Примеры канонических преобразований

Примеры канонических преобразований. Рассмотрим теперь несколько простых, но важных примеров канонических преобразований, осуществляемых различными производящими функциями. [c.270]

ПРИМЕРЫ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 273 [c.273]

Примеры канонических преобразований [c.92]

При рассмотрении примеров канонических преобразований было показано, что функция р р[ дает тож- [c.100]

Добавлена новая глава XII Теория импульсивных движений и 6 главы XI Переменные действие-угол , расширен п. 95, посвященный эллиптическим интегралам и функциям, в 4 главы XI добавлено несколько новых примеров канонических преобразований, а в 5 этой же главы — новый п. 178, в котором рассматривается характеристическая функция Гамильтона. [c.14]

Приведем некоторые простые, по практически важные примеры канонических преобразований. Старую и новую функции Гамильтона обозначим соответственно H q р, t) и % Q Р, t). [c.345]

Канонические преобразования и процесс движения. Очень важным примером канонического преобразования служит процесс движения, описываемого гамильтоновой системой дифференциальных уравнений. [c.347]

Нетрудно найти простые примеры канонических преобразований. Такие преобразования, как [c.127]

ПРИМЕРЫ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ [c.527]

Доказательство. В силу невырожденности каждому каноническому преобразованию соответствует обратное каноническое преобразование. Пример 9.7.3 свидетельствует, что тождественное преобразование также будет каноническим. Возьмем два унивалентных канонических преобразования [c.685]

Примеры. 1. На стр. 147 были рассмотрены три канонических преобразования [c.153]

Книга представляет собой углубленный курс классической механики, написанный на современном уровне. Помимо краткого обзора элементарных принципов, в ней изложены вариационные принципы механики, задача двух тел, движение твердого тела, специальная теория относительности, уравнения Гамильтона, канонические преобразования, метод Гамильтона — Якоби, малые колебания и методы Лагранжа и Гамильтона для непрерывных систем и полей. Показывается связь между классическим развитием механики и его квантовым продолжением. Книга содержит большое число тщательно подобранных примеров и задач. [c.2]

Углубленный курс классической механики долгое время считался обязательной частью учебных планов по физике. Однако в настоящее время целесообразность такого курса может показаться сомнительной, так как студентам старших курсов или аспирантам он не дает новых физических понятий, не вводит их непосредственно в современные физические исследования и не оказывает им заметной помощи при решении тех практических задач механики, с которыми им приходится встречаться в лабораторной практике. Но, несмотря на это, классическая механика все же остается неотъемлемой частью физического образования. При подготовке студентов, изучающих современную физику, она играет двоякую роль. Во-первых, в углубленном изложении она может быть использована при переходе к различным областям современной физики. Примером могут служить переменные действие— угол, нужные при построении старой квантовой механики, а также уравнение Гамильтона — Якоби и принцип наименьшего действия, обеспечивающие переход к волновой механике, или скобки Пуассона и канонические преобразования, которые весьма ценны при переходе к новейшей квантовой механике. Во-вторых, классическая механика позволяет студенту, не выходя за пределы понятий классической физики, изучить многие математические методы, необходимые в квантовой механике. [c.7]

Может показаться, что применение канонического преобразования к задаче о гармоническом осцилляторе подобно стрельбе из пушки по воробьям . Однако мы имеем здесь простой пример того, как посредством канонических преобразований можно сделать все координаты циклическими. Рассмотрение общих схем решения механических задач с помощью этого метода мы отложим до следующей главы, а сейчас перейдем к- изложению общих свойств канонических преобразований. [c.273]

Интересным примером бесконечно малого канонического преобразования является такое преобразование, при котором G — H q, р), а е есть бесконечно малый интервал времени di. Тогда для 8qi и 8pi будем иметь [c.286]

Канонические преобразования классической механики играли всегда важную роль также и в квантовой механике. Это относится и к более старой квантовой теории, принадлежащей Борну, и к современной квантовой механике. Поэтому работы, посвященные той или другой форме квантовой механики, часто содержат подробное изложение нужных разделов классической механики. Одной, из лучших книг такого рода является рекомендуемая книга Борна (1924), написанная им до появления волновой механики. В первой Е лаве этой книги дается сжатое изложение теории канонических преобразований и приводится много интересных физических примеров. Скобки Пуассона в этой книге не рассматриваются, так как в современной физике интерес к ним появился только с возникновением в квантовой механике теории Гейзенберга и Дирака. [c.299]

Разобранные примеры иллюстрируют только процесс, с помощью которого выводятся уравнения преобразования при задании производящей функции определенной формы. Они не претендуют на то, чтобы быть особо полезными сами по себе. В самом деле, на этом этапе неизбежно возникает вопрос зачем нужно изучать канонические преобразования . Цель этой книги состоит в том, чтобы [c.92]

Примеры 2 и А показывают что при канонических преобразованиях может исчезнуть различие между координатами и импульсами. Применение названий импульс и координата может стать чисто условным. Поэтому для пары переменных Qi и очень удобно название канонически сопряженные переменные . [c.346]

Пример 1. Канонические преобразования примеров 1, 3, 5 п. 170 не являются свободными. В них переменные д, Q зависимы и свободно задаваться не могут. [c.351]

Пример 2. Остальные канонические преобразования, рассмотренные в примерах п. 170, являются свободными, причем для преобразования (29) [c.351]

Пример 3. Для канонического преобразования (32), определяющего перенос начала координат в фазовом пространстве, [c.354]

Так как перенос начала координат является каноническим преобразованием (см. пример 5 п. 170), то, не ограничивая общности, можно считать, что это положение равновесия отвечает началу координат в фазовом пространстве. .., P15 5 Рп- [c.395]

Введем новые канонически сопряженные переменные Q, Р при помощи унивалентного канонического преобразования (см. пример 6 п. 170) [c.511]

Пример. Построить производящие функции для семейства канонических преобразований [c.297]

Пояснение. При доказательстве теоремы существенно используется свойство канонических преобразований сохранять форму любой гамильтоновой системы. Приведем пример, когда преобразование, сохраняющее гамильтонову форму данной конкретной системы, не является каноническим. [c.330]

В качестве примера простейшего канонического преобразования приведем тождественное преобразование [c.433]

Пример 9.7. Простейшие канонические преобразования. [c.433]

Метод разделения переменных. Сущность метода состоит в приведении уравнения с частными производными к системе независимых уравнений с обыкновенными производными. Реализация этого метода возможна лишь при определенном выборе обобщенных координат, учитывающем симметрии гамильтониана относительно группы преобразований фазового пространства. Если определенная симметрия обнаружена, то в результате канонического преобразования можно получить первые интегралы (ра ха, Ра) = Oia- В случае ПОЛНОГО разделения переменных гамильтониан имеет вид (см. пример 25.5) [c.280]

Указание. При построении примера ограничиться линейными каноническими преобразованиями. [c.244]

В качестве конкретного примера подобного канонического преобразования можно указать преобразование, осуществляемое производящей функцией [c.201]

Отметим, что не все канонические замены переменных удовлетворяют условию (16). Вот простой пример х=д, у=—р. В этом случае метод производящих функций можно слегка видоизменить. Пусть, например, отличен от нуля якобиан А ду др ф . Такие канонические преобразования называют свободными. Производящей функцией служит функция 8. у. Я)=Р р(у, Я),ЯУ. формулы [c.34]

В книге Голдстейна" (Го лдстейн Г., Классическая механика, М., 1957, стр. 262) утверждается, что при произвольном каноническом преобразовании в качестве системы 2я независимых величин всегда может быть взята одна из четырех систем qi и сц, qi и Pi, Pi и qi, Pi и Pi (i=l,. .., n). Ошибочность этого утверждения можно усмотреть из простого примера канонического преобразования q = p , Pi = qi, qj=qj, Pj Pj (J = 2,. .., n). [c.176]

Таким образом, установлено, что все преобразования рассматриваемого семейства при афО являются свободными каноническими преобразованиями валентности с = а. Если бы в этом простейшем примере мы попытались использовать упрощеннрлй критерий с с=1, то установили бы каноничность только преобразования при а=1 и не могли бы установить каноничность всех остальных преобразований этого семейства. [c.321]

Предположим, что мы произвели некоторое каноническое преобразование гамильтоновых уравнений некоторой данной задачи. Уравнения сохранили свою форму, но гамильтонова функция Н(д, р) превратилась в функцию Н д, р) новых переменных д ир. Если мы умеем интегрировать новые гамильтоновы уравнения, то решение исходных уравнений будет немедленно найдено и задача тем самым решена. В общем случае новые уравнения могут не иметь никаких преимуществ перед исходными в отношении интегрируемости. Но Якоби показал, что если можно построить такое каноническое преобразование, которое преобразует гамильтонову функцию Н(д, р) в Н(р), которая содержит только переменные р, то полученные уравнения Гамильтона могут быть немедленно проинтегрированы и, следовательно, динамическая задача решена. Таким образом, метод Якоби состоит в замене прямого интегрирования уравнений Гамильтона отысканием соответствующего канонического преобразования. Этот метод Якоби для интегрирования уравнений Гамильтона является примером преобразования одной математической проблемы в другую. Вместо попыток прямо интегрировать уравнения Гамильтона, мы ищем решение совершенно другого рода уравнения. Подобная же картина имеет место для случая связи между конформными преобразованиями и задачей Дирихле. [c.832]

Мы только что акцентировали внимание на том, что каноническая теория возмущений для случая, когда степеней свободы больше, чем одна, ведет к расходящимся рядам. Иногда удобно для решения уравнений движения (мы приведем пример в следующем параграфе) использовать старые переменные wi и которые, конечно, остаются канонически сопряженными переменными и для возмущенной системы, поскольку они получаются из и С1к каноническими преобразованиями. Это особенно удобно, когда мы имеем дело с вырожденной системой. Простейший случай вырождения мы встретили в гл. 6, где некоторые v/ оказались просто одинаковыми. В задаче Кеплера оказалось даже, что Vj=V2=V3. В этом случае можно вместо величин J, определяемых соотношениями (6.224) — (6.226), использовать любую их линейную комбинацию и, в частности, умноженные на 2л величины а , и а , введенные нами в 6.1. Если обозначить умноженные на 2л величины а , и з через J , Ji и Уз", а канонически сопряженные переменные — через W , inii и w i , то мы придем к невозмущенной системе, для которой [c.197]

Пример 4. Преобразование одной конкретной гамильтоновой системы к другой её гамильтоновой форме представляет собой пример непредикативного правила. Непредикативность отсутствует при канонических преобразованиях сопряжённых переменных (за счёт расширения множества преобразуемых систем), так как каноническое преобразование не связано с конкретной функцией Гамильтона оно преобразует любую гамильтонову систему снова к гамильтоновой форме. Сопряжённые величины (переменные, числа, функции, уравнения и т.д.) всегда непредикативны. [c.220]

Для простоты изложения все методы рассматриваются лишь в первом порядке по е, а канонические преобразования выполняются с помощью зависящей от смешанного набора переменных производящей функции. Эти методы можно перенести и на более высокие порядки [34], но последовательное распутывание старых и новых переменных становится алгебраически сложным, а соответствующие ряды оказываются громоздкими. Однако высшие приближения часто необходимы, как, например, в задаче Хенона и Хейлеса, где первый порядок теории возмущений дает неверный результат даже в предельном случае очень низкой энергии. В 2.5 мы знакомим читателя с теорией преобразований Ли, которая пришла на смену старым способам получения классических рядов в высоких порядках по 8. Методы Ли иллюстрируются на примерах задач с одной степенью свободы и вычисления адиабатических инвариантов высших порядков. [c.84]

З.д,д, А.д,р в качестве независимых удобны для синтеза канонического нреобразования. Панример, в 31 решается вопрос нахождении унивалентного канонического нреобразования, в результате которого конкретная гамильтонова система упростится до дальше некуда . Поиск преобразования в форме (28.10) или (28.17) позволяет вместо 2п функций, определяющих каноническое преобразование (27.12), составить и по возможности решить уравнение относительно одной функции 5 (или Ф), по которой однозначно определяется преобразование (27.12). Пе для каждого преобразования (27.12) выполняется одно из условий (28.9) или (28.6), в чем можно убедиться на примере (преобразование каноническое с с = 1 и в (27.15)) [c.157]

Каноническое преобразование сводит систему (М, /х, < ) системе вида X = у = а (пример 1.2, гл. 1) (см. приложение 26). Отсюда следует, что движение Эйлера-Пуансо в общем случае квазипериодично и траектории всюду плотны на М. [c.118]

Дадим теперь пример такого сходящегося степенного ряда для Н, чтобы интеграл ых = ххух +... расходился в частности, тогда получится, что систему Гамильтона, образованную с этой функцией Н, нельзя перевести сходящимся каноническим преобразованием в нормальную форму. Для этого положим гг = 2, Л1 = г, Лг = гр с действительным иррациональным числом р, так что условие линейной независимости Л1, Л2 выполнено. Положим затем [c.278]

Все теории можно разделить на три класса аналитические, численно-аналитические и численные. Теория Делоне представляет собой пример аналитического подхода в чистом виде. Для возмущающей функции получено разложение по малому параметру до седьмого порядка. В процессе приведения этой функции к нормальному виду было сделано свыше 500 канонических преобразований, в результате чего в конце концов были получены выражения для широты, долготы и синуса параллакса Луны. Делоне на эту работу потребовалось около двадцати лет. Благодаря тому что метод является чисто аналитическим, его можно применять в любой задаче трех тел. [c.298]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...