Принципы экстремумов

S. Принцип экстремума импульса Бенджамина [c.80]

Рассмотрим кратко принцип экстремума импульса в несколько иной и существенно более простой формулировке задачи, чем та, которую использовал Бенджамин [46]. [c.81]

В соответствии с вариационным принципом экстремум (максимум) энтропии (5.81) должен быть обеспечен при выполнении дополнительных условий, вытекающих из уравнений движения. Для рассматриваемого примера дополнительное условие имеет вид (5.76). Это уравнение может быть разрешено относительно неизвестного параметра а [c.160]

Эта теорема является одним из основополагающих фактов теории гармонических функций. Из нее, в частности, получается важный принцип экстремума непостоянная гармоническая в области О функция не может достигать внутри О ни максимума, ни минимума. [c.81]

Принцип экстремума. Вне притягивающей массы силовая функция не может иметь ни максимума, ни минимума. [c.90]

Заметим, что задачи 4.4 об изгибе анизотропной и круглой пластинок и задачи, только что рассмотренные нами, практически исчерпывают класс задач, для которых найдено точное решение для прогиба и, следовательно, для всех компонент напряжений и деформаций. В дальнейшем будут использоваться те или иные методы отыскания приближенного решения, основанные на принципе экстремума полной энергии. [c.115]

Наиболее простая система уравнений в частных производных, для которых выполняется принцип экстремума и которая обладает свойствами гладкости решения, является система уравнений Лапласа д%1дх +д 1ду = ), d x ldx + d y ldy = Q. [c.54]

Система обладает свойствами экстремальности, если выбираемые произвольные функции Р Ху у) и Q(.v, у) не меняют знак в области. Следует отметить, что принцип экстремума является достаточным, но не необходимым условием взаимно однозначного соответствия. Координатные линии 1, = 1, Ху у) и г = г Ху у) образуют прямоугольную сетку в преобразованной области. Уравнения в преобразованной области имеют вид [c.54]

Основная новация заключается в том, что в сильно неравновесных ситуациях, соответствующих третьей стадии развития термодинамики, принцип экстремумов редко находит свое осуществление (гл. 18-19). В результате любая флуктуация более не может быть подавлена. Устойчивость перестает быть следствием общих законов физики. Флуктуации могут нарастать и охватывать всю систему. Мы называем диссипативными структурами те новые пространственно-временные образования, которые могут возникать в сильно неравновесных ситуациях. Они соответствуют той или иной фор.ме надмолекулярного когерентного поведения огромного числа молекул. В сильно неравновесных ситуациях мы начинаем наблюдать новые свойства вещества, пребывающего в равновесном состоянии в скрытом виде. [c.12]

ПРИНЦИПЫ ЭКСТРЕМУМОВ и ОБЩИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ [c.129]

Принципы экстремумов в Природе [c.129]

Равновесная термодинамика также имеет свои принципы экстремумов. В этой главе покажем, что приближение к состоянию равновесия при различных условиях происходит так, что термодинамический потенциал достигает своего экстремального значения. Следуя этому принципу, выведем общие термодинамические соотношения, чтобы подготовить применения термодинамики в последующих главах. [c.129]

Принципы экстремумов и второе начало термодинамики [c.129]

Как нам уже известно, все изолированные системы эволюционируют к равновесному состоянию, в котором энтропия достигает своего максимального значения. Это — основной принцип экстремума в термодинамике. Однако не всегда [c.129]

Принципы экстремумов и общие термодинамические соотношения [c.132]

Принципы экстремумов и устойчивость равновесного состояния [c.137]

Когда система далека от термодинамического равновесия, для ее характеристики нельзя использовать принцип экстремумов и необратимые процессы не всегда обеспечивают устойчивость системы. Неустойчивость, возникающая в системе, далекой от равновесного состояния, вынуждает ее переходить в состояния с высоким уровнем организации примерами таких состояний могут служить системы с колебательными реакциями или спонтанным образованием пространственных структур. В гл. 18 и 19 рассмотрена неустойчивость сильно неравновесных систем н последующая их самоорганизация . [c.138]

Принципы экстремумов 7, 129-139 Произведение растворимости 215, 216, 226 Производство энтропии 229, 243, 244, 258, 259, 333, 372, 392 [c.454]

На основании принципа взаимности [32] решение задач 1 и 2 совпадает с решением задач, в которых х задано, а отыскивается экстремум, например, величины X или [c.70]

Бенджамин вводит вариационный принцип экстремума полного импульса П, в соответствки с которым в устойчивом цилиндрическом потоке со свободной поверхностно всегда реализуется этот экстремум, а переход от неустойчивой формы течения к устойчивой или взрыв вихря" происходит без потерь энергии, но с увеличением импульса. В качестве аналога взрыва вихря он рассматривает волновой гидравлический прыжок в невращ ющемся патоке при числе Fi, близком к едини-80 [c.80]

Необходимо отметить, что принцип экстремума импульса выдвигался и в отечественных работах [19], но тогда он не получил какого-либо развития в далы1ей-ших работах по теории вращающихся потоков. [c.81]

Из (4.64) и (3.31) видно что в соответствии с принципом взаимности изопериметрических задач семейство экстремалей в обоих уравнениях одинаково. Но при этом энергия оказьтается неизвестной. Она может быть задана только в неустойчивом состоянии, а переход от него к устойчивому состоянию, т. е. гидравлический прыжок второго рода, происходит при постоянном значении полного импульса, так как в теории прыжка, равно как и в теории Бенджамина, внешние силы не учитываются. Но если импульс остается постоянным, в прыжке неизбежны потери энергии, и то значение энергии, которое будет после прыжка, меньше того, которое было в исходном неустойчивом состоянии. Поэтому можно со всей определенностью сказать, что принцип экстремума импульса Бенджамина для устойчивого состояния верен, но бесполезен энергия, при которой достигается экстремум импульса, наперед не известна и может быть определена только после использования уравнения количества движения и нахождения потерь энергии в прыжке. Необходимо добавить также, что основная идея, высказанная Бенджамином о том, что взрыв вихря представляет собой переход от неустойчивого состояния вращающегося потока к устойчивому его состоянию, бесспорна. [c.81]

Излагаемый в настоящей статье приближенный метод исследования динамических характеристик круговых или некруговых цилиндрических оболочек, не подкрепленных или подкрепленных шпангоутами и стрингерами и имеющих вырезы прямоугольной формы, основывается на энергетическом принципе. Исследование базируется на использовании принципа Гамильтона и классического метода Рэлея —Ритца с применением балочных функций для аппроксимации осевых перемещений и тригонометрических для окружных. Балочные функции соответствуют тем функциям, которые описывают колебания однородной балки с такими же граничными условиями, что и на краях оболочки. В исследовании рассмотрены четыре вида граничных условий, а именно шарнирное опи-рание, защемленйе —свободный край, защемление —защемление и, наконец, оба края свободные. Хорошо известно, что в методе Рэлея — Ритца аппроксимирующие ряды для перемещений должны удовлетворять кинематическим граничным условиям и не требуется удовлетворение силовых граничных условий. Поэтому как уравнения равновесия, так и граничные условия в напряжениях удовлетворяются приближенно, на основе принципа экстремума. Таким образом, это позволяет без затруднений представить граничные условия на свободном крае выреза оболочки. [c.239]

Задача Дирихле. Принцип экстремума показывает, что гармоническая /в области О и непрерывно продолжающаяся в замыкание О функция полностью определяется своими значениями на границе. Действительно, пусть существуют две такие функции 1 и 2 с одинаковыми граничными значениями. Тогда их разность М] — 2 будет гармонической в О и непрерывной в Б функцией, равной нулю всюду на границе. По свойствам непрерывных функций Ы — Нг должна достигать и максимума и минимума где-то в О, а по принципу экстремума это должно происходить на границе. Но там 1 — 2 = 0, следовательно, и максимум и минимум 1 — 2 в О оба равны нулю. Таким образом, ] — 2 = = О, т. е. 1 = 2 всюду в О. [c.81]

Другой конец этой кривой не может лежать ни на границе й2Ъос (тогда в соответствии с принципом максимума для эллиптических уравнений было бы ф = 0), ни в интервале ( 16 2, линии Л = 1 (где ф = Ф2 > ), в интервале линии Л = 1 (по принципу экстремума [20, с. 84], для решений задачи Трикоми, обращающихся в нуль на характеристике, было бы ф = 0). [c.300]

Подобно свободной энергии Гельмгольца F и свободной энергии Гиббса G, энтальпия также связана с принципом экстремума при фиксированных энтропии S и давлении р энтальпия Н эволюционир-ует к своему минимальному значению. В этом можно убедиться, связав, как и прежде, изменение энтальпии dH с diS. Полагая р = onst, имеем [c.136]

Существование принципов экстремумов в термодинамике приводит к важному следствию по микроскопическим флуктуациям. Так как все макроскопические системы состоят из очень большого числа молекул, которые находятся в постоянном хаотическом движении, такие термодинамические величины, как температура, давление и молярная плотность, испытывают малые флуктуации. Почему эти флуктуации не вьшуждают термодинамические переменные изменяться от одного значения к другому подобно тому, как изменяется положение частицы цветочной пыльцы в броуновском движении Температура или концентрация системы в состоянии термодинамического равновесия флуктуируют [c.137]

Фазовые переходы связаны со многими интересными и общими термодинамическими свойствами. Выше показано, что некоторые из этих свойств позволяют классифицировать фазовые переходы как фазовые переходы первого и второго рода. С учетом термодинамической устойчивости и принципов экстремумов, рассмотренных в гл. 5, большой интерес представляет термодинамическое поведение в окрестности критических точек. Классическая теория фазовых переходов была развита Львом Давидовичем Ландау, Однако проведенные в 1960-х гг, эксперименты показали, что предсказания этой теории не оправдываются. Современная теория фазовых переходов была создана в 1960-70-е гг. В основу ее легли работы Ч. Домба, М. Фишера, Л. Каданова, Дж. С. Рашбрука, Л. Уидома, К.Вилсона и других. В этом разделе мы лишь рассмотрим в общих чертах основные выводы термодинамики фазовых переходов. Подробное изложение современной теории фазовых переходов, использующей тонкие математические понятия теории ренорм-группы, выходит за рамки нашей книги. Для более глубокого ознакомления с этим обширным и увлекательным разделом физики мы отсылаем читателя к литературе [1-3]. [c.192]

Одно из наиболее глубоких следствий неравновесной термодинамики проявляется в дуалистичности необратимого процесса как разрушителя порядка вблизи равновесия и как создателя порядка вдали от равновесия. Для систем, далеких от равновесия, не выполняются общие экстремальные принципы, предсказывающие состояния, к которым переходят системы. В отсутствие принципа экстремумов, однозначно предсказывающего состояние, к которому стремится неравновесная система, заключается фундаментальное свойство неравновесных систем. В отличие от равновесных систем, которые переходят в состояние с минимальной свободной энергией, неравновесные системы могут развиваться непредсказуемо их состояние не всегда однозначно определяется макроскопическими уравнениями. Это происходит от того, что при одном и том же наборе условий неравновесная система может переходить к разным состояниям. Причиной тому могут быть флуктуации, малые неоднородности, дефекты или другие случайные факторы. К какому состоянию перейдет конкретная система, в общем случае предсказать невозможно. Новые состояния, достигаемые таким образом, являются часто упорядоченными состояниями , которые обладают пространственно-временной организацией. Вихри в потоках жидкости, неоднородности в концентрациях, представляющие собой геометрические формы с высокой степенью симметрии, или периодические изменения в концентрациях — вот примеры таких упорядоченных состояний. Фундаментальное свойство неравновесных систем проявляется в способности переходить в упорядоченное состояние в результате флуктуаций — т. е. осуществлять порядок через флуктуации [1, 2]. [c.404]

Условие (4Г) выражаег так называемый принцип Гамильтона. Принцип Гамил1, гопа утверждает, что для действительного движения системы из одною но. южения в другое действие по Гамильтону имеет экстремум по сравнению с другими возможными движениями системы при фиксированных значениях /, на границах, т. е. при (, и /j. [c.411]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...