Математическая модель случайной функции

Математическая модель случайной функции [c.74]

Представляет собой математическую модель случайного процесса. Часто термины случайная функция и случайный процесс считают совпадающими, отождествляя математическую модель и [c.162]

Простейшей математической моделью случайных процессов нагружения является поток дискретных статистически независимых воздействий х (t) == Xj, х ,. ..) (рис. 9.1, а). Этот поток задается функцией распределения интенсивности единичного нагружения F [х) и функцией распределения интервала времени между нагружениями Ф (t). Соответствующие плотности распределений обозначим через f х) и ф ( ). В задачу анализа таких процессов входит определение распределения абсолютного [c.69]

Квазислучайные гауссовские процессы. Представление эксплуатационной нагруженности конструкций в виде различных математических моделей случайных процессов требует при их структурном анализе проведения трудоемких вычислений на ЭВМ. Вместе с тем такой анализ может быть проведен относительно просто, если реальные процессы нагружения удается представить в виде квазислучайных функций времени, т. е. функций времени, заданных с точностью до одной или нескольких случайных величин. Такие функции можно получить на базе простейшего гармонического нагружения (рис. 11.7, а) [c.113]

Разнообразие режимов эксплуатации предопределяет многообразие математических моделей случайных процессов, которые могут быть использованы для описания их нагруженности. Эти модели могут быть сформированы на основе экспериментальных данных о нагруженности, полученных при относительно кратковременных испытаниях конструкций на эксплуатационных режимах нагружения и дополнительной информации об особенностях их функционирования и накоплении в них различных изменений в течение всего срока службы в результате старения и изнащивания. Так приходят к моделям процессов, представленных в виде сумм и (или) произведений детерминированных и случайных функций, а также к моделям в виде процессов, сформированных с помощью безынерционных или инерционных линейных или нелинейных преобразователей, и т.п. [12]. [c.120]

Исходными данными при минимизации функционала (4) являются Rxx t), Rxy t), I = 1, 2, т. В практических задачах исходные данные часто могут быть заданы лишь приближенно. Погрешности при формировании автокорреляционных и взаимных корреляционных функций случайных процессов могут носить самый разнообразный характер. К таким погрешностям относится погрешность, вызванная несоответствием принимаемой математической модели случайного процесса его физическому выражению. Ясно, что эта погрешность может возникать и при построении корреляционных функций на основе математического анализа и при экспериментальной обработке реализаций. При использовании коррелометров возникают, например, аппаратурные погрешности, погрешность, вызванная конечным временем записи реализаций. Погрешности в используемых исходных данных образуются при различных аппроксимациях экспериментальных кривых корреляционных функций функциями специального вида. Погрешности возникают как результат дискретизации и приближенного решения векторных уравнений вида (6) на вычислительных машинах. [c.69]

Математические модели измеряемых величин и величин, характеризующих среду, в которой реализуются измерения, рассмотрены в третьей главе. Даны описания математических моделей детерминированных величин медленно меняющихся, периодических, типа одиночного импульса. Модели построены на использовании ряда Тейлора, комплексного ряда Фурье, интегрального преобразования Фурье, ряда Котельникова. Математические модели случайных величин сформированы применительно к гауссовским случайным величинам и стационарным случайным функциям и последовательностям. [c.4]

Функции Р(х) и f(x) как математические модели случайных величин трудно оценить экспериментально. Поэтому желательно описать случайную величину ограниченным набором числовых показателей. Минимальный набор включает два показателя математическое ожидание и дисперсию. [c.65]

ОЦЕНИВАНИЕ подразумевает процедуру получения оценок параметров моделей, определяющих адекватность моделей, ОЦЕНКА. В качестве оцениваемых величин могут быть взяты математическое ожидание случайного процесса, дисперсия, корреляционная функция. Могут оцениваться параметры объектов, значения передаточных функций, амплитудно- [c.56]

Проверка гипотез о законе распределения случайной величины. При сопоставлении математических моделей надежности всегда делают предположение о виде законов распределения различных случайных величин наработок на отказ, длительностей восстановления и пр. Априорно гипотезы о виде функций распределения выбираются на основании различных физических предпосылок, предыдущего опыта или просто правдоподобных рассуждений. Выбрав гипотезу о виде закона распределения, можно затем заниматься оценкой неизвестных параметров на основании эмпирических данных. Однако и сама гипотеза о характере закона распределения требует соответствующей проверки. [c.270]

Метод Монте-Карло есть метод математического моделирования случайных явлений, в котором сама случайность непосредственно включается в процесс моделирования и представляет собой его существенный элемент. Следовательно, исходные параметры для расчета математических моделей, а также возможные стратегии развития технологических процессов формируются случайным образом на основе программной имитации случайных функций. [c.270]

Стратегическая и статистическая неопределенности обусловливают наличие своего рода конфликта между необходимостью выполнить прогноз в области ВЭР и природой, скрывающей свои закономерности. Следовательно, если возможные варианты перспективного развития технологических процессов промышленности и утилизационной техники определить как возможные стратегии (чистые и смешанные) некоторой условной коалиции, а случайные совокупности исходных параметров (необходимых для расчета математических моделей процессов) как некоторые состояния природы, то игровая ситуация в данном случае будет интерпретироваться как игра с природой . Каждая пара, состоящая из стратегии и состояния природы, имеет определенные следствия. Одно из этих следствий состоит в возможности получения элементов функции выигрыша условной коалиции, второе следствие — в возможности определения искомых показателей удельного выхода или удельной выработки энергии на базе ВЭР. Рассматривая данную ситуацию как игру с природой , представляется возможным, используя различные критерии, выявить определенное подмножество рациональных стратегий развития технологических процессов промышленности (и утилизационной техники), определить на математических моделях процессов [c.271]

Затем, зная для большинства входных параметров возможные диапазоны их изменения в прогнозируемом периоде, случайным образом (методом Монте-Карло) образуют их различные сочетания. Аналогично образуются возможные сочетания различных способов производства промышленной продукции в прогнозируемом периоде. Выполняется группировка случайных сочетаний входных параметров и случайных сочетаний способов производства по определенным классам. Для каждого класса параметров и для каждого варианта перспективного развития технологических процессов промышленности (в комплексе с утилизационными установками) на математических моделях рассчитываются искомые значения критериальных функций, т. е. экономические оценки, в результате чего определяется игровая матрица затрат. В результате анализа игровой матрицы затрат по определенным критериям определяются рациональные варианты развития технологических процессов промышленности. Для этих вариантов на математических моделях процессов рассчитываются удельные показатели выхода и возможной выработки энергии на базе ВЭР. Анализируются полученные результаты и принимается решение по рекомендуемым вероятным значениям удельных показателей ВЭР в прогнозируемом периоде. [c.272]

При определенных условиях оперативной цепи решений можно поставить в соответствие марковскую цепь, что и сделано в гл. 5 при построении алгоритмов эффективности и оптимизации. С другой стороны, уровень настройки можно рассматривать как математическое ожидание стохастической функции х (т), признака качества, рассматриваемого как функция от количества повторений операции. Планы выборочных проверок становятся при таком подходе операторами преобразования. При расчете эффективности в условиях описанной модели использование теории стохастических функций может привести к резкому повы шению требований к математической подготовке читателя без заметных практи ческих результатов. В то же время не вызывает сомнения тот факт, что в уело ВИЯХ полной автоматизации технологических процессов с применением непрерыв кого статистического регулирования на базе электронных анализаторов с обраТ ной связью использование результатов теории случайных функций становится неизбежным, но все же в той или иной комбинации с элементами комплексной методологической схемы, предложенной в этой книге- [c.46]

При такой постановке изучения вопросов надежности на кафедре математики студенты смогли бы получить осно ВЫ знаний по теории вероятностей, математической статистике, теории случайных функций, математической логике, линейному и нелинейному программированию и другим разделам математики. Это послужило бы хорошим фундаментом не только для изучения в курсе теории надежности математических моделей явлений износа и других теорий утраты работоспособности, но и для перехода к построению теории принятия решений. [c.281]

В зависимости от точности математического описания и конкретных требований, предъявляемых техническими условиями на выходные параметры качества деталей, модели процессов могут быть построены на уровне случайных величин и случайных функций. Применение случайных величин дает возможность получить статические модели технологических процессов, а использование случайных функций — динамические модели, более полно отражающие реальные процессы [54]. [c.255]

Из уравнения (10.15) видно, что оператор условного математического ожидания m y t) X (s) выходной переменной Y (t) относительно входной переменной X (s) дает оптимальный оператор объекта в классе всех возможных операторов по критерию минимума среднего квадрата ошибки. Таким образом, если по реализациям входной и выходной случайных функций одномерного технологического процесса найти уравнения регрессии выходной переменной Y (t) относительно входной X (s), то получим искомую модель технологического процесса. [c.323]

Лдя стохастических объектов постановка задачи построения математической модели базируется в основном на числовых характеристиках случайных функций математических ожиданиях, дисперсиях, корреляционных функциях. Для некоторых технологических процессов массового производства, входные и выходные переменные которых могут приниматься как случайные величины, необходимо иметь полные характеристики объекта Такой характеристикой является условная плотность распределения выходной переменной Y t) относительно входной переменной X (s) [c.324]

Сущность постановки задачи построения типовых динамических характеристик заключается в том, что динамические модели технологических процессов, имеющих одинаковые характеристики входных и выходных переменных, очевидно, формально могут быть представлены одной и той же математической моделью. Например, ясно, что если для двух одномерных линейных стационарных технологических процессов, независимо от их физической природы, корреляционные функции входной случайной функции равны и, кроме того, равны также взаимные корреляционные функции входной и выходной случайных функций, то такие два процесса должны иметь идентичное математическое описание, т. е. их весовые функции должны совпадать. Естественно, что это относится не только к объектам, выполняющим одни и те же технологические операции, но и к технологическим процессам, где, выполняются разные по своей природе операции. Известно, что для различных электрических, тепловых, механических и других явлений существует одно и то же математическое описание, дающее возможность решать с достаточной точностью практические задачи. [c.336]

В общем случае технико-экономические показатели следует рассматривать как случайные функции. Аргументами этих случайных функций является время или другие показатели производственных процессов количество продукции, качественные показатели и др. Построение математических моделей по данным нормальной эксплуатации предусматривает получение реализаций тех или иных технико-экономических показателей и их обработку для определения оценок как общих характеристик, так и числовых. Эти показатели могут относиться как к входным и выходным переменным, так и к переменным, характеризующим внутреннее состояние объектов. Например, при описании отдельного производственного процесса стоимость выходного продукта — выходная случайная функция. Аналогично стоимость инструмента и его подналадка для металлорежущих станков, стоимость амортизации основных средств, расход энергии и т. д. представляют собой случайные функции, характеризующие технико-экономические показатели самого объекта. [c.363]

Данная работа посвящена статистическим методам оценки точности и математическому описанию технологических процессов, осуществляемых с помощью ЭВМ. Такое описание позволяет построить математическую модель, рассматриваемую как объект управления в моменты, соответствующие определенным этапам технологического процесса, или во времени. Модели, характеризующие влияние случайных погрешностей на качество деталей, описываются случайными величинами, а модели систематических погрешностей — случайными функциями времени. [c.3]

Решение ряда важных технических задач приводит к необходимости анализа математической модели процесса, представляющего собой сумму (композицию) нескольких стационарных Гауссовских колебаний. Так, при анализе плоского напряженного состояния, эквивалентное напряжение строится обычно в виде композиции трех напряжений, действующих по двум взаимно перпендикулярным площадкам и представляющих собой трехмерный случайный процесс. Сформулируем задачу. Пусть задан трехмерный стационарный Гауссовский процесс у, z, описываемый следующей матрицей корреляционных и взаимных корреляционных функций [c.143]

Из всех возможных математических моделей нестационарных случайных колебаний а (/) рассмотрим только такие, которые задаются детерминированными функциями изменения со временем их основных параметров п = n t) — средней частоты — = (t) — дисперсии о = о (О среднего значения процесса нагружения и т. п. В некоторых моделях таких процессов изменяется только один из этих параметров, в других — могут изменяться одновременно несколько из этих параметров. [c.161]

В 1970 г. В. В, Болотиным предложена математическая модель процесса разрушения [15, 16] композитных материалов со случайной структурой. Разрушение трактуется как случайный процесс с дискретным множеством состояний и непрерывным временем. Существенным элементом теории является моделирование процесса распространения макроскопической трещины как случайного процесса. Рассматривается вопрос о выборе пространства состояний и о разумном сокращении размерности этого пространства, о связи между переходными вероятностями и функциями распределения локальной прочности. Экспериментальная проверка теории на основе стохастической модели проведена на примере изучения процесса разрушения армированных пластиков. [c.267]

Модель объекта измерений не обязательно должна быть физической моделью, как в рассмотренном примере. Характер модели должен определяться видом и свойствами объекта измерений и задачей измерений. Так например, пусть объект измерений — изменяющееся электрическое напряжение, а задача измерений — оценка мощности, которая может быть выделена в нагрузку. Тогда для определения измеряемой величины, как функционала функции времени — изменяющегося напряжения, в качестве модели может быть принята математическая модель напряжения, как случайного процесса. Измеряемой величиной должно быть принято действующее значение и случайного процесса и(() — функционал [3] [c.12]

Специфика той составляющей погрешности средства измерений, которую приходится принять за его систематическую погрешность, позволяет считать целесообразным представление основной погрешности моделью (3.3), в которой вся нестационарность основной погрешности, как случайной функции, и математические ожидания случайных величин отражены систематической погрешностью До (0. Остальные составляющие модели (3.3) могут тогда рассматриваться как стационарный случайный центрированный процесс и центрированные случайные величины. Надо подчерк- [c.123]

В настоящее время при исследовании динамики и при разработке электромеханических систем управления главными механизмами крупных экскаваторов широко используется математическое моделирование, выполняемое на аналоговых электронно-вычислительных машинах (АВМ). Однако серьезной трудностью для построения полной модели, отражающей реальные физические процессы, является необходимость учета режима копания грунта как случайной функции. Если этим пренебречь, то ценность электронного моделирования в значительной степени снижается, возникают сомнения в достоверности получаемых на модели результатов. [c.417]

Обратимся к математической модели результата измерения, как случайной величины, представленному выражению (1.18). Будем рассматривать этот случайный результат измерения как функцию измеряемой величины х, т. е. как случайную функцию, и запишем его в виде [c.87]

Математические модели формирования аддитивных случайных составляющих погрепшости и алгоритмы определения их математических ожиданий и ковариационных функций подробно рассмотрены в предыдущей главе. Поэтому здесь основное внимание будет уделено мультипликативной случайной составляющей погрешности как в статическом, так и в динамическом режимах измерения. [c.161]

Практическая реадазация методов теории случайных функций при анализе нагруженности элементов конструкций встречает ряд принципиальных и вычислительных трудностей. При этом основным является вопрос об адекватности выбранной для анализа математической модели случайного процесса реальным процессам нагружения. Несоответствие математической модели процесса реальной нагруженности может привести к значительным ошибкам и к дискредитации самих методов теории случайных функций. [c.220]

Особое значение имеют расчеты конструкции при случайных воздействиях, поскольку модели таких воздействий наиболее полно отражают их реальную яагружелность в эксплуатации К таким конструкциям, например, относятся транспортные машины типа автомобилей и тракторов, испытывающие нерегулярные воздействия от неровностей дорог суда и гидротехнические сооружения, подвергающиеся неупорядоченным воздействиям волн строительные сооружения типа высотных зданий, башен антенн и мачт, испытывающие случайные по величине и направлению порывы ветра, и т. п. Адекватное математическое описание таких воздействий может быть выполнено лишь методами теории случайных функций. При этом, как показывает практический опыт использования этих методов, нагруженность различных по назначению и функционированию элементов конструкций требует различных математических моделей случайных процессов отражающих наиболее характерные особенности их нагружения [c.5]

Определение количественных значений показателей биоповреждений при одновременном действии нескольких факторов во времени, а также при проведении ускоренных испытаний сводится к решению задачи регрессивного анализа. Процесс биоповреждений рассматривают как явление статистическое, а результат эксперимента подвержен случайному разбросу. Применение планирования эксперимента позволяет уменьшить число опытов, а также получить математическую модель процесса биоповреждений [31]. Ее исследование позволяет показать значения целевой функции в тех точках факторного пространства, которые экспериментально не изучались, при этом под целевой функцией понимают некоторый показатель процесса г)=ф(х1, х ,. .., х ), где Х1, х .— независи- [c.69]

При испытаниях подвижных моделей их поведение характеризуется совокупностью физических параметров Р (си./, неремещенпй, моментов, ускорений и т, д,), информацию о которых представляют в виде электрических сигналов, являющихся случайными функциями времени Х (1), xj (/),,,, дг/, (/). При этом возникают задачи регистрации отдельных реализаций информационного процесса и определения оценок таких числовых характеристик 1глотгюсти распределения вероятностей, как математическое ожидание и мощность [c.52]

Производятся независимые опыты, т. е. для каждой выборки реализаций случайных функций и значений случайных величин воспроизводится математическая модель системы или алгоритм определения ее параметров. Эту операцию осуществляют при помощи численных методов, применяя при расчетах также УЦВМ. [c.15]

Если математическая модель исследуемой динамической системы имеет высокий порядок п >2), а действующие на систему случайные возмущения относятся к классу со скрытой периодичностью (например, если в простейшем случае они описываются стационарными случайными функциями времени с дробно-рациональными спектральными плотностями), то решение поставленной задачи в общем случае требует использования специализированных комплексов. Для иллюстрации мы ограничимся приведенными выше моделями, описываемыми стохастическими дис еренциаль-ными уравнениями второго порядка, а также системами двух стохастических дифференциальных уравнений второго порядка, что позволяет использовать промышленные ЭВМ и одновременно дать краткий обзор основных результатов, полученных другими авторами. [c.221]

Задачу построения динамической модели технологического процесса рассмотрим вначале для простейшего одномерного случая. Пусть на входе процесса действует случайная функция X (s), а на выходе процесса имеем выходную случайную функцию Y t) (см. рис. 10.1). Функции X (s) и F t) измеримы и в процессе нормального функционирования объекта представляется возможным обеспечить получение реализаций функций X (s) uY (t). Ставится задача найти характеристику технологического процесса, приводящую в соответствие функции X (t) и Y (t). Такой динамической характеристикой технологического процесса в общем случае является оператор, т. е. закон, в соответствии с которым по одной функции определяется другая функция. Действительно, если известен оператор 1 (нологическ6го процесса, то таким образом известна математическая модель процесса, так как известна математическая закономерность превращения X (s) в Y (t). [c.319]

Для рассматриваемой модели оказывается затруднительным построение формул суммирования погрешностей деталей из-за нелинейности исходного уравнения (11.219). Эта нелинейность возникает вследствие того, что текущий размер детали выражает суммарно и погрешность размеров, и погрешность формы, и не-прямолинёйность геометрического места центров поперечных сечений. Между тем существует практическая потребность в определении формул такого рода и, в частности, для расчета математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения, практически предельного поля рассеивания и т. п. Для преодоления этого затруднения может быть использован метод статистических испытаний (Монте-Карло), который является весьма перспективным при моделировании, анализе и расчете точности нелинейных технологических процессов. Для упрощенного решения этой задачи можно ограничиться расчетом вероятностных характеристик двух более простых случайных функций, получаемых из исходной формулы (11.219) путем приравнивания нулю либо выражения Wp os ( — -j-nip , либо г + [c.438]

Различают теорию точности 1) относящуюся к системам автоматическоо о управления и регулирования режимов производств 2) относящуюся к производствам, в которых применяют универсальное и специализированное оборудование, а управление процессами сводится к первоначальной настройке, подна-ладке, смене изношенного инструмента и т.п. По первой теории процессы изучаются на уровне случайных функций, по второй — на уровне случайных величин отсюда следуют и два пути они-сания математических моделей. Теорию случайных функций применяют для анализа наиболее изученных линейных, стационарных процессов, которые аппроксимируют реальные производственные процессы с больщими погрешностями. Оптимальные параметры процессов могут быть получены лишь решением нелинейных, нестационарных задач. [c.52]

Предварительные замечания. Вероятностные (стохастические) модели вводят для того, чтобы отразить частотные закономерности, проявляющиеся при неповторимости результатов экспериментов. Случайный (вероятностньн , стохастический) процесс представляют в виде бесконечного и непрерывного множества (ансамбля) реализаций. Вероятностная модель требует задания распределения вероятностей на множестве реализаций (см том I, гл. XVII). В математической теории случайных процессов особое внимание обращается на возможность построения полных моделей (в частности, стацио[1арных гауссовских процессов), для которых любые вероят ностные характеристики могут быть выражены через несколько основных [9]. Однако для практических приложений в первую очередь представляют интерес немногие характеристики, в частности, математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция. Чаще всего используют три основных типа моделей случайных процессов. [c.87]

Стохастические модели. Математическая формулировка и исследование стохастических моделей основаны на методах теории вероятностей, теории случайных функций и математической статистики. Многие задачи прикладной теории колебаний могут быть удовлетворительно сформулированы и решены лишь с использованием стохастических моделей. К ним относятся прежде всего задачи о колебаниях систем, возбуждаемых случайными нагрузками. Примером служат нагрузки от атмосферной турбулентности, пульсаций в пограничном слое, акустического излучения работающих двигателей, морского волнения, транспортировки по неровной дороге и т. п. Многие технологические процессы также сопровождаются случайным изменением динамических нагрузок (например, нагрузки, действующие на элементы горнодобывающих и горнообрабатывающих машин). Случайные факторы помимо нагрузок могут войти в вибрационные расчеты также через парамегры системы. Так, случайный разброс собственных частот или коэ( х))ициентов демпфирования Может оказать сильное влияние на выводы о виброустойчивости. [c.268]

В заключение заметим, что случайный процесс есть математическая модель, которая представляет ценность только до тех пор, пока точная выборочная функция и 1) не определена из эксперимента. До эксперимента случайный процесс характеризует априорное состояние наших знаиий. После того как функция и () определена из эксперимента, остается только одна представляющая интерес выборочная функция, а именно та, которая наблюдалась. [c.67]

В зависимости от вида математической модели при решении задач оптимального проектирования можно использовать следующие методы исследование функций классического анализа метод множителей Лагранжа вариационное исчисление принцип максимума Понтря-гина динамическое программирование линейное программирование нелинейное программирование методы случайного поиска. [c.145]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...