Интегралы эллиптического движения

Поэтому после вычислений окончательные выражения интегралов эллиптического движения будут определяться уравнениями (49), в которых вместо аномалии н подставлено ее выражение через I и е, неявно определяемое из уравнения (22). [c.208]

Формулы (К ) и (Ь ), к сравнению которых мы свели изучение эллиптического движения, распространяются также на гиперболическое движение и в любой бинарной системе, подчиняющейся ньютоновым законам притяжения. Упрощенная характеристическая функция может быть выражена определенным интегралом [c.212]

Заметим еще, что уравнение (12.56) можно вывести и непосредственно, применяя основную операцию к интегралу живой силы эллиптического движения, который можно представить в виде [c.603]

Составим общий интеграл эллиптического движения по формулам (118). Перепишем предварительно выражение для W в немного измененном виде, приписав входящим в формулу (117) интегралам переменные верхние пределы и произвольные постоянные нижние пределы, что мы вправе сделать, так как изменение нижних пределов изменяет только несущественную для нас аддитивную постоянную в выражении полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. [c.421]

Первые четыре главы книги посвящены общим уравнениям движения тел, представляющих изолированную систему, известным интегралам, основным формулам эллиптического движения и разложению различных функций в гипергеометрические ряды и по функциям Бесселя. В гл. 5 достаточно подробно излагаются уравнения Лагранжа для оскулирующих элементов, чтобы читатель мог ознакомиться с основными процессами перехода от эллиптической орбиты к возмущениям планет. В гл. 6 рассматриваются различные классы неравенств —вековые, короткопериодические и долгопериодические. Гл. 7 посвящена разложению в ряд возмущающей функции, сначала в теории Луны, а затем в теории движения планет. В гл. 8 —о канонических уравнениях — шаг за шагом излагаются различные теоретические положения и приводятся простые примеры. В гл. 9 подробно рассматривается решение уравнений эллиптического движения при помощи метода Гамильтона — Якоби. В следующих двух главах излагаются элементы теории контактных преобразований. Гл. 12 посвящена теории Луны Делонэ в ней подробно описывается основная операция и дается практический метод получения решения п желаемой форме. В следующих двух главах рассматриваются вековые [c.7]

Известны два непосредственных интеграла этих уравнений, выражающих постоянство кинетической энергии и кинетического момента этого тела. С помощью этих интегралов уравнения (5.36) можно проинтегрировать в эллиптических функциях, однако этот путь не очень интересен, так как можно дать изящное геометрическое описание рассматриваемого движения, не требующее полного решения задачи. Оно известно под названием геометрической интерпретации Пуансо. [c.181]

Однако для того, чтобы с помощью последних соотношений получить аналитическое выражение законов движения тяжелого симметричного волчка, необходимо выразить кинетическую энергию Т и проекции момента импульса А верт. и А фиг. через подходящие параметры, характеризующие положение волчка (эйлеровы углы), что будет сделано лишь в 35. При этом аналитическое представление движения сведется к эллиптическим интегралам. [c.183]

Добавлена новая глава XII Теория импульсивных движений и 6 главы XI Переменные действие-угол , расширен п. 95, посвященный эллиптическим интегралам и функциям, в 4 главы XI добавлено несколько новых примеров канонических преобразований, а в 5 этой же главы — новый п. 178, в котором рассматривается характеристическая функция Гамильтона. [c.14]

Из (2.46), (2.47) следует, что в вариантах R1- 1, R2- 2, R3- 1, R4- 2 модуль эллиптических интегралов к = 0. Можно показать, что в этом случае выражения (2.46), (2.47), будучи подставленными в (2.42) и (2.43), после ряда преобразований приводят к одной и той же форме общего решения, в которой эллиптические функции заменены обычными тригонометрическими. Варианты R3- 0, R4- 0, которые могут иметь место только при выполнении необходимых условий (2.36), (2.37), соответствуют движению по сепаратрисе. При этом согласно (2.46) и (2.47) модуль к = , откуда следует, что частота колебаний угла атаки Ша = О, а период является бесконечно большой величиной. Это объясняется асимптотическим замедлением движения вблизи седловой особой точки. [c.81]

Решение задачи о движении точки в плоскости экватора сжатого сфероида, использованное в главах 2 и 4, основывается на существовании двух интегралов движения для случая любой центральной силы, зависящей от расстояния, вследствие чего задача может быть сведена к квадратурам [80] или подвергнута непосредственному качественному анализу [47]. Небезынтересно рассмотреть это решение применительно к конкретной задаче о движении экваториального искусственного спутника Земли. Решение этой задачи в полярных координатах выражается в эллиптических функциях. Учитывая, что общую задачу о движении спутника удобно решать в оскулирующих элементах [61], полезно выявить характер их изменения в случае, допускающем точное решение, чтобы проследить связь между свойствами движения и поведением оскулирующих элементов. [c.400]

G помощью таблиц эллиптических интегралов мы решаем все вопросы о движении маятника. Например, если нам дан угол отклонения О, то мы можем определить соответствующее ему время t. Для этого, конечно, должен быть задан наибольший угол отклонения маятника, т. е. а. Сначала вычисляем [c.354]

Рассмотрим простой пример. Пусть 1 = 1 и = 8п(2Ка /7г, х), где К — полный эллиптический интеграл с модулем х > 0. Так как / имеет простые полюсы, то применимы теоремы 1 и 2. Следовательно, общее решение многозначно, и уравнения движения не имеют однозначного полиномиального интеграла. Интересно отметить, что в вещественной области имеется однозначный полиномиальный интеграл—интеграл энергии, однако в комплексном фазовом пространстве эта функция имеет логарифмические особые точки. Задача о несуществовании полиномиальных интегралов уравнений (2.1) при вещественных значениях х значительно сложнее для потенциальных полей с потенциалом в виде тригонометрического многочлена она решена в 5 гл. IV. [c.336]

Значительно сложнее вычисление изменения шестого эллиптического элемента — времени прохождения перигея. Заметим сначала, что соотношение (10.15.17), дающее выражение истинной аномалии ср через эксцентрическую чю, является интегралом уравнений невозмущенного движения, содержащим три постоянные е, а, — две последние, входят через уравнение Кеплера (10.15.16). Поэтому, согласно основной идее метода вариации постоянных, форма интеграла [c.601]

В предыдущей главе были найдены первые интегралы уравнений промежуточного движения, позволяющие записать общий интеграл задачи в квадратурах. Поскольку функции F (г ) и Ф (I), входящие в формулы (2.2.14), суть многочлены четвертой степени, то полученные квадратуры являются эллиптическими, вследствие чего общее решение задачи должно выражаться через эллиптические интегралы и эллиптические функции. Поэтому перед тем, как приступить к обращению квадратур, мы изложим основные сведения об эллиптических интегралах и функциях ). [c.68]

Переходя к описанию фазового портрета эллиптического биллиарда, заметим, что в этой ситуации также существует интеграл движения. Он может быть описан следующим образом. Прямая, соответствующая данному отрезку орбиты, является касательной к единственной квадрике, софокусной данному эллипсу. Оказывается, что биллиардное отображение сохраняет это свойство, т. е. все прямые, принадлежащие одной орбите, касательны к той же самой квадрике. Поэтому любой параметр, характеризующий данную квадрику, например эксцентриситет, служит первым интегралом движения. Эти квадрики распадаются на два семейства и два вырожденных случая. Положительный эксцентриситет соответствует случаю эллипсов, софокусных с данным. Каждый эллипс соответствует инвариантной кривой в фазовом [c.350]

Можно попытаться найти биллиарды, которые порождают отображения, обладающие вторым интегралом движения, выбирая другую квадратичную функцию координат 2 и А, например / = г — А , строя векторное поле осей симметрии, соответствующее этой функции (на самом деле существуют два таких векторных поля) и рассматривая интегральные кривые такого поля как границы биллиардов. Можно показать, что одно из векторных полей, определяемых функцией I, порождает биллиард с замкнутыми софокусными эллиптическими орбитами, а второе — с софокусными гиперболами (см. упражнения 9.2.8 и 9.2.9). [c.351]

Соотношение (1.3.4) сводит задачу к квадратуре и позволяет выразить решение через эллиптические интегралы. Однако многое можно узнать и прямо из анализа соотношения (1.3.6) при различных значениях энергии Е, как это показано на рис. 1.4. Значение гамильтониана Е соответствует полной энергии системы. Если Е больше максимального значения потенциальной энергии F, то импульс р всегда отличен от нуля. Это приводит к неограниченному изменению ф, т. е. к вращению. При этом для /5>0 движение происходит слева направо с энергией Е . Для EaF движение ограничено (внутри потенциальной ямы) и соответствует колебаниям маятника. Если же Е = F Es, то движение происходит по сепаратрисе, а период колебаний становится бесконечным. Движение имеет две особые точки при р = 0 одна находится в начале координат при ф = О и является устойчивой, или эллиптической, осо- [c.39]

В работе [17] рассмотрена задача в общем случае, когда плоскость начальной орбиты спутника не обязательно ортогональна плоскости движения внешнего возмущающего тела. Получены соотношения через эллиптические интегралы первого рода для вычисления числа оборотов спутника до момента падения на центральное тело. [c.424]

Здесь К (к) и Е к) — полные эллиптические интегралы первого и второго рода. Тогда уравнения движения в переменных (za,Pa) записываются в гамильтоновой форме относительно введенной скобки Пуассона [c.369]

В то же время для вихревого кольца с однородной завихренностью малого кругового сечения в [ 111, 160, 168, 238 ] были выписаны главные члены разложения эллиптических интегралов, входящих в выражение ( 4.5) для функции тока, и на этой основе предложена формула для скорости поступательного движения кольца [c.185]

Заметим, наконец, что для того, чтобы иметь явные формулы рассмотренного выше канонического преобразования, нет необходимости начинать с уравнений (131), (135), которые предполагают интегрирование уравнения Гамильтона — Якоби удобнее обратиться к интегралам кеплерова движения, которые получаются элементарным путем, и ввести в них, вместо первоначальных эллиптических элементов, аргументы (139). [c.355]

Разгон космического аппарата двигателем малой тяги около планеты до параболической (и выше) скорости возможен лишь при очень большом количестве витков, сделанных аппаратом вокруг планеты. В этом случае оптимальное управление удовлетворительно аппроксимируется постоянным касательным ускорением. Любопытный класс траекторий с таким ускорением исследовал Д. Е. Охоцимский [11 Интересные задачи разгона рассматривались и в случае неоптимального управления. Очень простым управлением является постоянный вектор ускорения, все время направленный к центру Земли. Такая задача интегрируется в эллиптических функциях, но при малых ускорениях не дает разгона. Однако если ускорение по определенной программе то включается, то выключается или попеременно меняет направление вдоль радиуса-вектора, то разгон можно получить (Петти [12], Пайевонский [13]). Действительно, в этом случае имеют место интегралы уравнений движения [c.41]

В некоторых случаях гиперэллиптические интегралы вырождаются в эллиптические. Это будет в случае наличия у многочлена Р з) двукратного корня. Соответствующий случай движения твердого тела исследовал Г. Г. Ап-пельрот 2). [c.454]

Найти движение точки, находящейся под действием центральной силы постоянной величины. Исследовйть траекторию. (6 определяется как функция г эллиптическим интегралом. Ниже, при изложении естественных уравнений движения точки на поверхности, мы увидим, что к этой задаче можно привести исследование движения тяжелой точки по конусу вращения с вертикальной осью.) [c.370]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Пусть выполняется условие (3.26) и аэродинамическое демпфирование отсутствует = О, гпуп = О, = 0). Найдём оценку для амплитуды колебания max при движении, близком к плоскому. Интеграл действия согласно (3.29) не изменяет своего значения и является адиабатическим инвариантом. Интеграл действия может быть приведён с помощью решения (2.19) к четырём полным эллиптическим интегралам, входящим в правые части уравнений (3.23) [c.104]

Интегрируемость случаев Эйлера и Лагранжа обусловлена естественными динамическими симметриями и сохранением соответствующих первых интегралов. С. В. Ковалевская нашла свой случай интегрируемости, исходя из неочевидных аналитических соображений, используя хорошо развитую в то время теорию алгебраических функций (частным случаем которых являются эллиптические функции). Она потребовала однозначности общего решения на комплексной плоскости времени, что привело в будущем к возникновению одного из наиболее продвинутых методов анализа динамических систем на интегрируемость — тесту Пенлеве-Ковалевской. Интеграл Ковалевской уже не имеет естественного симметрийного происхождения, как говорят, его симметрии являются скрытыми, а сама проблема описания движения и явного интегрирования в этом случае является существенно более сложной. [c.14]

Значения интегралов к, с, к, при которых полином Р(в) имеет кратные корни, определяют в пространстве этих интегралов бифуркационную диаграмму — набор двумерных поверхностей, на которых происходит перестройка типа движения (см. рис. 31). При этом ультраэллиптические квадратуры в (4.3) сводятся к эллиптическим, а соответствующие (особо замечательные) движения называются классами Аппельрота [4]. Различным классам Аппельрота соответствуют разные ветви бифуркационной диаграммы. [c.114]

Таким образом, кроме интеграла энергии задача Якоби имеет еще п—1 первых интегралов. Ими являются номера софокус-ных квадрик, о которых идет речь в теореме Якоби — Шаля. Можно показать, что они находятся в инволюции и в общем положении независимы. Геометрическое доказательство первого факта можно найти в статье [4, гл. 3L а второй факт проверяется прямым вычислением с использованием эллиптических координат. Итак, гамильтонова система, описывающая движение точки по п-мерному эллипсоиду, имеет ровно п независимых инволютивных интегралов и поэтому вполне интегрируема согласно теореме Лиувилля. [c.105]

В сравнении с этим, как мы видели, выполненное рассмотрение движения оказалось почти не связанным с выкладочной работой и без громоздких формул. Если бы вместо интегралов Лежандра мы захотели ввести эллиптические функции, то это не принесло бы никакой пользы. Это излишне при рассмотрении форм движения, а для вычисления значений координат для произвольного момента времени это слишком окольный путь, так как достаточно выразить не координаты через время, а время через координаты. А координаты через время задаются формулами (12), и коэффициенты в рядах могут быть всегда сравнительно легко вычислены. [c.130]

Предположите, что ц = - , и приведите З1дачу нахождения движения бесконечно ма.юго тела чере.ч начало вдоль оси г к эллиптическим интегралам. [c.275]

Так как тут при действительном движении изменяется в границах 2Р и e = 2k 2P = < 2, а 2 в границах—оо и 2Р, то, возрастая или убывал в зависимости от определяемых по начальным данным знаков радикалов, одна из этих функций в конечное время (в силу конечности обоих эллиптических интегралов от стоящих в первом из уравнений дифференциалов) достигнет значения 2Р, но тогда в силу второго уравнения и другая сделается равной 2Р, так что здесь всегда будут иметь место только квазиисключительные движения. Если принять момент, когда в, = 2=2/% за начальный ( =0), то, проставив явно знаки у радикалов соответственно необходимому возрастанию (при возрастании времени) и убыванию и для удобства проинтегрировав первое уравнение, что здесь возможно, в пределах не 2Р. .. в, а —оо. .. в, будем иметь [c.99]

Граничные условия и системы координат. —Следует, тем не менее, уяснить себе, что трудности, связанные с координатными системами, в некотором смысле не представляют непреодолимого препятствия для изучения волн сложной формы. Дело в гом, что для мембраны так же, как и для струны, глы можем составить сложное волновое дви кение, складывая вмесге движения более простые. Круговые волны могут быть получены сложением большого числа параллельных волн, каждая пз которых идёт в ином направлении. Параллельные волны могут бьиь заменены подходящей суммой эллиптических воли и т. д. Мы увидим, что возможно изучать любого вида волновое движение на мембране бесконечной протяжённости, выражая волны с помощью подходящей суммы параллельных волп и изучая свойства этой суммы (или скорее интеграла, так кате сумма обычно заменяется интегралом). Часто бывает, что интегралы очень [c.198]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...