе слагаемое в представлении ядра является, чаще всего, достаточно гладкой функцией и играет роль малой добавки. Строится спектральное соотношение, точно обращающее интегральный оператор, соответствующий сингулярной части ядра. Собственными функциями таких операторов оказывается, как правило, какая-либо система ортогональных функций, в частности, система классических ортогональных полиномов. Регулярная часть ядра, решение и известная функция, входящая в правую часть интегрального уравнения, раскладываются в ряды по этим функциям, после чего оно сводится к бесконечной алгебраической системе. При соответствующем редуцировании (урезании) бесконечной системы получается конечная система с почти треугольной матрицей, что позволяет довести исследуемую задачу до числа. [c.125]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

Обобщение этого уравнения было дано П1шпардом. Он показал, что (особенно для задач с пространственным изменением параметров) должна быть принята во внимание пространственная когерентность волновых функций. Это ведет к уже упоминавшемуся выше нелокальному лондоновскому уравнению, в котором плотность тока в данной точке пространства связана со значением вектор-потенциала в окрестностях этой точки. Размеры этой окрестности определяются длиной когерентности . Она может быть определена из теории БКШ, еслн не переходить, как мы это делали, к граничному случаю = 0. Кривые на рис. 101 соответствуют случаям, когда длина когерентности велика или мала по сравнению с глубиной проникновения. [c.341]

Луч в среде, параметры которой зависят от координат, может представлять собой довольно сложную пространственную кривую. В векторной ситуации кроме общих со скалярной задачей свойств поля (лучевой структуры, т. е. лучей и волновых фронтов, зависимости амплитуд полей от координат) надо знать еще закон изменения направления вектора Яо (или Яо), т. е. особенности изменения линейной поляризации поля. С каждой точкой пространственной кривой связан трехгранник I — единичный вектор вдоль луча, я — нормаль к лучу, Ь — бинор-маль к лучу. Введем угол 0 между вектором Е и нормалью к лучу я. Для угла 0 получено уравнение [c.237]

Разгрузочное состояние. Рассматриваемая модель конечных упругопластических деформаций обладает исключительной для подобных моделей особенностью результат разгрузки не зависит от его пути в пространстве напряжений. Поэтому учет конечности деформаций не вносит принципиальных сложностей и разгрузка может рассматриваться по той же схеме, что и при малых деформациях. Если уровень накопленных пластических деформаций незначителен, то повторного пластического течения не возникает. В этом случае следует проинтегрировать уравнение равновесия (квазистатическое приближение) в двух областях в области г р г Rp, где пластические деформации отсутствуют, и в области Sp г < rip, где пластические деформации неизменны (идеальная пластичность). Зададим значение Тр = Rp/Ro, тогда /(тр) = Тр — 1. Значение производной / тр) по заданному параметру Тр находим из условия задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (2.7). Положение границы пластической области в материальных координатах (переменных Лагранжа) не изменилось, но пространственная ее координата rip вследствие деформирования стала другой. Таким образом, возникает второй, наряду с Тр, пристрелочный параметр Tip = ripR . [c.91]

После подробного изложения математических методов, иногда сопряженных с необходимостью производить довольно громоздкие вычисления, уместно перевести дух и кратко сформулировать наиболее существенные выводы, к которым приводят отдельные этапы алгоритма. Отправным пунктом наших теоретических построений были нелинейные уравнения с флуктуирующими силами. На первом этапе мы предполагали, что эти силы пренебрежимо малы. Затем мы исследовали поведение систем, содержаших флуктуирующие силы, вблизи критических точек. Оказалось, что в достаточно малой окрестности критической точки поведение системы определяется небольшим числом параметров порядка и принцип подчинения позволяет исключить все подчиненные переменные. Включение флуктуирующих сил не нарушает процедуру исключения переменных, и мы приходим к уравнениям для параметров порядка с флуктуирующими силами. Такие уравнения для параметров порядка могут быть типа уравнений Ланжевена—Ито или Стратоновича. Эти уравнения, вообще говоря, нелинейны, и вблизи критических точек нелинейность не становится пренебрежимо малой. С другой стороны, часто бывает достаточно учесть лишь главный член нелинейности. Наиболее изящный подход к решению такого рода задач состоит в преобразовании уравнений для параметра порядка типа уравнения Ланжевена—Ито или Стратоновича в уравнение Фоккера—Планка. За последние десятилетия эта программа была реализована на различных системах. Выяснилось, что во многих случаях, когда возникают пространственные структуры, принцип детального равновесия на уровне уравнений для параметров порядка обусловлен соотношениями симметрии. В подобных случаях удается оценить распределение вероятности, с которой реализуются отдельные конфигурации при определенных значениях параметров порядка и,-. В свою очередь это позволяет вычислить вероятность образования тех или иных пространственных структур и найти устойчивые конфигурации по минимуму V (и) в [c.348]

Здесь р, (р + л/2) — параметры нормального уравнения прямоли- нейного луча (11 — элемент длины вдоль луча 1, 1 — значения переменной I при входе и выходе из исследуемого объекта /о — интенсивность зондирующего излучения. Для оптической прозрачной плазмы коэффициент поглощения а можно считать малой величиной. Полагая, что внешнего освещения объекта нет, т. е /о=0, из (3.35) получаем, что интенсивность излучения тонкого слоя ху плазмы в направлении р складывается из суммы интенсивностей элементарных излучателей, расположенных на прямой с параметрами р, р. В эмиссионной томографии функцию 1 р, р) считают проекцией объекта. Для оптически плотной плазмы необходимо учитывать поглощение как собственного, так и зондирующего излучения. В этом случае задача восстановления пространственного распределения а х,у) и г х,у) из уравнения (3.35) существенно усложняется. В экспериментальных исследованиях, описанных в [38, 48], предполагалось, что плазма оптически прозрачна. [c.104]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...