Задачи интегрируемые

Случай интегрируемости Штеккеля. Штеккель поставил себе задачу указать другие классы динамических задач, к которым можно было бы применить метод разделения переменных ) в частности, он искал все динамические задачи, интегрируемые этим методом, ограничиваясь предположением, что живая сила, как и в случае Лиувилля, является квадратичной формой от ортогонального вида. Таким образом, он пришел к важному обобщению результатов предыдущих пунктов не воспроизводя соображений, какими руководствовался Штеккель в его исследовании, мы ограничимся здесь лишь характеристикой динамических задач, найденных им таким способом. [c.343]

Форма полученного таким образом выражения для живой силы и предположение отсутствия активных сил позволяют непосредственно видеть, что определение геодезических линий эллипсоида приводит, как к частному случаю (п = 2, и — а, Ai = gi, /42 = — 9г)> к тому типу задач, интегрируемых посредством разделения переменных, который мы изучили в п. 62 (случай интегрируемости Лиувилля). [c.385]

Задачу при 8 = 0 будем называть невозмущенной. Гамильтониан невозмущенной задачи зависит только от импульсов Часть 8Я1( , Т)) будем называть возмущающей функцией. Будем предполагать, что т ) - 2т1-периодическая функция компонентов вектора Г1. Как мы знаем, если некоторая невозмущенная задача интегрируема (т.е. имеет т интегралов в инволюции), то, описывая возмущенную задачу в переменных действие - угол , определенных для невозмущенной задачи, мы, вообще говоря, приходим к задаче с гамильтонианом в виде (25). То есть рассматриваемый вид гамильтониана (25) является в определенном смысле типичным для задач, близких (8 - мало) к интегрируемым. [c.470]

Затем был поставлен вопрос о разыскании классов механических задач, интегрируемых подобно эйлеровой задаче о движении материальной точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами, в квадратурах (системы Лиувилля), а также о разыскании каких-либо новых частных решений динамических задач, отличных от знаменитых частных решений задачи трех тел, отмеченных еще Эйлером и подробно изученных Лагранжем и Лапласом. [c.326]

Центральные силы. Проиллюстрируем нахождение изолирующего интеграла (помимо полной энергии) и сведение решения к квадратурам на простом примере движения частицы в поле центральных сил. Хорошо известно, что эта задача интегрируема. Без потери общности задача сводится к двумерному движению в плоскости, определяемой начальной скоростью частицы и положением силового центра. Третья степень свободы тривиально отделяется при помощи изолирующего интеграла = 0. В полярных координатах [c.47]

Из решения задачи (1.41) снова вытекает справедливость (1.38) и (1.39), поскольку о < а тг/2. Однако, на этот раз, казалось бы, необходимо потребовать, чтобы дополнительно была интегрируема и функция f на ас. На самом деле предположения об интегрируемости 7. 7Д> 7(1п ) , 7(1п ) , с одной стороны, и /, с другой стороны, излишни, поскольку / = 1/7, и в сомнительных случаях один путь вывода зависимости между 6 да/дХ) и 6 может быть заменен другим. [c.61]

ЗАДАЧА О ВРАЩЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ неподвижной точки. СЛУЧАИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ [c.481]

Интегрирование системы нелинейных дифференциальных уравнений (14) и (15) при общих начальных условиях (16) — задача чрезвычайно трудная. Она в общем случае начальных условий не решена даже тогда, когда внешними силами являются только сила тяжести самого тела и реакция закрепленной точки. Для тяжелого твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, в трех случаях была указана система первых интегралов дифференциальных уравнений, из которых неизвестные углы Эйлера в зависимости от времени определяются в квадратурах, т. е. путем вычисления интегралов. Эти частные случаи называют случаями интегрируемости уравнений Эйлера. [c.481]

Свободные затухающие колебания. Пусть вязкоупругое тело подвергается внешним воздействиям в течение некоторого промежутка времени [О, о] и требуется определить движение тела после снятия этих воздействий. В этой задаче перемещения, деформации и напряжения интегрируемы с квадратом на интервале [О, сю] и, следовательно, решение можно разыскивать в виде разложения Фурье (интеграла) [c.261]

Одной из классических задач механики является задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта задача имеет первостепенное значение для теории гироскопов, нашедшей широкое применение в различных областях современной техники. Эйлер дал аналитическое решение этой задачи в простейшем случае, а именно в случае движения тела вокруг неподвижной точки по инерции. Пуансо дал для того же самого случая наглядную геометрическую интерпретацию. Лагранж решил эту задачу в том случае, когда твердое тело имеет динамическую ось симметрии, проходящую через неподвижную точку. После Эйлера и Лагранжа многие ученые пытались найти новый случай решения этой задачи, т, е. новый случай интегрируемости дифференциальных уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки, но безуспешно. [c.17]

Рассмотренные выше задачи о ламинарных установившихся течениях решались точными или приближенными аналитическими методами. Путем надлежащего использования граничных условий Б этих задачах удавалось упростить уравнения движения и привести их к интегрируемому виду. Существует немало других задач, решения которых получены тем же путем и находят важные технические приложения. Однако современное развитие инженерной практики требует решения и более сложных задач, в которых приходится учитывать все члены уравнений Навье—Стокса, что не позволяет их решить в квадратурах. Широкие возможности открывает использование ЭВМ и применение численных методов решения. Последние основаны на замене (аппроксимации) дифференциальных уравнений уравнениями в конечных разностях, которые решаются на ЭВМ как система алгебраических уравнений. Разработаны и успешно применены к различным гидродинамическим задачам несколько численных методов, причем в некоторых из них используются не только эйлеровы, но и лагранжевы переменные. [c.318]

Рассмотренные выше задачи о ламинарных установившихся течениях решались точными или приближенными аналитическими методами. Путем надлежащего использования граничных условий Б этих задачах удавалось упростить уравнения движения и привести их к интегрируемому виду. Существует немало других задач, решения которых получены тем же путем. Большинство этих задач поставлены запросами практики, и их решения находят технические приложения. Однако современные запросы инженерной практики требуют решения и более сложных задач, в которых прихо- [c.353]

Учитывая (1.45), можно показать, что коэффициент G t) является всюду непрерывной функцией. Таким образом, задача Римана с разрывным коэфс )ициентом оказалась сведенной к задаче с непрерывным коэффициентом. Следовательно, функции Ф (г) непрерывны в окрестности точки 6, и поэтому по формулам (1.49) сразу представляется возможным установить характер особенности функций Ф (г), определяемый, как было показано выше, значением а, т. е. фактически выбором ветви логарифма в (1.48). Таким образом, в решении задачи с разрывным коэффициентом возникает дополнительный произвол, помимо произвола, связанного с решением (1.41). Поэтому при формулировке задачи следует оговаривать допустимый порядок особенности решения в точке разрыва коэффициента. В задачах, имеющих физический смысл, допускается или ограниченность решения, или особенность так называемого интегрируемого порядка а (—1 < а 0). [c.24]

Перейдем к вопросу о единственности решений и начнем с рассмотрения статических задач. Будем предполагать, что оператор Ламе от смещений является интегрируемой функцией. Тогда для этих смещений в области О, ограниченной, вообще говоря, кусочно-гладкой поверхностью 5, справедливо третье неравенство Бетти (4.26) гл. И. Пусть 1 (р) и 2(р) — два различных регулярных решения, удовлетворяющие одним и тем же краевым условиям первой, второй или сразу в общем случае смешанной задач. Тогда интеграл в правой части (4.26) гл. II для разности смещений окажется равным нулю. Поскольку же подынтегральное выражение в левой части является положительно определенной формой, то из равенства нулю интеграла будет следовать, что подынтегральное выражение есть тождественный нуль. Следовательно, напряжения будут обращаться в нуль, что приводит к смещениям тела как жесткого целого. Однако в случае первой и смешанной задач необходимо исключить это смещение, поскольку тогда нарушаются условия на той части границы, где заданы смещения. [c.251]

Ф х) х—х, если f(0)=5 0 при этом, когда х—>-+оо, ф(,1с) стремится к нулю как х . В выражении (5.31) для ay(x,x,Q) можно выделить также фронт распространяющейся поперечной волны т — А = 0. Под штампом (д > 0) в данном случае имеются как раз такие условия, когда распространяющаяся продольная или поперечная волна при взаимодействии с границей порождает соответственно только продольную или поперечную волну. Так что для х/у<Сх< т напряжение Оу есть напряжение в продольной волне (см. рис. 55), а для 0 < х < < т — суммарное напряжение в продольной п поперечной волнах. В точке х = о, так же как и в решении соответствующей статической задачи, имеется интегрируемая особенность типа х- /к [c.492]

Дифференциальное уравнение орбиты и интегрируемые степенные потенциалы. Переходя к рассмотрению различных специальных случаев центральной силы, мы несколько изменим постановку нашей задачи. До сих пор мы считали, что решение задачи означает нахождение г и 0 как функций времени при заданных постоянных интегрирования Е, I и др. Однако чаще всего нам приходится иметь дело не с этими функциями, а с уравнением орбиты, т. е. с такой зависимостью г от 6, из которой исключен параметр t. В тех случаях, когда сила является центральной, это исключение выполняется особенно легко,, так как уравнения движения содержат тогда t только в качестве переменной дифференцирования. Действительно, уравнение движения (3.8) дает нам в этом случае соотношение [c.86]

Задача. Исследовать интегрируемость следующего дифференциального соотношения [c.48]

Задача 1. Исследовать случай, когда конец х = 0 поддерживается (но не защемлен), а конец х= I свободен. Показать, что имеется лишь одно условие интегрируемости сумма всех моментов равна нулю . [c.96]

Инвариантность уравнений движения Лагранжа является одним из наиболее важных их свойств. Она позволяет использовать координаты, соответствующие особенностям задачи. Поскольку не существует общего метода решения уравнений Лагранжа, то лучшее, что можно сделать, это выбрать такую систему координат, в которой эти уравнения были бы, хотя бы частично, интегрируемы. [c.143]

Важная роль производящей функции в задаче о движении. В теории канонических преобразований нет более важной теоремы, чем та, которая утверждает, что произвольное каноническое преобразование полностью характеризуется заданием одной-единственной функции S — производящей функции этого преобразования. Подобным же образом и канонические уравнения характеризуются одной функцией —функцией Гамильтона Н. Эти две фундаментальные функции можно связать между собой определенными соотношениями. Для решения задачи о движении достаточно рассмотреть функцию Гамильтона и попытаться упростить ее с тем, чтобы канонические уравнения стали непосредственно интегрируемыми. С этой целью можно применить подходящее каноническое преобразование, причем это преобразование зависит от одной функции S. Поэтому вместо решения целой системы канонических уравнений можно свести задачу к решению одного уравнения, дифференциального уравнения в частных производных. [c.264]

Задача о геодезической линии становится тогда полностью интегрируемой, потому что все qi оказываются циклическими переменными. В результате получим [c.326]

Дифференциальные уравнения любой системы тел бывают всегда интегрируемыми в том случае, когда тела лишь очень мало удаляются от своих положений равновесия тогда можно определить законы колебаний всей системы. Общий анализ этого случая, имеющего очень широкое распространение, и разрешение некоторых относящихся сюда основных задач и составляют предмет настоящего отдела, [c.438]

Наиболее известным примером динамической задачи, которая благодаря наличию соответствующего числа первых интегралов оказывается интегрируемой в квадратурах, является задача о движении свободной точки под действием центральной силы F. [c.84]

Но во всяком случае, т. е. каков бы ни был порядок величины т по сравнению с /я , речь идет о задаче, непосредственно интегрируемой ( 2), и орбита (относительная) точки Р относительно точки Р, является коническим сечением, имеющим фокус в Р - она может принадлежать к какому-нибудь одному из трех типов (и, в частности, может также быть вырожденной). [c.201]

То обстоятельство, что спределение переменных гри h m можно свести к интегрированию некоторой лагранжевой системы, в которой уже не осталось никакого следа от т координат <7,.....q , оправдывает название этого метода методом игнорирования координат, которое обычно дается предыдущему приведению. Название игнорирование" применяется здесь потому, что при определении координат при h m можно не знать (игнорировать) остальные координаты, входившие вначале при действительном описании задачи. При этом заметим, что в большинства конкретных задач интегрируемость в квадратурах очень часто является следствием наличия игнорируемых координат. [c.304]

Добавим еще, что сам Штеккель и другие указали дальнейшие случаи интегрируемости способом разделения переменных и что даже был установлен критерий классификации всех типов возможных динамических задач, интегрируемых этим методом i). Действительное определение этих типов впервые и исчерпывающим образом было выполнено при я = 2 Морера а позднее было дополнено для я = 3 Даль-Аква (Dall A qua) З). [c.345]

Кок показывают рис. 6-1, 6-2згти условия не являются достаточными. Все найденные в данной задаче интегрируемые случаи сводятся к классическим (Л.Эйлер, Н Е. Жуковский, В.Вопьтерра) некоторой заменой времени. [c.38]

Нсинтегрируемость связи в рассматриваемой задаче можно показать без вычислений, а исходя только из простых геометрических соображений. Во-первых, иа уравнения связи следует, что в случае ее интегрируемости в уравнение эквивалентной геометрической связи время t явно не должно входить, а угол ф обязательно должен войти, т. е. эквивалентная геометрическая связь должна записываться в виде j(x, у, ф) = О, где функция / пе должна быть тождественно равной пулю при произвольных фиксированных значениях х, у. [c.25]

Будем считать, что при е=0 система (1) интегрируема (т. е. мы можем получить ее общий интеграл), а канонически сопряженные переменные qt, pt выбраны так, что функция Гамильтона //о, соответствующая певозмуще]шой задаче, зависит только от н.мпуль-сов, т. е. [c.314]

Точное решение задачи о свободных колебаниях в нелинейных диссипативных системах в подавляющем большинстве случаев наталкивается на весьма большие и очень часто неразрешимые трудности. Поэтому (как и в случае консервативных систем) приходится искать методы приближенного расчета, которые с заданной степенью точности позволили бы найти количественные соотношения, определяющие движения в исследуемой системе при заданных начальных условиях. Из ряда возможных приближенных методов рассмотрим в первую очередь метод поэтапного рассмотрения. Мы уже указывали, что этот метод заключается в том, что в соответствии со свойствами системы все движение в ней заранее разбивается на ряд этапов, каждый из которых соответствует такой области изменения переменных, где исследуемая система с достаточной точностью описывается или линейным дифференциальным уравнением, или нелинейным, но заведомо интегрируемым уравнением. Записав решения для всех выбранных этапов, мы для заданных начальных условий находим уравнение движения для первого этапа, начинающегося с заданных начальных значений. Значения переменных 1, х, у = х) конца первого этапа считаем начальными условиями для следующего этапа. Повторяя эту операцию продолжения решения от этапа к этапу со сшиванием поэтапных решений на основе условия непрерывности переменных х и у = х, мы можем получить значения исследуемых величин в любой момент времени. Если разбиение всего движения системы на этапы основано на замене общей нелинейной характеристики ломаной линией с большим или меньшим числом прямолинейных участков, то подобный путь обычно называется кусочно-линейным методом. В этом случае на каждом этапе система описывается линейным дифференциальным уравнением. Условие сшивания решений на смежных этапах — непрерывность х я у = х — необходимо и достаточно для системы с одной степенью свободы при наличии в ней двух резервуаров энергии и двух форм запасенной энергии (потенциальной и кинетической, электрической и магнитной). Существование двух видов резервуаров энергии является также необходимым условием для возможности осуществления в системе свободных колебательных движений, хотя для диссипативных систем оно недостаточно. При большом затухании система и с двумя резервуарами энергии может оказаться неколебательной — апериодической. [c.60]

Полученная выше система дифференциальных уравнений, дополненная условиями однэзначносги, как правиле, не интегрируема без существенных упрощений, а решения, полученные после таких упрощений, в весьма малой степени могут быть использованы для расчета теплообмена в технических задачах. В настоящее время изучение теплообмена основывается на экспериментальных данных. Однако для возможности обобщения таких данных и выявления границ их применения экспериментальные исследования должны быть построены на строгих теоретических, основах. Такой теоретической базой современного жспсримента является теория подобия. [c.317]

Условия связи вида F qi. .. Qf) = onst называют, по Герцу голо-номными (греческое holes = латинскому integer = цельный, интегрируемый), условия же связи вида (7.3), которые не могут быть проинтегрированы в общем виде, называются неголономными. Простейшим примером неголономной связи является колесо с острыми краями на плоском основании (см. задачу II. 1 сюда относятся также сани и шарнирный механизм велосипеда). Поступательное движение такого колеса ограничено тем, что оно может происходить только в направлении самого колеса (т. е. что точка касания колеса с основанием может перемещаться только по направлению касательной к колесу). Несмотря на это, колесо может достигнуть любой точки плоского основания хотя для этого может оказаться необходимым движение по траектории с острием (точкой возврата). Таким образом, колесо обладает при конечных движениях большим числом степеней свободы чем при бесконечно малом движении. Вообще, система, подчиненная г неголономным условиям связи и имеющая / степеней свободы при конечных движениях, имеет только / — г степеней свободы при бесконечно малом движении. Об этом более подробно см. задачу II. 1. [c.71]

Физический смысл этих условий заключается в том, что сумма сил и сумма моментов сил, действующих на стержень, равны нулю. Эти условия определяют две поддер-живаюш,ие силы, необходимые для равновесия стержня. Эти силы получаются, таким образом, из условий интегрируемости краевой задачи граничные же условия задачи целиком определяются с помош,ью вариационного исчисления. [c.96]

Резюме. Канонические преобр азования характеризуются однон-единственной функцией, производящей функцией. Поэтому задача нахождения некоторого канонического преобразования, которое бы упрощало функцию Гамильтона и делало бы уравнения непосредственно интегрируемыми, эквивалентна задаче о нахождении только одной функции. Эта функция определяется одним уравнением в частных производных. Задача решения системы канонических уравнений заменяется задачей решения этого уравнения. [c.265]

Задача двух тел, как мы видели, непосредственно интегрируема, но уже случай л- -1=3 представляет аналитические трудности значительно более высокого порядка. Этот случай (задача трех тел), начиная с XVII в. до наших дней, является предметом многочисленных исследований, осветивших его с различных точек зрения ). В известном смысле можно даже сказать, что теперь [c.204]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...