Деформация малая Коши

Деформация малая Коши 160 [c.341]

Приращения деформаций малы, так что выполняются соотношения Коши, связывающие их с вектором приращения перемещения. [c.211]

Считаем деформации малыми ( Ога(1 м < С1), так что тензор деформации 8 выражается через вектор перемещения и соотношениями Коши [c.11]

В общем случае малой деформации соотношения Коши связывают три компонента вектора перемещения Uk с шестью (вследствие симметрии) компонентами тензора деформации ij. Следовательно, для определения компонентов вектора перемещения необходимо проинтегрировать шесть уравнений вида [c.46]

Если рассматривать уравнение (6-3.1) как справедливое для любой предыстории, а не только в предельном случае малых деформаций, оно представляет собой пример интегрального уравнения состояния. Физическая предпосылка, лежащая в основе уравнения (6-3.1), ясна предполагается, что все деформации, которые имели место в прошлом и измеряются при помощи тензора Коши, дают линейный вклад в текущее значение напряжения. Весовая функция / (s) представляет собой материальную функцию, которая полностью определяет Частный тип материала, удовлетворяющего такому правилу линейности. Линейное соотношение, выражаемое уравнением (6-3.1), известно также как принцип суперпозиции Больцмана. [c.216]

Предположим, что градиенты перемещений < ,7(Зх/<С 1, dui/dxj< l. Тогда из (3.16) получаем тензор малых деформаций Коши [c.72]

Рассмотрим случай малых деформаций и перемещений, когда справедливы линейные уравнения. Для вывода уравнений совместности исключим из уравнений Коши (2.14) перемещения и, и, w. [c.34]

Дифференциальные зависимости (1.44) между малыми деформациями и малыми перемещениями были непосредственно получены впервые О. Коши (1789—1857). Поэтому обычно равенства (1.44) называются дифференциальными зависимостями Коши. [c.15]

В теории течения статические уравнения (уравнения равновесия) и геометрические уравнения (Коши и Сен-Венана) будут иметь тот же вид, что и в теории упругости или теории малых упруго-пластических деформаций. [c.293]

Формулы (14) —(16) представляют формулы Коши для малых деформаций сдвига. [c.63]

Введение. В предыдущих параграфах настоящей главы было показано, что при определенных условиях решение граничных задач теории ползучести можно получить через решение соответствующих упругих задач, если деформации этих тел малы, т. е. компоненты ц тензора деформации Коши и компоненты со вектора поворота, будучи одного порядка малости, удовлетворяют условиям [c.295]

Тензор малых деформаций Коши также симметричный [36], т. е. [c.160]

Задача теории упругости неоднородного тела формулируется и решается аналогично задаче теории упругости однородного изотропного или анизотропного тела. Различие между ними состоит лишь в том, что в физических уравнениях (законе упругости) механические характеристики являются заданными непрерывными функциями координат. Здесь необходимо еще раз подчеркнуть, что при этом деформации тела считаются малыми и предполагается выполнение обобщенного закона Гука. Очевидно, что в случае неоднородного тела остаются справедливыми общие уравнения механики сплошной среды соотношения Коши между деформациями и перемещениями и т. д. Подробное изложение теории напряжений и деформаций приводится в многочисленных книгах [11, 100, 138 и др.], поэтому ниже они даются без вывода в прямоугольной системе координат х, у, z) в объеме, необходимом для дальнейшего изложения. Эти же уравнения в других системах координат (цилиндрической, сферической) можно найти в указанных выше и других изданиях. [c.32]

Приведенная зависимость совпадает с формулой для линейно-упругого тела. Она распространяется на случай больших деформаций при замене составляющих тензора малых деформаций компонентами тензора Коши-Грина. В соответствии с зависимостью (9.9.7) [c.182]

Заметим также, что использование зависимостей приращений деформаций от приращений перемещений (зависимостей Коши) при переходе от одного деформированного состояния к другому близкому к нему деформированному состоянию так, что приращения деформаций и перемещений при этом малы, приводит к понятию логарифмической деформации в простейшем случае одноосного растяжения. [c.45]

Разобьем время деформирования на ряд малых шагов, считая, что Б пределах каждого из них выполняются зависимости Коши для скоростей деформаций и перемеш,ений [c.95]

Разобьем время деформирования на ряд малых шагов, полагая, что в пределах каждого из них выполняются зависимости Коши для скоростей перемещений и деформаций (4.24), где = = 1 , Ij., li, — вектор-столбец скоростей деформаций, [c.160]

Для изучения истории нагружения разобьем время процесса деформирования на ряд малых шагов и примем, что в пределах, каждого выполняются зависимости Коши для скоростей деформаций и скоростей перемещений. Тогда выбор скорости деформации в любой точке внутри элемента определяется следующим образом [c.188]

Симметричный тензор е называется линейным тензором деформаций тензором деформаций Коши), а антисимметричный тензор W — линейным тензором ротации. При бесконечно малой деформации тензор е характеризует искажение материальной частицы, а тензор W — ее поворот. В декартовой системе отсчета запись этих тензоров через компоненты имеет вид [c.39]

Для бесконечно малой деформации окрестности материальной точки все введенные симметричные и несимметричные тензоры напряжений превращаются в симметричный тензор напряжений Коши S, который специально для такого типа деформации обозначим через <г [c.49]

T. e. тензор напряжений Коши при бесконечно малой деформации материальной частицы. [c.49]

При бесконечно малой деформации материальной частицы все скорости тензоров напряжений превращаются в материальную производную тензора напряжений Коши, которая в декартовой системе отсчета, записанная через компоненты, имеет следующий вид [c.55]

Последнее обстоятельство приводит к тому, что при конечноэлементной дискретизации уравнений в слабой форме касательная матрица жесткости получается несимметричной [106]. Один из путей преодоления этой трудности состоит в замене тензора напряжений Коши тензором напряжений Кирхгофа (характеризующим силу, отнесенную к площадке в отсчетной конфигурации), что можно сделать для малых упругих деформаций в силу (2.88). Для UL-подхода совпадает с s . В этом случае можно сформулировать вариационный принцип относительно скоростей [73, 79] (см. гл. 3), а касательная матрица жесткости при конечно-элементной дискретизации уравнений будет симметричной [97]. [c.103]

Геометрические соотношения устанавливают связь между компонентами деформации и компонентами перемещения. Если деформации и перемещения малы, то между ними имеет место линейная зависимость, выражаемая уравнениями Коши [c.16]

В полярной системе координат положение любой точкп на плоскости определяется двумя величинами радиус-вектором г и полярным углом 0, отсчитываемым от начального радиус-вектора Го. Рассмотрим основные уравнения плоской задачи в полярных координатах дифференциальные уравнения равновесия, уравнение неразрывности деформаций, формулы Коши и формулы обобщенною закона Гука. Вырежем из пластинки толщиной, равной единице, алемент ub d (рис. 32). Для этого проведем радиус ОаЬ иод прои ш1) 1ьным углом 0 к начальному радиус-вектору, затем дадим углу бесконечно малое приращение d0 и проведем радиус Ode. Произвольным радиусом Оа г проведем дуг ad, затем дадим радиусу г приращение аЬ dr и ироье- [c.86]

Коши при бесконечно малой деформации, 49 Коши с исключенным поворотом, 46 Лагранжа, 45 Нолла, 46 Эйлера, 45 [c.260]

Коши исследз ет также и возможные в области точки О деформации упругого тела (рис. 58) и показывает, что если эти деформации малы, то относительное удлинение в каком-либо направлении и изменение прямого угла между двумя произвольными, первоначально взаимно-перпендикулярными, напра- лениями могут быть выражены через шесть компонент деформации [c.135]

Функция, о которой здесь идет речь, есть взятая с обратным знаком потенциалыая энергия деформированного упругого тела, отнесенная к единице объема и выраженная в компонентах деформации частные производные этой функции по компонентам деформации равны компонентам напряжения. Грин предполагал, что эта функция может быть разложена по степеням и произведениям компонентов деформации, поэтому он представил ее в виде суммы однородных функций этих величин первого, второго, третьего и высших порядков. Первый из этих членов должен быть равен нулю, ибо потенциальная энергия до деформации должна иметь наименьшее значение а так как все деформации малы, то существенное значение имеет только один второй член. Из этого принципа Грин вывел свои уравнения теории упругости, содержащие в общем случае 21 постоянную. В случае изотропии остаются только две постоянные, и уравнения совпадают с теми, которые приведены в первом мемуаре Коши. [c.25]

Деформация (малая) теория — Коши 22, 50—55 однородная —. 47 чистая —, 50 компоненты —, 51, 137 преобразование компонентов —, 53 инварианты, 55 типы —, 55—57 разложение — на объемное расширение и сдвиг, 58 тождественные соотношения между компонентами —, 30, tO главные оси —, 48 главные удлинения —, 53 определение смешений по компонентам —, 61 компоненты —в криволинейных координатах, 64 разложение однородной — на чистую — и вращение, 49 среднее значение компрнен- [c.668]

Формулы Коши (3.67) можно получить непосредственно из графических построений (рис. 3.3). Рассмотрим малый прямоугольный элемент AB D со сторонами dx,-, dx,-. После плоской деформации элемент искажается и перемещается в положение A B D. Продольная деформация волокна АВ определится по формуле [c.73]

Основы теории упругости были разработаны почти одновременно Навье (1821), Коши (1822), Пуассоном (1829). Независимо друг от друга они получили по существу все основные уравнения этой теории. Особо выделялись работы Коши. В отличие от Навье и Пуассона, привлекавших гипотезу молекулярных сил, Коши, опираясь на метод, в котором используется статика твердого тела, ввел понятия деформации и нагфяжения, установил дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия, зависимости между деформациями и перемещениями, а также соотношения между напряжениями и деформациями для изотропного тела, первоначально содержавшие две упругие постоянные. В эти же годы появились исследования М. В. Остроградского о распространении волн в упругом теле при возмущении в его малой области. На эти исследования ссылается в своих работах Пуассон, впервые (1830) доказавший существование в однородной изотропной среде двух типов волн (волны расширения и искажения). [c.5]

Если и, v,w — истинные перемещения, а е , Ву,. .., г х — истинные деформации, то они удовлетворяют соотношения м Коши (5.17) и, следовательно, для истинного состояния бФ = 0. Наоборот, в силу того, что вариации напряжений 6a.v, бсту, ба ., бт у, бту , бт независимы, а объем V произволен, в том числе и достаточно мал, то из условия бФ = О следуют соотношения Коши, так как условие бФ = О может быть выполнено при произвольных и отличных от нуля вариациях напряжении лишь при равенстве нулю содержимого каждой круглой скобки подынтегрального выражения. Таким образом, условие бФ = О эквивалентно выполнению условий совместности деформаций. Принцип возможных изменений напряженного состояния (принцип Кастильяио) состоит в том, что работа статически возможных напряжений на истинных деформациях и [c.201]

Для получения уравнений, описывающих температурные поля и напряжения в деформируемом теле, в дальнейшем рассматриваются малые перемещения и градиенты перемещений. В этом случае вектор перемещения и с компонентами Н рассматривается как некоторое векторное поле, тензор деформаций с компонентами Еу - как тензорное поле, определенные в действительном векторном пространстве [75]. Компоненты тензора деформаций выражаются через компоненты вектора перемещений соотношениями Коши .у=(ди1/дХу+диудх,)/1 (здесь и далее /, / = 1, 2, 3, а также везде в формулах подразумевается суммирование по повторяющимся латинским индексам). Тогда из уравнения неразрывности (закона сохранения массы) [19] [c.182]

При бесконечно малой деформации материальной частицы все тензоры деформаций превращаются в тензор деформаций Коши е, который связан линейными соотношениями (1.56) с тензором градиента перемещений Н, а все тензоры напряжений превращаются в тензор напряжений Коши сг. Предположим, что условие бесконечно малой деформации выполнено для всех материальных частиц тела В. Деформацию тела при выполнении этого условия назовем геометрически линейной или бесконечно малой . Подход к формулировке уравнений с использованием тензоров деформаций е и напряжений сг назовем геометрически линейным или MNO (material nonlinear only) подходом. При этом наряду с геометрически линейным деформированием тела допускается физическая нелинейность деформирования, которая может присутствовать в определяющих соотношениях, связывающих тензоры напряжений и деформаций и/или их скорости. [c.65]

На основании (П1.88) подстановка (1.2.70) в (1.2.88) приводит к тождеству. Это означает, что при решении задач МСС в перемещениях нет необходимости проверять выполнение условия (1.2.88), когда тензор деформаций определяется по формуле О.Коши (1.2.70). При решении же этих задач в малых деформациях на тензор Те должны бьпъ наложены ограничения в виде соотношения (1.2.88), которое назьшается условием Б.Сен-Венана или в данном случае условием совместности деформаций. С математической точки зрения выполнение соотношения между компонентами тензора деформаций в (1.2.88) является необходимым и достаточным условием интегрируемости системы уравнений О.Коши (1.2.70) относительно компонент вектора перемещения (п. П1.6), которые вычисляются по обобщенной формуле Е.Чезаро (П1.108) с заменой в ней а на и ао на uo Тс на Т о и Ть на Те [c.42]

Обычно при решении задач ОМД нахождение компонент тензора связывают не с малыми деформациями (1.2.70) по формуле (1.2.138), а с определением их с помощью вектора скорости V по формуле Док.Стокса (1.2.137), которую с учетом (1.2.90) можно получить из (1.2.138) путем подстановки в нее малых деформаций, определяемых кинематической формулой О.Коши (1.2.70). С другой стороны, физический смысл компонент легко устанавливаегся именно с помощью формулы (1.2.138) диагональные компоненты тензора скоростей деформаций характеризуют изменение во времени линейных размеров окрестности движущейся матфиальной частицы, а боковые - ее угловых размеров. Поэтому диагональные компоненты ( =к) тензора назьшают скоростями деформации изменения линейных размеров, а боковые компоненты (i к) - скоростями деформации изменения угловых размеров или сдвиговыми скоростями деформаций. [c.55]

Выше указана только часть публикаций по нелинейным-проблемам эластомерного слоя и конструкций. Перечень работ можно бы продолжить, но это не меняет общей оценки состояния вопроса. Если создание линейной теории слоя можно считать завершенным и ее значение можно сравнить со значением классической теории оболочек для соответствующих краевых задач, то создание общей нелинейной теории слоя находится в-началь-. ной стадии. Опубликованных результатов мало, и они не достоверны даже в отношении интегральных упругих характеристик констукций, не говоря уже о полях перемещений и напряжений, В то же время только теоретические исследования и расчеты с последующей экспериментальной проверкой позволяют пороз11ь оценить влияние геометрической и физической нелинейности и решить такие важные вопросы, как пределы применения закона-Гука и выбор упругого потенциала. Лелать упор на физическую нелинейность при умеренных деформациях < 50%, по убеждению автора, неправильно. Есть три источника появления нели-. нейности задачи — формулы Коши, связывающие деформации с перемещениями, уравнения равновесия и закон упругости, которые, вообще говоря, независимы. [c.23]

Квазистатическая задача А теории малых упруго-пластичест ких деформаций трансверсально изотропной однородной среды заключается в решении уравнений равновесия (3.49) при выпол-, нении граничных условий (3.50). При этом следует воспользоваться соотношениями Коши (3.51) и иметь в виду, что в (3.49) инварианты напряжений связаны с инвариантами деформаций функциями (3.31), которые в упругой области имеют вид (3.43). В случае разгрузки эти функции приобретают вид [c.242]

Симметричный тензор е называется тензором малых деформаций, а его выражение через вектор перемещения (1.9) называется соотношениями Коши. В безындексной записи эти соотношения можно записать в виде [c.10]

Интересно отметить, что, наряду с Навье, двумя другими участниками развития теории упругости в 20-х гг. прошлого века были О. Коши и С. Пуассои, которые вместе с П. Жираром в 1819 г. написали итоговый отчет Академии об экспериментальных работах Дюло 1813 г. (Duleau [1819, 1]). Подобно экспериментальной работе Дюпена по древесине, проводившиеся примерно в то же самое время исследования Дюло примечательны тем, что содержали первые серьезные эксперименты по малым де рмациям сжатия, растяжения, изгиба и кручения элементов, выполненных из железа. Эти данные Дюло сделались вехой в области изучения малых деформаций металлов в течение последующей трети столетня. [c.46]

Очень важным моментом является то, что Сэйр рассматривал нелинейную зависимость не только для напряжения Пиолы — Кирхгофа (условного или номинального, или технического напряжения), но также для напряжения Коши ( истинного напряжения). Нелинейность в обоих случаях опровергает высказываемое часто вскользь спорное положение, что нелинейность, появляющаяся при малых деформациях, может быть исключена введением небольшой поправки на поперечную деформацию образца. [c.183]

Анри Виктор Рено (Regnault [1842, 1], [1847, 1]), изучая поведение резервуаров в своих исследованиях сжимаемости воды, отметил, что его результаты, по-видимому, не согласуются с теорией Пуассона — Коши. Он предложил Вертгейму более детально рассмотреть эту проблему. Первый эксперимент Вертгейма в связи с этим был проведен с резиновым стержнем квадратного поперечного сечения, достаточно большого для того, чтобы измерения можно было осуш,ествить с помош,ью штангенциркуля (Wertheim [1848, 1]). Его деформации достигали 200%, т. е. значения, при котором, как указывал позже Джеймс Клерк Максвелл, он не мог ожидать применимости элементарной теории упругости. Отметив, что остаточная деформация была минимальной, особенно в области малых деформаций, Вертгейм сравнил свои одновременно измеренные значения продольных удлинений и поперечных сужений со значениями коэффициента Пуассона v=l/4, v=l/3 и v=l/2, обнаружив при этом, как видно из рис. 3.28 (на котором изображен график, построенный по его данным), что в области малых деформаций данные, несомненно, не позволяют получить значение 1/4, предсказанное для изотропных тел. [c.326]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...