Использование методов приближенного вычисления для

На основе метода Ньютона разработан эффективный метод, получивший название метода переменной метрики. Идея метода заключается в использовании информации о градиенте критерия оптимальности для приближенного вычисления матрицы Гессе. Этот метод — итерационный. Поиск в нем ведется по формуле [c.288]

В связи с широким использованием ЭВМ для приближенных вычислений появилась возможность решить ряд задач о кавитационных течениях, не имеющих аналитических решений. Одним из численных методов, применяемых при расчете кавитационных течений, является метод конечных разностей. Для иллюстрации применения этого метода рассмотрим осесимметричное кавитационное обтекание тела по схеме с зеркалом в потоке, ограниченном твердыми стенками (рис. V.1, а) [75]. [c.186]

Наибольшую трудность при вычислениях представляют интегральные уравнения (19) — (23). Общеизвестные методы их приближенного решения [1], основанные на замене интеграла формулой прямоугольников или трапеций, требуют для обеспечения необходимой точности достаточно мелкого шага разбиения. Нами использован метод параболической аппроксимации искомой [c.46]

Использование метода приведения при исследовании сложных конструкций. Изложенный выше подход может быть использован для приближенного исследования демпфирующих свойств сложных конструкций. Для этого необходимо знать частоту колебаний, характеристики демпфирования и форму колебаний при заданном резонансе. Эти сведения можно получить либо экспериментально, либо аналитически. Зная форму колебаний, можно найти соответствующую длину волны. Полученные данные затем используются независимо от того, какие уравнения применяются (описывающие балки или пластины) для вычисления эквивалентной толщины конструкции, которая будет иметь ту же резонансную частоту колебаний. Результирующая эквивалентная толщина конструкции затем используется для определения влияния применяемого демпфирующего устройства. [c.275]

Для вычисления частотных характеристик упругой системы станка по измерениям, проводимым непосредственно при резании, целесообразно воспользоваться методами теории случайных процессов. При этом предполагается, что относительные колебания и сила резания представляют собой реализации стационарных случайных процессов, а упругая система станка линейна и ее параметры во времени не меняются. Использование методов теории случайных процессов применительно к нелинейным системам обеспечивает наилучшее линейное приближение для частотной характеристики [2]. [c.59]

После нахождения первого приближения величины б .с осуществляется итерационный расчет МГД-генератора (операторы 4—6) таким образом, чтобы значение с необходимой точностью соответствовало заданному значению за счет изменения величины давления перед каналом р- . Для этого используется метод Ньютона, модифицированный для условий наличия погрешности при вычислении рассматриваемой функции (оператор 6). Затем следует расчет сопла (оператор 7). Параметры перед соплом рассматриваются как характерные для камеры сгорания, и в соответствии с ними определяются ее геометрические размеры, тепловые потери и недостающий параметр окислителя. Такой расчет (операторы 8—13) производится итерационно, также с использованием модифицированного метода Ньютона (операторы 11, 13). После этого находится количество регенеративных подогревателей турбины, рассчитывается компрессор с его системой охлаждения (оператор И) ж делается проверка достаточности приближения по Gn. (оператор 15). Если приближение недостаточно, расчет повторяется вновь по уточненным параметрам, необходимым при вычислении Ga. - В случае выхода из цикла определяются температурные напоры в парогенераторе, позволяющие уточнить последовательность размещения в нем поверхностей нагрева рассчитывается мощность установки в цепом и ее к.п.д. (оператор 16). На этом расчет технологической схемы заканчивается. Таким образом, итерационный цикл вычисления Gn. является внешним. Как видно из рис. 5.4, в алгоритме имеются внутренние циклы при расчете МГД-генератора и камеры сгорания. Кроме того, большое количество внутренних циклов содержится почти в каждом из указанных обобщенных вычислительных операторов, но они опущены, чтобы не усложнять блок-схему. [c.124]

Изложенные выше трудности использования метода Ньютона для решения одного нелинейного уравнения (5.12) усугубляются при применении его к решению систем нелинейных уравнений (5.16). Во-первых, возникает проблема вычисления на каждой итерации матрицы из частных производных. Во-вторых, обостряется проблема нахождения хорошего начального приближения. Для преодоления этих трудностей используют специальные модификации метода [2, 72]. [c.131]

Для вычисления интеграла в правой части (5.47) можно применить численный метод с использованием ЭВМ. Приближенная оценка этого интеграла может быть получена путем разложения логарифма в сходящийся ряд [c.151]

На современном уровне развития методов математического описания лазеров и, в особенности, процессов в активной среде можно выделить ряд типовых задач, для которых формулируются основные рекомендации по их решению с использованием типовых схем вычислений. В случае более сложных задач, возникает множество новых особенностей, связанных с выбором расчетной схемы, необходимых величин, шага вычислений, нормирующих коэффициентов, проверкой сходимости, аппроксимации и устойчивости решений. К числу задач, допускающих использование стандартизованных методов, алгоритмов и программ, можно отнести 1) генерацию или усиление стационарного или импульсного излучения в возбужденной двухуровневой активной среде в приближении плоской волны 2) приближенный расчет энергетических характеристик генерации, основанный на использовании вероятностного метода с упрощающими приближениями 3) расчет эффективности получения гармоник и суммирования частот с принятием распространенных для этого случая упрощений, в частности таких, как приближение заданного поля 4) расчет характеристик излучения, распространяющегося в световодах, в частности, с учетом нелинейности показателя преломления их материала. [c.37]

Приближенные формулы для равномерно нагруженной круглой пластинки с большими прогибами. Описанный в предыдущем параграфе метод может быть использован также и в случае поперечной нагрузки пластинки. Он, однако, не нашел практического применения, так как для получения прогибов и напряжений в каждом частном случае приходится производить большую вычислительную работу. Более удобный прием для приближенного вычисления прогибов можно получить, применяя энергетический метод. Пусть круглая пластинка радиуса а защемлена по контуру и подвергается действию равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q. Допустив, что форма изогнутой поверхности может быть при этом представлена тем же самым уравнением, что и в случае малых прогибов, положим [c.444]

Использование метода малых Л (см. 3) позволяет находить приближенное значение величин М и т р) по формулам (2.55), (2.56), (2.35) с использованием ПК с погрешностью, не превышающей 3% при Л 0,5. Если 0,5 < Л < 1, то для вычислений коэффициентов бесконечной системы (2.35) необходимо методом урезания находить решение системы (2.52), асимптотически не упрощая ее, как это было сделано в работе [40]. Относительно выбора щ здесь справедливо сказанное выше. [c.66]

Для решения уравнения (19) необходимо, очевидно, применение некоторого численного метода, в качестве которого был выбран итерационный метод Мюллера (см. [33]) нахождения корней уравнения по методу квадратичной интерполяции. Для применения этого метода требуется первоначальная оценка трех пробных значений круговой частоты со с последующим использованием этих величин при вычислении следующего приближения. Если эти три первоначальные величины взяты достаточно точно (т. е. в пределах 10 %), то для определения частоты колебаний потребуется всего лишь [c.105]

ПОДОШВОЙ внедряется симметрично относительно оси ж = О в грань у = к на величину Как и в задаче 3 (см. п. 1.4) решение разыскивается [52] в виде суперпозиции соответствуюш,их однородных решений для слоя и неоднородного решения для слоя, когда при у = кв области ж а заданы напряжения, подлежащие определению из интегрального уравнения с известными свойствами. Основная проблема здесь возникает при удовлетворении граничным условиям на боковой поверхности х = Лу), О у к. Здесь предлагается вариант удовлетворения граничным условиям на боковой поверхности из условия наилучшего приближения в смысле Чебышева, используя несколько модифицированные методы Ремеза [42]. В результате получена нелинейная задача о наилучшем приближении. При этом существенно то, что достигается равномерная погрешность по всей боковой границе и требуется привлечение значительно меньшего числа однородных решений для получения результата той же точности, что и при использовании метода коллокаций или метода наименьших квадратов. Кроме того, предложенный алгоритм позволяет ввести эффективный контроль точности результатов в процессе счета и не требует вычисления сложных контурных интегралов, что дает значительную экономию машинного времени. [c.172]

Вычисления динамического рассеяния непериодическими объектами, такими, как дефекты в кристаллах или небольшие частицы или молекулы, проведены почти исключительно с использованием колонкового приближения, описанного в гл. 10. Для каждой колонки образца расчеты проводятся одним из методов, описанных в последней главе, или слоевым методом, который позволяет рассматривать изменения структуры или смещения элементарной ячейки. [c.252]

В заключение остановимся на вопросе о возможностях применения вычислительных машин с использованием метода моментов. Как ясно из 4 ш 5, изложенный метод включает четыре этапа (ортогонализация, вычисление прогибов, вычисление коэффициентов вариационных уравнений и решение последних), для каждого из которых характерно наличие большого числа однотипных операций. Поэтому, на наш взгляд, при необходимости определения первых трех-четырех частот программы для вычислений, составленные по методу моментов, будут проще, чем при использовании для этой же цели метода последовательных приближений. [c.306]

Заметим, что при возможности использования метода это следует делать не всегда. Применение его оправдано в достаточно простых задачах, когда, основываясь на нем, можно получить приближенную аналитическую формулу. В сложных задачах вычисление собственного поля для идеально проводящей структуры и последующий численный расчет интегралов в (1.8.7) может потребовать больших затрат машинного времени. Часто более эффективно искать непосредственно-комплексные постоянные распространения из дисперсионного уравнения для волновода с потерями. [c.71]

Определение ai, аг методом наименьших квадратов связана с минимизацией функции Ф(аь г), заданной уравнением (6.1.4). Решение этой задачи может быть осуществлено только последовательными приближениями, поэтому использование критерия вида (6.1.4) в вычислительном отношении неудачно. Для упрощения вычислений используем так называемый критерий ошибки уравнения [13]. Для уравнения (6.1.3) выражение для критерия ошибки уравнения может быть получено с помощью следующих рас-суждений. Подставим в уравнение (6.1.3) экспериментально измеренную выходную функцию y t)-, очевидно, что при этом мы не получим тождественного равенства нулю левой части этого уравнения [c.267]

Сущность метода заключается в том, что в дифференциальном уравнении производные искомой функции заменяются приближенными соотношениями между конечными разностями в отдельных узловых точках температурного поля. В результате такой замены получаем уравнение в конечных разностях, решение которого сводится к выполнению простых алгебраических операций. Расчетное соотношение приводится к виду, где будущая температура в рассматриваемой узловой точке является функцией времени, настоящей температуры в рассматриваемой точке и настоящей температуры в соседних точках. Такие уравнения составляются для всех узловых точек рассматриваемой области, включая и граничные. В результате получаем замкнутую систему алгебраических уравнений. Ввиду однотипности вычислений при решении такой системы представляется широкая возможность для использования современной вычислительной техники. [c.107]

Основные дифференциальные уравнения содержат достаточно сложные коэффициенты и не могут быть непосредственно проинтегрированы для усеченной конической оболочки, т. е. необходимо применение приближенных методов тина метода Галеркина. К сожалению, использование рассматриваемой системы координат приводит в этом случае к необходимости использовать медленно сходящийся процесс вычисления интегралов типа [c.229]

Вычисление х ( )) по формуле (1.137) с использованием выражений (1.138) и (1.139) значительно проще. Все вычисления можно выполнить на ЭЦВМ, причем программирование формулы (1.137) не встречает затруднений. Нами рассмотрен переходной процесс связанной системы. Даже для простейшей системы с двумя степенями свободы решения в замкнутой форме получить нельзя. Если воспользоваться методом разложения по формам колебаний, то можно получить приближенное решение этой задачи. [c.51]

В настоящее время ни одна из этих величин не известна с точностью, достаточной для надежного использования в данном методе и получения действительных значений Г , y g и а). Хотя с целью вычисления интеграла уравнения (25) были сделаны некоторые приближения, мы не располагаем экспериментальными данными, которые можно было бы использовать, чтобы подтвердить сделанные предположения. Поэтому необходимы дальнейшие исследования уравнений состояния для конденсации и испарения. [c.67]

Однонаправленный волокнистый композит. Расчетные значения эффективных технических постоянных композитов с квазипериодической структурой приведены в табл. 4.1. Для композитов с содержанием волокон С/ = 0,4, 0,55 и 0,70 даны значения эффективных упругих постоянных волокнистого композита с периодической структурой (когда параметр структуры к равен нулю) [11, 16] и относительные отклонения от этих значений для композитов с различной степенью разупорядоченности структуры (к = 0,7 и к = 1), вычисленные с использованием формул (4.34) и (4.38) в сингулярном приближении метода периодических составляющих. [c.82]

Правые части которых зависят от режима полета и движения лопасти. Влияние срыва при таком анализе учитывается путем ограничения величины циркуляции ее значениями при срывном угле атаки. Прогибы лопасти в плоскости взмаха представлялись в виде линейных комбинаций форм собственных колебаний, так что возбуждение колебаний по одной степени свободы определялось соответствующим интегралом от нагрузки по радиусу. При этом гармоники нагрузок определяли гармоники махового движения. Для совместного вычисления циркуляции и махового движения использовался метод последовательных приближений, а именно при решении уравнений для циркуляции движение лопастей определялось по приближенным формулам. (Заметим, что коэффициенты при Г/ приходится определять только один раз, так как для заданной формы пелены вихрей они не зависят от махового движения.) Зат-ем с использованием полученных значений Г/ вычислялись индуктивные скорости, после чего определялись коэффициенты Глауэрта уп разложения ул(л ), по которым находились подъемная сила и момент сечения. После этого по рассчитанным таким образом аэродинамическим силам строилось маховое движение лопасти и описанная выше процедура вновь повторялась до достижения сходимости. [c.668]

В более сложном случае гибридного композита, т. е. композита, армированного системой волокон разного сорта, например борными и стеклянными, попытки получить зависимости, аналогичные приведенным выше, приводят к мало пригодным для практического использования результатам (вследствие недостаточной их точности либо чрезвычайной громоздкости) [24, 25]. Этим, по-видимому, можно объяснить интенсивные поиски приближенных численных методов решения проблемы. В настоящее время наибольшее развитие получил подход, основанный на уже упоминавшемся методе тонких сечений [70—72]. Хорошему совпадению вычисленных с учетом такого подхода констант композита с их экспериментальными значениями мешают, как отмечают авторы этих работ, пористость, а также стохастический характер взаимного расположения волокон в реальном материале и некоторые другие причины, указанные в разделе 1.1.1. В целом же проблема определения эффективных модулей гибридного композита еще далека от своего разрешения. [c.31]

Аналогичные вычисления, выполненные для различных смесей углеводородов, подобных рассмотренной в примере 1, с использованием уравнения состояния Бенедикт — Вебб — Рубина, показывают хорошее совпадение рассчитанных величин с экспериментальными данными. Для характеристики многокомпонентной системы недостаточно знать только температуру и давление. Если известны состав одной фазы, а также температура или давление, точные вычисленн5 методом последовательных приближений непригодны. Для случаев, когда известны экспериментальные данные по температуре, давлению и составу, коэффициент распределения для каждого компонента вычисляют для концентрации, определенной экспериментально с помощью уравнения (8-84) и соотношения [c.276]

Уже сам Больцман подчеркивал, что вывод газокинетического уравнения основывается не только на законах механики, но и на чуждом механике вероятностном предположении при вычислении числа столкновений (5 552аЫапза12), согласно которому вероятность данной молекуле иметь при столкновении скорость V не зависит от вероятности другой молекуле иметь скорость Уь Однако такой ответ не содержал прямой связи между уравнением Лиувилля и кинетическим уравнением Больцмана. Вывод кинетического уравнения Больцмана методом функций распределения Боголюбова позволяет установить, на каком этапе этого вывода вносится неинвариантность уравнения Больцмана относительно обращения времени. Именно использование при решении уравнения для нулевого приближения бинарной функции распределения 2 (необходимое для получения газокинетического уравнения) в качестве граничного условия ослабления корреляции в отдаленном прошлом (7.10) (до столкновения частиц), проводя различие между прошлым и будущим, вводит в кинетическую теорию необратимость. Вследствие этого граничного условия мы получаем необратимое по времени кинетическое уравнение Больцмана при его выводе из обратимого уравнения Лиу- [c.126]

Однако при оценке точности получаемых таким образом приближенных решений следует соблюдать осторожность. Рассмотрим, например, применение метода Релея — Ритца в сочетании с принципом стационарности потенциальной энергии. Этот метод обеспечивает хорошее приближенное решение для перемещений, если допустимые функции выбраны соответствующим образом. Однако точность в распределении напряжений, вычисленных с использованием приближенных значений перемещений, нельзя признать удовлетворительной. Это становится очевидным, если вспомнить, что в определяющих уравнениях, полученных приближенным методом, точные уравнения равновесия и граничные условия в напряжениях заменяются их взвешенными средними и что точность приближенных решений уменьшается при дифференцировании. Таким образом, уравнения равновесия и граничные [c.20]

Как видно из описания этого метода, принципиально он очень прост, однако практическое его использование связано с большими вычислениями для соединений состава СаНьО их можно избежать, пользуясь приближенным уравнением (2). [c.50]

В это же время П. А. Вальтером (1932) было вычислено второе приближение в методе Рейли — Янцена для задачи обтекания профиля крыла. Однако громоздкость вычислений по этому методу делала его малопригодным для практического использования. Развитие теории иошло по другому пути, для которого отправным пунктом послужила система линейных уравнений в плоскости годографа скорости. Начало развитию этого направления и вообще развитию точной теории стационарных движений газа было положено еще С. А. Чаплыгиным в его диссертации О газовых струях (1902). В этой работе были решены некоторые задачи, явившиеся обобщением теории струйных течений Гельмгольца — Кирхгофа на случай сжимаемой жидкости, а также предложен весьма простой приближенный метод интегрирования уравнений газовой динамики, основанный на аппроксимации точной адиабатической зависимости р — р (р) подходящим образом выбранной линейной зависимостью р = А Bip. Н. А. Слезкин (1935, 1937) рассмотрел в приближенной постановке Чаплыгина задачи о струйном и сплошном бесциркуляционных обтеканиях. [c.98]

Методы интегрирования диференциального уравнения неравномерного движения. Непосредственное интегрирование основного ур-ия в форме 1 и даже в форме 3 затруднительно. Существующие методы интегрирования имеют приближенный х- оактер и преследуют цель использования П( лученных зависимостей для вычисления и построения кривых подпора и спада. [c.72]

ИЛИ в лучшем случае задания численных значений комбинаций из этих параметров. Между тем в динамические системы, возникающ ие из приложений, всегда входит то или другое число параметров, которые могут принимать различные значения. Необходимость задания параметров затрудняет обозрение всей задачи в целом. Поэтому там, где возможно применение аналитических методов, может быть даже и сложных, их всегда следует предпочитать методам приближенного численного интегрирования. Однако в некоторых случаях использование приближенного интегрирования является единственным возможным методом получения сведений о топологической структуре разбиения на траектории данной динамической системы. Подчеркнем, что при этом представляет интерес не приближенное вычисление траекторий на том или другом промежутке значений I, само по себе, которое, конечно, имеет смысл и значение во многих задачах, а то, как такое приближенное вычисление служит для установления качественной структуры разбиения на траектории или хотя бы для получения тех или других качественных характеристик разбиения на траектории. [c.250]

Малые планеты и небесная механика. В течение XIX и XX вв. были разработаны многочисленные методы для изучения движения малых планет. Из всех этих методов только метод Ганзена (1795—1874) получил довольно широкое распространение, остальные методы применялись в единичных случаях. Метод Ганзена был, в частности, использован Лево (1841—1911) для построения точной теории движения Весты. Таблицы, составленные Лево в результате 25-летней непрерывной работы — это единственные таблицы, дающие положение малой планеты с точностью, не уступающей точности больших планет. Для вычисления приближенных возмущений широкое распространение получили методы Болина (1860— [c.100]

В случае сферы Брисон и Гросс проделали вычисления для системы (8.101) методом характеристик. Вычисления в окрестности передней критической точки проводились приближенным методом, аналогичным методу, использованному ими для цилиндра. Полученные результаты не так полны, как для цилиндра, но согласование между теорией и экспериментом, показанное на рис. 8.17, столь же хорошо. [c.298]

Обсуждение и рекомендации. В табл. 7.5 дается сравнение между расчетными и литературными значениями С° при 298 и 800 К. Очевидно, что метод Бенсона, если он применим для данного случая, является наиболее точным, хотя для углеводородов метод Тинха дает сравнимые результаты. Метод расчета по составляю-Ш.ИМ связей прост в использовании, но позволяет производить лишь приближенные вычисления, и его применение ограничивается лишь значением температуры 298 К. Метод Рихани—Дорэсвейми пригоден для самых разнообразных соединений. В этом методе выражается в виде полинома по температуре. Однако в общем случае этот метод менее точен, чем предыдущие, особенно при низких температурах. [c.240]

Со времени зарождения квантовой теории излучения черного тела вопрос о том, насколько хорощо уравнения Планка и Стефана — Больцмана описывают плотность энергии внутри реальных, конечных полостей, имеющих полуотражающие стенки, был предметом неоднократных обсуждений. Больщин-ство из них имели место в первые два десятилетия нащего века, однако вопрос закрыт полностью не был, и в последние годы интерес к этой и некоторым другим родственным проблемам возродился. Среди причин возрождения интереса к этому старейшему предмету современной физики можно назвать развитие квантовой оптики, теории частичной когерентности и ее применение к изучению статистических свойств излучения недостаточное понимание процессов теплообмена излучением между близкорасположенными телами при низких температурах и проблему эталонов далекого инфракрасного излучения, для которого длина волны не может считаться малой, а также ряд теоретических проблем, относящихся к статистической механике конечных систем. Хорошим введением к современному обзору в этой области являются работы [2, 3, 5]. Еще в 1911 г. Вейль показал, что требованием о том, чтобы полость являлась прямоугольным параллелепипедом, можно пренебречь при условии, что (У /с)- оо. Он показал также, что в пределе больших объемов или высоких температур число Джинса справедливо для полости любой формы. Позднее на основании результатов работы Вейля были получены асимптотические приближения, где Do(v) являлся просто первым членом ряда, полная сумма которого 0 ) представляла собой среднюю плотность мод. Современные вычисления величины 0 ) [2, 4] с использованием численных методов суммирования первых 10 стоячих волн в полостях простой формы показали, что прежние асим- [c.315]

Использованный нами метод итерации заключается в следующем. Приближенно выбираем распределение/ j (f) и Si(f ) и оцениваем правые члены уравнений (8) и (9). Это позволяет найти два новых распределения /2(f) и Siif ). В принципе для оценки /3 (/ ) и 5з(/ ) их следует снова ввести в (8) и (9). Практически для получения быстрой сходимости необходимо после подстановки распределений в правую часть уравнений произвести определенные преобразования. Эти преобразования (см. [5j или [6]) приводят к хорошей сходимости во всем диапазоне изменений переменных. Вычисления осуществлялись на вычислительной машине лаборатории Льюиса Национального консультативного комитета по авиации. [c.239]

Подход, рассмотренный выше для малых деформаций, может быть применен при решении линеаризованной задачи на каждом шаге метода малого параметра или Пьютона-Канторовича в случае, если задача решается при конечных деформациях. Для плоских задач расчеты могут быть выполнены с помощью специализированной системы аналитических вычислений на ЭВМ [127]. С использованием авторского специализированного программного комплекса для аналитических вычислений на ЭВМ Наложение (на базе Mathemati a 5.1 ), удалось получить приближенное решение в аналитической форме задачи об образовании (возникновении) упругого включения в предварительно нагруженном теле. [c.333]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...