Факторное пространство

Основное отличие методов планирования эксперимента заключается в том, что точки испытаний в факторном пространстве выбираются специальным образом, оптимальным в том смысле, что [c.96]

Независимые переменные Х, Х2,..., XN принято называть факторами, а ИХ значения (для каждого фактора п значений) — уровнями факторов. Координатное пространство с координатами хь Х2,..., Хдг называют факторным пространством, а геометрическое изображение функции отклика в факторном пространстве — поверхностью отклика. [c.110]

При построении плана эксперимента каждый исследователь стремится сделать этот план в определенном смысле оптимальным. К параметрам плана, которые обычно оптимизируются, относят число опытов в плане, степень использования факторного пространства, среднюю или максимальную дисперсию найденных коэффициентов, среднюю или максимальную дисперсию результата эксперимента и т. д. Естественно, что каждому оптимизируемому параметру соответствует свой критерий оптимальности, на основании которого производят выбор наилучшего варианта плана. Используют, например А — О-оптимальные планы, обеспечивающие наименьшие значения соответственно средней дисперсии найденных коэффициентов уравнения и максимальной дисперсии результата эксперимента. Более подробные сведения о критериях оптимальности и видах планов содержатся в [2, 4]. [c.112]

Если же изменить значения уровней факторов одновременно, то точки плана, построенного в соответствии с концепцией многофакторного эксперимента, расположатся в вершинах внешнего квадрата (-М, -Ы), (—1, -Ы), (—1, —1), (-Ы, —1) (см. рис. 6.5). Ясно, что при этом исследованная область изменения факторов будет больше. Отметим, что этот эффект тем ощутимее, чем больше размерность N факторного пространства. В самом деле, при планировании по методике однофакторного эксперимента опорные точки всегда располагаются на концах хорд длиной 2 единицы, при многофакторном планировании опорные точки располагаются на концах диаметров, длина которых 2 уЖ, т. е. в / раз больше. [c.120]

После вычисления коэффициентов уравнения следует прежде всего проверить его пригодность или адекватность. Для этого-достаточно оценить отклонение выходной величины у, предсказанной уравнением регрессии, от результатов эксперимента у в различных точках факторного пространства. [c.122]

Полный факторный эксперимент содержит слишком большое число опытов (Л/=3, 3 =27 N=4, 3 = 81 N=5, 3"=243). Сократить число опытов можно, если воспользоваться так называемыми композиционными или последовательными планами, предложенными Боксом и Уилсоном. Ядро> таких планов составляет ПФЭ 2 при N<5 или дробная реплика от него при Согласно этим планам, если линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным, необходимо добавить 2 N звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства ( а, О,. .., 0), (0, а,..., 0),. ... .., (0, о,.... а), где а — расстояние от центра плана до звездной точки — звездное плечо, и увеличить число экспериментов в центре плана Ко- Такие планы называются центральными, ибо все опыты расположены симметрично вокруг основного уровня эксперимента, и композиционными, т. е. последовательно строящимися, а сокращено ЦКП. [c.127]

Первый подход рассматривается в литературе по методам оптимизации. Здесь же остановимся подробнее на методах второй группы. Экстремальное значение отклика в них достигается с помощью многократной последовательной процедуры изучения поверхности и продвижения в факторном пространстве. Методы различаются способом определения направления движения и организацией самого движения. [c.128]

Процедура ПСМ состоит в выборе начального симплекса и последовательном отражении его вершин с наихудшим откликом в новую точку относительно противоположной грани. Процесс заканчивается при достижении экстремальной области. Для N = 2 сущность симплексного метода движения к оптимуму для правильного симплекса можно иллюстрировать на примере рис. 6.10. Начальный симплекс (опыты 1, 2, 3) располагают в факторном пространстве на основе априорной информации об объекте исследования. Результаты опытов в вершинах /, 2, 3 упорядочивают, т. е. ранжируют по значению отклика, далее выбирают наихудший результат (пусть для примера это будет точка /). Для первого шага к оптимуму на грани 2, 3, противоположной наихудшему опыту, симметрично строят новый правильный симплекс 2, 5, 4, опытные результаты опять ранжируют и т. д. [c.131]

Фазочастотная ха1 ктеристика 138, 139 Факторное пространство ПО Факторы 110, 112, 118 основные ПО, П7 случайные ПО [c.357]

Уровнем фактора называют, определенное значение фактора, которое фиксируется при проведении эксперимента. Нулевым уровнем фактора называют некоторую исходную точку факторного пространства. которая в предварительном эксперименте была оценена как наилучшая по максимуму ( или минимуму) переменной состояния. [c.9]

Кодирование факторов означает переход от системы координат в натуральных единицах к системе координат в кодированной системе. Каждая точка факторного пространства, например. "+1.-1" или [c.9]

Симплекс-планирование осуществляется по следующей схеме. Исходя из начальных условий, ставят несколько опытов, которые в факторном пространстве являются вершинами исходного симплекса. (Симплекс - простейшая геометрическая фигура, образованная в К-мерном пространстве множеством (К+1) точек и обладающая минимальным числом вершин). Затем на основании проведенных экспериментов отбрасывают ту точку, в которой были получены наихудшие результаты, и рассчитывают координаты новой, симметричной ей. вершины второго симплекса. Ставят опыт при условиях, которые соответствуют координатам новой вершины, и, сравнивая результаты, полученные в оставшихся "старых" точках и в "новой" точке, вновь отбрасывают наихудшую и строят симметричную ей. Эти операции проводят до тех пор. пока образовавшаяся цепочка симплексов не приведет в область экстремума. [c.13]

Для оценки точности полученных математических моделей были проведены дополнительные эксперименты в исследуемой области факторного пространства. Сопоставимость расчетных и экспериментальных значений оценивали по /-критерию и средней относительной погрешности б. Анализ показал, что средняя относительная по- [c.237]

Адекватность и достаточная точность полученных уравнений регрессии позволяют провести анализ влияния на фрикционно-износные характеристики каждого из исследуемых факторов, включая квадратичные эффекты и эффекты взаимодействий, значимость которых определяется соответствующими коэффициентами в уравнениях регрессии. Для наглядности использованы графические изображения зависимостей в трехмерном факторном пространстве (рис. 3.18—3.20). [c.238]

В исследованиях химической технологии нашли широкое применение диаграммы состав — свойство . При изучении эффективности процессов, зависящих только от соотношений компонентов, факторное пространство представляет собой правильный (<7—1)-мерный комплекс. Для систем выполняется соотношение [c.115]

Испытания проводили в соответствии с полным факторным экспериментом типа 3 , при котором исследуют не менее девяти опытных точек, не считая повторных. Было проанализировано четыре факторных пространства, соответствующие четырем вариантам нагружения, Значения коэффициентов регрессии для [c.91]

По методу статистического планирования эксперимента факторное пространство состоит из опытных точек, расположенных на трех сферах центральные точки (нулевой радиус), точки куба и звездные точки. На рис. 44 показано факторное пространство планируемого эксперимента, а табл. 17 приведены конкретные режимы испытаний для каждой точки этого пространства. [c.98]

Рис. 44. Эскиз факторного пространства планируемого эксперимента

Симплексный метод. Симплексный метод планирования эксперимента был разработан для автоматической оптимизации объекта с помощью ЭВМ. Его сущность состоит в том, что, начиная восхождение в целях определения экстремума целевой функции, планируют исходную серию опытов таким образом, чтобы точки, соответствующие условиям проведения этих опытов, образовывали правильный симплекс в многомерном факторном пространстве. Под правильным симплексом понимают совокупность k равноудаленных друг от друга точек в fe-мерном пространстве. В одномерном пространстве симплексом является отрезок прямой. Для двухмерного пространства симплексом служит равносторонний треугольник, а для трех параметров — правильная треугольная пирамида. [c.195]

Нелинейность взаимосвязи переменных параметров приводит к тому, что линейная модель обычно имеет малую адекватность для всей области изменения технологических параметров и применяется в основном для описания малых областей факторного пространства, в которых нелинейными зависимостями между переменными параметрами можно пренебречь. [c.222]

Итак, в исследуемой части факторного пространства уравнение гиперплоскости неадекватно. [c.58]

Для полученного типа поверхности отклика далее возникает сложная задача — отыскать условный экстремум в той части факторного пространства, в которой проводились эксперименты. [c.62]

Это означает, что часть факторного пространства в области эксперимента имеет явно выраженную кривизну и не может быть адекватно описана полиномом первой степени. При этом значительная величина разности Eq — указывает на большое влияние квадратичных членов. [c.77]

Для поверхности отклика типа минимакс с центром вблизи центра экспе-римента возникает задача отыскания условного экстремума в исследуемой части факторного пространства. [c.78]

Наиболее простой областью ЭПР является область в виде многомерного параллелепипеда, положение которого в факторном пространстве определяется е помощью условий [c.770]

Из-за ошибок измерений, настройки, действия неизвестных факторов выходной параметр У является случайной величиной. Поэтому функцию отклика можно оценить лишь приближенно. В фиксированной точке факторного пространства значение функции отклика равно математическому ожиданию Е[У(Х)] параметра У в этой точке.т. е. Е[У(Х)]=ДХ). [c.40]

В общем случае нелинейной зависимости целевого параметра, У от определяющих его факторов л 1 и поверхность отклика будет соответствовать некоторой криволинейной поверхности 2 (рис. 3.3). При числе факторов k>2 геометрическая наглядность поверхности отклика теряется и возможно лишь ее алгебраическое описание, В случае регрессионной зависимости параметра У от двух факторов Xi и Х2 плоскость размывается и превращается в некоторую область изменения У в зависимости от факторов Xi и х-2. Аналогично, при трех факторах образуется трехмерное факторное пространство, т. е. куб (рис. 3.4), а при k факторах —. fe-мерный гиперкуб, причем /-й коэффициент регрессии равен тангенсу угла наклона -мерной гиперплоскости к оси г-го фактора. [c.42]

Планирование начинают с выбора области эксперимента. Этот выбор связан с тщательным анализом априорной информации об исследуемых процессах. Область эксперимента задается основным уровнем и интервалами варьирования факторов. Основной уровень — это точка многомерного факторного пространства, задаваемая комбинацией уровней факторов и являющаяся центром области эксперимента. В качестве основного уровня наиболее часто задают нормальные условия эксперимента. Интервал варьирования— это расстояние на координатной оси между основным уровнем и верхним (или нижним) уровнем факторов. Минимальная величина интервала варьирования должна быть больше ошибок воспроизведения уровней факторов в опыте, иначе верхний и нижний уровни факторов будут неразличимы. [c.42]

Более точной мерой погрешности -может служить величина доверительного интервала для среднего значения выходного параметра в каждой точке факторного пространства. Как уже указывалось, погрешности эксперимента существенно уменьшаются при увеличении диапазона варьирования факторов и числа факторов, используемых в данной регрессионной модели. [c.55]

Следует отметить, что выражение (4.27) используется также в классическом регрессионном анализе, где для определения коэффициентов регрессии обрабатываются результаты замеров (испытаний) функции f в случайных точках факторного пространства, число которых больше числа коэффициентов регрессии или равно ему. Это создает существенные недостатки 1) коэффициенты регрессии рпределяются с помощью решения специальной системы уравнений, т. е. коэффициенты взаимосвязаны 2) пренебрежение отдельными членами уравнения регрессии требует пересчета оставшихся коэффициентов 3) большинство факторов оказываются попарно коррелированы, поэтому нельзя разделить соответствующие [c.95]

Если результаты испытаний получены расчетным путем, то ошибка опыта равняется ошибке вычислений, которой в большинстве случаев можно пренебречь. Тогда вместо f-критер я можно рассматривать Sr . Практически о точности уравнения регрессии в первом приближении можно судить по разности (fo—bo), где /о— результат испытания в центре факторного пространства, так как здесь ожидается наибольшее расхождение. С большой достоверностью точность можно оценивать по разности результатов испытаний и расчета в точках, равномерно распределенных в области факторного эксперимента. Отсюда можно оценить и максимальную погрешность. Однако такой подход применим в основном при ап-роксимации известных функциональных связей, так как число испытаний резкб увеличивается. [c.97]

Интервал варьирования - такое значение фактора в натуральных единицах, приравнение которого к нулевому уровню дает верхний/ а вычитание - нижний уровень фактора. Следует отметить, что выбор экспериментальной области факторного пространства тесно связан с тщательным анализом априорных данных. [c.9]

Еаккя), а ограничиться постановкой четь .рех-шести параллельных опытов одной из точек факторного пространства. [c.11]

Локальную область факторного пространства для проведения эксперимента выбирали, исходя из предположения о наличии в ней экстремума. Это предположение было сделано на основании предварительных экспериментов по исследованию зависимости свойств покрытий от управляющих воздействий. Анализ приведенных выше рис. 1 и 2 показал целесообразность использования в качестве выражения, аппроксимирующего поверхность отклика объекта, полинома второго порядка. Для оценки коэффициентов полинома применялось центральное композиционное рототабель-ное планирование эксперимента. Обработка результатов эксперимента производилась на ЭВМ. [c.88]

Определение количественных значений показателей биоповреждений при одновременном действии нескольких факторов во времени, а также при проведении ускоренных испытаний сводится к решению задачи регрессивного анализа. Процесс биоповреждений рассматривают как явление статистическое, а результат эксперимента подвержен случайному разбросу. Применение планирования эксперимента позволяет уменьшить число опытов, а также получить математическую модель процесса биоповреждений [31]. Ее исследование позволяет показать значения целевой функции в тех точках факторного пространства, которые экспериментально не изучались, при этом под целевой функцией понимают некоторый показатель процесса г)=ф(х1, х ,. .., х ), где Х1, х .— независи- [c.69]

В настоящее время отсутствует единая методика математически обоснованного планирования режимометрирования сложных объектов и их элементов. Квантификация множества условий работы элемента шасси (его внешней среды) осуществляется экспертным путем. Она представляет собой выбор представительных координатных параметров факторного пространства и затем установление уровней варьирования. [c.91]

За исходную точку крутого восхождения по поверхности отклика вначале принята точка, координаты которой в факторном пространстве соответственно равны = 305 мУчас Z = 131 м /час Z = 23 кг час Z = 23%. [c.57]

Это позволяет существенно сократить объем эксперимента, используя аппарат так называемых дробных реплик. Смысл использования аппарата дробных реплик заключается в том, что при эксперименте используют лишь часть матрицы (ее реплику), т. е. исследуя изменения данной функции в части факторного пространства судят о ее поведении во всем обследуемом факторном пространстве. Подобный подход возможен, если исследуемые функции не терпят разрывов в обследуемой области симметричного факторного пространства. Большинство параметров ЖРД (за исключением параметров, харктеризующих устойчивость работы двигателя) описываются функциональными зависимостями, удовлетворяющими этому требованию. Поэтому при планировании испытаний ЖРД М10жет широко использоваться аппарат регулярных дробных реплик полных факторных планов (т. е. реплик, сокращающих число опытов в 2 раз, где т=1, 2, 3, 4...). Причем в зависимости от числа факторов к, от которых зависит данный выходной параметр, могут использоваться полуреплики полного факторного эксперимента, обозначаемые 2 четвертьреплики 2 - и так далее вплоть до [c.47]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...