Интеграл Ковалевской

Интеграл Ковалевской. Введем обозначения [c.197]

В некоторых специальных случаях существуют еще другие интегралы. Наиболее замечательный из них — интеграл Ковалевской, который имеет место в случае [c.173]

Интегралы энергии и интеграл Ковалевской запишутся так [c.202]

Параметры bud несущественные они не войдут в уравнения движения. В предположении F2 = т,р) = О имеется дополнительный интеграл F4 = [т — т + ср У -Ь Ат т, напоминающий по своей структуре интеграл Ковалевской. [c.92]

Можно показать, что интеграл Ковалевской допускает запись в форме [c.129]

Полагая 5 = (5 1, 82) и М = (М1, М2) — двумерными векторами, угол между ними обозначим через А (см. рис. 44). Учитывая, что 71+72 = в, где в — угол между вертикалью и осью симметрии эллипсоида инерции, запишем интеграл Ковалевской в форме [c.129]

При этом дополнительный интеграл (обобщенный интеграл Ковалевской, указанный в [104], см. также 7) имеет вид [c.308]

Действительно, гамильтониан в этом случае остается прежним (8.25), при этом функции Казимира задаются уравнениями (8.14), а аналог интеграла Ковалевской имеет вид [c.312]

Показать, что в задаче исследования движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки достаточно найти 4 независимых первых интеграла, чтобы определить траектории движения. Перечислить эти интегралы в случаях Эйлера, Лагранжа-Пуассона, Ковалевской. Какие первые интегралы являются общими для всех этих случаев [c.702]

ПЕРВЫЙ ИНТЕГРАЛ, НАЙДЕННЫЙ С, В. КОВАЛЕВСКОЙ [c.451]

Последующие исследования показали, что четвертый алгебраический интеграл существует только в случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, т. е. тогда, когда общие интегралы системы уравнений (III. 12) и (III. 14) мероморфны ). [c.451]

Да.тее мы ограничимся получением четвертого интеграла, найденного С. В. Ковалевской для исследованного ею случая движения твердого тела. [c.451]

Пользуясь методом, основанным на применении аппарата теории функций комплексного переменного, С. В. Ковалевская нашла в этом случае общий интеграл дифференциальных уравнений движения (17) [c.710]

В уравнения движения время t явно не входит. Исключая имеем пять уравнений, для которых найдены четыре первых интеграла. Согласно теории последнего множителя ) задача сводится к квадратурам. С. В. Ковалевская доказала, что кроме четырех случаев — Эйлера, Лагранжа, полной кинетической симметрии А = В = С и ее — нет случаев, когда общее решение уравнений движения является мероморфной функцией в комплексной плоскости переменного t. [c.197]

Вопрос сводится к нахождению нового интеграла. В случае Лагранжа и Пуассона (А = В, 5 = т) = 0) этим новым интегралом является г = Г(,. В случае Ковалевской также предполагается, что эллипсоид инерции является поверхностью вращения, но к этому добавляется более сильное требование, чтобы [c.187]

Этим объясняется, что во всех вопросах такого рода все усилия направляются на разыскание нового интеграла. Это разыскание бывает часто непрямым, в том смысле, что пытаются заранее наложить определенное условие на интеграл, как, например, быть алгебраическим или однозначным, и стараются подобрать таким частным образом данные задачи, чтобы осуществить условия существования такого рода интеграла. Этот метод бывает иногда успешным, в чем убеждает нас случай Ковалевской. [c.407]

Случай Ковалевской. В п. 24 уже говорилось, что интегрирование уравнений (34 ), (35 ) движения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной своей точке, приводится к квадратурам всякий раз, когда удается определить еще один интеграл, кроме классических интегралов живых сил и момента количеств движения. [c.165]

К настоящему времени показано, что четвертый алгебраический первый интеграл относительно р, г, 71, 72, 73 существует только в следующих трех случаях, а именно в случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. [c.206]

Ковалевской интеграл 564 Количество движения 132 [c.649]

В работе Ковалевской о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки необходимо отметить следующие существенно новые для механики и математики особенности. Ею открыт новый случай вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, для которого она нашла общий интеграл. С. В. Ковалевская впервые привлекла к исследованию подобных задач прекрасно разработанный аппарат теории функций комплексного переменного. Наконец, ее работа поставила некоторые новые общие математические проблемы. [c.246]

В работе [5] Л. А. Степановой преобразован интеграл С. В. Ковалевской и установлена степень этого интеграла по отношению к основным переменным задачи — компонентам кинетического момента тела. Четвертый алгебраический интеграл в этом случае получен в виде многочлена шестнадцатой степени [c.97]

Степанова Л. А. О степени четвертого алгебраического интеграла в решении С. В. Ковалевской. В кн. Механика твердого тела, 3. Киев, Наукова думка , 1971. [c.98]

Весь успех исследования С. В. Ковалевской в рассматриваемой задаче заключается в прибавлении к известным интегралам живых сил и площадей еще одного нового алгебраического интеграла. Анализ ее для достижения этой цели настолько прост, что, по моему мнению, его следует включить в курсы аналитической механики. [c.65]

Когда этот интеграл был найден, то дальнейшее разрешение задачи свелось к совершению вполне определенных аналитических операций, которые С. В. Ковалевская выполнила до конца, сведя отыскание всех обстоятельств движения к отысканию функций в1 и 82, удовлетворяющих уравнениям [c.67]

Четвертый алгебраический интеграл дифференциальных уравнений Эйлера, найденный С. В. Ковалевской для рассматриваемого ею твердого тела, может быть получен с помощью геометрических соображений и изложен в виде некоторой теоремы. Мы формулируем [c.92]

Исследования Ковалевской, Ляпунова и других авторов в динамике твердого тела показали, что общее решение уравнений движения представляется однозначными функциями времени только в классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, как раз тогда, когда существует дополнительный однозначный интеграл. Долгое время оставалось неясным, является ли это обстоятельство случайным совпадением, или же в его основе лежат какие-либо глубокие причины. В этой главе методом малого параметра Пуанкаре доказано, чго именно существование бесконечного числа неоднозначных решений препятствует появлению нового однозначного аналитического интеграла в общем случае. [c.107]

Интегрируемость случаев Эйлера и Лагранжа обусловлена естественными динамическими симметриями и сохранением соответствующих первых интегралов. С. В. Ковалевская нашла свой случай интегрируемости, исходя из неочевидных аналитических соображений, используя хорошо развитую в то время теорию алгебраических функций (частным случаем которых являются эллиптические функции). Она потребовала однозначности общего решения на комплексной плоскости времени, что привело в будущем к возникновению одного из наиболее продвинутых методов анализа динамических систем на интегрируемость — тесту Пенлеве-Ковалевской. Интеграл Ковалевской уже не имеет естественного симметрийного происхождения, как говорят, его симметрии являются скрытыми, а сама проблема описания движения и явного интегрирования в этом случае является существенно более сложной. [c.14]

Замечание 1. Укажем еще одно представление интеграла Ковалевской в виде суммы квадратов. Для этого воспользуемся проекциями момента на полуподвижные оси [c.129]

Соответствующий полный набор инволютивных независимых интегралов указан А. Г. Рейманом и М. А. Семеновым-Тян-Шанским [147, 261, 194], один интеграл квадратичен по моментам, а другой (аналог интеграла Ковалевской) имеет по ним четвертую степень. [c.209]

Обобщение случая Делоне. Кроме понижения порядка по циклическим переменным для обобщенного волчка Ковалевской (4.4) возможен один случай сведения к двум степеням свободы с использованием редукции Дирака [31]. Для этого рассмотрим интеграл Ковалевской Р2 (4.4) при условиях X = О, Р2 = = О, определяющих обобщенный случай Делоне (О. И. Богоявленский [19]). Легко видеть, что система корректно ограничивается по Дираку на инвариантные соотношения [c.210]

Интеграл Ковалевской. Третий интеграл был найден в специальном случае, когда А В = 2С, к центр тяжести лежит в экваториальной плоскости эллипсоида ииерции тела, т. е. при 1=0 ). Рассмотрим способ, с помощью которого Ковалевская иашла новый интеграл. Так как А =- В, возьмем плоскость АОС, содержащую центр тяжести, и поэтому k = О, I = 0. Из уравнений (1), (2) выводим, что [c.185]

Аналогия со случаем Делоне. Приведем еще одно общее замечание. Указанные частные случаи интегрируемости соответствуют ситуации, при которой один из интегралов достигает О своего экстремального значения. Очевидно, что при этом в системе обязательно появляются дополнительные инвариантные соотношения. Для интегрируемых систем это приводит к дополнительному вырождению. Примером может служить случай Делоне для волчка Ковалевской. В этом случае интеграл Ковалевской, являющийся суммой двух полных квадратов, обращается в нуль, и двумерные торы вырождаются в одномерные (периодические и асимптотические решения). [c.97]

Датее С. В. Ковалевская показала, что в найденном ею случае движения твердого тела можно найти четвертый интеграл, алгебраический относительно неизвестных функций. [c.451]

Точно так же Ковалевская, именно благодаря тому, что ей удалось найти условия существования нового интеграла, сумела разрещить новый случай задачи движения тяжелого тела вокруг неподвижной точки. [c.407]

Алгебраические первые интегралы. Случай Гесса. В случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской последний из первых интегралов, приводящий к интегрированию посредством квадратур уравнений движения тяжелого твердого тела с одной закрепленной точкой (п. 24), является, как и интегралы живых сил и моментов, алгебраическим относительно неизвестных функций. Поэтому естественно, что предпринимались общие исследования вопроса о том, допускают ли и в каких случаях динамические уравнения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, помимо двух классических интегралов, какой-нибудь новый алгебраический интеграл, относительно переменных р, 1 f, Yu Тэ> Ifs Однако глубокое исследование Гюссона ), выполненное в более изящной форме Бургаттив), привело к заключению, что, помимо рассмотренных ранее случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, не существует других алгебраических интегралов, кроме интегралов живых сил и моментов. [c.168]

В случае, разобранном С. В. Ковалевской, так же как и в ранее известных, система уравнений движения имеет дополнительный первый интеграл, что и обеспечило возможность их интегрирования в квадратурах. При этом оказалось, что в некоторых естественных переменных переменные Эйлера-Пуассона) во всех случаях интегрируемости дополнительные интегралы являются многочленами, так же как и классические первые интегралы. Таким образом, общее решение представляется мероморфными функциями времени как раз в тех случаях, когда существует новый алгебраический интеграл. Этот результат, естественно, поставил общую задачу о связи между существованием алгебраических интегралов аналитических систем дифференциальных уравнений и мероморфностью общего решения. На важность этой задачи впервые обратил внимание Пенлеве [41]. [c.126]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...