Граничные условия для уравнений / -приближения

Пока мы предполагаем, что приближенное решение начинается из точного распределения Т х, у, t, i). Отметим, что сначала решается уравнение (3.79) с начальным условием (3.80), а затем уравнение (3.81), в котором в качестве начального условия принимается полученное к концу временного интервала распределение х, у, tj). Граничные условия для уравнений (3.79), (3.81) соответствуют граничным условиям исходной задачи по направлениям хну. [c.119]

Граничные условия для внешнего течения приближенно такие же, как для течения без трения. Пограничный слой очень тонок, а поперечная скорость и на его внешнем крае очень мала (р/У 6/1/). Следовательно, потенциальное обтекание рассматриваемого тела, имеющее на стенках тела нормальную составляющую скорости, равную нулю, можно рассматривать как весьма хорошее приближение для внешнего течения вязкой жидкости. Поэтому для определения перепада давления в продольном направлении пограничного слоя достаточно составить уравнение Бернулли (7.5) для совпадающей со. стенкой линии тока потенциального течения, считаемого заданным-Итак, после всех выполненных упрощений от двух уравнений Навье — Стокса остается только одно, которое, если опять вернуться к размерным величинам, принимает вместе с уравнением неразрывности следующий вид [c.127]

Если границы области течения достаточно просты, то в некоторых случаях удается получить точные аналитические решения или решения в замкнутом виде. Примером может служить рассмотренное в п. 6.6 решение задачи о ламинарном течении в круглой цилиндрической трубе. Ниже приведены еще несколько подобных решений. Но все же число случаев, для которых удается получить точные решения, ограничено, и для встречающихся на практике задач чаще всего характерны сложные граничные условия, для которых не удается найти таких решений. Для этих случаев применяют приближенные методы, основанные на предположении о малой значимости тех или иных членов уравнений движения. [c.289]

Система уравнений в приближениях пограничного слоя (1.107) может быть решена, если заданы граничные условия для е и со на внешней стороне пограничного слоя. Известно из опытов, что величина е на внешней стороне пограничного слоя, формирующегося у криволинейного профиля, может меняться в широких пределах. Для вычисления величин е и ш иа внешней стороне пограничного слоя можно использовать уравнения (1.104). [c.55]

Здесь амплитуду А надо подобрать так, чтобы она была близка к амплитуде предельного цикла автоколебательной системы. В этом случае величина и члены, соответствующие более высоким приближениям, не будут возрастать со временем. Подставим (11.2.1) в уравнение (11.1.11) и граничные условия (11.1.12) и (11.1.15). Уравнение и граничные условия для Ох принимают вид [c.352]

Уравнения (4.5.17), (4.5.20) образуют систему дифференциальных уравнений диффузионного приближения. Получим граничные условия для этой системы уравнений. Для [c.173]

Уравнение (4.5.32) представляет собой граничное условие для системы дифференциальных уравнений (4.5.17), (4 5.20) диффузионного приближения. Коэффициенты в указанной системе уравнений являются функциями температуры, давления, концентраций поглощающих и излучающих компо- нентов, V ( ) и должны быть заданы. Если эти коэффи тенты известны (с увеличением оптической толщины среды эти коэффициенты быстро приближаются к своим асимптотическим значениям), то для однозначного решения задачи лучистого переноса в рамках диффузионного приближения достаточно задания на границе величин 5т-или Зр. [c.174]

Если бы вариации бю были совершенно произвольными (удовлетворяющими нун<ным условиям на границе), то полученное решение было бы точным, так как вариационный принцип полностью эквивалентен системе уравнений равновесия и граничным условиям для напряжений. В данном случае условие экстремума выполняется лишь по отношению к некоторым Ью, поэтому полученное решение является приближенным. Однако если система функций — полная система, т. е. если любую функцию из данного класса, в частности, Ьгс х, у, ), можно приближенно с любой степенью точности представить в виде линейной комбинации этой системы функций, то, взяв достаточное число членов в (9.9), можно получить решение, вообще говоря, весьма близкое к точному. [c.393]

Уравнения (10.2) и (10.3) с учетом соотношений (10.5) образуют систему интегральных уравнений. Решая их методом последовательных приближений, с учетом граничных условий для контактных задач (см. с. 9) можно найти неизвестные напряжения в зонах контакта, размеры этих зон и кинематические перемещения тел. [c.183]

Сущность его состоит в том, что исходят из оценки решения, которое содержит несколько свободных параметров, и при этом оно в наибольшей степени удовлетворяет заданным граничным условиям. Для определения неизвестных параметров необходимо, чтобы предлагаемое приближенное решение в точности соответствовало данному уравнению в стольких избранных точках, сколько имеется свободных параметров. Если принять, например, приближенное решение в форме, которую рекомендует Б. Г. Галеркин, то мы получим для неизвестных свободных параметров столько линейных однородных уравнений, сколько имеется свободных параметров. [c.87]

Основная идея дифференциально-разностного приближения заключается в представлении потока излучения для рассматриваемого направления в виде разности двух встречных потоков. При таком подходе путем соответствующего интегрирования уравнение переноса излучения заменяется системой из двух дифференциальных уравнений, содержащих в качестве неизвестных поверхностные плотности встречных потоков излучения. Аналогичное интегрирование производится и для получения граничных условий к этим дифференциальным уравнениям. Полученные описанным способом дифференциальные уравнения, граничные условия и уравнение энергии составляют замкнутую систему уравнений дифференциально-разностного приближения, которая и решается в зависимости от постановки задачи тем или иным способом. Коэффициенты переноса, фигурирующие в этой системе уравнений, как уже упоминалось, заранее точно не известны и определяются на основании предварительных приближенных оценок, а в случае необходимости могут быть уточнены итерационным методом. Этим, собственно, и обусловливается приближенность рассматриваемого метода. Вместе с этим сравнительная простота получаемых уравнений, отсутствие принципиальных затруднений при их решении, физическая наглядность сделали дифференциально-разностное [c.114]

Приравняв правые части (4-10) и (4-16), получим окончательное уравнение граничных условий для диф-ференциально-разностного приближения при задании температуры и радиационных характеристик поверхности [c.121]

Граничные условия к (5-76) получаются из граничных условий к (5-53) и (5-56). При этом в (5-56) величина oU на границе со стенкой находится согласно (5-70). Проведя эту подстановку, получим два уравнения граничных условий для приближения радиационной теплопроводности полного излучения [c.165]

Законы подобия для теплопередачи в потоке жидкости формулируются, как известно, в виде условий, накладываемых на характеристические размеры находящихся в потоке (или ограничивающих поток) твердых тел, скорость течения и разность температур между твердым телом и жидкостью. Все эти три параметра входят в граничные условия основных уравнений — сохранения энергии и движения — и посредством их определяют общие решения. Последние будут содержать значения вязкости и теплопроводности жидкости. Во всех известных методах установления законов подобия коэффициенты вязкости и теплопроводности рассматриваются как постоянные величины. Такое приближение обусловлено тем, что общий вид функциональных зависимостей для коэффициентов вязкости и теплопроводности считается неизвестным оно справедливо только в том случае, когда разности температур в различных точках жидкости достаточно малы. Полученные в этих предположениях критерии подобия не определяют полного подобия, а характеризуют по существу только внешнее подобие процессов теплопередачи в разных жидкостях совокупность их в ряде случаев является недостаточной, а форма написания — не очевидной. [c.7]

Определив указанным образом исходное приближение, запишем дифференциальные уравнения и граничные условия для определения следующего, первого приближения [см. равенства (12)], т. е. функций [c.141]

До сих пор мы непосредственно решали дифференциальное уравнение энергии пограничного слоя. Рассматривались только те граничные условия, при которых существуют автомодельные решения. При других граничных условиях дифференциальные уравнения движения и энергии всегда можно записать в конечноразностном виде и получить численное решение. Другим плодотворным методом, который часто используется для получения приближенных решений инженерных задач, является решение интегрального уравнения энергии. [c.258]

Уравнение (40) представляет собой линейное дифференциальное уравнение относительно йр. Чтобы проинтегрировать его, требуется знание граничных условий для йр. Установление последних связано с возможностью использовать приближенное уравнение (11). [c.130]

Решение уравнения (1.18) в форме ряда (1.19) удобно своей простотой для проведения конкретных расчетов. Однако оно не дает возможности установить вид зависимости решения от параметра . Чтобы проанализировать искомую зависимость, можно воспользоваться методом возмущений. При = О решение г = О удовлетворяет граничным условиям и уравнению (1.18). Если принять его за нулевое приближение решения при О, то можно вычислить все интегралы Li. В результате уравнение (1.18) становится дифференциальным и для малых (р сводится к уравнению Эйлера третьего порядка. Решение последнего содержит члены вида ехр( / 1п ( ), свидетельствующие о неаналитическом характере зависимости от . Подстановка этого решения в (1.17) позволяет установить, что члены 1 и 2 соответствуют приведенным выше оценкам. [c.268]

В четырех равенствах (20.16.5) при каждом (s) входят две произвольные функции ф (S), содержащиеся в приближении (s) простого краевого эффекта (считается, что при помощи формул вида (20.13.7) величины Tl Js+i). S Ms+i) выражены через величины с индексом, не превосходящим s). Исключив 1рг(5), получим два равенства, содержащих безмоментное и чисто моментное напряженное состояние (s). Они составят совместные граничные условия для главных уравнений безмоментного итерационного процесса [c.303]

Уравнения (1.24) и (1.25) совместно с уравнениями равновесия, граничными условиями и уравнениями совместности деформаций позволяют получить решение задачи для однократного и повторного нагружения соответственно. В общем случае задачу решают методом последовательных приближений, причем параметры упругости в каждом приближении вычисляют по напряженно-деформированному состоянию предыдущего приближения. [c.18]

Уравнения равновесия, граничные условия и уравнения, характеризующие связь между напряжениями и деформациями, обычно удовлетворяют полностью, а уравнения совместности деформаций — приближенно путем введения соответствующих кинематических гипотез. Такие методы широко используют в сопротивлении материалов для решения обширного класса задач. Аналогичные методы можно использовать и при упруго-пластическом деформировании, причем удается получить решения для того же класса задач, что и при упругом деформировании. [c.18]

Формулы (5) не улавливают зависимость от граничных условий. Для уточнения (5) удержим члены порядка (3 . Из уравнения (1.9) находим приближенно [c.188]

Рассмотрим процедуру решения краевых задач, предполагая, что правые части граничных условий разложены также в ряды по е. Из (3.58) следует, что уравнения в каждом из приближений совпадают с уравнениями в сферической системе координат. Учитывая, что вторые слагаемые правых частей (3.56), (3.57) определены из предыдущих приближений, получаем, что в каждом приближении необходимо удовлетворять граничным условиям как бы в сферической системе координат, когда правые части граничных условий будут изменены, поскольку, например, (р, 7, и) получено из (г,0, ф) формальной заменой г, 0, ф на р, у, к. Таким образом, задача дифракции на конечных телах вращения сведена к последовательности задач дифракции на сферических телах с изменяющимися граничными условиями в каждом из приближений при одинаковых однородных уравнениях во всех приближениях. При этом выражения для операторов полностью совпадают с выражениями [c.68]

Для облегчения решения задач большого масштаба можно использовать два разных способа численных приближений способ окна и способ рассмотрения в целом (см. [34]). Способ окна полезен, когда изучаемая область сравнительно невелика, но на ее состояние оказывают влияние горные работы, которые ведутся в прилежащих значительно больших областях жилы. Тогда для анализа большой площади применяется грубая сетка, а получаемое при этом решение служит уточнению начальных напряжений и постановке граничных условий для окна в этой сетке. Затем для окна строится детальное решение при более мелкой сетке в его пределах и при упомянутых модифицированных начальных напряжениях и граничных условиях. Рассмотрение в целом заключается в том, что в итерационном процессе решения системы алгебраических уравнений одновременно используются две (или более) разные сетки. Мелкая сетка считается погруженной в грубую сетку. Очередная итерация строится для каждого элемента мелкой сетки с использованием самой этой сетки на небольших расстояниях от рассматриваемого элемента и грубой сетки для оставшейся площади жилы (см. [50]). Тем самым удается значительно сократить объем вычислений, не жертвуя деталями и лишь немного теряя в точности решения. [c.260]

Учитывая постановку краевой задачи для нулевого приближения [соотношения (3.1.108)-(3.1.116)], а также уравнения и граничные условия для первого приближения, можно записать постановку задачи для нулевого и первого приближений в общем виде следующим образом [c.63]

Члены этого уравнения, содержащие матрицу VK, имеют простой физический смысл. Третий член в левой части описывает процесс столкновения двух частиц, причем в матрице взаимодействия (4.3.15), благодаря матрице (7, учитываются квантовые статистические эффекты в промежуточных состояниях (для фермионов — принцип Паули). Правая часть уравнения (4.3.41) соответствует борновскому приближению для двухчастичного рассеяния. Многочастичные корреляции, связанные с сохранением энергии, учитываются в уравнении (4.3.41) посредством источника, который определяет граничное условие для корреляционной матрицы. [c.291]

Таким образом, соответствующий выбор функции формы имеет важное значение для достижения должной точности окончательных результатов. Поэтому исследователю следует выбирать функцию таким образом, чтобы она, с его точки зрения, достаточно хорошо соответствовала истинной деформированной форме. Чем точнее выбрана функция формы, тем лучше будут результаты вычислений. Разумеется, если бы выбранная функция формы оказалась точной, то точными были бы и окончательные результаты. В качестве минимального требования функция формы должна выбираться таким образом, чтобы она удовлетворяла геометрическим граничным условиям для конструкции, т. е. условиям, накладываемым на прогибы и углы поворотов, как будет показано в нижеследующих примерах. К тому же чем больше параметров перемещений используется при задании приближенного выражения, тем точнее приближенная деформированная форма будет соответствовать большинству условий. Правда, чем больше будет параметров, тем больше будет и число уравнений, которые придется решать. [c.506]

Для большого класса задач гидродинамики разработаны программы для численного решения этих задач на ЭВМ. Сущность метода состоит в редукции граничных задач для уравнений гидродинамики к задачам решения систем алгебраических уравнений, которые получаются, если частные производные заменить их конечноразностными приближениями, а граничные условия — условиями [c.115]

Из (9.35) видно, что функция G(T, X, п) определена, если известны химические потенциалы с составляющих систему веществ. Но химические потенциалы входят в систему из (с—1)-го дифференциального уравнения (9.86). Поэтому для расчета всех свойств раствора достаточно знать одну функциональную зависимость = X, х) для любого из составляющих (l i ) и граничные условия для уравнений (9.86). Интегрирование уравнений Гиббса—Дюгема не относится к числу тривиальных задач, особенно в случае многокомпонент-лых растворов, но при наличии необходимых данных она решается приближенно численными методами. [c.96]

В 2.9 и 2.10 были сформулированы микроскопические граничные условия для уравнения Больцмана. Моментиые уравнения для конкретной задачи с большей или меньшей точностью заменяют уравнение Больцмана. Необходимо, также приближенно, заменить граничные условия для функции распределения некоторым числом макроскопических условий для моментов. Мои<но построить бесчисленное множество граничных условий для моментов. Действительно, выпишем общее микроскопическое граничное условие (9.6) главы II [c.123]

Чепмена. Нашей целью является установление таких фиктивных макроскопических граничных условий для уравнений Навьс — Стокса на твердой стенке, при выполнении которых решение уравнений Навье — Стокса вне кнудсеновского слоя совпадало бы (с точностью навье-стоксовского приближения) с решением уравнения Больцмана с заданными истинными кинетическими условиями на стенке. [c.317]

Более точной является двухгрупповая диффузионная модель реактора. Она позволяет приближенно учесть различие пространственного распределения нейтронов разных энергий. В этой модели плотность потока быстрых и надтепловых нейтронов Фо (г) описывается с помощью одного диффузионного уравнения, а поток тепловых нейтронов Фо(г) —с помощью другого уравнения. Рещения этих уравнений в каждой области (активная зона, отражатель, зона воспроизводства и др.) сщиваются > с соответствующими рещениями в прилегающих областях при подходящих граничных условиях для каждой группы с учетом требований, налагаемых на решения в центре и на внешней границе реактора. Интенсивность источников тепловых нейтронов в каждой области пропорциональна плотности потока быстрых нейтронов, а в областях, содержащих делящийся материал, интенсивность источников группы быстрых нейтронов пропорциональна плотности потока тепловых нейтронов. [c.40]

Мы видели, что задачи теории упругости обычно сводятся к решению уравнений в частных производных с заданными граничными условиями. Эти уравнения допускают точное решение лишь для границ простой юрмы. Очень часто мы не можем получить точного решения и вынуждены обрагдаться к приближенным методам. В качестве одного из этих методов рассмотрим численный метод, основанный на замене дифференциальных уравнений соответствуюш,ими уравнениями в конечных разностях ). [c.517]

Уравнения (1.25) можно рассматривать как граничные условия для решения гидродинамической задачи о развитии по оси z течения, созданного завихрителем, если, конечно, постоянные j исг определяют именно то распределение локальных моментов количества движения г, которое задает завихритель. Если при зтом принимается во внимание прилипание жидкости к стенке, то должно учитываться развитие пограничного слоя у твердой границы. Его можно и не учитьтать. Но принимается во внимание нарастание пограничного слоя на стенке или нет, в обоих случаях необходимо учитывать развитие пограничного слоя на свободной внутренней границе. Неизбежность нарастания пограничного слоя на свободной границе вскрыта Дж. Бэтчелором [14, с. 454]. На свободной цилиндрической границе должен существовать разрыв непрерывности в значении составляющей тензора напряжений (1.23). А именно, с внутренней стороны этой границы (изнутри вращающегося слоя) О, а с внешней стороны этой границы = 0. Это приведет к резкому торможению прилегающего к границе тонкого слоя в направлении и приближению зависимости скорости от радиуса к прямой пропорциональности. [c.24]

Сформулируем граничные условия для приближения Милна — Эддингтона. При этом будем исходить из уравнений граничных условий тензорного приближения, которые для первой и второй граничных поверхностей слоя на основании (6-14) будут иметь вид [c.185]

Отметим в заключение, что уравнение (10) применимо также и к аналогичной задаче с несимметричными граничными условиями для температуры в случае струи, бьющей из радиальнощелевого диффузора (для первого приближения в решении этой задачи [Л. 10, И, 12]), поскольку как дифференциальное уравнение (9), так и его безразмерное решение сохранятся теми же, что и для плоской струи (иными будут только значения констант а = р=1 и т). [c.88]

Таким образом, для нахождения Н, -с на S = 0 получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя точечными граничными условиями, решение которой находят приближенным методом Рунге — Кудта — Хилла. Изложенным выше методом был проведен расчет для совершенного диссоциирующего газа и распределения давления по модифицированной теории Ньютона [c.102]

Уравнения (1) —(3) с граничными условиями (4) — (6) решались приближенными методами теории пограничного слоя. Для этого уравнение (1) было преобразовано к интегральному соотношению Л. С. Лей-бензона [Л. 10], а уравнение (3) —к уравнению теплопроводности через-пограничный слой, В результате получили [c.238]

Основная особенность изучаемого течения состоит в том, что граничное условие для q при х = О в общем случае неизвестно. Оно определяется условиями работы коронирующей системы при ее обдуве газом. Таким образом, строго говоря, необходимо исследовать течение во всей области движения, начиная от выхода газовой струи из сопла. Система уравнений, описывающая течение газа между корониру-ющими электродами, гораздо сложнее, чем система (2.2), так как она должна учитывать наличие приэлектродных эффектов и содержать целый ряд дополнительных физических параметров. Поэтому ниже рассматривается только система (2.2). Влияние же процессов в коронирующей системе приближенно учитывается через эффективное граничное условие в сечении ж = 0. [c.362]

К классу комбинированных методов относится использование некоторых сложных конечных элементов (суперэлементов), которые можно оп-ределить [5.1] как элементы, внутри области которых выполняются все уравнения данной теории следовательно, применение сложных конечных элементов связано с функционалом граничных условий. Эти уравнения могут быть выполнены точно (в этом случае получаем метод Ритца для функционала граничных условий) или приближенно— с помощью аналитических или численных методов. Здесь заключена возможность и удобство комбинированного применения МКЭ с другими методами, в том числе с МКР и разными вариантами МКЭ. [c.177]

Форма полости в квазистационарном приближении должна быть определена из решения газодинамической задачи. Дополнительными граничными условиями для температур на неизвестном контуре служат условия (8.94) и (8.88). Для определения коэффициента теплообмена h можно воспользоваться формулой Имая [ ], полученной из рассмотрения уравнений пограничного слоя. Укажем прием, при помощи которого можно получить приближенное решение задачи об определении формы каверны. Температуру Го и скорость потока Uo на поверхности тела (на внешней границе пограничного слоя) аппроксимируем некоторыми функциями параметра s (s — длина дуги) [c.484]

Излагаемый в настоящей статье приближенный метод исследования динамических характеристик круговых или некруговых цилиндрических оболочек, не подкрепленных или подкрепленных шпангоутами и стрингерами и имеющих вырезы прямоугольной формы, основывается на энергетическом принципе. Исследование базируется на использовании принципа Гамильтона и классического метода Рэлея —Ритца с применением балочных функций для аппроксимации осевых перемещений и тригонометрических для окружных. Балочные функции соответствуют тем функциям, которые описывают колебания однородной балки с такими же граничными условиями, что и на краях оболочки. В исследовании рассмотрены четыре вида граничных условий, а именно шарнирное опи-рание, защемленйе —свободный край, защемление —защемление и, наконец, оба края свободные. Хорошо известно, что в методе Рэлея — Ритца аппроксимирующие ряды для перемещений должны удовлетворять кинематическим граничным условиям и не требуется удовлетворение силовых граничных условий. Поэтому как уравнения равновесия, так и граничные условия в напряжениях удовлетворяются приближенно, на основе принципа экстремума. Таким образом, это позволяет без затруднений представить граничные условия на свободном крае выреза оболочки. [c.239]

К работам этого же направления относятся публикации [28—30]. В [28] изложены результаты определения собственных частот колебаний двусвязных пластинок со сложной формой границы. Задача сводится к рассмотрению круговой пластинки с центральным круговым вырезом. Метод основан на построении функции координат, удовлетворяющей граничным условиям. Для получения уравнения для нахождения собственных частот колебаний использован вариационный метод, а далее метод, Бубнова и конформных преобразований. В работе, [29] изложен приближенный способ нахождения низшей собственной частоты поперечных колебаний круговой пластинки с эксцентрическим вырезом аналогичной формы. Этот способ основан на методе Ритца. В [30] предложены результаты сравнительного числового анализа по определению- собственных частот колебаний двусвязных пластинок со сложными внешними и внутренними контурами. Данные конечно-элементного анализа сравниваются со значениями, полученными с помощью приближенного вариационного метода, основанного на выборе соответствующих аппроксимирующих функций, удовлетворяющих граничным условиям. Полученные результаты хорошо согласуются с данными, опубликованными ранее. [c.292]

Основной результат метода Чепмена — Энскога заключается в возвращении к макроскопическому описанию Навье — Стокса — Фурье путем соответствующего разложения определенных решений уравнения Больцмана. Таким образом, можно ожидать, что теория Чепмена — Энскога гораздо точнее теории Гильберта. С другой стороны, рассматривая высшие приближения метода Чепмена — Энскога, мы получаем дифференциальные уравнения все более высокого порядка (так называемые барнеттовские и супербарнеттовские уравнения), относительно которых ничего неизвестно, нет даже должных граничных условий. Эти уравнения более высокого порядка никогда не имели заметного успеха в описании отклонений от механики газа как континуума. Более того, предварительный анализ проблемы граничных слоев, по-видимому, дает одинаковое число граничных условий для приближений любого порядка (см. следующий параграф), в то время как порядок производных увеличивается. [c.130]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...