Матрица треугольная

Так как матрицы треугольные, то решение уравнений вида (11.57) не вызывает затруднений. Запишем в явной форме алгоритм этого решения [c.465]

Используем равенство (3) для получения матриц треугольного элемента, показанного на рис. 2.6. Закон изменения функции и (дс, у) по полю конечного элемента можно аппроксимировать степенным полиномом вида [c.64]

Для решения систем ЛАУ в большинстве проектных процедур анализа используют метод Гаусса или его разновидности. Вычисления по методу Гаусса состоят из прямого и обратного ходов. При прямом ходе из уравнений последовательно исключают неизвестные, т. е. исходную систему приводят к виду, в котором матрица коэффициентов становится треугольной. Такое приведение основано на /г-кратном применении формулы пересчета коэффициентов [c.229]

Здесь представляет собой нижнюю диагональную матрицу АЫк-то порядка II — верхнюю диагональную матрицу того же порядка — верхнюю треугольную матрицу 4(/- -1—/с)-го порядка Вз — нижнюю треугольную матрицу того же порядка / я 6 — матрицы 4. -го порядка. [c.35]

Матрица монодромии оказывается треугольной [c.242]

Если В < 4, то корни будут комплексно сопряженными и различными, но р1 = р21 = 1, и резонанса не возникает. Если В — 4, то корни будут кратными и р — I. Как следует из сказанного выше, если при этом 012 = 21 = то резонанс отсутствует, а если матрица монодромии треугольная, то резонанс будет иметь место. Предположим теперь, что В = 4, но 012 21 Ф О- Тогда собственную функцию монодромии можно взять в виде [c.244]

Таким образом, для функций у , У2 матрица монодромии принимает треугольный вид, что влечет наличие резонанса. [c.245]

Использование треугольных конечных элементов в рассматриваемой задаче изгиба пластин наталкивается на ряд затруднений, связанных с тем обстоятельством, что естественно, казалось бы, аппроксимации для w приводят или к вырожденности матрицы системы уравнений (3.82), или в случае смещения элемента как жесткого целого дают отличные от нуля деформации внутри элемента. Преодоление этих трудностей облегчается использованием барицентрических координат точек треугольника. [c.149]

Таким образом, построение матрицы жесткости [/< ] треугольного элемента свелось к построению матрицы [/( "] размерности (6x6), что в свою очередь эквивалентно нахождению матриц [Л и [5 ], связывающих 6 [c.152]

Нетрудно убедиться в том, что обратная матрица (Е + К ) является нижней треугольной матрицей. [c.367]

Из всех уравнений, следующих за fe-м, исключим неизвестное с номером S, для чего из уравнения с номером г г k) вычтем й-е уравнение, умноженное на Ors - После перечисленных действий системы превращаются в треугольные для всех k. Произведение всех главных элементов может только знаком отличаться от определителя матрицы А. Обратный ход метода заключается в том, что с помощью й-го уравнения k п, п — 1, гг — 2,. .., 2) исключается неизвестное, соответствующее главному элементу-этого уравнения из всех уравнений с номером, меньшим чем к. После окончания обратного хода на местах, где были расположены правые части, теперь будет располагаться решение рассматриваемых систем. Можно показать, что если взять п правых частей, в совокупности образующих единичную матрицу, то и ответов будет п столбцов, и они в совокупности будут образовывать матрицу обратную к А. Таким образом, метод Гаусса может быть использован для отыскания обратной матрицы. [c.90]

Продемонстрируем вычисление матрицы жесткости на примере плоского треугольного элемента при линейной интерполяции. Рассмотрим треугольный элемент с узлами г, /, т, пронумерованными против хода часовой стрелки (рис. 73). Для перемещений имеем [c.635]

С такими матрицами часто приходится иметь дело при числовом решении дифференциальных уравнений (см., например, п. 1 1.5). Матрица называется нижней треугольной, если все ее элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю [c.22]

Аналогично определяется верхняя треугольная матрица. Квадратная матрица называется симметричной, если ее элементы удовлетворяют соотношению ац = ац i, /=1, 2,. .., п. Если в матрице (1.59) поменять строки со столбцами, то получим транспонированную матрицу [c.22]

Простейшим прямым методом является метод исключения Гаусса, требующий примерно (2/3) арифметических действий. Метод Гаусса основан на приведении матрицы А к треугольной, у которой все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. [c.25]

В результате исключения неизвестных приходим к системе с треугольной матрицей [c.25]

Метод Гаусса широко используют в случае матрицы А общего вида. Для уравнений со специальными матрицами существуют более экономичные методы. Один из них — метод прогонки — применяют для решения системы с трехдиагональными матрицами А. Он изложен в предыдущем параграфе. Метод прогонки — частный случай метода Гаусса исключения неизвестных при решении системы (1.55). В прямом ходе метода прогонки уравнения приводятся к виду (1.57), в результате матрица системы будет треугольной. Обратный ход метода прогонки такой же, как и в методе Гаусса. [c.26]

Для решения систем уравнений такого типа наиболее эффективными являются метод исключения Гаусса и его различные варианты, в том числе метод прогонки (см. п. 2 1.6, п. 1 1.5). Матрицу системы преобразуют к треугольному виду, после чего решение получают обратной прогонкой. [c.204]

Получение матрицы жесткости и переход к уравнению (8) осуществляется тем же путем, что и в методе треугольных элементов. [c.562]

В одной и той же задаче можно использовать элементы обоих типов, как показано на рис. 6 для случая расчета гравитационной плотины. При этом следует определять компоненты матрицы жесткости для элементов, примыкающих к какому-либо узлу, по разным формулам в зависимости от того, треугольный это элемент или прямоугольный. Аналогично можно сформулировать все зависимости для конечных элементов в виде многоугольников с числом сторон свыше четырех, а также для криволинейных фигур. [c.562]

Здесь А массив, в который последовательно по столбцам записана верхняя треугольная часть симметричной матрицы, г. е. этот массив содержит М (М i 1) 2 элементов в такой последовательности йц, 12, fl.,2, flj ,, а,,.4, d., ,, а- м, амм, AUX рабочий массив длиной (М — 1), который должен [c.21]

А - МАССИВ ДЛЯ ХРАНЕНИЯ ВЕРХНЕЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ ЧАСТИ СИММЕТРИЧНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ НЕЯВНОЙ СХЕМЫ ЭЙЛЕРА. ДЛИНА МАССИВА РАВНА NI (NI+l)/2 B(NI) - ВЕКТОР-СТОЛБЕЦ СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ [c.46]

Изложенный на примере треугольных элементов разбиения метод формирования глобальных матрицы и вектор-столбца, основанный на введении локальной нумерации узлов и неизвестных, легко переносится и на случай более сложных элементов разбиения. Он является наиболее общим, часто используемым и тем более эффективным, чем сложнее применяемые конечные элементы. [c.144]

Остановимся на двух последних свойствах матрицы. Очевидно, что коэффициент G j в т-й строке глобальной матрицы отличен от нуля, только когда узлы с номерами m и / являются вершинами ка-кого-то общего для них элемента. В этом случае в строке индексной матрицы, соответствующей этому общему элементу, будут содержаться номера т и /. Указанное обстоятельство и объясняет разреженность глобальной матрицы, поскольку, например, для треугольных элементов при значительном числе треугольников N большинство возможных пар узлов m и fe не являются вершинами общего треугольника и, следовательно, соответствующий элемент глобальной матрицы = 0. [c.144]

Поскольку для треугольного разбиения коэффициент Gmk отличен от нуля только в случае, когда узлы тик принадлежат одному треугольнику, то положение наиболее удаленного от главной диагонали ненулевого элемента матрицы определяется максимальной по всем парам общих вершин треугольников разностью номеров узлов, т. е. величиной [c.145]

Автоматизация разбиения области. Простейший (но наиболее трудоемкий) способ реализации первой процедуры состоит в ручном разбиении области D на треугольные элементы, ручной нумерации узлов и дальнейшем вводе в качестве исходных данных массивов координат узлов xm m=i, Ут т=1 И индексной матрицы. Однако в реальных двумерных (и тем более трехмерных) задачах число узлов и элементов может составлять несколько сотен, а иногда и тысяч, и поэтому построение расчетной сетки вручную и ввод больших массивов чисел в качестве исходных данных нецелесообразны из-за значительных затрат времени на их подготовку и большой вероятности появления ошибок. Следовательно, возникает задача автоматизации процедуры разбиения области на элементы, нумерации элементов и узлов и формирования индексной матрицы. При этом требуется в качестве входной информации для соответствующей подпрограммы задавать сравнительно небольшое число данных, описывающих геометрию области сложной формы и густоту сетки, а на ее выходе получать массивы координат узлов и индекс- [c.147]

В индексной матрице для каждого треугольного элемента (л =L. .., N) записываются четыре целых числа. Первые три числа соответствуют глобальным номерам t, /, k узлов данного треугольника, записанным в порядке обхода против часовой стрелки, начиная с любой вершины. Четвертое число — это признак, с помощью которого задается внешняя граница области. Напомним, что согласно принятому нами способу этот признак принимает значения О — если ни одна из сторон треугольника не принадлежит границе, 1 — если граничной является сторона между узлами i и /, 2 — если граничной являются две стороны между узлами г и / и между узлами j и k. Другие ситуации с расположением граничных сторон можно исключить соответствующим выбором порядка записи номеров г, /, k. [c.151]

В результате преобразования (5) матрица коэффициентов А заменяется матрицей AU, которая имеет треугольную форму. [c.221]

Теперь рассмотрим ту часть работы разрушения, которая обусловлена пластической деформацией матрицы Для простоты проанализируем двухмерную композицию [119]. Будем считать, что область пластической деформации в матрице имеет треугольную форму. Если волокна имеют диаметр d и расстояние между ними X, то [c.25]

В рассматриваемом случае воспользуемся моделью, приведенной на рис. 3.5. На этом рисунке показана четвертая часть области модели с одиночным волокном. На рис. 3.G дано разбиение на треугольные элементы, используемое для определения напряжений. Рассматриваемый композит состоит из двух разнородных материалов матрицы и армирующего материала. Поэтому необходимо выделить по меньшей мере два блока. Одним из блоков является армирующий материал. Для этого блока полагают, что все постоянные материала являются неизменными. Это позволяет в существенной [c.59]

Поскольку вектор постоянных на последнем р-ш участке найден из граничных условий [см. (11.56)1 и определены треугольные матрицы й, решая уравнения (11.57) последовательно в р — 1, р — 2,. .., 2-й, 1-й точках деления, можно найти векторы с и векторы решения краевой задачи [c.465]

ОМЕГА [I /С, 1 /С] — верхняя треугольная матрица коэффициентов ортогонализации в узле [c.480]

Oh получил решения ряда многозонных задач с помощью НМГЭ при этом использовалась процедура, основанная на гауссовском методе исключения и аналогичная известному приему, применяемому для решения систем с ленточными матрицами,— треугольному разложению матрицы ее главное отличие состояло в том, что вместо умножения и перестановки отдельных строк элементов операции умножения и перестановки выполнялись сразу над строками блоков (матрицами). Сравнение этой процедуры с обычной техникой решения ленточных систем приводит к следующим выводам. [c.421]

Рассмотрим отдельный треугольный изопараметрический злемевт (рисунок, а) и запишем выражения для матриц теплопроводности, тепло- [c.135]

Однако такое решение связано с обращением матрицы А, которая имеет порядок (гхх). Вычислительная процедура существенно упрощается, если использовать прием обращения матриц, предложенный Корноком [45]. В первую очередь найдем некоторую матрицу а, приводящую матрицу А к нижней треугольной матрице, т. е. [c.94]

Входными данными для подпрограммы формирования глобальных матрицы и столбца, приведенной на рис. 4.15, ивляются N — число треугольных элементов, М — число узлов, MS — ширина ленты матрицы, X, Y — массивы координат узлов л , длиной М, IND — индексная матрица — массив длиной 4 N. Все эти данные получаются в результате выполнения процедуры разбиения и перенумерации узлов. [c.151]

Действительное уравнение (8-10) решается относительно / методом Гаусса, после чего находятся /гЦ и остальные параметры. В расчетах используется только верхняя треугольная матрица х (. Описанный алгоритм позволяет эффективно решать системы уравнений до 180-го порядка (например, на ЭВМ типа Мпнск-32 или ЕС-1022), что значительно больше, чем допустимый порядок системы при непосредственном решении уравнений (8-8) в комплексных числах. [c.124]

В данной главе использована модель системы волокно — матрица, представляющая собой регулярный массив волокон круглого поперечного сечения, помещенных в матрицу, имеющую форму прямоугольной призмы (рис. 7.3). Напряженное состояние этой микроструктуры исследовано при помощи метода конечных элементов (элементов в виде треугольных призм, в которых напряжепное состояние однородно). При таком подходе каждый компонент композита представлен большим числом элементов. Увеличение числа элементов приводит в общем к повышению точности расчета упругих констант слоя и позволяет получить более близкое к реальному распределение напряжений, возникающих при термомеханических воздействиях. [c.258]

Моделирование конструкций в среде MSC.visual NASTRAN для Windows (2004) -- [ c.516 ]

Теплоэнергетика и теплотехника Общие вопросы Книга1 (2000) -- [ c.125 ]

Введение в метод конечных элементов (1981) -- [ c.285 ]

Формообразование поверхностей деталей (2001) -- [ c.154 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...