Функция сингулярная

Для сходимости приближенного решения, получаемого проекционным методом, к точному в качестве координатной системы необходимо выбирать собственные функции оператора, сходного с В. Как известно [85], все ортогональные полиномы являются собственными функциями сингулярных задач Штурма-Лиувилля для дифференциальных уравнений второго порядка. Роль однородных граничных условий в этом случае играют условия ограниченности собственных функций в точках сингулярности. Поэтому всегда можно подобрать соответствующую систему ортогональных с заданным весом полиномов, принадлежащую Нв. Если оператор, собственными функциями которого является эта система, сходен с оператором В, то соответствующие приближенные решения уравнений теории оболочек сходятся к точному решению. [c.18]

Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения. Труды Тбилисского матем. ин-та АН Грузинской ССР 23 (1956), 3—158. [c.649]

Матрица плотности в таком виде дает основные свойства полей, которые наиболее удобно описывать в Р-представлении. Если Р (а) — весовая функция, сингулярности которой не сильнее сингулярности б-функции, то в общем случае она будет обладать неисчезающими комплексными моментами произвольно высокого порядка. [Единственное исключение составляет функция Р (а) = = б (а), которая соответствует основному состоянию моды.] Из этого следует, что диагональные матричные элементы п д п) которые представляют вероятность нахождения п фотонов в моде имеют ненулевые значения для произвольно больших п. Таким образом, если функция Р (а) ведет себя достаточно хорошо в ука занном выше смысле, то нет ограничения сверху на число фотонов имеющихся в моде ). [c.91]

Фазовое пространство Z системы (3.10) есть С (декартова п-ая степень комплексной плоскости) с вырезами вдоль всех гиперплоскостей = = Хк, 3 ф к. Па этих гиперплоскостях функция ] сингулярна. [c.259]

Таким образом, интеграл от построенной сингулярной функции Г(1) равен заданному импульсу Р и отличен от нуля, хотя Г(<) равна нулю всюду, кроме точки <о- Построенная функция относится к классу обобщенных функций, изучением свойств которых занимается специальная математическая дисциплина. [c.291]

Таким образом, главное значение, по Коши, сингулярного интеграла (6.137) для функции /(О, удовлетворяющей условию Гель-дера, равно [c.139]

Как уже отмечалось, при приближении к критическому состоянию детерминант устойчивости Dy и коэффициенты устойчивости (dXi/dxi)x. стремятся к нулю, а теплоемкость, сжимаемость, восприимчивость (вторые производные термодинамического потенциала) возрастают до бесконечности, что является макроскопическим проявлением большого развития флуктуаций. Эта математическая особенность вторых производных термодинамического потенциала и связанные с ней большие флуктуации в критической точке затрудняют теоретическое и экспериментальное изучение критических явлений. Однако результаты интенсивно проводимых исследований этих явлений позволяют принять, что сингулярность основных термодинамических функций вблизи критической точки имеет простой степенной вид [c.249]

По-видимому, близость границ областей существования указанных (и ряда других) фаз к критическим значениям 2 связана с сингулярностями функции экранирования (< ) в окрестности 2йр. Однако исчерпывающий анализ энергетики фаз Юм—Розе- [c.174]

Пусть теперь оба интеграла сингулярные и подынтегральная функция зависит от двух аргументов [c.17]

Приведем выражения для значения интеграла типа Коши, его предельных и сингулярного значений в частном случае, когда функция f t)— 1 [c.19]

Такого рода уравнения могут быть сведены к системам сингулярных уравнений для действительной и мнимой частей искомой функции. [c.55]

Как и в одномерном случае, для сингулярных интегралов вида (3.18) имеет место теорема, аналогичная теореме Пле-меля — Привалова, а именно теорема о том, что интеграл будет являться функцией, принадлежащей классу Г. — Л., если плотность принадлежит тому же классу при условии, что характеристика /( 0,0) непрерывно дифференцируема по декартовым координатам точки <7о и углу 9 (эта теорема принадлежит Жиро [35]). [c.59]

Символом сингулярного оператора называется комплекснозначная функция Ф( о, Я), определяемая рядом [c.61]

Из сказанного следует, что при определенных условиях на характеристику ) всегда допустима эквивалентная регуляризация и, следовательно, индекс сингулярного уравнения (определенный так же, как и для одномерных уравнений) равен нулю. В случае, если исходное уравнение имеет собственные функции, необходимым и достаточным условием разрешимости являются те же условия (3.12). [c.62]

Изложенное находится в противоречии с результатами, относящимися к сингулярным уравнениям с одной переменной, для которых индекс мог принимать произвольные целые значения. Это объясняется тем, что если к одномерным уравнениям подойти с позиций двумерных уравнений как к вырожденному случаю независимости от одного измерения, то получим, что характеристика является разрывной функцией. А выше (в двумерном случае) специально оговаривались ее дифференциальные свойства и, -в частности, условие непрерывности. [c.62]

Совершим теперь обратный переход к функциям ф/(2) и ф/(г) и обратимся к условиям (6.2), ранее исключенным из рассмотрения. Тогда получим систему сингулярных интегральных уравнений [c.416]

Ниже дадим вывод сингулярного уравнения, соответствующего поставленной задаче, на основе использования вспомогательной функции (o(i), введенной в 6 при решении задач для тел с натягом. [c.428]

Заметим, что уравнения (2.2) и (2.3) (и равным образом (2.5) и (2.3)) являются союзными друг к другу. Для сингулярных уравнений индекс (разность между числом собственных функций исходного уравнения и союзного к нему) может быть, вообще говоря, произвольным целым числом. Покажем, что для построенных выше сингулярных уравнений индекс оказывается равным нулю. Следовательно [35], будет существовать оператор, который преобразует их в эквивалентные регулярные уравнения второго рода, и поэтому к исходным уравнениям окажутся применимы альтернативы Фредгольма. [c.558]

Выражение (4.3.51) для функции gn t) содержит сингулярное слагаемое e °- b t — Т]). Его физический смысл очевиден. Пусть в момент времени = О на входе в первый поток появился тепловой импульс, которому соответствует входная функция вида T Bx(t)—8(t). Тогда в момент времени / = Ti (где ti — время прохождения через теплообменник жидкости в первом потоке) этот тепловой импульс достигнет выхода. Поскольку по мере движения импульса он будет отдавать часть своей энергии ненагретой жидкости во втором потоке, на выходе импульс будет ослаблен. Коэффициентом ослабления является Так как константа o j имеет вид а = RJ/wi, то коэффициент ослабления равен т. е. совпадает с аналогичным коэффициентом, на который умножается входное воздействие в виде б-функции при прохождении прямоточного теплообменника [см. выражения (4.2.47) и (4.2.76) для весовой функции gii(0 в прямоточном теплообменнике]. [c.193]

Интеграл от сингулярного слагаемого в соответствии с известным свойством б-функции [см. (2.2.40)] будет иметь вид [c.198]

Таким образом, для и получим выражение в виде объемного интеграла по всему объему тела. Сингулярность функции в точке А не порождает никаких трудностей, как можно сразу же видеть, рассмотрев выражение dx в сферических полярных координатах с центром в точке А. Подобным образом, заменяя в (а) индексы X аг у, а затем на г, что соответствует силам Р" и Р" в направлениях у н г, получим ) [c.466]

Линейная механика разрушения. Одна из трудностей рассмотрения тел с трещинами состоит в том, что решение с использованием обычных элементов обладает весьма медленной сходимостью к точному. Поэтому обычно при построении дискретной модели сингулярную точку окружают некоторым количеством специальных элементов, интерполирующие функции которых построены с учетом асимптотического решения в этой области. Рассмотрим принципы построения этих элементов, а затем вопросы расчета коэффициентов интенсивности и другие аспекты применения МКЭ в упругих задачах о трещинах. [c.84]

Явное вычисление сингулярных интегралов. Если элементарная область интегрирования есть плоский многоугольник, то интегралы могут быть вычислены в явном виде, при этом поверхность тела заменяется полиэдром. В настоящее время применяются и более высокие степени аппроксимации поверхности и искомой функции. [c.103]

Из (44.3) —(44.5) следует, что для каждой из рассмотренных задач теплопроводности )1 (ж ) или п(хп) известны, а оставшиеся неизвестными функции удовлетворяют соответствующей системе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. [c.353]

В схеме содержатся два специальных сингулярных элемента с пятью узлами. Треугольные элементы являются элементами с постоянной деформацией, а в прямоугольных перемещения получены исходя из функции напряжений в виде [c.476]

Если какая-либо из внешних нагрузок претерпевает скачок в произвольный момент времени то решение соответствующей системы уравнений (5.12) или (5.14) содержит сингулярное слагаемое вида Сб I — 0)1 ГД6 б ( ) — дельта-функция. Пусть, например, кусочно-непрерывно-дифференцируемая функция д (() в (5.12) испытывает в моменты , где 1 == 1,. . ., ТЕ, скачки величиной Ад ( ). Тогда решение системы (5.12) можно представить в виде [c.105]

В которых г5 — координаты произвольной точки , а F(vb ), как и G, — известная двухточечная функция, сингулярная при = . В силу последнего обстоятельства интеграл во втором уравнении (2.3) несобственный, что и отмечено звездочкой . В МГЭ граница S дискретизируется , т.е. разбивается на М малых, но конечных отрезков. Интегралы по таким отрезкам заменяются после этого суммами, содержащими дискретный набор значений функции / = / с = 1,..., М в центрах указанных отрезков. Затем уравнения, полученные таким образом из первого уравнения (2.3), записываются в тех точках , где в силу (1.8) или (1.9) известно т.е. на Г, Гу и Г . Аналогично уравнения, получающиеся из второго уравнения (2.3), записываются в точках отрезков Го и Гу, в которых, согласно (1.7), dip/dN = d(f/dy = 0. Число получившихся в итоге уравнений равно М, т.е. числу подлежащих определению значений функции / . В эту систему, линейную относительно входит, однако, также неизвестная константа С. Дополнительное уравнение, также линейное относительно и (7, получается дискретизацией условия излучения [4] [c.305]

Следует отметить, что постановка задачи об устойчивости с точным равенством v = О физически не вполне корректна. Она не учитывает того факта, что реа,пьная жидкость непременно обладает хотя бы и малой, но отличной от нуля вязкостью. Это приводит к ряду математических затруднений исчезновению некоторых решений (в виду понижения порядка дифференциального уравнения для функции ф) и появлению новых решений, отсутствующих при V 0. Последнее обстоятельство связано с сингулярностью уравнения (41,2) (отсутствующей при v 0) в точке, где v(y) = m/fe, обращается в нуль коэффициент при старшей производной в уравнении. [c.242]

В процессе регуляризации слева возможно появление каких-либо решений, не удовлетворяющих исходному сингулярному уравнению. В процессе же регуляризации справа может оказаться, что подстановка ф = Ка> окажется неразрешимой. Поэтому регуляризация, вообще говоря, не является такой операцией, которая приводит к эквивалентным уравнениям, т. е. оказывается неэквивалентной (не равносильной). Левая регуляризация оказывается эквивалентной, когда и > 0, поскольку регуляри-зующее уравнение будет иметь отрицательный индекс и поэтому не будет иметь собственных функций. Правая же регуляризация оказывается эквивалентной, когда к 0. [c.54]

Так же как и для случая одномерных сингулярных уравнений, поставим задачу о таком выборе дополнительного сингулярного оператора К, чтобы в результате композиции ККи — КР получить регулярное уравнение. Очевидно, что такой оператор можно построить следующим образом. Первоначально по характеристике и внеинтегральному члену исходного оператора определяем символическую функцию, и если она такова, что для любого сочетания значений <7о и Я имеет место неравенство [c.61]

Как было показано выше, функция hi2 t) является непрерывной при всех значениях t, поэтому g 2 t) = dhi it)/dt не имеет сингулярных слагаемых, содержащих б-функцию. Из (4.2.44) следует, что при функция gi2(t) совпадает z d jdt, а при f >lfw имеем g i2(0 =0 (так как h 2 t) = onst), т. е. можно записать [c.162]

При 1/W2 t <. l/wi функции g ii(0 и gi2 t), возрастзя, достигают максимума, а затем убывают до некоторых ненулевых значений Т - 1 и при t = llwi. Кроме того, gu t) при t = lfw имеет сингулярное слагаемое. [c.162]

Простейшее теоретическое объяснение бьеркеновского скейлинга таково безразмерная функция может зависеть только от безразмерных переменных, за которые можно выбрать v/u и иШ , где М — масса нуклона. При иоо и/М - оо, так что зависимость от второй переменной пропадает. При очень больших и, v скейлинг может нарушиться, если функция F содержит логарифмы типа 1п (и М ). Из квантовой теории поля следует, чго точное выполнение скейлинга будет свидетельствовать о наличии сингулярности [c.389]

Подставив эти выражения в (49.20), получим следующую систему сингулярных интегральных уравнений с ядрами Копш относительно функций w(,x), и х) [c.396]

Для определения локального поля динамических напряжений надо применить обратное преобразование Лапласа к выражениям Тге(г, Z, р) ит0г(г, Z, р), получаемым подстановкой (53.10) в (53.2) и (53.3). Сингулярные напряжения получаются в результате разложения при больших а подынтегральных функций в интегралах для т,е (г, z, р) и t 2 (г, z, р). Используя теорему [186] о поведении интегралов Коши вблизи концов контура интегрирования при выполнении обратного преобразования Лапласа, определим динамические сингулярные напряжения вблизи вершины трещины по формулам (51.2), (51.7) [c.424]

Однако и расчет по методу регуляризации не исключает погрешностей, обусловленных отклонением реальной структуры материала от идеализированной ее модели. Для оценки указанного отклонения применяют статистические методы, основанные на различных приближениях теории случайных функций. Целью этих методов является представление эффективных значений упругих констант композиционного материала с учетом усредненных их значений и корреляционной добавки к ним. Разработке подходов к. решению этой задачи, позволяющей использовать корреляционное и сингулярное приближения теории случайных функций, в настоящее время посвящено много работ. Указанные методы теории случайных функций достаточно работоспособны только при малой относительной разнице модулей упругости компонентов материала. При этом результаты существенно зависят от точности определения корреляцион- [c.56]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...