Выходная функция

Выделение входных и выходных параметров весьма важно при исследовании динамики процессов химической технологии. Используя эти понятия, можно сказать, что математическая модель, описывающая динамику технологического объекта, должна предсказывать, как будут меняться во времени выходные параметры при произвольном изменении во времени входных параметров (рис. 2.1). При этом любой технологический объект целесообразно интерпретировать как некоторый функциональный оператор, ставящий в соответствие каждому набору входных функций Ui t), U2 t),. .., Un(t) соответствующий набор выходных функций Vi t), V2(t).....Oft (О- в результате задача исследования динамики технологического процесса сводится к исследованию свойств функционального оператора, который задается математической моделью процесса. Поэтому прежде чем рассматривать методы исследования динамических свойств процессов [c.39]

Интегральные операторы вида (2.1.8) играют большую роль в теории функциональных операторов, представляя собой универсальную форму записи линейных операторов. Часто задача исследования свойств оператора некоторого объекта решается с помощью представления этого оператора в форме (2.1.8) и дальнейшего изучения свойств функции Q t,x), которая является важной характеристикой всякого технологического объекта, поскольку знание ядра интегрального оператора Q( , т) позволяет по любой входной функции объекта u(t) с помощью соотношения (2.1.8) определить соответствующую выходную функцию у( ). [c.43]

Из определения линейного оператора можно получить два простых следствия. Во-первых, если входная функция u t) представлена в виде суммы u t) = u t) + 2(0. то выходная функция v t) линейного объекта может быть записана как сумма реакций объекта на каждую составляющую щ, входной. функции, т. е. v(t) =Vi t) +V2(t), где Vl t) =Aui(t), V2(t) =Au2 t). Во-вторых, если произвести увеличение входной функции u t) в а раз, то при этом и выходная функция увеличится в а раз, т. е. A au t)) = [c.49]

Функцию Ux(i), можно рассматривать как результат применения к функции и(1) оператора сдвига 5т (рис. 2.2, а). Из условия (2.2.25) следует, что если А — однородный оператор, то выходная функция Vx t) также может быть представлена как результат действия на функцию v(i) оператора сдвига St (рис. 2.2,6), т. е. А (Sxn(t)) = Зх(Аи(( ). Очевидно, что оператор сдвига является однородным. Легко можно установить, что оператор дифференцирования и оператор интегрирования тоже однородны. Так, интегральный оператор общего вида / [c.54]

Отметим, что начальные условия для смещенной выходной функции v t — т) имеют следующий вид [c.55]

Замена в начальных условиях = 0 на t = x вполне естественна, так как условия (2.2.29) по существу задают значения выходной функции v(t) и ее производных в момент начала действия входной функции. Поскольку v t—т) есть реакция объекта на входное воздействие u(t — т), появившееся с момента = т, то условия (2.2.29) должны выполняться для v t — т) именно в момент t — T, что и выражено в (2.2.30). [c.55]

Таким образом, для определения правила действия оператора А на любую функцию (/) (т. е. для определения реакции объекта на любое входное возмущение) достаточно знать действие этого оператора на 8 t — т). Функция G t,x), характеризующая оператор Л (соответственно, и технологический объект, описываемый оператором Л), называется весовой, или импульсной переходной, функцией. Для любого линейного объекта выходная функция v t) определяется по входной функции u t) и весовой функции по формуле (2.2.43). Физический смысл весовой функции состоит в том, что G(t,x) определяет, какой вклад в значение выходной функции V в момент времени i дает значение входной [c.60]

Пусть на вход стационарного линейного объекта подается в момент времени t = х входное воздействие в виде S-функции (единичный импульс) Ut( =S( — т) Выходная функция объекта Vx(i) определяется весовой функцией Vx(t) =Aur t) =G t,x). Поскольку оператор А является однородным, временной сдвиг — т не изменяет правила действия оператора. Согласно (2.2.25), должно быть G t,x) =Vx i) =v t — т), где v t) соответствует несмещенной входной функции u t) =8(t), т.е. v t) = [c.68]

Для доказательства соотношения (2.2.77) воспользуемся представлением (2.2.43) для выходной функции v(t) с помощью весовой функции. Для стационарного объекта G(t, %) = g(t — т). Кроме того, u t)= О при t < О, поэтому получим [c.70]

Такой вид наиболее удобен при теоретическом исследовании. Функция g i) является ядром интегрального оператора. Однако для определения результата действия оператора А на произвольную входную функцию u t) соотношение (2.2.77а) мало пригодно поскольку интеграл в правой части при сложном виде (0 и u t) вычислить не удается. Чаще всего для определения выходной функции v t) используется передаточная функция W p). Метод определения у (О состоит в следующем. По таблицам преобразований Лапласа ищется изображение й(р), затем строится функция u. p)W(p) и по тем же таблицам находится оригинал этой функции, который и дает выходную функцию v t). Хотя часто отыскание прямого и обратного преобразования Лапласа представляет собой трудную задачу, указанный метод наиболее эффективен для определения выходной функции объектов по известной входной функции. [c.72]

Весьма важной характеристикой стационарного объекта является переходная функция h t). По определению она представляет собой выходную функцию объекта, на вход которого подано воздействие в виде ступенчатой функции % t), т. е. когда на входе объекта в момент t = О произошел скачок входного воздействия от нуля до единицы. Таким образом, h t) описывает процесс перехода объекта из стационарного режима работы, соответствующего u t) S О, в стационарный режим работы, соответствующий u t) 1 (рис. 2.4). [c.72]

Выражение (2.2.84) устанавливает соответствие между преобразованиями Лапласа Свх(р) и Свых(р) от входной и выходной функций. Это соответствие имеет очень простой вид. Чтобы получить изображение выходной концентрации Свых(р) достаточно умножить изображение входной концентрации Свх(р) на функцию 1/(/срР + 1), т. е. [c.74]

Пусть входная функция объекта есть вектор-функция u t) = = ui( ),. .., Un t) , выходная функция есть вектор-функция [c.75]

Экспериментальное исследование нелинейных объектов также связано с рядом трудностей. Для нелинейных операторов не выполняется ни дискретный принцип суперпозиции (2.2.1), ни интегральный принцип суперпозиции (2.2.33), (2.2.34). Поэтому если имеется многомерный нелинейный оператор с несколькими входными параметрами, то, определив реакцию объекта на изменение отдельных параметров, нельзя предсказать поведение объекта при одновременном изменении всех параметров. Напомним, что для линейного оператора такое предсказание всегда возможно, и это является основой исследования линейного многомерного оператора путем его замены эквивалентной системой одномерных операторов, описывающих отдельные каналы связи в объекте. Кроме того, при исследовании нелинейных объектов нельзя ограничиться изучением реакции объекта на одно какое-нибудь стандартное воздействие. Знание отклика объекта на входное воздействие одного вида недостаточно для предсказания поведения объекта при воздействии произвольного вида. Действительно, поскольку для нелинейного объекта не выполнен принцип суперпозиции, то представление входной функции в интегральном виде (2.2.33) не дает возможности утверждать о возможности аналогичного интегрального представления (2.2.34) для выходной функции. Это означает, что для нелинейного оператора невозможно ввести характеристические функции, которые определяли бы все свойства оператора. [c.77]

Как было показано в разделе 2.2, нелинейность оператора, задаваемого дифференциальными уравнениями, проистекает либо от наличия ненулевых начальных условий, либо от нелинейности дифференциальных уравнений. Рассмотрим последовательно оба этих случая. Пусть технологический объект описывается линейным дифференциальным уравнением с ненулевыми начальными условиями. Рассмотрим процедуру линеаризации нелинейного оператора такого объекта. В этом случае линеаризация приводит к линейному оператору А, который эквивалентен исходному нелинейному оператору А в том смысле, что каждая выходная функция v(t) =Au t) оператора А с помощью точного соотношения выражается через соответствующую выходную функцию линейного оператора А. [c.78]

Перейдем к рассмотрению нелинейных операторов, задаваемых с помощью нелинейных дифференциальных уравнений. В этом случае уже невозможно свести нелинейный оператор к эквивалентному линейному, т. е. нельзя написать соотношение, аналогичное (2.3.6), с помощью которого можно было бы точно выразить любую выходную функцию нелинейного оператора с помощью соответствующей выходной функции некоторого линейного оператора. Процедура линеаризации дает лишь приближенное выражение выходных функций нелинейного оператора с помощью выходных функций линейного оператора, причем даже такое приближенное выражение справедливо далеко не для всех входных функций u(i). Для реальных технологических объектов, как правило, линеаризованный оператор эквивалентен исходному на входных функциях, значения которых не слишком сильно отклоняются от значения соответствующего параметра в некотором стационарном режиме работы объекта. Таким образом, линеаризованный оператор позволяет описывать поведение технологического объекта в условиях, когда вхо,п,ные параметры меняются лишь в незначительных пределах. [c.79]

С помощью оператора А выходная функция v t), являющаяся результатом действия исходного нелинейного оператора А на входную вектор-функцию u(t) = ui(t), U2 t) , значения компонент Ui(t), U2 t) которой мало отличаются от их значений Ug стационарном режиме, приближенно записывается следующим образом [c.81]

Рассмотренный пример иллюстрирует общую идею линеаризации, которая заключается в выделении некоторого стационарного режима работы объекта. При этом считается, что все переходные процессы в объекте закончились и на выходе установилось стационарное значение выходного параметра. Если скачок значения выходной функции от нуля до стационарного значения произошел в некоторый конечный момент времени (о, то теоретически переходной процесс в объекте нельзя считать закончившимся поэтому необходимо предполагать, что стационарное входное воздействие подается бесконечно долго, т. е. момент времени to отодвинут в —00. Исходный нелинейный оператор заменяется эквивалентным нелинейным оператором, входными функциями которого являются малые отклонения входного воздействия от начального стационарного значения. Разлагая все нелинейные функции параметров, входящие в дифференциальные уравнения, по степеням отклонений этих параметров от их стационарного значения и отбрасывая все члены разложения, содержащие степени отклонений выше первой, получим линейные дифференциальные уравнения, задающие линейный оператор. Этот оператор и является результатом линеаризации. При входных параметрах, мало отклоняющихся от их значений в выбранном стационарном режиме, выходные функции исходного оператора приближенно выражаются через выходные функции построенного линейного оператора. [c.81]

Основным условием возможности замены выходной функции нелинейного оператора с помощью выходной функции линеаризованного оператора является малость отклонений параметров объекта от их значений в выбранном стационарном режиме, относительно которого производится линеаризация. В общем виде [c.81]

Оператор Л2 преобразует функцию q t), которая для него является входной, в выходную функцию v t), определяемую из уравнения [c.87]

При q t) = G t,x) выходная функция v t) будет весовой функцией оператора А, т. е. из (3.1.21) получим [c.88]

Перейдем теперь к изложению метода получения параметрической передаточной функции для объектов с сосредоточенными параметрами. Будем рассматривать общий случай, когда объект описывается уравнением (3.1.1) с начальными условиями (3.1.2). Согласно (2.2.57), параметрическая передаточная функция F(t,p) представляет собой коэффициент, на который умножается входная функция u(t) = еР при прохождении через рассматриваемый линейный объект, т. е. выходная функция при u t) = ер будет иметь вид < [c.89]

Выходная функция v(i) определяется с помощью уравнения [c.89]

Для стационарных объектов функция v t, р) не зависит от t и является преобразованием Лапласа от выходной функции v t). Поскольку передаточная функция W(р) стационарного объекта определяется формулой (3.1.35), то можно в соответствии со свойством (2.2.77) записать [c.91]

Тем самым получено выражение для преобразования Лапласа от выходной функции v(t). Чтобы получить v(t), необходимо найти оригинал функции (3.1.44). Разложим дробно-рациональную функцию (3.1.44) на простейшие дроби [c.92]

Оригинал каждого из слагаемых в этом выражении легко находится по таблицам преобразований Лапласа. В результате получим выражение для выходной функции [c.92]

Подставив в это соотношение v x,p) в виде (3.2.19), найдем соотношение, выражающее преобразование Лапласа от выходной функции через преобразование Лапласа от входной функции [c.100]

С учетом известного свойства преобразования Лапласа (см. приложение) S ( ( — о)) = й(р)е- Р, выходная функция, соответствующая входной функции u t), имеет вид [c.100]

Как видим, для стационарных объектов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, процедура определения передаточной функции U (p) имеет достаточно простой вид и в приведенном примере позволяет до конца решить задачу исследования функционального оператора объекта. Из свойства (2.2.77) следует, что для определения передаточной функции достаточно получить выражение преобразования Лапласа вых(р) выходной функции через й р) — преобразование Лапласа входной функции. Чтобы найти такое выражение Увых(р) через й(р) достаточно применить преобразование Лапласа к уравнению и граничным условиям математической модели, затем решить получившееся обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции х, р) — преобразования Лапласа от внутреннего параметра v x, t), и подставить в решение х = I. [c.101]

В дальнейшем, когда речь идег о конкретном виде функциональной зависимости некоторого входного или выходного параметра от времени, будем также использовать термины входная функция и выходная функция. [c.39]

В данном примере выходным параметром системы служит текущая температура нагреваемого тела T t). С помощью уравнения (2.1.12) и начального условия (2.1.13) задается функциональный оператор А, ставящий в соответствие каждой входной функции Тви () выходную функцию Т(t) = AT (t). В рассматриваемом процессе теплообмена, который описывается обыкновенным дифференциальным уравнением (2.1.12), различие между температурой нагревателя Твх(0 как входным параметром и температурой нагреваемого тела Т(t) как выходны,м параметром носит условный характер. Фактически при таком описании пренебрегают реальным распределением всех параметров по пространственной координате, поэтому здесь неприменимы понятия вход и выход, если понимать их в строгом простаатотвенном смысле. Разница между 7 вх(<) и Т ( ) = Гвых(0 состоит в том, что 7 вх(0 может произвольно меняться во времени, а Т (t) зависит от выбора [c.44]

Функциональный оператор А теплообменника ставит в соответствие каждому набору входных функций 7" вх( ), T2 (t), Wi(t), Ш2( ) набор выходных функций (Г1аь1х(0. 2вых(<) , получаемых по формулам (2.1.19) из решений Ti(x, t), l (x, 1) уравнений (2.1.16) с начальными и граничными условиями (2.1.17), [c.46]

Можно доказать, что если на вход линейного объекта подается воздействие гармонического вида, например w( ) = авхСоз(ш/-f + 1 5вх) с "постоянной ЭМПЛИТуДОЙ Оах И фаЗОЙ IJbx, то выходная функция также будет гармонической, но с другой амплитудой и фазой колебаний. При этом в общем случае амплитуда Овых и фаза выходной функции будут зависеть от времени [c.62]

Линеаризацией нелинейного оператора А называется его замена некоторым линейным оператором А, таким, что на определенном множестве М входных функций u(t) каждую выходную функцию v(t) =Au(i) оператора можно приближенно выразить с помощью соответствующей выходной функции v (t) =A u t) линейного оператора А. Обычно А можно заменить линейным оператором Л несколькими различными способами. В зависимости от выбора множества М и требуемой степени точности выражения выходных фукций линейного оператора этот оператор будет иметь различный вид. [c.78]

Весовая функция оператора A=AiAs по определению есть выходная функция этого оператора, которая получается при действии А на входную функцию u t)=8(t — х). Входная функция оператора А является одновременно входной для оператора Ау. Поэтому при u t)=6 t — т) выходной функцией оператора Ai будет весовая функция этого оператора, т. е. q t) = Gi(t,x). Выходная функция q t) оператора Л] является входной для второго оператора Л2. Для определения выходной функции оператора Л осталось определить, как действует оператор Лз на функцию q t) = G2 t,x). Результат действия оператора на произвольную [c.87]

Аналогично можно записать системы дифференциальных уравнений, определяющих передаточные функции Wu p), Wi2 p) и W2i(p), Wiiip). Однако в случае стационарных объектов гораздо более простым является способ определения передаточных функций, использующий соотношения (2.2.88). Применяя к уравнениям (3.1.48), (3.1.49) преобразование Лапласа и используя нулевые начальные условия, получаем систему алгебраических уравнений для изображений й р), й.2 р), Vi(p), 5г(р) входных и выходных функций [c.95]

С помощью краевой задачи (3.2.13), (3.2.14) задается однородный оператор А u t) Vsux t). Выходная функция Увых(0 определяется по формуле [c.99]

Выходная функция Увых(0 определяется соотношением (3.2.15). Применив к обеим частям этого соотношения преобразование Лапласа по переменной t, получим формулу для преобразования Лапласа йвых(р) от выходной функции [c.100]

При X = / из последних равенств получим выражение для преобразований Лапласа от выходных функций ииых(0 и У2вых( ) [c.106]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...